Площадь ромба через диагонали как найти диагональ

Каким способом высчитать диагональ:

Способ расчёта

Введите размеры:

Результат:

Решение:

Ссылка на страницу с результатом:

# Теория

Ромб — это параллелограмм у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Диагонали ромба делят его углы пополам.
Cумма углов прилежащих к одной стороне равна 180°.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90°).
Диагонали ромба в точке пересечения делятся попалам.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Диагональ — это отрезок, соединяющий несмежные вершины многоугольника или многогранника.

Формулы расчёта диагонали ромба

Длину диагоналей ромба можно посчитать несколькими способами. В зависимости от известных данных, для расчёта применяют следующие формулы:

Через сторону и другую диагональ

D
d
a
a
a
a

D = sqrt{4a^2 — d^2}

d = sqrt{4a^2 — D^2}

D — большая диагональ ромба
d — меньшая диагональ ромба
a — сторона ромба

Через сторону и угол

D
d
a
a
a
a

D — большая диагональ
d — меньшая диагональ ромба
a — сторона ромба
α — острый угол ромба (от 0° до 90°)
β — тупой угол ромба (от 90° до 180°)

D = a sqrt{2 + 2 cdot cos alpha}

D = a sqrt{2 — 2 cdot cos beta}

d = a sqrt{2 — 2 cdot cos alpha}

d = a sqrt{2 + 2 cdot cos beta}

Через угол и вторую диагональ

D = d cdot tg ( dfrac{beta}{2} )

d = D cdot tg ( dfrac{alpha}{2} )

D — большая диагональ ромба
d — меньшая диагональ ромба
α — острый угол ромба (от 0° до 90°)
β — тупой угол ромба (от 90° до 180°)

Через площадь и вторую диагональ

D = dfrac{2 cdot S}{d}

d = dfrac{2 cdot S}{D}

D — большая диагональ ромба
d — меньшая диагональ ромба
S — площадь ромба

Онлайн-калькулятор площади ромба

Если стороны ромба образуют прямой угол, то получим квадрат.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Площадь ромба, как и площади большинства геометрических фигур, можно найти несколькими способами. Разберемся в их сути и рассмотрим примеры решений.

Формула площади ромба по стороне и высоте

Пусть нам дан ромб со стороной aa и высотой hh, проведенной к этой стороне. Так как ромб это параллелограмм, то его площадь мы находим так же, как и площадь параллелограмма.

S=a⋅hS=acdot h

aa — сторона;
hh — высота, опущенная на сторону aa.

Решим простой пример.

Пример

Сторона ромба равна 5 (см.). Высота, опущенная к этой стороне, имеет длину 2 (см.). Найти площадь ромба SS.

Решение

a=5a=5
h=2h=2

Пользуемся нашей формулой и вычисляем:
S=a⋅h=5⋅2=10S=acdot h=5cdot 2=10 (см. кв.)

Ответ: 10 см. кв.

Формула площади ромба через диагонали

Здесь все так же просто. Нужно просто взять половину произведения диагоналей и получить площадь.

S=12⋅d1⋅d2S=frac{1}{2}cdot d_1cdot d_2

d1,d2d_1, d_2 — диагонали ромба.

Пример

Одна из диагоналей ромба равна 7 (см.), а другая в 2 раза больше первой. Найдите площадь фигуры.

Решение

d1=7d_1=7
d2=2⋅d1d_2=2cdot d_1

Найдем вторую диагональ:
d2=2⋅d1=2⋅7=14d_2=2cdot d_1=2cdot 7=14
Тогда площадь:
S=12⋅7⋅14=49S=frac{1}{2}cdot7cdot14=49 (см. кв.)

Ответ: 49 см. кв.

Формула площади ромба через две стороны и угол между ними

S=a2⋅sin⁡(α)S=a^2cdotsin(alpha)

aa — сторона ромба;
αalpha — любой угол ромба.

Пример

Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.

Решение

a=10a=10
α=30∘alpha=30^{circ}

По формуле получаем:
S=a2⋅sin⁡(α)=100⋅sin⁡(30∘)=50S=a^2cdotsin(alpha)=100cdotsin(30^{circ})=50 (см. кв.)

Ответ: 50 см. кв.

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и углу

S=4⋅r2sin⁡(α)S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}

rr — радиус вписанной окружности в ромб;
αalpha — любой угол ромба.

Пример

Найти площадь ромба, если угол между основаниями равен 60 градусов, а радиус вписанной окружности — 4 (см.).

Решение

r=4r=4
α=60∘alpha=60^{circ}

S=4⋅r2sin⁡(α)=4⋅16sin⁡(60∘)≈73.9S=frac{4cdot r^2}{sin(alpha)}=frac{4cdot 16}{sin(60^{circ})}approx73.9 (см. кв.)

Ответ: 73.9 см. кв.

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне

S=2⋅a⋅rS=2cdot acdot r

aa —сторона ромба;
rr — радиус вписанной окружности в ромб.

Пример

Возьмем условие из предыдущей задачи, но пусть вместо угла нам известна сторона ромба, равная 5 см.

Решение

a=5a=5
r=4r=4

S=2⋅a⋅r=2⋅5⋅4=40S=2cdot acdot r=2cdot5cdot4=40 (см. кв.)

Ответ: 40 см. кв.

Ищете того, кто сможеит помочь вам решить контрольную работу по геометрии? Наши эксперты окажут вам быструю и качественную помощь с выполнением работы!

Тест на тему “Площадь ромба”

Источник

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Определение.

Ромб — это параллелограмм, который имеет равные стороны. Если у ромба все углы прямые, тогда он называется квадратом.

Ромбы отличаются между собой размером стороны и размером углов.

Признаки ромба

Параллелограмм ABCD будет ромбом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны):

АВ = ВС = СD = AD

2. Его диагонали пересекаются под прямым углом:

AC┴BD

3. Одна из диагоналей (биссектриса) делит содержащие её углы пополам:

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

4. Если все высоты равны:

BN = DL = BM = DK

5. Если диагонали делят параллелограмм на четыре равных прямоугольных треугольника:

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

6. Если в параллелограмм можно вписать круг.

Основные свойства ромба

2. Диагонали перпендикулярны:

AC┴BD

3. Диагонали являются биссектрисами его углов:

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны умноженному на четыре:

AC² + BD² = 4AB²

5. Точка пересечения диагоналей называется центром симметрии ромба.

6. В любой ромб можно вписать окружность.

7. Центром окружности вписанной в ромб будет точка пересечения его диагоналей.

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла (cos α) или косинус тупого угла (cos β):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Диагонали ромба

Определение.

Диагональю ромба называется любой отрезок соединяющий две вершины противоположных углов ромба.

Ромб имеет две диагонали — длинную d₁, и короткую — d₂

Формулы определения длины диагонали ромба:

1. Формулы большой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d₁ = a√2 + 2 · cosα

d₁ = a√2 — 2 · cosβ

2. Формулы малой диагонали ромба через сторону и косинус острого угла (cosα) или косинус тупого угла (cosβ)

d₂ = a√2 + 2 · cosβ

d₂ = a√2 — 2 · cosα

3. Формулы большой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d₁ = 2a · cos(α/2)

d₁ = 2a · sin(β/2)

4. Формулы малой диагонали ромба через сторону и половинный угол:

d₂ = 2a · sin(α/2)

d₂ = 2a · cos(β/2)

5. Формулы диагоналей ромба через сторону и другую диагональ:

d₁ = √4a² — d₂²

d₂ = √4a² — d₁²

6. Формулы диагоналей через тангенс острого tgα или тупого tgβ угла и другую диагональ:

d₁ = d₂ · tg(β/2)

d₂ = d₁ · tg(α/2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Периметр ромба

Определение.

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Формула периметра ромба через сторону ромба:

P = 4a

Площадь ромба

Определение.

Площадью ромба называется пространство ограниченное сторонами ромба, т.е. в пределах периметра ромба.

Формулы определения площади ромба:

1. Формула площади ромба через сторону и высоту:

S = a · h_a

2. Формула площади ромба через сторону и синус любого угла:

S = a² · sinα

3. Формула площади ромба через сторону и радиус:

S = 2a · r

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла (tgα) или малую диагональ и тангенс тупого угла (tgβ):

Окружность вписанная в ромб

Определение.

Кругом вписанным в ромб называется круг, который примыкает ко всем сторонам ромба и имеет центр на пересечении диагоналей ромба.

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Источник

Учебник

Геометрия, 9 класс

Ромб: Формулы, Площадь, Вписанная Окружность

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторанами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Формулы Площади ромба:

Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей

Вписанная окружность в ромб:

В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершине $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Задача 3: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.

Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
$bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
$sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$

Задача 4: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.

Решение: пробa Анализ рисунка:

$AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
(по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
$S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.

Упражнения:

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

«Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное — узнать его в движении, при изменениях»
Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.

Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».

Свойства ромба:

Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.

Квадрат — одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата равны между собой и делятся пополам.

Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.

Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершины $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.

Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.

Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$

Полезные напоминания: «В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.
Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник — стороны равны, углы тоже.
В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.

Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.

Задача 12: В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.

Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Задача 14: ???? В любом ромбе равны… Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?) Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)

Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.

Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?

Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.

Источник

Так как ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны, то для него действуют все те же формулы, как и для параллелограмма, включая формулу нахождения площади через произведение высоты и стороны.

Площадь ромба можно найти, также зная его диагонали. Диагонали делят ромб на четыре абсолютно одинаковых прямоугольных треугольника. Если мы их рассортируем, так чтобы получить прямоугольник, то его длина и ширина будут равны одной целой диагонали и половине второй диагонали. Поэтому площадь ромба находится умножением диагоналей ромба, сокращенных на два (как площади получившегося прямоугольника).

Если в распоряжении только угол и сторона, то можно вооружиться диагональю в качестве помощника и начертить ее напротив известного угла. Тогда она разделит ромб на два конгруэнтных треугольника, площади которых в сумме дадут нам площадь ромба. Площадь каждого из треугольников будет равна половине произведения квадрата стороны на синус известного угла, как площадь равнобедренного треугольника. Поскольку таких треугольников два, то коэффициенты сокращаются, оставив только сторону во второй степени и синус:

Если внутри ромба вписать окружность, то его радиус будет относиться к стороне под углом 90°, что значит, что удвоенный радиус будет равен высоте ромба. Подставив вместо высоты h=2r в предыдущую формулу, получим площадь S=ha=2ra

Если же вместе с радиусом вписанной окружности, дана не сторона, а угол, то следует сначала найти сторону, проведя высоту таким образом, чтобы получить прямоугольный треугольник с заданным углом. Тогда сторона a может быть найдена из тригонометрических отношений по формуле . Подставляя это выражение в ту же стандартную формулу площади ромба, выходит

Источник

Свойства ромба:

Формулы расчёта диагонали ромба

Через сторону и другую диагональ

Через сторону и угол

Через угол и вторую диагональ

Через площадь и вторую диагональ

Похожие калькуляторы:

Онлайн-калькулятор площади ромба

Формула площади ромба по стороне и высоте

Формула площади ромба через диагонали

Формула площади ромба через две стороны и угол между ними

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и углу

Формула площади ромба по радиусу вписанной окружности и стороне

Тест на тему “Площадь ромба”

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Признаки ромба

Основные свойства ромба

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

Периметр ромба

Формула определения длины периметра ромба:

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

Геометрия, 9 класс

Ромб: Формулы, Площадь, Вписанная Окружность

Не пропустите также: