Точка экстремума функции как найти егэ - AvtoShod.ru

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

было в ЕГЭ

в условии
в решении
в тексте к заданию
в атрибутах

Категория

Атрибут

Всего: 646 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Добавить в вариант

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Найдите точку минимума функции

Найдите точку максимума функции

Найдите точку минимума функции

Найдите точку максимума функции

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−2,5; 0].

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4,5; 0].

Найдите наименьшее значение функции на отрезке

Всего: 646 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

(-7): минимум.

(3): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

Найдите производную функции (f'(x)).
Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
— если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
— если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
— если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

(15x^4-60x^2=0) (|:15)
(x^4-4x^2=0)
(x^2 (x^2-4)=0)
(x=0) (x^2-4=0)
(x=±2)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Ответ. (-2).

Смотрите также:
Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник

12. Исследование функций с помощью производной

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Поиск точек экстремума у элементарных функций

(blacktriangleright) Простейшие элементарные функции (ПЭФ) и их производные: [begin{array}{|r|c|c|}
hline & text{Функция } f(x) & text{Производная } f'(x)\
hline
textbf{1} & c & 0\&&\
textbf{2} & x^a & acdot x^{a-1}\&&\
textbf{3} & ln x & dfrac1x\&&\
textbf{4} & log_ax & dfrac1{xcdot ln a}\&&\
textbf{5} & e^x & e^x\&&\
textbf{6} & a^x & a^xcdot ln a\&&\
textbf{7} & sin x & cos x\&&\
textbf{8} & cos x & -sin x\[1ex]
hline
end{array} quad quad quad quad
begin{array}{|r|c|c|}
hline & text{Функция } f(x) & text{Производная } f'(x)\
hline
textbf{9} & mathrm{tg}, x & dfrac1{cos^2 x}\&&\
textbf{10} & mathrm{ctg}, x & -,dfrac1{sin^2 x}\&&\
textbf{11} & arcsin x & dfrac1{sqrt{1-x^2}}\&&\
textbf{12} & arccos x & -,dfrac1{sqrt{1-x^2}}\&&\
textbf{13} & mathrm{arctg}, x & dfrac1{1+x^2}\&&\
textbf{14} & mathrm{arcctg}, x & -,dfrac1{1+x^2}\[0.5ex]
hline
end{array}]

(blacktriangleright) Элементарные функции (ЭФ) — любые линейные комбинации простейших элементарных функций (то есть их сумма, разность, умножение на число).

Пример: (f(x)=4cos x +dfrac{x^3}2)

(blacktriangleright) Основные формулы поиска производной ((f=f(x), g=g(x)) – функции):

1. Умножение функции на число: [(ccdot f)’=ccdot f’]

2. Сумма или разность двух функций: [(fpm g)’=f’pm
g’]

(blacktriangleright) Хитрости, упрощающие поиск производной:

I. Т.к. (sqrt[n]{x^m}=x^{frac mn}), то производную этой функции можно искать по формуле (2).

Частный случай: (sqrt x =x^{frac12}): [(sqrt x)’=dfrac1{2sqrt x}]

II. Т.к. (dfrac1{x^a}=x^{-a}), то производную этой функции можно также искать по формуле (2): [left(dfrac1{x^a}right)’=-dfrac a{x^{a+1}}]

(blacktriangleright) Для того, чтобы найти точки экстремума, необходимо схематично изобразить график функции.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания ((f’>0)) и убывания ((f'<0)) функции, критические точки (где (f’=0) или (f’) не существует).

Задание
1

#2390

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку максимума функции (y = -x^2).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = -2x]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [-2x = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 0,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика:

Таким образом, (x = 0) – точка максимума функции (y).

Ответ: 0

Задание
2

#2391

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции (y = x^2 + 2x + 2) на отрезке ([-2; 2]).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 2x + 2]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [2x + 2 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = -1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-2; 2]):

4) Эскиз графика на отрезке ([-2; 2]):

Таким образом, (x = -1) – точка минимума функции (y) на ([-2; 2]).

Ответ: -1

Задание
3

#2392

Уровень задания: Легче ЕГЭ

Найдите точку минимума функции (y = 3x^2 — 6x + pi) на отрезке ([-3; 3]).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 6x — 6]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [6x — 6 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = 1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Найдём промежутки знакопостоянства (y’) на рассматриваемом отрезке ([-3; 3]):

4) Эскиз графика на отрезке ([-3; 3]):

Таким образом, (x = 1) – точка минимума функции (y) на ([-3; 3]).

Ответ: 1

Задание
4

#2691

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции (y = x^3 — 3x).

ОДЗ: (x) – произвольный.

1) [y’ = 3x^2 — 3]

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует): [3x^2 — 3 = 0qquadLeftrightarrowqquad x = pm 1,.] Производная существует при любом (x).

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 1) – точка локального минимума функции (y).

Ответ: 1

Задание
5

#2710

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции

(y = x^3 — 15x^2 + 48x + e).

1) (y’ = 3x^2 — 30x + 48 = 3(x^2 — 10x + 16)).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна (0) или не существует):

[3(x^2 — 10x + 16) = 0qquadLeftrightarrowqquad x^2 — 10x + 16 = 0,] откуда находим (x_1 = 2, x_2 = . Таким образом, [y’ = 3(x — 2)(x — 8).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 2) – точка локального максимума функции (y).

Ответ: 2

Задание
6

#869

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального максимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 — 8x^2 + 55x + 11).

1) (y’ = x^2 — 16x + 55).

(x^2 — 16x + 55 = 0), откуда находим корни (x_1 = 5, x_2 = 11). Таким образом, [y’ = (x-5)(x-11).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 5) – точка локального максимума функции (y).

Ответ: 5

Задание
7

#868

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите точку локального минимума функции (y = dfrac{1}{3}x^3 — 3x^2 + 8x + 2).

1) (y’ = x^2 — 6x + .

(x^2 — 6x + 8 = 0), откуда находим корни (x_1 = 2, x_2 = 4). Таким образом, [y’ = (x-2)(x-4).] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства (y’):

3) Эскиз графика (y):

Таким образом, (x = 4) – точка локального минимума функции (y).

Ответ: 4

Задачи, при выполнении которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций, в ЕГЭ по математике включаются каждый год. Уметь справляться с ними должны школьники, сдающие как базовый уровень экзамена, так и профильный. Научившись безошибочно находить максимум и минимум элементарной функции в задачах ЕГЭ, выпускники смогут выполнить задание и получить конкурентные баллы.

Восполнить пробелы в знаниях и лучше усвоить информацию вам поможет образовательный проект «Школково». Чтобы учащимся было легче справляться с задачами ЕГЭ, в которых необходимо найти минимум и максимум элементарной функции, мы предлагаем прежде всего повторить определения и основные правила. Эту информацию мы разместили в разделе «Теоретическая справка». Здесь собран материал, подготовленный нашими специалистами для выпускников средних школ.

Чтобы закрепить усвоенную информацию и научиться справляться с задачами в ЕГЭ, выполните упражнения, в которых требуется найти точки экстремума у элементарных функций. Богатая подборка задач представлена в разделе «Каталог». Задания здесь регулярно обновляются и дополняются. Выполнить упражнения на нахождение точек экстремума у элементарных функций, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн, находясь в Москве или любом другом городе России.

Как готовиться к сочинению за 2 дня до ЕГЭ? Четко и без воды

Источник

Аналогичные рассуждения, если функция убывает: значение функции в следующей точке будет меньше, чем в предыдущей, значит производная будет отрицательной.

Итак, если производная положительна на промежутке, то это значит, что функция на этом промежутке возрастает. На рисунке 1 такие участки показаны зеленым. А если производная отрицательна, то функция убывает, на рисунке 1 участки показаны синим:

$$f^{/}(x)>0 leftrightarrow f(x) Uparrow ;$$
$$f^{/}(x)<0 leftrightarrow f(x) Downarrow ;$$

Кроме этого, производная от функции может быть равна нулю. Функция в той точке, где производная равна нулю, будет принимать наибольшее или наименьшее значение в окрестности этой точки. На графике нашей функции (Рис. 1) эти точки выглядят как «холмы» и «впадины».

Обратите внимание, что «холмов» и «впадин» на графике может быть бесконечно много, какие-то из этих «холмов» будут выше, какие-то ниже. Производная равна нулю во всех таких точках. И значения функции во всех таких точках я называю наибольшими и наименьшими, хотя на самом деле это локальные наибольшие и наименьшие значения.

Кстати, ТОЧКАМИ минимума или максимума называют координаты «холмов» и «впадин» по оси (x). Еще их называют точками экстремума функции: это общее название для минимумов и максимумов. Поэтому, когда вас просят найти точки экстремума, это значит найти координаты по оси (x) и минимумов, и максимумов.

В точке (x=-2) будет минимум функции. Точка (x=-3) из знаменателя, поэтому на рисунке она выколотая: ее мы не рассматриваем.

Чтобы определить наименьшее значение, подставим в исходную функцию найденную точку минимума и концы отрезка (xin[-2,5;0]):
$$y(-2)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2)-ln(-2+3)^3=-6-0=-6;$$
$$y(-2,5)=3x—ln(x+3)^3=3*(-2,5)-ln(-2,5+3)^3=-7,5-ln(0,5)^3;$$
$$y(0)=3x—ln(x+3)^3=3*0-ln(0+3)^3=ln(3)^3;$$

Обратите внимание, что значение функции в точках ((-2,5)) и ((0)) получились «плохие»: мы не можем посчитать значения таких логарифмов без калькулятора. Поэтому, если возникает такая ситуация, то мы просто отбрасываем эти значения, ведь в заданиях ЕГЭ в первой части не может быть иррациональных значений. Такая маленькая хитрость. Но будьте внимательны, может быть, иррациональные значения у вас получаются, потому что где-то ошибка.

Кстати, подставлять в этом примере границы отрезка необязательно еще и по другой причине: на промежутке ([-2,5;-2)) функция убывает, а на промежутке ((-2;0]] возрастает. Минимальное значение на указанном промежутке может быть только в точке минимума.

Ответ: (-6.)

Пример 21
Найдите наименьшее значение функции (y=x*sqrt{x}-9x+25) на интервале ([1;50].)

Производную от данной функции можно посчитать, воспользовавшись формулой производной от произведения ((f(x)*g(x))^{/}=(f(x))^{/}*g(x)+f(x)*(g(x))^{/}:)
$$y^{/}=(x*sqrt{x}-9x+25)^{/}=(xsqrt{x})^{/}-(9x)^{/}+25^{/}=x^{/}*sqrt{x}+x*(sqrt{x})^{/}-9=$$
$$=1*sqrt{x}+x*frac{1}{2sqrt{x}}-9=sqrt{x}+frac{sqrt{x}*sqrt{x}}{2sqrt{x}}-9=sqrt{x}+frac{1}{2}*sqrt{x}-9=frac{3}{2}*sqrt{x}-9;$$
Есть другой вариант взятия производной, на мой взгляд, он легче. Для это мы представим квадратный корень в виде степени:
$$sqrt{x}=x^{frac{1}{2}};$$
$$y^{/}=(x*sqrt{x}-9x+25)^{/}=(x*x^{frac{1}{2}}-9x+25)^{/}=(x^{frac{3}{2}-9x+25)^{/}=frac{3}[2}*x^{frac{1}{2}}-9=frac{3}{2}*sqrt{x}-9;$$

Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения на указанном интервале:
$$frac{3}{2}*sqrt{x}-9=0;$$
$$sqrt{x}=9*frac{2}{3};$$
$$sqrt{x}=6;$$
$$x=36;$$
На числовой прямой определяем знаки производной и промежутки возрастания и убывания функции:

Источник

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

— Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Поиск точек экстремума у элементарных функций

Не пропустите также:

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная
равна нулю.

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.