Косинус угла между векторами
Формула
Чтобы найти косинус угла между векторами нужно найти отношение скалярного произведения векторов и произведение их длин (модулей). Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ overline{a}=(x_1;y_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}|cdot |overline{b}|} = frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2}cdot sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2}} $$
Если векторы будут заданы тремя координатами $ overline{a}=(x_1;y_1;z_1) $ и $ overline{b}=(x_2;y_2;z_2) $, то есть в пространстве, то нахождение косинуса угла между векторами нужно выполнить по формуле:
$$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}|cdot |overline{b}|} = frac{x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2}{sqrt{x_1 ^2 + y_1 ^2 +z_1 ^2}cdot sqrt{x_2 ^2 + y_2 ^2 + z_2 ^2}} $$
В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.
Примеры решений
| Пример |
| Даны два вектора $ overline{a} =(3;1) $ и $ overline{b} = (2;4) $. Требуется найти косинус угла между векторами. |
| Решение |
|
Напомним как найти косинус угла между векторами. Необходимо определить на плоскости или в пространстве находятся векторы, то есть сколько у них координат. Затем воспользоваться подходящей формулой. Первым делом вычисляем скалярное произведение: каждую координату одного вектора умножаем на соответствующую координату другого вектора, а потом суммируем произведения: $$ (overline{a},overline{b}) = 3cdot 2 + 1 cdot 4 = 6+4=10 $$ Далее находим чему равны модули каждого из векторов: $$ |overline{a}|=sqrt{3^2+1^2} = sqrt{10} $$ $$ |overline{b}|=sqrt{2^2+4^2} = sqrt{4+16} = sqrt{20} $$ Теперь можно найти косинус угла между векторами подставив найденные значения в первую формулу: $$ cos phi = frac{(overline{a},overline{b})}{|overline{a}|cdot |overline{b}|} = frac{10}{sqrt{10}cdot sqrt{20}} = $$ $$ = frac{10}{sqrt{200}} = frac{1}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2} $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ cos phi = frac{sqrt{2}}{2} $$ |
Нахождение угла между векторами с помощью скалярного произведения
Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}.
Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2)vec{a}=(a_{1};a_{2}) и b⃗=(b1;b2)vec{b}=(b_{1};b_{2}) может быть вычислен по формуле
(a⃗,b⃗^)=arccos(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos(a1⋅b1+a2⋅b2a12+a22⋅b12+b22).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}right).
Пример 1
Найти угол между векторами a⃗=(1;−1)vec{a}=(1; -1) и b⃗=(1;2).vec{b}=(1; 2).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+(−1)⋅212+(−1)2⋅12+22=1−22⋅5=−110.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+(-1)cdot2}{sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+2^{2}}}=frac{1-2}{sqrt{2}cdotsqrt{5}}=frac{-1}{sqrt{10}}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(−110)=arccos(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-1}{sqrt{10}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(−1010).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{-sqrt{10}}{10} right).
Пример 2
Найти угол между векторами a⃗=(2;3)vec{a}=(2; 3) и b⃗=(3;1).vec{b}=(3; 1).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅3+3⋅122+32⋅32+12=6+313⋅10=9130=9130130.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot3+3cdot1}{sqrt{2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{3^{2}+1^{2}}}=frac{6+3}{sqrt{13}cdotsqrt{10}}=frac{9}{sqrt{130}}=frac{9sqrt{130}}{130}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccosleft ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(9130130).left ( widehat{vec{a},vec{b}} right )=arccos left ( frac{9sqrt{130}}{130} right ).
Косинус угла между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}= frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}.
Следовательно, угол между векторами a⃗=(a1;a2;a3)vec{a}=(a_{1};a_{2};a_{3}) и b⃗=(b1;b2;b3)vec{b}=(b_{1};b_{2};b_{3}) может быть вычислен по формуле
(a⃗,b⃗^)=arccos(a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣)=arccos(a1⋅b1+a2⋅b2+a3⋅b3a12+a22+a32⋅b12+b22+b32).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft(frac{vec{a}cdotvec{b}}{|vec{a}|cdot|vec{b}|}right)=arccosleft(frac{a_{1}cdot b_{1}+a_{2}cdot b_{2}+a_{3}cdot b_{3}}{sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+ a_{3}^{2}}cdotsqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+ b_{3}^{2}}}right).
Пример 3
Найти угол между векторами a⃗=(1;2;3)иb⃗=(1;−2;3).vec{a}=(1; 2; 3) и vec{b}=(1; -2; 3).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=1⋅1+2⋅(−2)+3⋅312+22+32⋅12+(−2)2+32=1−4+914⋅14=614=37.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{1cdot1+2cdot(-2)+3cdot3}{sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}cdot sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}}=frac{1-4+9}{sqrt{14}cdotsqrt{14}}=frac{6}{14}=frac{3}{7}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(37).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{3}{7} right ).
Пример 4
Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;−2)vec{a}=(2; -1; -2) и b⃗=(1;3;−2).vec{b}=(1; 3; -2).
cos(a⃗,b⃗^)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣=2⋅1+(−1)⋅3+(−2)⋅(−2)22+(−1)2+(−2)2⋅12+32+(−2)2=2−3+49⋅14=33⋅14=114=1414.cosleft(widehat{vec{a},vec{b}}right)=frac{vec{a}cdot vec{b}}{left | vec{a} right |cdot left | vec{b} right |}=frac{2cdot1+(-1)cdot3+(-2)cdot(-2)}{sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}}cdot sqrt{1^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}}=frac{2-3+4}{sqrt{9}cdotsqrt{14}}=frac{3}{3cdotsqrt{14}}=frac{1}{sqrt{14}}=frac{sqrt{14}}{14}.
(a⃗,b⃗^)=arccos(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arccos(1414).left(widehat{vec{a},vec{b}}right)=arccosleft ( frac{sqrt{14}}{14} right ).
Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения
Синус угла между векторами можно вычислить по формуле: sin(a⃗,b⃗^)=∣a⃗×b⃗∣∣a⃗∣⋅∣b⃗∣.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{left | vec{a}times vec{b} right |}{left | vec{a} right |cdotleft | vec{b} right |}.
Пример 1
Найти угол между векторами a⃗=(2;−1;2)vec{a}=(2;-1;2) и b⃗=(3;0;1).vec{b}=(3;0;1).
a⃗×b⃗=∣ijk2−12301∣=(−1−0)i−(2−6)j+(0+3)k=−i+4j+3k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\2&-1&2\3&0&1end{vmatrix}=(-1-0)i-(2-6)j+(0+3)k=-i+4j+3k.
∣a⃗×b⃗∣=(−1)2+42+32=1+16+9=26.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-1)^{2}+4^{2}+3^{2}}=sqrt{1+16+9}=sqrt{26}.
∣a⃗∣=22+(−1)2+22=4+1+4=9=3.left | vec{a} right |=sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=sqrt{4+1+4}=sqrt{9}=3.
∣b⃗∣=32+02+12=9+0+1=10.left | vec{b} right |=sqrt{3^{2}+0^{2}+1^{2}}=sqrt{9+0+1}=sqrt{10}.
sin(a⃗,b⃗^)=26310=132325=1335=6515.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{26}}{3sqrt{10}}=frac{sqrt{13}sqrt{2}}{3sqrt{2}sqrt{5}}=frac{sqrt{13}}{3sqrt{5}}=frac{sqrt{65}}{15}.
(a⃗,b⃗^)=arcsin(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin(6515).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{65}}{15} right ).
Пример 2
Найти угол между векторами a⃗=(1;1;3)vec{a}=(1;1;3) и b⃗=(0;1;1).vec{b}=(0;1;1).
a⃗×b⃗=∣ijk113011∣=(1−3)i−(1−0)j+(1−0)k=−2i−j+k.vec{a}times vec{b}=begin{vmatrix}i&j&k\1&1&3\0&1&1end{vmatrix}=(1-3)i-(1-0)j+(1-0)k=-2i-j+k.
∣a⃗×b⃗∣=(−2)2+(−1)2+12=4+1+1=6.left | vec{a}times vec{b} right |=sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=sqrt{4+1+1}=sqrt{6}.
∣a⃗∣=12+12+32=1+1+9=11.left | vec{a} right |=sqrt{1^{2}+1^{2}+3^{2}}=sqrt{1+1+9}=sqrt{11}.
∣b⃗∣=02+12+12=0+1+1=2.left | vec{b} right |=sqrt{0^{2}+1^{2}+1^{2}}=sqrt{0+1+1}=sqrt{2}.
sin(a⃗,b⃗^)=6112=32112=311=3311.sin(widehat{vec{a},vec{b}})=frac{sqrt{6}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}sqrt{2}}{sqrt{11}sqrt{2}}=frac{sqrt{3}}{sqrt{11}}=frac{sqrt{33}}{11}.
(a⃗,b⃗^)=arcsin(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).
Ответ: (a⃗,b⃗^)=arcsin(3311).(widehat{vec{a},vec{b}})=arcsinleft ( frac{sqrt{33}}{11} right ).
Тест по теме “Как найти угол между двумя векторами”
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления косинуса угла между векторами
Формула
Чтобы найти косинус угла между векторами нужно,
скалярное произведение этих векторов
разделить на произведение их длин.
В случае если векторы заданны на плоскости и имеют координаты $bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y}right)$, то косинус между ними вычисляется по формуле:
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$$
Если же векторы заданы в пространстве, то есть
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$ и $bar{b}=left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}right)$, то косинус угла вычисляется по формуле
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
Примеры вычисления косинуса угла между векторами
Пример
Задание. Найти косинус угла $phi$ между векторами
$bar{a}=(4 ;-3)$ и $bar{b}=(1 ;-2)$
Решение. Так как векторы заданы на плоскости, воспользуемся формулой
$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}} sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}}}$
Подставим координаты заданных векторов:
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{4 cdot 1+(-3) cdot(-2)}{sqrt{4^{2}+(-3)^{2}} sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}=$$
$$=frac{4+6}{sqrt{16+9} sqrt{1+4}}=frac{10}{sqrt{25} sqrt{5}}=frac{10}{5 sqrt{5}}=frac{2 sqrt{5}}{5}$$
Ответ. $cos phi=frac{2 sqrt{5}}{5}$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти косинус угла между векторами
$bar{a}=(3 ;-4 ; 0)$ и $bar{b}=(4 ;-4 ;-2)$, заданных в пространстве.
Решение. Для нахождения косинуса угла между заданными векторами, воспользуемся формулой
$$cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{a_{x} cdot b_{x}+a_{y} cdot b_{y}+a_{z} cdot b_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} cdot sqrt{b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}$$
Подставляя координаты векторов $bar{a}$ и $bar{b}$, получим
$$begin{aligned} cos phi=frac{(bar{a}, bar{b})}{|bar{a}| cdot|bar{b}|}=frac{3 cdot 4+(-4) cdot(-4)+0 cdot(-2)}{sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}} sqrt{4^{2}+(-4)^{2}+(-2)^{2}}} &=\=frac{12+16+0}{sqrt{9+16+0} sqrt{16+16+4}}=frac{28}{sqrt{25} sqrt{36}}=frac{28}{5 cdot 6}=frac{14}{15} end{aligned}$$
Ответ. $begin{aligned} cos phi=frac{14}{15} end{aligned}$
Читать дальше: как найти скалярное произведение векторов.
Два вектора
a→
и
b→
всегда образуют угол.
Угол между векторами может принимать значения от
0°
до
180°
включительно.
Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.
Векторы могут образовать:
1. острый угол;
2. тупой угол;
3. прямой угол (векторы перпендикулярны).
Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:
4. угол величиной
0°
(векторы сонаправлены);
5. угол величиной
180°
(векторы противоположно направлены).
Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен
0°
.
Угол между векторами записывают так:
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
a→⋅b→=a→⋅b→⋅cosa→b→ˆ
.
Результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число. В таких случаях результатом был вектор). При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число — соответственно, их произведение также будет являться числом.
1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).
Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен
0°
, а косинус равен (1), скалярное произведение также будет положительным.
2. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).
Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен
180°
. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен (-1).
Справедливы и обратные утверждения:
1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.
2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.
Особенный третий случай!
Обрати внимание!
3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен (0).
Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора. Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора и обозначается как
a→2
.
Свойства скалярного произведения
Для любых векторов и любого числа справедливы следующие свойства:
1.
a→2≥0
, к тому же
a→2>0
, если
a→≠0→
.
2. Переместительный, или коммутативный, закон скалярного произведения:
a→⋅b→=b→⋅a→
.
3. Распределительный, или дистрибутивный, закон скалярного произведения:
a→+b→⋅c→=a→⋅c→+b→⋅c→
.
4. Сочетательный, или ассоциативный, закон скалярного произведения:
k⋅a→⋅b→=k⋅a→⋅b→
.
Использование скалярного произведения
Удобно использовать скалярное произведение векторов для определения углов между прямыми и между прямой и плоскостью.
Угол между прямыми
Ознакомимся с ещё одним определением.
Вектор называют направляющим вектором прямой, если он находится на прямой или параллелен этой прямой.
Чтобы определить косинус угла между прямыми, надо определить косинус угла между направляющими векторами этих прямых, то есть найти векторы, параллельные прямым, и определить косинус угла между векторами.
Для этого необходимо рассмотреть определение скалярного произведения, если векторы даны в координатной системе.
Если
a→x1;y1;z1
,
b→x2;y2;z2
, то
a→⋅b→=x1⋅x2+y1⋅y2+z1⋅z2
.
Прежде была рассмотрена формула определения длины вектора в координатной форме.
Теперь, объединив эти формулы, получим формулу для определения косинуса угла между векторами в координатной форме. Так как из формулы скалярного произведения следует, что
cosα=a→⋅b→a→⋅b→
, то
.
Угол между прямой и плоскостью
Введём понятие о нормальном векторе плоскости.
Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.
Используя следующий рисунок, легко доказать, что косинус угла
β
между нормальным вектором
n→
данной плоскости и неким вектором
b→
равен синусу угла
α
между прямой и плоскостью, так как
α
и
β
вместе образуют угол в
90°
.
При нахождении косинуса угла между
n→
и
b→
можно использовать это число как синус угла между прямой, на которой лежит вектор
b→
, и плоскостью.
План урока:
Угол между векторами
Понятие скалярного произведения векторов
Скалярное произведение в координатах
Определение перпендикулярности векторов и прямых
Вычисление угла между векторами
Свойства скалярного произведения
Угол между векторами
Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.
Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.
На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:
В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:
Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:
Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что
Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:
Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:
Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
Понятие скалярного произведения векторов
Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.
Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.
Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:
Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:
Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.
Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:
Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?
Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.
Ответ: 8.
Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.
Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:
Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.
Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?
Решение.
Скалярное произведение в координатах
Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.
Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:
Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:
Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):
Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):
Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:
Если вектор а имеет координаты {x1; у1}, а координаты b– это {x2; у2},то координаты их разности a – b будут записываться в виде {х1 – х2;у1 – у2}. С учетом этого (2) примет вид
В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:
Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:
Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.
Определение перпендикулярности векторов и прямых
Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.
Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:
Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.
Задание. При каком значении переменной х вектора а{4; 5} и b{x; – 6} окажутся перпендикулярными?
Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:
Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:
Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).
Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:
Мы вычислили координаты векторов: АВ{1; 2} и CD{– 2; 1}. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:
Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.
Ответ: перпендикулярны.
Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями
Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:
Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.
Ответ: перпендикулярны.
В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.
Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями
Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:
Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:
В результате мы получили доказываемую нами формулу.
Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:
Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.
Вычисление угла между векторами
Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.
В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:
Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.
Задание. Вычислите угол между векторами а{3; 4} и b{8; 15}.
Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:
Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.
Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:
Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:
Свойства скалярного произведения
Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.
Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:
Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:
Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если
Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:
Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.
Тогда выражение (1) примет вид:
В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.