Задачи как найти углы ромба

Учебник

Геометрия, 11 класс

Ромб: Свойства, Формулы. Задачи

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • «Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей.      O — центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ — ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов — делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
  • Меньшая диагональ   $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$     ,      большая —   $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
  • Сумма   {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна    $AC^2+BD^2=4cdot a^2$     четырежды квадрат стороны.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Формулы Площади ромба:

  • Площадь   ромба   равна    произведению   основания на высоту      $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
  • Площадь   ромба   равна   через синус угла:        $S=a^2cdotsin A$     ,          квадрат стороны на синус .
  • Площадь   ромба   через диагонали:    $S=frac{ACcdot BD}{2}$ .      — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

  • В четырехугольник   можно   вписать   окружность только если … суммы противоположных сторон   равны.
  • Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
  • Если   вписывается, то площадь     $S=pcdot r$,     $p=2cdot a$       $S=2cdot a cdot r$.
  • Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      «Односторонние углы»:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

Задача 2:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

  • Решение:          Проведем высоту   из той же вершины, из которой   проведена   меньшая диагональ.       
  • Получили прямоугольный треугольник $BED$ .    Он   подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:     
  • $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$    . Все прямоугольные и есть равные углы.
  • например   $alpha$.     Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
  • Для угла   $alpha$   в   $bigtriangleup EBD$   мы знаем гипотенузу и противолежащий катет   $Rightarrow$     $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
  • Перейдем к   $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет    $OD=frac{1}{2}BD=6,5$.    Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
  • а чтобы найти   гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
  • $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ .   Тогда косинус:   $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
  • Угол   $alpha$   острый,   так как он входит в прямоугольный треугольник,   т. е. принадлежит первой четверти.
  • Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении:   $cosalpha = frac{5}{13}$
  • Тогда:   $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$             $Rightarrow$        $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
  • Площадь ромба равна произведению основания на высоту:    Ответ:    $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 3:          В Ромбе   $ABCD$    точка $K$ делит сторону   $CD$ в соотношении   $2:7$, а    $M$ делит   $1:3$ сторону   $BC$.       $MN$   параллельна   $AB$,   $O$ — пересечение $MN$ и   $BK$.    Найти площадь трапеции   $ABON$, если площадь   $ABCD=420$.

Решение:    пробa    Анализ рисунка:    

  • $AB$, $MN$,   $CD$ — параллельные.   Какие углы равные?
  • Треугольники   $BMO$ и    $BKC$ подобные.   Коэффициент подобия   $1:3$.
  • Отношение площадей    $BMO$   и   $BKC$ равен    $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
  • (по формулам) Площади   $BKC$   и    $BCD$ относятся как    $CK$ и   $CD$, т.е.   $5:7$.
  • Площадь   $BCD$   равен половине площади   $ABCD$,   т.е. $S_{BCD}=210$.
  • $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$        $Rightarrow$       $S_{ABMN}=140$ .   
  • Из складываемости площадей:     площадь $ABON$ =   разности   площадей   $ABMN$   и    $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • «Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей.      O — центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ — ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов — делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторанами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
  • Меньшая диагональ   $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$     ,      большая —   $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
  • Сумма   {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна    $AC^2+BD^2=4cdot a^2$     четырежды квадрат стороны.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Формулы Площади ромба:

  • Площадь   ромба   равна    произведению   основания на высоту      $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
  • Площадь   ромба   равна   через синус угла:        $S=a^2cdotsin A$     ,          квадрат стороны на синус .
  • Площадь   ромба   через диагонали:    $S=frac{ACcdot BD}{2}$ .      — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

  • В четырехугольник   можно   вписать   окружность только если … суммы противоположных сторон   равны.
  • Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
  • Если   вписывается, то площадь     $S=pcdot r$,     $p=2cdot a$       $S=2cdot a cdot r$.
  • Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $bigtriangleup BCD$ у вершине   $angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      «Односторонние углы»:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

Задача 3:         Найти площадь ромба   $ABCD$,   если его высота   $EB=12$   , а меньшая диагональ $BD=13$.

  • Решение:          Проведем высоту   из той же вершины, из которой   проведена   меньшая диагональ.       
  • Получили прямоугольный треугольник $BED$ .    Он   подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:     
  • $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$    . Все прямоугольные и есть равные углы.
  • например   $alpha$.     Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
  • Для угла   $alpha$   в   $bigtriangleup EBD$   мы знаем гипотенузу и противолежащий катет   $Rightarrow$     $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
  • Перейдем к   $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет    $OD=frac{1}{2}BD=6,5$.    Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
  • а чтобы найти   гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
  • $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ .   Тогда косинус:   $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
  • Угол   $alpha$   острый,   так как он входит в прямоугольный треугольник,   т. е. принадлежит первой четверти.
  • Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении:   $cosalpha = frac{5}{13}$
  • Тогда:   $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$             $Rightarrow$        $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
  • Площадь ромба равна произведению основания на высоту:    Ответ:    $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 4:          В Ромбе   $ABCD$    точка $K$ делит сторону   $CD$ в соотношении   $2:7$, а    $M$ делит   $1:3$ сторону   $BC$.       $MN$   параллельна   $AB$,   $O$ — пересечение $MN$ и   $BK$.    Найти площадь трапеции   $ABON$, если площадь   $ABCD=420$.

Решение:    пробa    Анализ рисунка:    

  • $AB$, $MN$,   $CD$ — параллельные.   Какие углы равные?
  • Треугольники   $BMO$ и    $BKC$ подобные.   Коэффициент подобия   $1:3$.
  • Отношение площадей    $BMO$   и   $BKC$ равен    $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
  • (по формулам) Площади   $BKC$   и    $BCD$ относятся как    $CK$ и   $CD$, т.е.   $5:7$.
  • Площадь   $BCD$   равен половине площади   $ABCD$,   т.е. $S_{BCD}=210$.
  • $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$        $Rightarrow$       $S_{ABMN}=140$ .   
  • Из складываемости площадей:     площадь $ABON$ =   разности   площадей   $ABMN$   и    $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

  • «Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное — узнать его в движении, при изменениях»
  • Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
  • Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

  • Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей.      O — центр симметрии.
  • Ромб симметричен относительно любой из диагоналей.       Диагональ — ось симметрии.
  • У ромба, по определению, Стороны   равны     $AB=BC=CD=DA=a$.
  • Противолежащие углы    равны   $angle A=angle C$ ,   $angle B=angle D$ . Прилежащие       $angle A+angle B=180^o$   ,    $angle A+angle D=180^o$.
  • Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам      $AO=OC=frac{AC}{2}$     и     $BO=OD=frac{BD}{2}$.
  • Диагонали ромба взаимно перпендикулярны    и   образуют   прямоугольные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные   $bigtriangleup$ треугольники.
  • Диагонали ромба являются    биссектрисами углов — делят углы пополам.
  • Диагонали ромба со сторонами образуют равные    накрест лежащие углы.
  • Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

      

Квадрат — одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата    равны между собой и делятся пополам.

Задача 1:        Найти периметр ромба   $ABCD$, в котором    $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна    $10,5$ см.

  • Решение:          Рассмотрим   $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков   данный   треугольник?             
  • По условию,   угол $bigtriangleup BCD$ у вершины   $angle B=60^o$   , тогда как два других угла?
  • Каков все-таки этот   треугольник?   Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ:     $p=42$ см.

Задача 2:        Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

  • Решение:      «Односторонние углы»:     В параллелограмме   сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна   $180^o$    .       
  • Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
  • Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла?     Ответ:     $22^o30’$   ,   $67^o30’$

           

  • Полезные напоминания: «В равностороннем треугольнике все углы равны    60    градусов.
  • Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник — стороны равны, углы тоже.
  • В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.

Задача 12:    В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.

Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Задача 14: ???? В любом ромбе равны…      Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?)    Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?)   Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)

Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.

Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?

Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Источник

Найти углы ромба, зная только его сторону, нельзя: существуют ромбы, имеющие разные углы, но одинаковые стороны. На пальцах: сделайте ромб из проволоки, «сплющите» его — он останется ромбом, стороны будут те же, углы изменятся.

Значит, чтобы найти углы ромба нужно знать что-то ещё (или что-то другое). Например, зная сторону и диагональ, найти угол можно по теореме косинусов: если x — сторона, d — диагональ, a — угол напротив диагонали, то условие теоремы косинуов — d^2 = x^2 + x^2 — 2 * x^2 * cos(a), из него следует a = arccos((2x^2 — d^2)/2x^2). (Я говорю «найти угол», а не «найти углы», потому что если мы знаем один угол, остальные находятся тривиально: если один угол равен а градусов, то угол напротив него тоже а, остальные два — по 180-а).

Есть и другие варианты: через сторону и площадь (пользуясь тем, что площадь — это квадрат стороны умножить на синус угла), через две диагонали (мы знаем, что диагонали в ромбе пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам — отсюда следует, что тангенс половины угла ромба равен отношению диагоналей, просто по определнию тангенса; зная сторону и диагональ, кстати, тоже можно искать угол примерно таким способом, вместо теоремы косинусов) и так далее.

Источник

3. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть I


1. Вспоминай формулы по каждой теме


2. Решай новые задачи каждый день


3. Вдумчиво разбирай решения

Ромб и его свойства

Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна (360^circ).

Свойства ромба:

(blacktriangleright) Те же, что и у параллелограмма:

(sim) Противоположные стороны попарно равны;

(sim) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;

(sim) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна (180^circ);

(blacktriangleright) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.

Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:

(blacktriangleright) все стороны равны;

(blacktriangleright) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;

(blacktriangleright) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.

Площадь ромба

1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.

2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.


Задание
1

#2716

Уровень задания: Легче ЕГЭ

В ромбе (ABCD): (angle ACD = 26^{circ}). Найдите (angle ABD). Ответ дайте в градусах.

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда (angle CDB = 90^{circ} — angle ACD = 64^{circ}).

(BC = CD), тогда (angle CBD = angle CDB = 64^{circ}).

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то (angle ABD = angle CBD = 64^{circ}).

Ответ: 64


Задание
2

#2717

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите большую диагональ ромба (ABCD), если (AB = 2sqrt{3}), а острый угол равен половине тупого.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^{circ}), то сумма острого и тупого углов ромба равна (180^{circ}).

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}).

Треугольник (ABD) – равнобедренный, один из углов которого равен (60^{circ}), тогда треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 2sqrt{3}).

Пусть (O) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда (OD = 0,5 BD = sqrt{3}), следовательно, по теореме Пифагора находим: (AO^2 + OD^2 = AD^2), тогда (AO^2 + 3 = 12), откуда находим (AO = 3). В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, (AC = 6).

Ответ: 6


Задание
3

#2715

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Острый угол ромба (ABCD) равен (60^{circ}), одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.

Пусть (angle A = 60^{circ}). В ромбе все стороны равны, тогда треугольник (ABD) – равнобедренный, у которого один из углов равен (60^{circ}), следовательно, треугольник (ABD) – равносторонний и (BD = 10).

Треугольник (ABC) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда (AC > AB = BD), значит, (BD) – меньшая из диагоналей.

Ответ: 10


Задание
4

#1794

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно (3), а острый угол ромба равен (60^circ). Найдите большую диагональ ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), (angle DAB = 60^circ), тогда (angle
OAB = 30^circ). Получаем, что (OH) – катет лежащий напротив угла в (30^circ), значит (AO = 2cdot OH = 6). Т.к. (AC) и есть большая диагональ, то (AC = 2cdot AO = 12).

Ответ: 12


Задание
5

#1757

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Сторона ромба равна (4). Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно (1). Найдите площадь ромба.

Пусть в ромбе (ABCD): (O) – точка пересечения диагоналей, (OH) – расстояние до стороны (AB), тогда (S_{triangle ABO} = frac{1}{2}cdot 1 cdot 4 = 2). Диагонали ромба делят его на (4) равных прямоугольных треугольника (Rightarrow) (S_{ABCD} = 4cdot 2 = 8) .

Ответ: 8


Задание
6

#2718

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Периметр ромба равен (40), а диагонали относятся, как (3:4). Найдите площадь ромба.

Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении (3:4). Зная периметр, найдем сторону ромба: (40
: 4 = 10). Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник (AOB).

Пусть (AO=4x), (BO=3x).
Тогда по теореме Пифагора: ((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2) (Rightarrow) (25x^2 = 100) (Rightarrow) (x^2 = 4) (Rightarrow) (x = 2). Диагонали равны (BD=2BO=12) и (AC=2AO=16) (Rightarrow) (S_{ABCD} =
frac{1}{2}cdot12cdot16 = 96).

Ответ: 96


Задание
7

#2719

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Во сколько раз отличаются площади ромбов, имеющие по равному углу, у которых стороны относятся как (3:1)?

Пусть (angle B) и (angle B_1) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как (3:1), то можно обозначить их за (3x) и (x) соответственно.

Тогда и (angle D=angle D_1) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, (triangle ABCsim triangle A_1B_1C_1) и (triangle ADCsimtriangle A_1D_1C_1) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен (3). Следовательно, их площади относятся как (9:1). А так как (S_{ABC}+S_{ADC}=S_{ABCD}) и (S_{A_1B_1C_1}+S_{A_1D_1C_1}=S_{A_1B_1C_1D_1}), то (S_1:S_2=9:1).

Ответ: 9

Геометрические задачи на тему «Свойства ромба» в обязательном порядке включаются в ЕГЭ по математике. Причем, в зависимости от условия задания, учащийся может давать как краткий, так и развернутый ответ. Именно поэтому на этапе подготовки к сдаче ЕГЭ школьникам непременно стоит понять принцип решения задач на применение свойств и признаков ромба.

Еще раз повторить данную тему и восполнить пробелы в знаниях вам поможет образовательный проект «Школково». С помощью нашего сайта можно легко и эффективно подготовиться к ЕГЭ по математике.

Чтобы успешно справляться с геометрическими заданиями, учащимся старших классов стоит повторить базовые понятия и определения: свойства углов ромба и других четырехугольников, признаки этой фигуры, а также формулу для нахождения ее площади. Данный материал представлен в разделе «Теоретическая справка» на сайте «Школково». Информация, которую подготовили наши специалисты, изложена в максимально доступной форме.

Повторив основные свойства диагоналей ромба, а также его углов и биссектрис, учащиеся могут попрактиковаться в выполнении упражнений. Большая подборка заданий по данной теме, а также по решению нестандартных задач по математике представлена в разделе «Каталог». Найти правильный ответ выпускники смогут, предварительно освежив в памяти свойства биссектрис ромба, в также углов и диагоналей этой фигуры. Подробный алгоритм решения каждой задачи прописан нашими специалистами.

Выполнять простые и более сложные задания по теме «Ромб и его свойства», а также на нахождение площади квадрата на этапе подготовки к ЕГЭ по математике школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». Это позволит в дальнейшем быстро найти это задание и, к примеру, обсудить алгоритм его решения со школьным преподавателем.

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Источник

Содержание:

  • Определение ромба
  • Свойства ромба
  • Признаки ромба
  • Примеры решения задач

Определение ромба

На рисунке 1 $ABCD$ — ромб, $A B=B C=C D=A D$. Так как ромб — это
параллелограмм,
то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.

В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей.
Радиус окружности равен половине высоты ромба $r=frac{A H}{2}$ (рис.1)

Свойства ромба

  1. Диагонали ромба перпендикулярны;
  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба

  1. Параллелограмм, диагонали которого пересекаются под прямым углом, есть ромб;
  2. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, есть ромб.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Диагонали ромба
$ABCD$ равны 6 и 8 см. Найти сторону ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 1). Пусть для определенности, $A C=6$ см, $B D=8$ см.
По свойству ромба его диагонали
пересекаются под прямым углом. В точке пересечения диагонали делятся пополам (свойство параллелограмма, а ромб является
частным случаем параллелограмма).

Рассмотрим треугольник $A O B$. Он
прямоугольный ( $angle O=90^{circ}$),
$A O=frac{A C}{2}=frac{6}{2}=3$ см, $B O=frac{B D}{2}=frac{8}{2}=4$ см.
Запишем для этого треугольника
теорему Пифагора:

$$A B^{2}=A O^{2}+B O^{2}$$

подставим найденные значения $AO$ и $BO$,

$A B^{2}=3^{2}+4^{2}$

$A B^{2}=9+16$

$A B^{2}=25$

$A B=sqrt{25}$

$A B=5$ (см)

Ответ. Сторона ромба равна 5 см.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. В ромбе со стороной 4 дм, один из углов равен $60^{circ}$. Найти диагонали ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 2).

Пусть для определенности $angle B=60^{circ}$. Тогда, по свойству ромба, диагональ $BD$ является биссектрисой угла $B$,
$angle A B O=angle O B C=frac{angle B}{2}=30^{circ}$. Рассмотрим
$Delta O B C$, он прямоугольный (
$angle B O C=90^{circ}$), потому что диагонали ромба пересекаются под
прямым углом. Так как
$angle O B C=30^{circ}, O C=frac{B C}{2}=2$ дм — катет лежащий против угла в
$30^{circ}$. По теореме Пифагора найдем
$B O$:

$$B O=sqrt{B C^{2}-O C^{2}}$$

$$B O=sqrt{4^{2}-2^{2}}$$

$$B O=sqrt{12}$$

$$B O=2 sqrt{3}$$

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, поэтому

$B D=2 cdot B O=2 cdot 2 sqrt{3}=4 sqrt{3}$ (дм)

$A C=2 cdot O C=2 cdot 2=4$ (дм)

Ответ. $B D=4 sqrt{3}$ дм, $A C=4$ дм

Пример

Задание. В ромбе угол образованный одной из диагоналей и стороной ромба равен $27^{circ}$. Найти углы ромба.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 3)

Для определенности
$angle K L O=27^{circ}$. Диагонали в ромбе являются биссектрисами его углов, поэтому
$angle L=2 cdot angle K L O=2 cdot 27^{circ}=54^{circ}$. Так как ромб является параллелограммом, на него
распространяются следующие свойства: сумма прилегающих к одной стороне углов равна
$180^{circ}$ и противолежащие углы равны. Поэтому,

$angle M=angle K=180^{circ}-angle L=180^{circ}-54^{circ}=126^{circ}$

$angle N=angle L=54^{circ}$

Ответ. $angle N=angle L=54^{circ}$

$angle M=angle K=126^{circ}$

Читать дальше: что такое круг.

Источник

Всего: 46    1–20 | 21–40 | 41–46

Добавить в вариант

На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Источник: ГИА-2012. Ма­те­ма­ти­ка. Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та № 2(1 вар)

Сторона ромба равна 24, а острый угол равен 60° . Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?

Перечислите эти длины в ответе без пробелов в порядке неубывания.

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

Периметр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 14, а одна из диагоналей ромба равна 56. Найдите углы ромба.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.

Точка O  — центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR  — ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.

Точка O  — центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV  — ромб. Найдите угол STV. Ответ дайте в градусах.

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 15 и CH = 2. Найдите высоту ромба.

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 6. Найдите высоту ромба.

Точка O  — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC  — ромб. Найдите угол OCB. Ответ дайте в градусах.

Точка O  — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C таким образом, что OABC  — ромб. Найдите угол OAB. Ответ дайте в градусах.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 56.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 15, а одна из диагоналей ромба равна 60. Найдите углы ромба.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 12, а одна из диагоналей ромба равна 48. Найдите углы ромба.

Один из углов ромба равен 43°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах.

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

В ромбе ABCD угол ABC равен 72°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

Сторона ромба равна 4, а один из углов этого ромба равен 150°. Найдите высоту этого ромба.

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

Периметр ромба равен 24, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

Всего: 46    1–20 | 21–40 | 41–46

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как найти терминальный угол
  • Несимметричные губы как исправить
  • Как найти общую поверхность частиц
  • Как найти человека по военкомату
  • Как найти полную поверхность 6 угольной призмы

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии