ПЕРИМЕТР
Периметр – сумма длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Чаще всего периметр измеряется в сантиметрах, метрах и километрах.
Чаще всего периметр обозначается буквой P.
Периметр прямоугольника – удвоенная сумма длины и высоты — 2∙(a+b)
Периметр квадрата – произведение любой его стороны на 4, так как стороны равны.
ПЛОЩАДЬ
Площадь – характеристика замкнутой геометрической фигуры, которая показывает ее размер. Чаще всего площадь измеряется в квадратных сантиметрах, квадратных метрах и квадратных километрах.
В отличие от периметра, не существует универсальной формулы площади. Для каждого типа фигур площадь вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольники, квадраты и составные фигуры из прямоугольников и квадратов.
Чаще всего площадь обозначается буквой S.
Площадь прямоугольника – произведение длины на высоту.
Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС
Разделим этот прямоугольник на квадраты
Мы получили 15 квадратов внутри этого прямоугольника – это и есть те самые 15 квадратных сантиметров, которые составляют площадь прямоугольника.
Площадь квадрата – произведение длины стороны на саму себя.
СОСТАВНЫЕ ФИГУРЫ
Разделим эту фигуру на прямоугольник и квадрат
Высота прямоугольника составит 5 – 3 = 2
СООТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДИ И ПЕРИМЕТРА
Фигуры с одной и той же площадью могут иметь разный периметр
Почему у нас изменился периметр, хотя площадь, т.е. число квадратиков внутри фигуры, осталась прежней?
Потому что изменилось число граней квадратиков, которые участвуют в формировании сторон фигуры, т.е. перметра. В первой фигуре – большом квадрате, в формировании сторон участвовали по две внешних грани каждого маленького квадратика – общее число таких граней 8, и периметр равен 8.
Во второй фигуре у нас в формировании сторон участвуют по три грани у двух крайних квадратиков и по две грани внутренних квадратов. Общее число таких граней 10, и периметр равен 10.
ОБЪЁМ
Объём – количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Чаще всего объём измеряется в кубических сантиметрах, кубических дециметрах, кубических метрах и литрах.
1 л = 1 дм3
Не существует универсальной формулы объема. Для каждого типа фигур объём вычисляется по своей особой формуле. Мы будем рассматривать только прямоугольные параллелепипеды.
Чаще всего объём обозначается буквой V.
Прямоугольный параллелепипед – замкнутая фигура, у которой 6 прямоугольных граней (передняя, задняя, нижняя, верхняя и две боковые), и каждая из граней расположены под прямым углом к соседним.
Объём прямоугольного параллелепипеда – произведение его длины, ширины и высоты
Зная объём и две стороны, мы можем найти третью сторону:
c = (V:a):b = V:S
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
ЗАДАЧИ
Задача 1. Найдите периметр и площадь прямоугольника, у которого ширина 10 см, и она меньше длины на 6 см.
x = 10 см – ширина
1. Найдём длину
y = 10 + 6 = 16 см
2. Найдём периметр
P = 2∙(10+16) = 52 см
3. Найдём площадь
S = 10∙16 = 160 см2
Ответ: P = 52 см, S = 160 см2
Задача 2. Какую ширину имеет прямоугольник, длина которого 50 см, а площадь совпадает с площадью квадрата периметром 80 см?
1. Вычислим сторону квадрата
4∙n = 80 — периметр
n = 20 см
2. Вычислим площадь квадрата
20∙20 = 400 см2
3. Вычислим ширину прямоугольника
50∙x = 400 см2
x = 8 см
Ответ: 8 см
Задача 3. Чему равна ширина прямоугольника, длина которого равна 15 м, а площадь 7500 дм2 ?
1 дм = 10 см, 1 м = 100 см, 1 м = 10 дм
1. Переведём длину прямоугольника в дм
x = 15∙10 = 150 дм
2. Найдём ширину прямоугольника
150∙y = 7500
y = 7500:150 = 50 дм
Ответ: 50 дм
Задача 4. Длина прямоугольника равна 60 см, и она в 3 раза больше ширины стороны.
1. Найдите площадь этого прямоугольника.
2. Найдите площадь квадрата, который имеет такой же периметр, как и прямоугольник.
3. Найдите периметр квадрата, площадь которого в 12 раз меньше площади прямоугольника.
1. Найдём ширину прямоугольника
x = 60:3 = 20 см
2. Найдём площадь прямоугольника
S = 60∙20 = 1200 см
2. Найдём периметр прямоугольника
P = 2∙(60+20) = 160 см
3. Найдём сторону квадрата
y = 160:4 = 40 см
4. Найдём площадь квадрата
Sкв = 40∙40 = 1600 см2
5. Найдём площадь квадрата, которая в 12 раз меньше площади прямоугольника:
Sкв2 = 1200:12 = 100 см2
6. Найдём сторону такого квадрата
Площадь квадрата = 100 см2
Из таблицы умножения мы знаем, что 10∙10 = 100, значит сторона квадрата = 10 см
7. Найдём периметр такого квадрата
P = 10∙4 = 40 см
ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.
Задача 5. В прямоугольнике АВСД сторона АВ 3 см, сторона ВС на 1 см длиннее, а диагональ ВД на 2 см длиннее АВ. Найдите периметр и площадь прямоугольника АВСД и треугольника АВД.
1. Найдём сторону ВС
ВС = 3+1 = 4
2. Найдём диагональ ВД
ВД = 3+2 = 5
3. Найдём периметр АВСД
P = 2∙(3+4) = 14 см
4. Найдём площадь АВСД
Sавсд = 3∙4 = 12 см2
5. Найдём периметр треугольника АВД
Pавд = 3 + 5 + 4 = 13 см
6. Найдём площадь треугольника АВД
Треугольник АВД занимает половину площади прямоугольника АВСД
Sавд = Sавсд:2
Sавд = 12:2 = 6 см2
Задача 6. В аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, основание которого имеет стороны 80 и 40 см, налили до краёв 160 л. воды. Какова высота аквариума?
Решение
1. Переведём литры в кубические дециметры
1 л = 1 дм3, 160 л = 160 дм3
2. Переведём стороны аквариума в дециметры
1 дм = 10 см, 80 см = 8 дм, 40 см = 4 дм
3. Найдём высоту аквариума
V = a∙b∙c, a = 8, b = 4
c = (V:a):b
c = (160:8):4 = 5 дм
c = 5∙10 = 50 см
Ответ: 50 см
Измерение площади, периметра и объема имеет решающее значение для строительных проектов, ремесел и других приложений.
Площадь — это пространство внутри границы двухмерной фигуры. Периметр — это расстояние вокруг двухмерной фигуры, например квадрата или круга. Объем — это мера трехмерного пространства, занимаемого объектом, например кубом. Если вы знаете размеры объекта, то легко измерить площадь и объем.
Формулы площади поверхности и объема для всех повседневных геометрических фигур можно легко найти в Интернете, хотя неплохо было бы рассмотреть, как их самостоятельно вывести, если возникнет такая необходимость. Вы также можете часто получить один из них от другого; например, если вы знаете формулу площади круга, вы можете вычислить, что объем цилиндра — это просто площадь соответствующего круга (ов) в конце, умноженная на высота.
Как рассчитать площадь квадрата или прямоугольника
Запишите длину (л) и шириной (ш) квадрата или прямоугольника. Подставьте свои измерения в формулу
А = 1 раз ш
решить для области (А). В этом примере прямоугольный сад имеет размеры 5 на 7 метров.
Рассчитав площадь сада, получаем:
A = 5 text {m} times7 text {m} = 35 text {m} ^ 2
Площадь сада 35 квадратных метров или 35 квадратных метров.
Как рассчитать площадь треугольника
Измерьте базу (б) и высота (час) треугольника. Используйте формулу
A = frac {1} {2} bh
чтобы найти площадь треугольника. Треугольник высотой 7 м и основанием 3 м имеет площадь
A = frac {1} {2} (7 text {m}) (3 text {m}) = 10,5 text {m} ^ 2
Площадь (А) треугольника составляет 10,5 квадратных метров или 10,5 квадратных метров.
Площадь круга
Измерьте радиус (р) круга. Умножьте π (3.14) на квадрат радиуса, чтобы найти площадь (А) круга.
А = пи г ^ 2
Например, круг радиусом (р) 5 дюймов будет иметь площадь
A = pi (5 text {in}) ^ 2 = 78,5 text {in} ^ 2
Площадь (А) круга радиусом 5 дюймов составляет 78,5 квадратных дюймов.
Периметр квадрата, прямоугольника или треугольника
Запишите длины всех сторон квадрата, прямоугольника или треугольника.
Сложите измерения, чтобы получить значение периметра (п). Например, прямоугольный сад размером 5 на 7 метров имеет две стороны размером 5 метров и две стороны размером 7 метров. Периметр (п) является:
P = 5 + 5 + 7 + 7 = 24 text {meter}
Периметр прямоугольного сада — 24 метра.
Периметр или окружность круга
Используйте формулу
P = 2 pi r
чтобы найти периметр или длину окружности. Например, круг с радиусом 3 дюйма имеет окружность
P = 2 pi (3) = 18,8 text {дюймы}
Вы также можете найти длину окружности, используя диаметр (d). Диаметр круга в два раза больше радиуса. Формула для вычисления длины окружности с использованием диаметра круга:
P = pi d
Объем:Громкость (V) большинства объектов можно найти, умножив базовую площадь (А) по высоте (час).
Объем коробки
Запишите длину (л), ширина (ш) и высота (час) квадрата или прямоугольника. Используйте формулу
V = 1 умножить на w умножить на h = A умножить на h
решить для объема (V). В этой формуле базовая площадь (А) можно найти, умножив длину (л) по ширине (ш). Например, ящик размером 3 фута в длину, 1 фут в ширину и 5 футов в высоту имеет объем
V = 3 times 1 times 5 = 15 text {ft} ^ 3
Коробка 15 кубических футов.
Объем пирамиды
Используйте формулу
V = frac {1} {3} А
найти объем пирамиды. Например, для пирамиды с площадью основания (A) 25 м2 и высотой 7м.
V = frac {1} {3} (25) (7) = 58,3 text {m} ^ 3
Объем пирамиды составляет 58,3 кубических метра или 58,3 кубических метра.
Объем цилиндра
- Карандаш
- Бумага
- Калькулятор
Для цилиндра с круглым основанием используйте формулу
V = Ah = pi r ^ 2 h
решить для объема цилиндра. Например, цилиндр радиусом 2 метра и высотой 5 метров будет иметь объем
V = pi (2) ^ 2 (5) = 62,8 text {m} ^ 3
Объем цилиндра 62,8 кубических метра или 62,8 кубических метра.
Расчет площади, периметра и объема
Расчет площади, периметра и объема простых геометрических фигур можно найти, применив некоторые основные формулы. Хорошая идея — изучить и понять, что это такое, и сохранить эти формулы в памяти.
Вещи, которые вам понадобятся
Teachs.ru
На главную
Образование
Онлайн калькулятор площади, объема и периметра
Онлайн калькулятор позволяет рассчитать основные характеристики геометрических фигур в различных единицах измерения.
Выберите необходимую характеристику (площадь, периметр, объем) из списка ниже.
Информация по теме
Математические формулы для геометрических фигур
На чтение 8 мин. Просмотров 30 Опубликовано 30.06.2021
В математике (особенно в геометрии) и естественных науках вам часто нужно вычислять площадь поверхности, объем или периметр различных форм. Будь то сфера или круг, прямоугольник или куб, пирамида или треугольник, каждая форма имеет определенные формулы, которым вы должны следовать, чтобы получить правильные измерения.
Мы собираемся изучить формулы, которые понадобятся вам для определения площади поверхности и объема трехмерных фигур, а также площади и периметра двухмерных фигур. Вы можете изучить этот урок, чтобы изучить каждую формулу, а затем сохранить ее для быстрого ознакомления в следующий раз, когда она вам понадобится. Хорошая новость заключается в том, что в каждой формуле используются одни и те же базовые измерения, поэтому изучение каждого нового становится немного проще.
Содержание
- Площадь поверхности и объем сферы
- Площадь поверхности и объем конуса
- Площадь поверхности и объем цилиндра
- Площадь поверхности и объем прямоугольной призмы
- Площадь поверхности и объем пирамиды
- Площадь поверхности и объем призмы
- Площадь сектора круга
- Площадь эллипса
- Площадь и периметр треугольника
- Площадь и окружность круга
- Площадь и периметр параллелограмма
- Площадь и периметр прямоугольника
- Площадь и периметр квадрата
- Площадь и периметр трапеции
- Площадь и периметр шестиугольника
- Площадь и периметр восьмиугольника
Площадь поверхности и объем сферы
Трехмерный круг известен как сфера. Чтобы вычислить площадь поверхности или объем сферы, вам необходимо знать радиус ( r ). Радиус – это расстояние от центра сферы до края, и оно всегда одно и то же, независимо от того, от каких точек на краю сферы вы измеряете измерения.
После определения радиуса формулы запомнить довольно просто. Как и в случае с окружностью круга, вам нужно будет использовать число пи ( π ). Как правило, это бесконечное число можно округлить до 3,14 или 3,14159 (принятая дробь – 22/7).
- Площадь поверхности = 4πr 2
- Volume = 4/3 πr 3
Площадь поверхности и объем конуса
Конус – это пирамида с круглым основанием с наклонными сторонами, которые сходятся в центральной точке. Чтобы рассчитать его площадь поверхности или объем, вы должны знать радиус основания и длину стороны.
Если вы этого не знаете, вы можете найти длину стороны ( s ) с использованием радиуса ( r ) и высоты конуса ( h ).
- s = √ (r2 + h2)
После этого вы можете найти общую площадь поверхности, которая является сумма площади основания и площади стороны.
- Площадь основания: πr 2
- Площадь стороны: πrs
- Общая площадь поверхности = πr 2 + πrs
Чтобы найти объем сферы, вам нужны только радиус и высота.
- Объем = 1/3 πr 2 h
Площадь поверхности и объем цилиндра
Вы обнаружите, что цилиндр – это много работать легче, чем с конусом. Эта форма имеет круглое основание и прямые параллельные стороны. Это означает, что для определения его площади поверхности или объема вам понадобятся только радиус ( r ) и высота ( h ).
Однако вы также должны учитывать наличие и верха, и низа, поэтому радиус необходимо умножить на два для площади поверхности.
- Площадь поверхности = 2πr 2 + 2πrh
- Объем = πr 2 h
Площадь поверхности и объем прямоугольной призмы
Прямоугольник в трех измерениях становится прямоугольной призмой (или прямоугольником). Когда все стороны равны, он становится кубом. В любом случае для определения площади поверхности и объема требуются одни и те же формулы.
Для них вам нужно знать длину ( l ), высоту ( h ) и ширину ( w ). С кубом все три будут одинаковыми.
- Площадь поверхности = 2 (lh) + 2 (lw) + 2 (wh)
- Volume = lhw
Площадь поверхности и объем пирамиды
Пирамида с квадратным основанием и гранями из равносторонних треугольников относительно легко работать.
Вам нужно знать размер одной длины основания ( b ). Высота ( h ) – это расстояние от основания до центральной точки пирамиды. Сторона ( s ) – это длина одной грани пирамиды от основания до верхней точки.
- Площадь поверхности = 2bs + b 2
- Объем = 1/3 b 2 h
Другой способ вычислить это – использовать периметр ( P ) и площадь ( A ) базовой формы. Это можно использовать для пирамиды с прямоугольным, а не квадратным основанием.
- Площадь поверхности = (½ x P xs) + A
- Объем = 1/3 Ач
Площадь поверхности и объем призмы
Когда вы переключаетесь с пирамиды на равнобедренную треугольную призму, вы также должны учитывать длину ( l ) формы. . Запомните сокращения для основания ( b ), высоты ( h ) и стороны ( s ), потому что они необходимые для этих расчетов.
- Площадь поверхности = bh + 2ls + lb
- Объем = 1/2 (bh) l
Тем не менее, призма может состоять из любого набора форм. Если вам нужно определить площадь или объем нечетной призмы , вы можете полагаться на площадь ( A ) и периметр ( P ) базовой фигуры. Часто в этой формуле будет использоваться высота призма или глубина ( d ), а не длина ( l ), хотя вы можете увидеть любое сокращение.
- Площадь поверхности = 2A + Pd
- Volume = Ad
Площадь сектора круга
Площадь сектора круга может быть вычислена в градусах (или радианах, как это чаще всего используется в расчетах). Для этого вам понадобятся радиус ( r ), пи ( π ) и центральный угол ( θ ).
- Area = θ/2 r 2 (в радианах)
- Area = θ/360 πr 2 (в градусах)
Площадь эллипса
Эллипс также называется овалом и представляет собой, по сути, удлиненный круг. Расстояния от центральной точки до стороны непостоянны, что делает формулу для определения ее площади немного сложной.
Чтобы использовать эту формулу, вы должны знать:
- Полу-ось ( a ): кратчайшее расстояние между центральной точкой и краем.
- Большая полуось ( b ): наибольшее расстояние между центральной точкой и краем.
Сумма из этих двух точек остается постоянным. Вот почему мы можем использовать следующую формулу для вычисления площади любого эллипса.
- Area = πab
Иногда вы можете увидеть эту формулу, написанную с помощью r 1 (радиус 1 или малая полуось) и r 2 (радиус 2 или большая полуось), а не a и b .
- Area = πr 1 r 2
Площадь и периметр треугольника
Треугольник – одна из самых простых форм, и вычислить периметр этой трехсторонней формы довольно просто.. Вам нужно будет знать длины всех трех сторон ( a, b, c ), чтобы измерить полный периметр.
- Perimeter = a + b + c
Чтобы узнать площадь треугольника, вам понадобится только длина основания ( b ) и высоту ( h ), которая измеряется от основания до вершины треугольника. Эта формула работает для любого треугольника, независимо от того, равны ли стороны или нет.
- Area = 1/2 bh
Площадь и окружность круга
Подобно сфере, вам нужно знать радиус ( r ) круга, чтобы узнайте его диаметр ( d ) и окружность ( c ). Имейте в виду, что круг – это эллипс, у которого одинаковое расстояние от центральной точки до каждой стороны (радиуса), поэтому не имеет значения, где на краю вы измеряете.
- Диаметр (d) = 2r
- Окружность (c) = πd или 2πr
Эти два измерения используются в формуле для вычисления площади круга. Также важно помнить, что отношение длины окружности к ее диаметру равно пи ( π ).
- Площадь = πr 2
Площадь и периметр параллелограмма
Параллелограмм состоит из двух наборов противоположные стороны, идущие параллельно друг другу. Форма представляет собой четырехугольник, поэтому у нее четыре стороны: две стороны одной длины ( a ) и две стороны другой длины ( b ).
Чтобы определить периметр любого параллелограмма, используйте эту простую формулу:
- Perimeter = 2a + 2b
Когда вам нужно найти площадь параллелограмма, вам понадобится высота ( h ). Это расстояние между двумя параллельными сторонами. Также требуется основание ( b ), и это длина одной из сторон.
- Area = bxh
Имейте в виду, что b в формуле площади не то же самое, что b в формуле периметра. Вы можете использовать любую из сторон, которые были объединены как a и b при расчете периметра, хотя чаще всего мы используем сторону, перпендикулярную высоте. .
Площадь и периметр прямоугольника
Прямоугольник также является четырехугольником. В отличие от параллелограмма, внутренние углы всегда равны 90 градусам. Кроме того, стороны, противоположные друг другу, всегда будут иметь одинаковую длину..
Чтобы использовать формулы для периметра и площади, вам нужно будет измерить длину прямоугольника ( l ) и его ширину ( w ).
- Perimeter = 2h + 2w
- Area = hxw
Площадь и периметр квадрата
Квадрат даже проще, чем прямоугольник, потому что это прямоугольник с четырьмя равными сторонами. Это означает, что вам нужно знать только длину одной стороны ( s ), чтобы найти ее периметр и площадь.
- Perimeter = 4s
- Area = s 2
Площадь и периметр трапеции
Трапеция – это четырехугольник, который может показаться сложной задачей, но на самом деле это довольно просто. У этой формы только две стороны параллельны друг другу, хотя все четыре стороны могут иметь разную длину. Это означает, что вам нужно знать длину каждой стороны ( a, b 1 , b 2 , c ), чтобы найти периметр трапеции.
- Perimeter = a + b 1 + b 2 + c
Чтобы найти площадь трапеции, вам также понадобится высота ( h ). Это расстояние между двумя параллельными сторонами.
- Area = 1/2 (b 1 + b 2 ) xh
Площадь и периметр шестиугольника
Шестигранный многоугольник с равными сторонами – это правильный шестиугольник. Длина каждой стороны равна радиусу ( r ). Хотя это может показаться сложной формой, вычисление периметра – это простой вопрос умножения радиуса на шесть сторон.
- Perimeter = 6r
Определить площадь шестиугольника немного сложнее, и вам придется запомнить эту формулу:
- Площадь = (3√3/2) r 2
Площадь и периметр восьмиугольника
Правильный восьмиугольник похож на шестиугольник, но у этого многоугольника восемь равных сторон. Чтобы найти периметр и площадь этой формы, вам понадобится длина одной стороны ( a ).
- Периметр = 8a
- Area = (2 + 2√2) a 2