Задачи на течение как найти расстояние

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки.

Решение задач с помощью уравнений.
Движение по воде.

ФОРМУЛЫ.

V
соб. – собственная скорость (скорость в стоячей
воде)

Vтеч.р.
– скорость течения реки

Vпо
теч. = V соб. + Vтеч.р.

Vпр.
теч. = V соб. — Vтеч.р.

Задача
1. Лодка
плыла 1,4
ч по течению реки и 1,7 ч против течения. Путь,
который проплыла лодка по течению, оказался на 2,2 км меньше пути, который она
проплыла против течения. Найдите скорость
течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 28 км/ч.

V соб. = 28 км/ч

Vтеч.р. = x км/ч

1)     
1,7(28 – x) – 1,4(28 + x) = 2,2

47,6 — 1,7x – 39,2  – 1,4x = 2,2

-1,7x – 1,4x= 2,2 — 47,6 +39,2

-3,1x = -6,2

x = -6,2 : (-3,1)

x = 2

2)     
2 км/ч – Vтеч.р.

Ответ. 2

Задача
2. Расстояние между двумя пунктами катер прошёл по течению реки за 7
часов, а против течения за 8 часов. Найдите расстояние
между этими пунктами, если скорость течение реки 3,5 км/ч

V соб. = x км/ч

Vтеч.р. = 3,5 км/ч

1)     
7(x + 3,5) = 8(x – 3,5)

7x + 24,5 = 8x — 28

7x – 8x= -28 – 24,5

-x = -52,5

x = 52,5

2)   52,5 км/ч – V
соб.

3)   7(52,5 + 3,5) = 7 · 56 = 392 км –
расстояние

Ответ. 392

РЕШИ ЗАДАЧИ ПО ОБРАЗЦУ.

1)      Туристы на байдарке плыли
2,4 ч по течению реки и 1,8 ч против течения. Путь, который байдарка проплыла
по течению, был на 14,1 км больше, чем путь, пройденный против течения. Найдите
скорость байдарки в стоячей воде, если скорость течения 2,5 км/ч.

2)      Расстояние между двумя
пунктами катер прошел по течению реки за 5 часов, а против течения — за 6
часов. Найдите расстояние между этими пунктами, если скорость течения реки 3
км/ч.

3)      Катер
проходит по течению реки за 5 ч такое же расстояние, как за 6 ч 15 мин против
течения. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость течения реки
равна 2,4 км/ч.

4)      Моторная
лодка прошла 7 ч по течению реки и 6 ч против течения. Определите скорость
течения реки, если скорость лодки в стоячей воде 10
км/ч и за все путешествие лодка прошла 132
км.

Рассказываем, как решать задачи на движение по реке. Приводим алгоритм решения и примеры. Задачи для самостоятельного решения.

Суть задач на движение по реке

Алгоритм решения задач

Способы решения задач

Примеры решения задачи

Задачи для самостоятельного решения

Задачи на движение (скорость, время и расстояние) являются одной из основных типов задач по математике, которые должен уметь решать каждый школьник. В данной статье рассмотрены все типы задач на движение:
— простые задачи на скорость, время и расстояние;
— задачи на встречное и противоположное движение;
— задачи на движение в одном направлении (на сближение и удаление);
— решение задач на движение по реке.

Скорость, время и расстояние: определения, обозначения, формулы

скорость = расстояние: время — формула нахождения скорости;

время = расстояние: скорость — формула нахождения времени;

расстояние = скорость · время — формула нахождения расстояния.

Скорость – это расстояние, пройденное за единицу времени: за 1 секунду, за 1 минуту, за 1 час и так далее.
Пример обозначения: 7 км/ч (читается: семь километров в час).
Если весь путь проходится с одинаковой скоростью, то такое движение называется равномерным.

На сайте представлены калькуляторы онлайн, с помощью которых можно перевести скорость, время и расстояние в другие единицы измерения:

1.Конвертер единиц измерения скорости
2.Конвертер единиц измерения времени
3.Конвертер единиц измерения расстояния (длины)

Примеры простых задач.

Задача 1. 

Автомобиль проехал 180 км за 2 часа. Чему равна скорость автомобиля?
Решение: 180:2=90 (км/ч.)
Ответ: Скорость автомобиля равна 90 км/ч.

Задача 2. 

Автобус проехал путь в 240 км со скоростью 80 км/ч. Сколько времени ехал автобус?
Решение: 240:80=3 (ч.)
Ответ: Автобус проехал 3 часа.

Задача 3. 

Грузовик ехал 5 часов со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние проехал грузовик за это время?
Решение: 70 · 3 = 350 (км)
Ответ: Грузовик за 5 часов проехал 350 км.

Задачи на встречное движение

В таких задачах два объекта движутся навстречу друг другу.
Задачи на встречное движение можно решать двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость сближения объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость сближения — это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Задача 4. 

Из двух пунктов навстречу друг другу одновременно выехали два поезда и встретились через 3 часа. Первый поезд ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. На каком расстоянии друг от друга находятся пункты?
Решение: 
Первый способ. Найти расстояние, которое проехал каждый автобус, и сложить полученные данные:
80*3=240 (км) – проехал 1й автобус, 70*3=210 (км) – проехал 2й поезд,
240+210=450 (км) – проехали два поезда.
Второй способ. Найти скорость сближения поездов, то есть на сколько сокращалось расстояние между ними каждый час; а затем найти расстояние:
80+70=150 (км/ч), 150*3=450 (км).
Ответ: города находятся на расстоянии 450 км.

Задача 5. 

Из двух городов навстречу друг другу одновременно выехали два автобуса. Первый автобус ехал со скоростью 80 км/ч, а второй – со скоростью 70 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа, если расстояние между городами 450 км?
Решение: 
Первый способ. Определить, сколько километров проехал каждый автобус и найти расстояние, которое осталось проехать:
80*2=160 (км)-проехал 1й автобус, 70*2=140 (км)-проехал 2й автобус,
160+140=300 (км)-проехали два автобуса, 450-300=150 (км)-осталось проехать.
Второй способ. Найти скорость сближения автобусов и умножить ее на время в пути.
80*70=150 (км/ч) – скорость сближения; 150*2=300 (км) – проехали два автобуса; 450-300=150 (км) – осталось проехать.
Ответ: Через 2часа расстояние между автобусами будет 150 км.

Задачи на движение в противоположных направлениях

В таких задачах два объекта движутся в противоположных направлениях, отдаляясь друг от друга. В таком типе задачи используется скорость удаления. Задачи на движение в противоположных направлениях также можно решить двумя способами:
1. Найти значения скорости, времени и расстояния для каждого объекта.
2. Найти скорость удаления объектов (как сумму их скоростей), общие время и расстояние. Скорость удаления — это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Задача 6. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля 100 км/ч, скорость второго – 70 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 4 часа?
Решение: 
Первый способ. Определить расстояние, которое проехал каждый автомобиль и найти сумму полученных результатов:
1) 100 · 4 = 400 (км) – проехал первый автомобиль
2) 70 · 4 = 280 (км) – проехал второй автомобиль
400 + 280 = 680 (км)
Второй способ. Найти скорость удаления, то есть значение увеличения расстояния между автомобилями за каждый час, а затем скорость удаления умножить на время в пути.
100 + 70= 170 км/ч – это скорость удаления автомобилей.
170 · 4 = 680 (км)
Ответ: Через 4 часа между автомобилями будет 680 км.

Задача 7. 

Из двух населённых пунктов, расстояние между которыми 40 км, вышли в противоположных направлениях два туриста. Первый турист шёл со скоростью 4 км/ч, а второй — 5 км/ч. Какое расстояние между туристами будет через 5 часов?
Решение: 
Первый способ. Определить сколько километров прошёл каждый из туристов за 5 часов, сложить полученные результаты, а затем к полученному расстоянию прибавить расстояние между населенными пунктами.
1) 4 · 5 = 20 (км) – прошёл первый турист;
2) 5 · 5 = 25 (км) – прошёл второй турист;
3) 20 + 25 = 45 (км);
4) 45 + 40 = 85 (км).
Второй способ. Найти скорость удаления пешеходов, затем найти пройденное расстояние, к полученному результату прибавить расстоянием между населёнными пунктами.
4 + 5 = 9 (км/ч);
9 · 5 = 45 (км);
45 + 40 = 85 (км);
Ответ: Через 5 часов расстояние между пешеходами будет 85 км.

Задачи на движение в одном направлении

В таких задачах два объекта движутся в одном направлении с разной скоростью, при этом они сближаются друг с другом или отдаляются друг от друга. Соответственно находится скорость сближения или скорость удаления объектов.

Формула нахождения скорости сближения или удаления двух объектов, которые движутся в одном направлении: из большей скорости вычесть меньшую.

Задача 8. 

Из города выехал автомобиль со скоростью 40 км/ч. Через 4 часа вслед за ним выехал второй автомобиль со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов второй автомобиль догонит первый?,
Решение: 
Задачу можно решить с помощью уравнения.
В этом случае скорость первого автомобиля 40 км/час, время в пути на 4 часа больше, чем время второго автомобиля (или t+4). Скорость второго автомобиля 60 км/час, время в пути – t. Расстояние оба автомобиля проехали одинаковое. Поэтому можно составить уравнение: 40*(t+4)=60*t. Отсюда получаем t=8 (часов) – время в пути второго автомобиля, за которое он догонит первый.
Решение задачи без использования уравнения.
Так как на момент выезда второго автомобиля из города первый уже был в пути 4 часа, то за это время он успел удалиться от города на: 40 · 4 = 160 (км).
Второй автомобиль движется быстрее первого, значит, каждый час расстояние между автомобилями будет сокращаться на разность их скоростей: 60 — 40 = 20 (км/ч) – это скорость сближения.
Разделив расстояние между автомобилями на скорость их сближения, можно узнать, через сколько часов они встретятся: 160 : 20 = 8 (ч)
Ответ: Второй автомобиль догонит первый через 8 часов.

Задача 9. 

Из двух посёлков между которыми 5 км, одновременно в одном направлении вышли два пешехода. Скорость пешехода, идущего впереди, 4 км/ч, а скорость пешехода, идущего позади 5 км/ч. Через сколько часов после выхода второй пешеход догонит первого?
Решение: Так как второй пешеход движется быстрее первого, то каждый час расстояние между ними будет сокращаться. Значит можно определить скорость сближения пешеходов: 5 — 4 = 1 (км/ч).
Оба пешехода вышли одновременно, значит расстояние между ними равно расстоянию между посёлками (5 км). Разделив расстояние между пешеходами на скорость их сближения, узнаем через сколько второй пешеход догонит первого: 5 : 1 = 5 (ч)
Ответ: Через 5 часов второй пешеход догонит первого.

Задача 10. 

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 80 км/ч, а скорость второго – 40 км/ч.
1) Чему равна скорость удаления между автомобилями?
2) Какое расстояние будет между автомобилями через 3 часа?
3) Через сколько часов расстояние между ними будет 200 км?
Решение: 
1) 80 — 40 = 40 (км/ч) — скорость удаления автомобилей друг от друга.
2) 40 · 3 = 120 (км) – расстояние между ними через 3 часа./
3) 200 : 40 = 5 (ч) – время, через которое расстояние между автомобилями станет 200 км.
Ответ:
1) Скорость удаления между автомобилями равна 40 км/ч.
2) Через 3 часа между автомобилями будет 120 км.
3) Через 5 часов между автомобилями будет расстояние в 200 км.

Задачи на движение по реке

Рассмотрим задачи, в которых речь идёт о движении объекта по реке. Скорость любого объекта в стоячей воде называют собственной скоростью этого объекта.

Чтобы узнать скорость объекта, который движется по течению реки, надо к собственной скорости объекта прибавить скорость течения реки. Чтобы узнать скорость объекта, который движется против течения реки, надо из собственной скорости объекта вычесть скорость течения реки.

Задача 11. 

Лодка движется по реке. За сколько часов она преодолеет расстояние 120 км, если ее собственная скорость 27 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?
Решение: 
1) лодка движется по течению реки.
27 + 3 = 30 (км/ч) – скорость лодки по течению реки.
120 : 30 = 4 (ч) – проплывет путь.
2) лодка движется против течения реки.
27 — 3 = 24 (км/ч) — скорость лодки против течения реки
120 : 24 = 5 (ч) – проплывет путь.
Ответ:
1) При движении по течению реки лодка потратит 4 часа на путь.
2) При движении против течения реки лодка потратит 5 часов на путь.

Итак, для решения задач на движение:

1. Основная формула:S=ν*t;
2. Нужно сделать чертеж, который поможет определить тип задачи.
3. Все цифры нужно привести в единые единицы измерения: длина и время

Заключение.

Решая много задач по данной теме, ученик обязательно научится быстро ориентироваться в понятиях «скорость», «время» и «расстояние» и быстро решать задачи всех типов.

Весь курс начальной школы (за 1-4 классы) в краткой форме на сайте edu.intmag24.ru. С помощью курса можно быстро повторить основные моменты и правила по предметам: русский язык, математика, окружающий мир.

Для решения более сложных задач на движение посмотрите, как составлять схемы и таблицы данных для наглядного представления и структурирования данных.

§ 1  Методика решения задач на движение по течению и против течения

Из всех текстовых задач на движение особое место занимают задачи на движение по течению и против течения реки. Для успешного их решения необходимо различать 4 вида движения: течение реки, собственное движение, движение по течению и движение против течения реки.

Вид движения «течение реки» встречается в тех задачах, в которых рассматриваются движения немеханизированных объектов, например, движение плота. Такой вид движения возможен только по течению и скорость движущегося объекта всегда совпадает со скоростью течения реки.

Собственное движение характерно для механизированных объектов в стоячей воде, например, катер движется по озеру.

Движение по течению и движение против течения реки формируется из двух видов движения – собственного и течения реки.

При движении по течению направления течения реки и движения объекта совпадают, поэтому скорость перемещения тела при этом виде движения равна сумме собственной скорости тела и скорости течения

vсобств + vтечения.

При движении против течения течение реки препятствует движению объекта, поэтому скорость перемещения тела при этом виде движения равна разности собственной скорости тела и скорости течения

vсобств– vтечения.

Полезно знать, что сумма скоростей по течению и против течения реки равна удвоенной собственной скорости

vпо теч + vпротив теч = 2vсобств,

а разность этих скоростей равна удвоенной скорости течения реки

vпо теч – vпротив теч = 2vтечения.

Часто упрощает решение задач на движение понимание взаимной обратной зависимости скорости и времени движения: чем больше время, тем меньше скорость движения, и, наоборот, чем больше скорость движения, тем меньше времени тратится на прохождение пути.

В качестве неизвестных в таких текстовых задачах удобно выбирать расстояние и скорости движущихся тел, если они не заданы. В задачах, где в условии не представлены единицы длины, принято весь путь брать за единицу длины, а часть этого пути выражают долей всего пути без наименования.

В текстовых задачах на движение, связанных с течением реки, при проведении смысловой проверки полезно знать, что моторная лодка имеет собственную скорость12 – 40 км/ч, скорость течения реки изменяется в пределах 1 – 4км/ч, а скорость лодки на вёслах составляет примерно 3 – 8км/ч.

Рассмотрим приёмы решения текстовых задач на движение по течению и против течения на примерах решения следующих задач.

§ 2  Примеры решения задач на движение по течению и против течения

Задача 1.От пристани А до пристани В моторная лодка по течению реки проходит за 6 часов, а возвращается за 10 часов. За сколько часов пройдёт расстояние от А до В плот?

РЕШЕНИЕ.Решим задачу арифметическим способом.

Мы знаем, что расстояние определяется по формуле S = vt, где v– скорость лодки, t– время движения лодки, выраженное в часах. В задаче не используются единицы длины, значит, расстояние от А до В обозначим за единицу 1.

По условию задачи моторная лодка по течению реки проходит за 6 часов, значит, скорость по течению реки равна 1 : 6.

Моторная лодка возвращается за 10 часов, значит, расстояние АВ против течения реки лодка проходит за 10 часов, следовательно, её скорость при таком движении равна одной десятой. Для того, чтобы найти время движения плота на дистанции АВ, надо найти скорость плота, которая совпадает со скоростью течения реки. Известно, что удвоенная скорость течения реки равна разности скоростей по течению и против течения, то есть 

2vтечения = vпо теч – vпротив теч.

Вычислив разность скоростей по течению и против течения реки, имеем

Таким образом, решив уравнение

получаем, что скорость течения реки

Получили, что за 1 час плот проплывёт одну тридцатую всего пути от пункта А до пункта В.

Чтобы найти время движения плота, надо путь 1 единицу разделить на скорость его движения.

Получили, что плот пройдёт расстояние от А до В за 30часов.

Ответ: 30 часов.

А теперь рассмотрим алгебраический способ решения данной задачи. введём переменные пусть х км/ч – собственная скорость моторной лодки, у км/ч – скорость течения реки.

Cоставим таблицу данных с введёнными переменными.

Обозначим в столбцах таблицы элементы движения:

v– скорость, выраженная в км/ч,

t– время, выраженное в часах,

S– расстояние, выраженное в км.

В строках – виды движения: собственное движение, течение, движение по течению, движение против течения. Заметим, что движение течения и движение плота – это идентичные виды движения. Заполним таблицу согласно условий задачи.

В собственном виде движения мы ввели скорость движения лодки х км/ч, внесём её в соответствующую ячейку таблицы, в ячейках t и S поставим прочерк, так как эти данные не используются в данной задаче. В движении плота мы ввели скорость течения реки у км/ч, внесём в таблицу, а ячейки t и S заполним позже.

В движении по течению реки выразим скорость v суммой скоростей лодки и течения, то есть х + у км/ч, время t по условию задачи равно 6ч, значит, можем выразить расстояние от пункта А до пункта В. Оно равно 6(х + у)км.

В движении против течения реки выразим скорость vразностью скоростей лодки и течения, то есть х – у км/ч, время t по условию задачи равно 10ч, значит, можем выразить расстояние от пункта А до пункта В. Оно равно 10(х – у)км.

В движениях по течению и против течения реки расстояния равны между собой, значит, можем составить уравнение 6(х + у) = 10(х – у).

Дополним строку движения плота: расстояние S будет равно расстоянию движения по течению или против течения, значит, можем вписать выражение 6(х + у) км или 10(х – у) км.

Теперь можем выразить время движения плота

Или

Из уравнения 6(х + у) = 10(х – у) выразим одну переменную через другую, например, переменную х через у.

Имеем, 6х + 6у = 10х – 10у.

Отсюда получаем 4х = 16у, следовательно, х = 4у.

Подставим 4у вместо х в одно из выражений времени движения плота, имеем

Мы ответили на главный вопрос задачи: за 30 часов плот пройдёт расстояние от А до В.

Решим эту же задачу графическим способом.

Зададим координатную плоскость: по горизонтальной оси абсцисс будем отмечать время движения, по вертикальной оси ординат отметим расстояние АВ. По течению реки лодка прошла 6 часов, значит, изобразим движение лодки синим отрезком АС с концами в точках А(0; 0) и С(6; АВ).

Против течения реки лодка прошла 10 часов, значит, изобразим движение лодки зелёным отрезком АD с концами в точках A(0; 0) и D(10; АВ). Рассмотрим на синей и зелёной линиях точки с абсциссой 1 и отметим их точками K и L соответственно. Точку на оси абсцисс с абсциссой 1 обозначим буквой Р. Таким образом, отрезок РК моделирует скорость движения лодки по течению, PL моделирует скорость движения лодки против течения.

Так как собственная скорость лодки есть среднее арифметическое между скоростями по течению и против течения реки, то линия собственного движения будет расположена между синей и зелёной линиями и будет являться медианой треугольника, образованного этими линиями и прямой х = 1. Обозначим середину отрезка КL точкой Т. Отрезок РТ моделирует собственную скорость движения лодки, Чтобы ответить на главный вопрос задачи, надо расстояние АВ поделить на скорость течения реки. Эта скорость моделируется на графикеравными отрезками КТ и ТL. Отрезки будут равны, так как они отражают разность скоростей по течению и собственной или разность скоростей собственной и против течения.

Отметим красным цветом отрезок АЕ с концами в точке А(0;0) и точке Е – точкой пересечения луча АЕ с прямой у = АВ, лежащий на отрезке АТ. Таким образом, время движения плота равно отношению длины отрезка АВ к длине отрезка КТ или АВ к длине отрезка TL, то есть

Чтобы найти длину отрезка KТ, надо найти полуразность скоростей по течению и против течения реки, а значит, полуразность длин отрезков РК и РL, то есть (РК – PL) : 2.

Так как АВ = 6РК = 10PL, то PL = 0,6PK. Имеем,

Получили, что плот пройдёт расстояние АВ за 30 часов.

Таким образом, на этом занятии мы решили одну и ту же задачу тремя различными способами и увидели, что ответ на главный вопрос задачи не зависит от способа её решения. Во всех трёх случаях мы получили один и тот же ответ.