Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.
Онлайн-калькулятор объема параллелепипеда
Как и у куба, у этого многогранного тела есть двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин. Вид параллелепипеда зависит от геометрической фигуры, лежащей в основании, и от угла, образованного им при пересечении с гранями.
Если его гранями являются прямоугольники, то он называется прямоугольным.
Если такие прямоугольники имеют отношение только к боковым граням, то он называется прямым.
Иногда бывают случаи, когда эти грани образуют не прямой угол с основанием. Тогда в данном случае параллелепипед является наклонным.
Если он состоит исключительно из равных ромбов, то он называется ромбоэдром.
Если все грани параллелепипеда являются одинаковыми квадратами, то получаем куб. Таким образом, куб — это частный случай параллелепипеда.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:
V=a⋅b⋅cV=acdot bcdot c
a,b,ca, b, c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.
Рассмотрим несколько примеров.
Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его длина, равная 5 см.5text{ см.}, ширина, имеющая длину 10 см.10text{ см.} и высота длиной в 7 см.7text{ см.}
Решение
a=5a=5
b=10b=10
c=7c=7
Сразу подставляем в формулу численные значения:
V=a⋅b⋅c=5⋅10⋅7=350 см3V=acdot bcdot c=5cdot 10cdot 7=350text{ см}^3
Ответ
350 см3.350text{ см}^3.
Формула объема наклонного параллелепипеда
V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h
SоснS_{text{осн}} — площадь основания наклонного параллелепипеда;
hh — его высота.
Вычислить объем наклонного параллелепипеда, если в его основании лежит прямоугольник со сторонами в 4 см.4text{ см.} и 5 см.5text{ см.}, а высота его равна 10 см.10text{ см.}
Решение
a=4a=4
b=5b=5
h=10h=10
Находим площадь основания, то есть площадь прямоугольника:
Sосн=a⋅b=4⋅5=20S_{text{осн}}=acdot b=4cdot 5=20
Сам объем равен:
V=Sосн⋅h=20⋅10=200 см3V=S_{text{осн}}cdot h=20cdot 10=200text{ см}^3
Ответ
200 см3.200text{ см}^3.
Формула объема параллелепипеда через определитель
Альтернативным способом нахождения объема параллелепипеда является вычисление смешанного произведения векторов, на которых построен данный параллелепипед.
Пусть параллелепипед построен на векторах a⃗vec{a}, b⃗vec{b} и c⃗vec{c} с координатами:
a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),
тогда объем соответствующего параллелепипеда это определитель, составленный из этих координат:
V=∣axayazbxbybzcxcycz∣V=begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}
Найти объем параллелепипеда через смешанное произведение векторов, координаты которых таковы: a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5), b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4), c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7).
Решение
a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5)
b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4)
c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7)
По формуле:
V=∣235144357∣=2⋅4⋅7+3⋅4⋅3+5⋅1⋅5−5⋅4⋅3−2⋅4⋅5−3⋅1⋅7=56+36+25−60−40−21=−4V=begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \
1 & 4 & 4 \
3 & 5 & 7 \
end{vmatrix}=2cdot4cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 — 5cdot4cdot3 — 2cdot4cdot5 — 3cdot1cdot7 = 56 + 36 + 25 — 60 — 40 — 21 = -4
Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:
V=4 см3V=4text{ см}^3
Ответ
4 см3.4text{ см}^3.
У вас не получается решить задачу по геометрии? Наши эксперты помогут вам!
Тест по теме «Объем параллелепипеда»
{V= a cdot b cdot c}
Найти объем параллелепипеда довольно просто. Для этого необходимо знать длины трех его сторон или же две стороны (площадь основания) и высоту. Чтобы облегчить расчет объема параллелепипеда мы создали калькулятор для разных исходных данных. Просто введите известные значения и в режиме онлайн получите результат.
Параллелепипед — многогранник, состоящий из шести граней, причем все они являются параллелограммами.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
Содержание:
- калькулятор объема параллелепипеда
- формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны
- формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту
- формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту
- формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту
- примеры задач
Формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны
{V= a cdot b cdot c}
a — длина параллелепипеда
b — ширина параллелепипеда
c — высота параллелепипеда
Так как в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, то в данной формуле ab — это площадь прямоугольника, который лежит в основании параллелепипеда. И тогда формулу можно сократить до {V= S h}
Формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту
{V= S_{осн} cdot h}
Sосн — площадь основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту
{V= a cdot b cdot h}
a — длина основания параллелепипеда
b — ширина основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту
{V= S_{осн} cdot h}
Sосн — площадь основания параллелепипеда
h — высота параллелепипеда
Примеры задач на нахождение объема параллелепипеда
Задача 1
Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3см, 4см и 5см.
Решение
Для решения данной задачи нам подходит формула один. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты прямоугольного параллелепипеда, произведем расчет и получим ответ.
V= a cdot b cdot c = 3 cdot 4 cdot 5 = 60 : см^3
Ответ: 60 см³
Проверим правильность ответа с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите объём наклонного параллелепипеда с площадью основания 12м² и высотой 3м.
Решение
Используем для решения четвертую формулу. Подставим в нее площадь основания и высоту.
V= S_{осн} cdot h = 12 cdot 3 = 36 : м^3
Ответ: 36 м³
Полученный ответ поможет проверить калькулятор .
Школа — это необъятная чаша знаний, которая включает в себя множество дисциплин, которые могут заинтересовать любого ребенка. Математика — царица точных наук. Строгая и дисциплинированная, она не терпит неточностей. Даже повзрослев, в обычной жизни мы можем столкнуться с разными математическими проблемами: вычисление квадратных метров для укладки плитки в ванной, кубических метров для определения объема бака и т. д., чего уж говорить о школьниках, которые только-только начинают свой математический путь.
Очень часто, начав изучать математику, точнее, геометрию, ученики путают плоские фигуры с объемными. Куб называют квадратом, шар — кругом, параллелепипед обычным прямоугольником. И здесь есть свои тонкости.
Сложно помочь ребенку в выполнении домашнего задания, не зная точно, объем или площадь какой фигуры — плоской или же объемной, нужно найти. Невозможно найти объем плоских фигур, таких как квадрат, круг, прямоугольник. В их случае можно найти лишь площадь. Прежде чем переходить к выполнению задачи, следует подготовить нужные атрибуты:
- Линейка, для того чтобы измерить необходимые нам данные.
- Калькулятор, для того чтобы в дальнейшем подсчитать расчеты.
Содержание:
- Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда
- Пример первый
- Пример второй
- Пример третий
Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда
Итак, вы знаете, что нужно рассчитать объем, но не забывайте, что обязательно нужно уточнить о какой именно фигуре идет речь: объем куба, или же объемного прямоугольника. Ведь расчет этих, казалось бы, одинаковых фигур, абсолютно разный.
Для начала рассмотрим само понятие объемного прямоугольника. Это параллелепипед. В его основании находится параллелограмм. Так как таковых у него шесть, следовательно все параллелограммы являются гранями параллелепипеда.
Что касается его граней, они могут отличаться, то есть, если прямые боковые грани представляют собой прямоугольники, тогда это прямой параллелепипед, ну, а если все шесть граней являются прямоугольниками, то перед нами прямоугольный параллелепипед.
- После прочтения задачи, нужно определить что именно следует найти; длину фигуры, объем или же площадь.
- Какая именно часть фигуры рассматривается в задаче — ребро, вершина, грань, сторона, а может быть, вся фигура целиком?
Определив все поставленные задачи, можно переходить непосредственно к вычислениям. Для этого нам понадобятся специальные формулы. Итак, для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда перемножается между собой длина, ширина и высота (то есть толщина фигуры). Формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда следующая:
V=a*b*h,
V является объемом параллелепипеда, где a — его длина b — ширина и h — высота соответственно.
Важно! Перед началом перевести все измерения в одну единицу исчисления. Ответ должен получится непременно в кубических единицах.
Пример первый
Определим объем бака для спирта, при следующих размерах:
- длина три метра;
- ширина два метра пятьдесят сантиметров;
- высота триста сантиметров.
Для начала обязательно согласовываем единицы измерения и перемножаем их:
3*2.5*3.
Перемножив данные, мы получим ответ в кубических метрах, то есть 3*2.5*3= 22.5 метра в кубе.
Пример второй
Шкаф имеет высоту четыре метра, ширину семьдесят сантиметров и глубину 80 сантиметров.
Зная формулу вычисления можно произвести умножение. Но не стоит торопиться, как и было сказано вначале, следует согласовать между собой единицы, то есть при желании вычислять в сантиметрах перевести все исчисления в сантиметры, ежели в метрах, то в метры. Сделаем оба варианта.
Итак, начнем с сантиметров. Переводим метры в сантиметры:
V = 400 * 70 * 80;
V = 2240000 сантиметров в кубе.
Теперь метры:
V = 4* 0.7 * 0.8;
V = 2.24 метра в кубе.
Исходя из вышеперечисленных манипуляции, очевидно, что работа с кубическими метрами более легка и понятна.
Пример третий
Дана комната, объем которой должен быть вычислен. Длина этой комнаты равна пяти метрам, ширина — трем, а высота потолка 2,5. Опять используем известную нам формулу:
V = a * b * h;
где, а длина комната и равна 5, b- ширина и равна 3 и h высота, которая равна 2.5
Так как все единицы даны в метрах, можно сразу приступать к вычислениям. Перемножая между собой a, b и h:
V = 5 * 3 * 2.5;
V = 37.5 метра в кубе.
Итак, в качестве заключения, можно сказать, что зная основные математические правила для вычисления объема или же площади фигур, а также правильно определив фигуры (плоские или же объемные), умея переводить сантиметры в метры и наоборот — можно облегчить изучение геометрии вашему ребенку, что не может не сделать этот процесс более интересным и привлекательным, ведь все накопленные знания в школе, могут быть успешно использованы в самой обычной бытовой жизни в будущем.
Сегодня Бим, Бом и ребята изучают объем геометрических фигур, геометрическую фигуру — прямоугольный параллелепипед, а также как найти объем прямоугольного параллелепипеда, и какие существуют единицы измерения объема.
Объем геометрических фигур
Определение. Объем — это сколько места занимает фигура в пространстве.
Сегодня в цирке выходной. Бом прогуливает своих питомцев в парке, Бим помогает Бому.
— Вот я перед прогулкой зашел в магазин “Товары для животных” и купил специальные конфеты для твоих обезьянок, — обрадовал друга Бим. — Посмотри в какой объемной упаковке конфеты! Здесь можно измерить и длину, и ширину, и высоту коробки. А ведь раньше мы измеряли только длину и ширину донышка коробки.
— А ну-ка дай посмотреть! — попросил Бом. — Какая интересная коробка! Смотри, ее можно раскрыть с разных сторон.
— Ну да, — ответил Бим. — Ты только осторожнее, старайся открыть так, чтобы конфеты можно было вынуть только сверху. А то вдруг они разлетятся по всему парку! Попробуй тогда найди их все, да еще ведь и непонятно, сколько их там!
— Да, раньше мы рассматривали только плоские фигуры, — задумался Бом. — А у этой коробки могут быть три разных донышка, смотря с какой стороны ее открывать. И что же тогда в ней донышком называть? И как считать, сколько конфет в нее может поместиться? Вот если у донышка есть длина и ширина, но коробочка еще и высокая, то получается, что у нее и высота есть?
— Смотри, вон гуляют Коля, Вася и Оля! Может они нам объяснят?
Ребята тоже увидали Бима и Бома, да еще и с обезьянками. Как тут не подойти! Все радостно поздоровались друг с другом.
— Ой, какие обезьянки! — закричали дети.
Оля достала из сумочки банан:
— Можно угостить обезьянок? — спросила девочка.
— Конечно можно, — ответил Бом.
— Ой, у тебя, Оля, сумочка похожа на вот эту коробочку, у нее есть донышко, но она высокая. Значит, у сумочки тоже есть длина, ширина и высота. — удивился Бим. — Как же такие фигуры называются?
— Такие фигуры называются объемными, — ответил Вася. — Мы видим предметы вокруг нас: деревья, людей, машины, сумки, животных и еще очень много других предметов и у всех у них есть длина, ширина и высота.
— Люди договорились между собой, что такие предметы называются объемными, — добавил Коля, — и ввели понятие объема, то есть, сколько места занимает фигура в пространстве. Также решили, как измерять объем, — и ввели единицы измерения объема.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед
Определение. Прямоугольный параллелепипед — это геометрическая фигура, имеющая внизу и вверху два одинаковых прямоугольника, у которых соответствующие вершины соединены отрезками, перпендикулярными к сторонам этих прямоугольников.
Объяснение продолжила Оля:
— Проще всего вычислить объем прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед — это геометрическая фигура, у которой внизу и вверху два одинаковых прямоугольника, соответствующие вершины прямоугольников соединяются отрезками. Эти отрезки перпендикулярны сторонам прямоугольников в верхнем и нижнем основаниях. Таких точек 8: 4 снизу и 4 сверху. В каждой такой точке получается 3 прямых угла и 3 отрезка.
Вот, посмотрите: на коробке тоже всего таких точек 8, из них 4 снизу на донышке и 4 сверху на крышечке. Эти 8 точек называют вершинами параллелепипеда. 12 линий (4 вверху, 4 внизу и 4 по бокам), которые соединяют вершины параллелепипеда называют ребрами, ребра образуют 6 прямоугольников (2 основания — донышко и крышечка, и 4 боковые стороны), которые называются гранями параллелепипеда.
Находим объем прямоугольного параллелепипеда
Правило. Для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда надо длину основания умножить на ширину основания и умножить на высоту параллелепипеда.
Дальше объяснял Вася:
— Для того чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, надо измерить длину двух прилегающих сторон прямоугольников (a, b) в основании и измерить длину ребра соединяющего нижнее и верхнее основания — это высота параллелепипеда (h). И потом перемножить длину этих сторон.
V = a × b × h (куб. ед. дл.).
— Давайте измерим объем вашей коробки и объем Олиной сумки, — предложил Коля.
Мальчик достал из портфеля угольник и начал прикладывать его по очереди к каждому углу коробки:
— Видно, что все углы прямые, — сделал вывод Коля. — Значит у нас прямоугольный параллелепипед. Длина и ширина сторон основания 5 см и 4 см:
a = 5 см, b = 4 см.
Высота параллелепипеда, то есть, длина отрезка, соединяющего верхнее и нижнее основания, — равна 6 см:
h = 6 см.
Значит, объем параллелепипеда равен
V = a × b × h, V = 5 × 4 × 6 = 120 (куб. см).
— Теперь измерим объем моей сумки-портфеля, — продолжила Оля. — Смотрим: все углы прямые, значит — можем воспользоваться формулой для объема прямоугольного параллелепипеда. Здесь у нас:
длина 30 см = 3 дм, ширина 20 см = 2 дм, высота 40 см = 4 дм.
Объем равен
V = 3 × 2 × 4 = 24 куб. дм.
Единицы измерения объема.
Единицами измерения объема являются:
1 куб. мм, 1 куб. см, 1 куб. дм, 1 куб. м, 1 куб. км,1 л.
— А в каких еще единицах измеряют объем? — поинтересовался Бим.
— Кроме кубических сантиметров и кубических дециметров, объем измеряют еще в кубических метрах, кубических миллиметрах, кубических километрах и в литрах, — ответил Вася. — Один литр равен объему куба (прямоугольный параллелепипед, у которого все стороны одинаковые) со стороной в 1 дм.
1 л = 1 куб. дм.
Кстати, Оля! Получается, что объем твоей сумки равен 24 л.
— При вычислении объема все три измерения — длина, ширина и высота, — должны быть записаны в одинаковых единицах измерения длины: или в миллиметрах, или в сантиметрах, или в дециметрах, или в метрах, или в километрах, — заметил Коля. Затем применяют формулу вычисления объема прямоугольного параллелепипеда:
V = a × b × h (куб. ед. дл.).
Если надо, то числа раздробляют, а уже после вычисления объем укрупняют. Есть специальные таблицы для перевода одних единиц измерения объема в другие единицы измерения объема.
Таблицы перевода единиц измерения объема
1 куб. см = 1000 куб. мм
1 куб. дм = 1000 куб. см
1 куб. дм = 1000 000 куб. мм
1 куб. дм = 1л
1 куб. м = 1000 000 000 куб. мм
1 куб. м = 1000 000 куб. см
1 куб. м = 1000 куб. дм
1 куб. м = 1000 л
1 куб. км = 1018 куб. мм
1 куб. км = 1015 куб. см
1 куб. км = 1012 куб. дм
1 куб. км = 109 куб. м
— Давайте теперь запишем для ребят вопросы, — подытожил Бом:
- Что такое объем?
- Что такое прямоугольный параллелепипед?
- Как найти объем прямоугольного параллелепипеда?
- Единицы измерения объема — это?
И ответы:
- Объем — это количество места, которое занимает фигура в пространстве.
- Прямоугольный параллелепипед — это геометрическая фигура, имеющая внизу и вверху два одинаковых прямоугольника, у которых соответствующие вершины соединены отрезками, перпендикулярными к сторонам этих прямоугольников.
- Для вычисления объема прямоугольного параллелепипеда надо длину основания умножить на ширину основания и умножить на высоту параллелепипеда.
- Единицы измерения объема — это:
1 куб. мм, 1 куб.см, 1 куб.дм, 1 куб. м , 1 куб.км,1 л.
Заключение
— Бим, пойдем отведем обезьянок в цирк, — поглядел на часы Бом. — Им пора обедать. Спасибо, ребята! Вы нам с Бимом помогли разобраться, что такое объем, что такое прямоугольный параллелепипед, найти объем прямоугольного параллелепипеда, узнать единицы измерения объема. До встречи в цирке!
Оригинальная идея подачи материала принадлежит Стуловой Лилии Валериевне (преподаватель математики от 5 лет и старше).
Не забудьте оценить наши старания! Комментарии приветствуются. Подписывайтесь на нас в Яндекс.Дзен и в других социальных сетях!!!)))
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем параллелепипеда и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формула вычисления объема параллелепипеда
- 1. Общая формула
- 2. Объем прямоугольного параллелепипеда
- Примеры задач
Формула вычисления объема параллелепипеда
1. Общая формула
Объем любого параллелепипеда равняется произведению площади его основания на высоту.
V = Sосн ⋅ h
- Sосн – площадь основания (ABCD или EFHG, равны между собой);
- h – высота.
Данная формула справедлива для всех видов геометрической фигуры:
- наклонной – боковые грани не перпендикулярны основаниям;
- прямой – все боковые грани (4 шт.) являются прямоугольниками;
- прямоугольной – все грани (боковые и основания) являются прямоугольниками;
- ромбоэдра – все грани являются равными ромбами;
- куба – все грани представляют собой равные квадраты.
2. Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем фигуры равен произведению его длины на ширину на высоту.
V = a ⋅ b ⋅ c
Формула следует из следующих утверждений:
- Основанием фигуры является прямоугольник, площадь которого считается как произведение его длины (a) на ширину (b).
- Высота фигуры – это длина боковой грани (c).
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем параллелепипеда, если известно, что площадь его основания равняется 20 см2, а высота – 7 см.
Решение:
Используем первую формулу, подставив в нее известные нам значения:
V = 20 см2 ⋅ 7 см = 140 см3.
Задание 2
Дан прямоугольный параллелепипед. Длина и ширина его основания равны 9 см и 5 см, соответственно, а высота составляет 6 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Воспользуемся формулой для данного типа фигуры:
V = 9 см ⋅ 5 см ⋅ 6 см = 270 см3.