Параллельные прямые как найти соответственные углы - AvtoShod.ru

Соответственные углы — вид углов, образованный при пересечении двух прямых секущей.

Один из пары соответственных углов лежит во внутренней области между прямыми, другой — во внешней, причем оба угла находятся по одну сторону от секущей.

При пересечении двух прямых секущей образуется четыре пары соответственных углов.

∠1 и∠5

∠2 и∠6

∠3 и∠7

∠4 и∠8

— соответственные углы при прямых a и b и секущей c.

Наибольший интерес в геометрии представляют соответственные углы при параллельных прямых.

Свойство параллельных прямых

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то соответственные углы равны.

Если a ∥ b, то

∠1 =∠2

(как соответственные углы при при a ∥ b и секущей c).

Всего при параллельных прямых и секущей образуется четыре пары равных соответственных углов:

∠1 =∠5

∠2 =∠6

∠3 =∠7

∠4 =∠8

Признак параллельных прямых

Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

∠1 =∠2

А так как эти углы — соответственные при прямых при a и b и секущей c,

то a ∥ b (по признаку параллельных прямых).

Равенство соответственных углов используется, в частности, для доказательства равенства треугольников и подобия треугольников.

Источник

Соответственные углы — определение, основные свойства и признаки

Базисные понятия

Угол — простая фигура в геометрии, образуемая двумя лучами, следующими из некоторой точки. Эту точку определяют как его вершину. Название «угол» может относиться к части плоскости, объединяющей все лучи, исходящие из вершины фигуры. Такое обозначение может также иметь угловая мера, чаще всего определяемая в градусах.

В геометрии существует несколько критериев, позволяющих выделить разные типы угловых фигур. Они бывают тупыми и острыми, смежными или вертикальными. Для углов, образуемых в результате пересечения секущей линией двух прямых, в качестве такого критерия берется свойство взаимных соотношений формируемых при этом фигур. При рассмотрении произвольного геометрического рисунка, образованного двумя прямыми линиями и секущей, можно увидеть 4 пары соответственных, по 2 пары внутренних и внешних накрест лежащих или односторонних угловых фигур. Все эти элементы могут быть как тупоугольными, так и остроугольными.

Углы, образующиеся при пересечении прямых

Чтобы понять, как выглядят соответственные углы, а также уметь находить их на любых геометрических рисунках, нужно хорошо усвоить разницу между типами фигур, образованных секущей линией. Кроме того, следует обратить внимание на наличие внутренней и внешней областей. Первая зона ограничивается площадью между двумя прямыми, второй внешней областью считается неограниченное пространство снаружи от этих двух линий.

Итак, образованным тремя прямыми линиями угловым фигурам можно дать следующие определения:

Накрест лежащие внутренние углы — это разносторонние по отношению к секущей объекты внутри области, сформированной прямыми. Если обе фигуры лежат за пределами двух прямых по противоположные стороны от секущей, то такие угловые элементы называются внешними накрест лежащими.
В отличие от предыдущих противолежащих фигур, односторонние углы расположены на одной стороне: внутри области, образованной двумя прямыми (внутренние), или во внешних областях (наружные).
Соответственные по определению являются парными фигурами, образующимися по одну сторону от линии, пересекающей две других, с аналогичных сторон обеих прямых. Один из углов пары расположен между прямыми и является внутренним, а другой лежит вне этой зоны, поэтому считается внешним.

Более наглядное представление об этом типе углов можно получить, если секущую изобразить в виде направленного вектора. Парные угловые элементы расположены в одном направлении относительно прямых, пересеченных третьей линией.

Чтобы окончательно разобраться в вопросе, нужно усвоить понятие соответствия с математической точки зрения. В геометрии это свойство двух фигур, у которых углы, стороны или точки одного объекта аналогичны соответствующим элементам другого объекта. Аналогия проявляется не в их равенстве, а во взаимном соотношении элементов. О соответствии углов говорит аналогичное пространственное положение лучей в местах пересечения прямых с третьей секущей линией. Таким образом, речь идет об элементах, имеющих одинаковое относительное положение.

Соответственные углы при параллельных прямых

Свойства фигур, формирующихся при пересечении секущей параллельных прямых, давно описаны в планиметрии. Известно, что соответственные накрест лежащие угловые элементы при параллельных прямых равны. Сложение угловых величин односторонних фигур дает значение 180 градусов. В геометрии применяется формула для расчета суммы соответственных парных угловых фигур при условии параллельности двух линий. Для определения этого параметра из числа 360 надо вычесть удвоенную угловую величину одностороннего угла, прилежащего к любому из пары рассчитываемых соответственных угловых элементов.

Равные соответственные углы указывают на параллельность прямых. Справедливость этого признака вытекает из следующих утверждений:

Отметим отрезок на секущей, начало и конец которого, точки C и D, находятся в местах пересечения секущей с прямыми a и b.
Через среднюю точку K отрезка опустим перпендикуляр к прямой a. Точки его пересечения с прямыми обозначим как A и B. Сформированные отрезками треугольники CKA и DKB являются прямоугольными, а отрезки AK и BK — сторонами, прилежащими к прямоугольным вершинам. Каждый из этих катетов одновременно является высотой треугольника, проведенной из остроугольной вершины.
Для доказательства следует учитывать равенство вертикальных ∠CKA и ∠DKB, ∠BDK и ∠АСК равны по условию равенства соответственных углов с учетом того, что вертикальные углы с вершинами в точках C и D равны, CK и KD — два равных отрезка по условию.
Таким образом, в треугольниках CKA и DKB сторона и прилежащие к ней углы имеют равные величины, что соответствует одному из признаков равенства треугольников.
Поскольку AB перпендикулярен прямой a и отрезку AC, то CKA — прямоугольный треугольник, и это дает основание считать, что равный ему треугольник DKB также прямоугольный, из чего следует перпендикулярность отрезка AB по отношению к прямой b.
Было доказано, что две прямые перпендикулярны к третьей прямой, и это подтверждает их параллельность.

Доказательство можно развернуть и в обратном направлении. Параллельные линии при пересечении третьей прямой формируют одинаковые по величине соответственные углы. Это утверждение известно как свойство параллельных линий.

Такого рода свойства встречаются в описаниях признаков и теорем. Их равенство — часть доказательств равенства и подобия треугольников. В свою очередь, используя признаки подобных и равных треугольников, можно обосновывать доказательства сложных теорем, находить решения сложных задач, править возможные ошибки.

Доказательство подобия треугольников

Существует три признака, по которым могут быть определены подобные треугольники. Во-первых, подобие подтверждается пропорциональностью всех трех сторон треугольников. Во-вторых, подобными считаются треугольники, имеющие две пропорциональные стороны, угловая величина между которыми равна соответствующему элементу второго треугольника. В-третьих, подобие подтверждается, когда имеет место равенство двух углов обоих треугольников.

Рассмотрим доказательство этого признака, в ходе которого применяется свойство тождественности соответственных угловых объектов:

Возьмем два треугольника ABC и A1B1C1, в которых равны два угла. Из этого следует, что величина третьего угла также одинакова в обеих фигурах. Требуется доказать подобие треугольников.
Отметим точку A2 на AB таким образом, чтобы величина BA2 совпала с A1B1. Через A2 параллельно основанию AC проведем прямую, проходящую через BC в точке B2.
Треугольники A2BC2 и A1B1C1 равны, что подтверждается одинаковыми величинами сторон A1B1, BA2 и углов B, B1 (по построению или условию), а также равенством углов A, A1 как соответственных при параллельных линиях.
Поскольку, согласно лемме, параллельная стороне треугольника прямая отсекает от него подобный треугольник, то A2BC2 подобен ABC. Из этого следует подобие треугольников ABC и A1B1C1.

Подобного рода рассуждения и доказательства, учитывающие свойства соответственных угловых фигур, учитываются при решении разного рода задач.

В сложных планиметрических фигурах в качестве секущей, формирующей этот тип геометрических объектов, может выступать медиана, биссектриса треугольника или какие-либо другие линии. Для решения таких задач требуется хорошее знание базовых понятий, признаков, свойств, аксиом, позволяющее заметить определенные соотношения и закономерности в том или ином задании.

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

источники:

http://www.calc.ru/Priznaki-Parallelnosti-Pryamykh-Liniy.html

http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/

Источник

В геометрии пары углов могут относиться друг к другу различными способами. В этом статье мы научимся определять соответственные углы.

Соответствующие углы

Соответствующие пары углов на приведенном выше рисунке: ( b <—> f; c <—> g ; a <—> e.)

Секущая — это прямая линия, пересекающая две или более прямых линий. Соответственные углы — это углы, которые находятся в одном и том же относительном положении на пересечении поперечной и по крайней мере двух линий.

Если две линии параллельны, то соответственные углы равны.

Соответствующие углы

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Источник

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна $180^{circ}$ .

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна $180^{circ}$ , то есть

$angle 1+angle 6=180^{circ}$ ,

$angle 4+angle 7=180^{circ}$ .

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: и Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что

Пусть

Тогда как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют $180{}^circ ,$ если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: – острый, а – тупой. Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что сумма углов и равна $180{}^circ .$

Пусть Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, и с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е.

$angle MNF+angle FNK=180{}^circ$ как смежные. Значит, $angle MNF+angle ACB=180{}^circ.$

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей AB накрест лежащие углы равны:

Докажем, что Если углы 1 и 2 прямые, то прямые и перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой

На прямой от точки В отложим отрезок ${BH}_1$ равный отрезку AH

по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Из равенства следует, что точка H_1 лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и H_1 лежат на одной прямой, а из равенства следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые и перпендикулярны к прямой HH_1, поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей соответственные углы равны, например

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то Из этих двух равенств следует, что . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей сумма односторонних углов равна $180{}^circ ,$ например $angle 1+angle 4=180{}^circ.$

Так как углы 3 и 4 – смежные, то Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы и равны как накрест лежащие.

– равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

$P_{ABCD}=left(AB+BCright)cdot 2;$

$P_{ABCD}=left(5+19right)cdot 2=48.$

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180{}^circ .$

Мы получили, что

AF — биссектриса угла А,

BF — биссектриса угла В, поэтому

$angle FAB=frac{1}{2}angle BAD;; angle ABF=frac{1}{2}angle ABC,$ тогда

Из треугольника AFB получим, что $AFB=90{}^circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора, ${AB}^2={AF}^2+{BF}^2Rightarrow AB=sqrt{{24}^2+{10}^2}=sqrt{676}=26.$

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС,

Значит, как односторонние углы при параллельных прямых и и секущей АВ.

по двум углам.

Отсюда $displaystyle frac{AB}{BM}=displaystyle frac{AC}{MN}Rightarrow BM=displaystyle frac{ABcdot MN}{AC}$ ;

$BM=displaystyle frac{28cdot 12}{16}=21.$

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 ${}^circ.$ Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, – основания, AB – секущая.

Значит, angle A и angle B – внутренние односторонне углы.

Отсюда $angle B=180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ.$

Ответ: 72.

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна $180{}^circ .$

Это значит, что $angle BAD +angle ABC = 180{}^circ.$

AК — биссектриса угла А,

BК — биссектриса угла В, поэтому

$angle KAB=frac{1}{2}angle BAD; ; angle ABK=frac{1}{2}angle ABC,$ тогда

$angle KAB+angle ABK= 90{}^circ .$

Из треугольника AKB получим, что $angle ABK= 90{}^circ .$

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую АВ, т.е. KH=4.

по гипотенузе и острому углу

Аналогично, по гипотенузе и острому углу

Получили:

Тогда $S_{ABCD}=ADcdot MN$ ; $S_{ABCD}=8cdot 7=56.$

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что $angle 1=120{}^circ ,$ $angle 2=60{}^circ ,$ $angle 3=55{}^circ .$ Найдите Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle 1 и angle 2 – это внутренние односторонние углы,

$angle 1+angle 2=120{}^circ +60{}^circ =180{}^circ.$

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е.

Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей d.

angle 3 и angle 4 – это односторонние углы, а значит, они равны: $angle 3=angle 4=55{}^circ.$

Ответ: 55.

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите если $angle 1=22{}^circ ,$ $angle 2=72{}^circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$mparallel nRightarrow angle 1=angle 4=22{}^circ$ как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна $180{}^circ .$

Для треугольника на рисунке:

$angle 2+angle 3+angle 4=180{}^circ Rightarrow angle 3=180{}^circ -72{}^circ -22{}^circ =86{}^circ .$

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 ${}^circ$ и 45 ${}^circ.$ Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:
$angle A=angle BAC+angle CAD=30{}^circ +45{}^circ =75{}^circ ,$

angle A и angle B – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ, их сумма равна $180{}^circ .$

Тогда $angle B=180{}^circ -angle A=180{}^circ -75{}^circ =105{}^circ .$

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 ${}^circ.$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD, $angle A=30{}^circ.$

angle A и angle B – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ. Их сумма равна $180{}^circ ,$ значит, $angle B=180{}^circ -30{}^circ =150{}^circ.$

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $angle ACD=169{}^circ .$ Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: тогда – равнобедренный, в нем OC= CD. Значит, $angle COD=angle CDO=displaystyle frac{180{}^circ -169{}^circ }{2}=5,5{}^circ .$

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:4, считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда x=4, 7x=28.

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, $alpha -beta =50{}^circ ,$ то есть $alpha =beta +50{}^circ .$

Углы alpha и beta – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

$alpha +beta =180{}^circ ,$ по свойству односторонних углов.

Итак, $2beta +50{}^circ =180{}^circ.$

$beta =65{}^circ ,$ тогда $alpha =115{}^circ .$

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

angle B и angle C – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

и и секущей BC; их сумма равна $180{}^circ .$

BE – биссектриса угла В, значит как накрест лежащие углы при и секущей BE. Тогда – равнобедренный,

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит как накрест лежащие углы при и секущей CE. Тогда – равнобедренный и

Значит

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 ${}^circ.$ Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

angle B и angle C – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей BC, их сумма равна $180{}^circ .$

Значит, $angle C=180{}^circ -angle B=180{}^circ -122{}^circ =58{}^circ .$

ABCD – ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда $angle ACD=58div 2=29{}^circ .$

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен $54{}^circ .$ Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен $180{}^circ -108{}^circ =72{}^circ .$

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 ${}^circ.$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть $angle D=150{}^circ ; AB=18; DC=6; AD=7.$

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при и секущей BC. Их сумма равна $180{}^circ .$

Тогда $angle A=30{}^circ .$ Построим высоту из вершины Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30 ${}^circ .$

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в $30{}^circ$ и равный половине гипотенузы, т. е.

Отсюда $S_{ABCD}=displaystyle frac{DC+AB}{2}cdot h;$ $S_{ABCD}=displaystyle frac{6+18}{2}cdot 3.5=12cdot 3.5=42.$

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $50{}^circ$ ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е.

По условию, $angle D-angle B=50{}^circ Rightarrow angle C-angle B=50{}^circ ;$

angle C и прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
и и секущей BC. Их сумма равна $180{}^circ .$

$angle C+angle B=180{}^circ.$

Получили:

$left{ begin{array}{c}angle C-angle B=50{}^circ \angle C+angle B=180{}^circ end{array}right. .$

Сложив два уравнения, получим: $2angle C=230{}^circ ,$ тогда $angle C=115{}^circ.$

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол $150{}^circ .$ Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол трапеции равен 30 ${}^circ .$ Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е. h=4.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен $135{}^circ .$ Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол равен $45{}^circ .$

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, $angle BDA=40{}^circ$ и $angle BDC=30{}^circ .$ Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

$angle D=angle BDA+angle BDC=40{}^circ +30{}^circ =70{}^circ .$ Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна $180{}^circ .$ Значит, острый угол равен $110{}^circ .$

Нам дана трапеция, в которой AB=CD. Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями и .

и параллельны, BD секущая, тогда $angle ADB=angle DBC=40{}^circ .$

$angle ABD=angle ABC-angle DBC=110{}^circ -40{}^circ =70{}^circ.$

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит,

как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей AK.

Получили, что – равнобедренный и

$P_{ABCD}=left(AB+ADright)cdot 2=20,$ значит

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите если $angle 1=117{}^circ ,$ $angle 2=24{}^circ .$ Ответ дайте в градусах.

Решение:

$angle 2=angle 4=24{}^circ$ (как накрест лежащие углы).

$angle 1+angle 4+angle 3=180{}^circ$ (развернутый угол).

Тогда $angle 3=180{}^circ -left(angle 1+angle 4right)=180{}^circ -left(117{}^circ +24{}^circ right)=39{}^circ .$

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и $angle ACD=104{}^circ .$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е.

$AC=2ABRightarrow AB=displaystyle frac{1}{2}cdot ACRightarrow AB=AO=OC=CD.$

и параллельны, АС – секущая, $Rightarrow angle BAC=angle ACD=104{}^circ .$

– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

$angle BOA=displaystyle frac{180{}^circ -104{}^circ }{2}=38{}^circ .$

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему «Углы при параллельных прямых и секущей» — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Настало время разобрать теоремы, обратные признакам параллельности. Рассмотрим две параллельные прямые $a$ и $b$, пересеченные секущей $c$, и образованные секущей внутренние накрест лежащие углы $angle{A}$ и $angle{B}$. Если известно, что прямые параллельны ($aparallel{b}$), возможно ли сделать заключение, что углы $angle{A}$ и $angle{B}$ при этом равны?

Признаки параллельности все-таки «используются» в другую сторону: словом, нам известны признаки, на основе которых доказывается параллельность прямых. Давайте проверим, есть ли основания применять признаки не на посылке равенства или суммы углов, а на посылке параллельности.

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о накрест лежащих углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то накрест лежащие углы равны.

Доказательство

Пусть параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$, пересекающая прямые в точках $A$ и $B$ соответственно, образуют пару внутренних накрест лежащих углов $1$ и $2$. Предположим, что $angle{1}neq{angle{2}}$, то есть заключение теоремы ложно.

Проведем через точку $A$ прямую $d$ и отметим на ней точку $P$. Рассмотрим $angle{PAB}$. Если $angle{1}neq{angle{2}},$ положим, что тогда $angle{PAB}=angle{1}$.

$angle{PAB}$ и $angle{1}$ — равные накрест лежащие углы для прямых $d$, $b$ и секущей $c$. Признак параллельности по накрест лежащим углам гласит, что $dparallel{b}$. Мы пришли к противоречию, поскольку через точку $A$ тогда будет проходит две параллельные прямые.

Следовательно накрест лежащие $angle1$ и $angle2$ равны. Теорема доказана.

Не забываем про внешние накрест лежащие углы!

Скрыть текст

Вновь тот же самый вопрос, что мы разбирали под признаки параллельности: накрест лежащие углы бывают внутренними и внешними, теорема, обратная признакам параллельности, доказывается под углы внутренние, при этом формулировка включает общее положение просто о накрест лежащих углах. Что там с углами внешними?

Опять же, равенство $angle{3}$ и $angle{4}$ — прямое следствие. У равных углов смежные углы равны, поэтому равенство $angle{1}=angle{2}$ позволяет «автоматически» заключать равенство $angle{3}=angle{4}$.

Теорема о соответственных углах

Теорема о соответственных углах. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то соответственные углы равны.

Доказательство

Даны параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Образованные при этом углы $angle{1}$ и $angle{2}$ будут равны как накрест лежащие. Рассмотрим $angle{3}$: он вертикальный с $angle{2}$, следовательно равный ему. Поскольку $angle{1}=angle{2}$, а $angle{2}=angle{3}$, соответственные углы $angle{1}$ и $angle{3}$ будут равны. Теорема о соответственных углах доказана.

Задача. Прямые $a$ и $b$ пересекаются секущими $c$ и $d$. Известно, что $angle{A}=107^circ$, $angle{B}=73^circ$, а $angle{C}=92^circ$. Чему равняется $angle{x}$?

Дано:

$a$, $b$, $c$, $d$
$angle{A}=107^circ$
$angle{B}=73^circ$
$angle{C}=92^circ$

Решение. Определим, параллельны ли прямые $a$ и $b$. Нам известно, что равенство соответственных углов является необходимым и достаточным условием параллельности. Рассмотрим угол $angle{D}$. Он смежный с $angle{A}$, откуда получаем:

$$angle{D}=180^circ-107^circ=73^circ$$

Углы $angle{D}$ и $angle{B}$ равны, они являются соответственными при прямых $a$ и $b$. Следовательно $aparallel{b}$. Раз прямые параллельны, то соответственные углы $angle{C}$ и $angle{x}$ тоже равны.

Ответ: $angle{x}=92^circ$.

Теорема о сумме односторонних углов

Теорема о сумме односторонних углов. Если прямые пересечены секущей и являются параллельными, то сумма односторонних углов равняется $180^circ$.

Доказательство

Даны параллельные прямые $a$ и $b$ и секущая $c$. Предположим, что образованные при этом углы $angle{1}$ и $angle{2}$ в сумме дают $180^circ$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, соответственные углы $angle{1}$ и $angle{3}$ будут равны. Углы $angle{2}$ и $angle{3}$ смежные, поэтому $angle{2}+angle{3}=180^circ$.

При условии, что $angle{1}=angle{3}$, получаем:

$$angle{1}+angle{2}=180^circ$$

Сумма односторонних углов $angle{1}$ и $angle{2}$ равна $180^circ$. Теорема доказана.

Не забываем про внешние односторонние углы!

Скрыть текст

Сумма внешних односторонних углов также равняется $180^circ$, поскольку они являются смежными к внутренним односторонним. У нас — две пары смежных углов, одна из которых в сумме дает $180^circ$. Как видите, теоремы, обратные признакам параллельности, в доказательстве ведут себя как и признаки параллельности.

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов

Давайте представим частный случай, что секущая $c$ при параллельных прямых $a$ и $b$ является перпендикуляром к прямой $a$.

Теперь подумаем: будет ли она также перпендикулярна к $b$?

Если прямые параллельны, то сумма односторонних углов равняется $180^circ$. Рассмотрим углы $angle{1}$ и $angle{2}$. По условию $angle{1}=90^circ$. Значит, заключаем, что $angle{2}$ также равняется $90^circ$. Следовательно секущая $c$, перпендикулярная к прямой $a$, будет также перпендикулярна к прямой $b$.

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов. Прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет также перпендикулярна ко второй.

Учтите, что это следствие мы привязали к теореме о сумме односторонних углов лишь «для красоты», в стиле: «Пусть будет логичная завершающая точка». Это следствие можно вывести из любой теоремы выше.

Комментарий: необходимость и достаточность

А вот, теперь мы формально доказали, что сумма односторонних углов в $180^circ$, равенство накрест лежащих углов и равенство соответственных углов — необходимые и достаточные условия параллельности прямых. Сформулировав и доказав обратные теоремы к признакам в данном уроке, мы доказали необходимость каждого условия для параллельности.

Главный вывод: параллельность необходима и достаточна, чтобы заключить о равенстве накрест лежащих или соответственных углов, а также о сумме односторонних углов. В обратную сторону — то же самое!

Так что параллельных прямых, в которых бы, например, накрест лежащие углы были не равны, просто не существует в природе. Параллельность и ее признаки равнозначны.

Решим задачу

Задача повышенного уровня сложности. Попробуйте решить сами. Все непременно получится!

Два тела $A_1$ и $C_1$ подвешены на концах нити, перекинутой через блоки $A$ и $C$. Третье тело $B_1$ подвешено на той же нити в точке $B$ и уравновешивает тела. Известно, что ${AA_1parallel{BB_1}}parallel{CC_1}$. Можно ли утверждать, что $angle{ABC}$ равняется сумме углов $angle{A_{1}AB}$ и $angle{C_{1}CB}?$

Показать решение

Спрятать решение

Дано:

$angle{ABC}$, $angle{A_{1}AB}$, $angle{C_{1}CB}$
${AA_1parallel{BB_1}}parallel{CC_1}$

Решение

Найти:

$angle{ABC}=angle{A_{1}AB}+angle{C_{1}CB}$

Построим продолжение для отрезков $AB$ и $CB$. Отметим точки на прямых $AA_1$ и $CC_1$ как $A_2$ и $C_2$ соответственно.

Для параллельных прямых $CC_1,$ $BB_1$ и секущей $CA_2$ углы $angle{C_{1}CB}$ и $angle{B_{1}BA_2}$ — соответственные. Следовательно равные. Аналогично: $angle{A_{1}AB}=angle{B_{1}BC_2}$, при параллельных прямых $AA_1$, $BB_1$ и секущей $AC_2$.

Угол $angle{A_{2}BC_2}$ следовательно равен сумме углов $angle{A_{1}AB}+angle{C_{1}CB}$. Также угол $angle{A_{2}BC_2}$ равен углу $angle{ABC}$ как вертикальный.

Откуда получаем, что $angle{ABC}=angle{A_{1}AB}+angle{C_{1}CB}$. Что и требовалось доказать.

Если вы решали через сумму односторонних углов и накрест лежащие углы, решение могло получиться объемнее. Но какая разница. Главное, что правильно.

Источник

Соответственные углы — определение, основные свойства и признаки

Базисные понятия

Углы, образующиеся при пересечении прямых

Соответственные углы при параллельных прямых

Доказательство подобия треугольников

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема о сумме односторонних углов

Следствие из теоремы о сумме односторонних углов

Комментарий: необходимость и достаточность

Решим задачу

Не пропустите также: