Высота ромба онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти высоту ромба по известным элементам. Для нахождения высоты ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.
Содержание
- Высота ромба через сторону и площадь
- Высота ромба через сторону и угол
- Высота ромба через диагонали
- Высота ромба через угол и противолежащую диагональ
- Высота ромба через угол и диагональ из данного угла
- Высота ромба через радиус вписанной в ромб окружности
1. Высота ромба через сторону и площадь
Пусть задан ромб (Рис.1).
Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:
Откуда легко вывести формулу высоты ромба через сторону и площадь:
2. Высота ромба через сторону и угол
Рассмотрим ромб со стороной a и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол.
Проведем высоту AH. Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:
Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:
Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого угла. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: (small angle C=180°-alpha.) Следовательно (small sin angle C=sin(180°-alpha)=sin alpha.) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.
3. Высота ромба через диагонали
Выведем формулу вычисления высоты ромба через диагонали. Плошадь ромба через диагонали вычисляется формулой (см. статью Площадь ромба):
а через сторону и высоту, формулой
Из формул (3) и (4) следует:
Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).
Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:
Откуда:
Подставим (7) в (5) и найдем h:
4. Высота ромба через угол и противолежащую диагональ
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:
Откуда получим:
С другой стороны (см. параграф 2):
Подставим (9) в (10):
Применяя формулу двойного угла для (small sin alpha, ) имеем: (small sin alpha=2 cdot sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} . ) Подставляя это равенство в формулу (11), получим формулу высоты ромба через угол и противолежащую диагональ:
5. Высота ромба через угол и диагональ из данного угла
Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.
Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба разделяют его на четыре равных прямоугольных треугольников. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:
Учитывая, что ( small BO=frac{large d}{large 2}) и ( small angle ABO=frac{large alpha}{large 2}), формулу (13) можно записать так:
или
Подставим (14) в (2):
или, учитывая что (small sin alpha=2 cdot sin frac{alpha}{2} cdot cos frac{alpha}{2} , ) получим:
6. Высота ромба через радиус вписанной в ромб окружности
Покажем, что высота ромба через радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:
В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и высоту вычисляется формулой
а площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности − формулой:
Тогда из формул (16) и (17) следует:
или:
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Пусть х — коэффициент пропорциональности.
Тогда BD = 6х, AB = BC = CD = DA = 5x.
ВО = OD = 3х.
ΔВОС: ∠ВОС = 90°, по теореме Пифагора
ВС² = ВО² + ОС²
25x² = 9x² + 400
16x² = 400
x² = 25
x = 5 (x = — 5 не подходит по смыслу задачи)
Сторона ромба: ВС = 5 · 5 = 25 см
BD = 6 ·5 = 30 см
Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей или как произведение стороны на проведенную к ней высоту:
Sabcd = AC·BD/2 = BC·h, где h — высота ромба.
40 · 30 / 2 = 25 · h
h = 600/25 = 24 см
Учебник
Геометрия, 11 класс
Ромб: Свойства, Формулы. Задачи
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
- «Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
- Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».
Свойства ромба:
- Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
- Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
- У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
- Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
- Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
- Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
- Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
- Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Формулы Площади ромба:
- Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
- Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
- Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей
Вписанная окружность в ромб:
- В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
- Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
- Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
- Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.
Задача 1: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.
- Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
- Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
- Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$
Задача 2: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.
- Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
- Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
- $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
- например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
- Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
- Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
- а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
- $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
- Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
- Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
- Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
- Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$
Задача 3: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.
Решение: пробa Анализ рисунка:
- $AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
- Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
- Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
- (по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
- Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
- $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
- Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.
Упражнения:
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
- «Чтоб Выучить, распознать нечто стоящее — узнать его в движении, при изменениях»
- Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.
Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».
Свойства ромба:
- Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
- Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
- У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
- Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
- Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
- Диагонали ромба со сторанами образуют равные накрест лежащие углы.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
- Меньшая диагональ $AC^2=a^2+b^2-2cdot acdot bcdotcos D$ , большая — $BD^2=a^2+b^2+2cdot acdot bcdotcos D$ .
- Сумма {Цвет:Red квадратов диагоналей ромба равна $AC^2+BD^2=4cdot a^2$ четырежды квадрат стороны.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Формулы Площади ромба:
- Площадь ромба равна произведению основания на высоту $S_{ABCD}=ADcdot CH$ , $S=acdot h$ ;
- Площадь ромба равна через синус угла: $S=a^2cdotsin A$ , квадрат стороны на синус .
- Площадь ромба через диагонали: $S=frac{ACcdot BD}{2}$ . — половина произведения диагоналей
Вписанная окружность в ромб:
- В четырехугольник можно вписать окружность только если … суммы противоположных сторон равны.
- Вписать окружность можно в ромб и квадрат, ;
- Если вписывается, то площадь $S=pcdot r$, $p=2cdot a$ $S=2cdot a cdot r$.
- Центр Вписанной окружности находится на пересечении диагоналей. Диагонали — суть биссектрисы углов.
Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.
- Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
- По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершине $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
- Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.
Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.
- Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
- Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
- Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$
Задача 3: Найти площадь ромба $ABCD$, если его высота $EB=12$ , а меньшая диагональ $BD=13$.
- Решение: Проведем высоту из той же вершины, из которой проведена меньшая диагональ.
- Получили прямоугольный треугольник $BED$ . Он подобен тем треугольникам, на которые ромб делится диагоналями:
- $bigtriangleup BED sim bigtriangleup AOD=bigtriangleup AOB=bigtriangleup COB=bigtriangleup COD$ . Все прямоугольные и есть равные углы.
- например $alpha$. Для нахождения площади нам нужно найти или сторону ромба, или его вторую диагональ.
- Для угла $alpha$ в $bigtriangleup EBD$ мы знаем гипотенузу и противолежащий катет $Rightarrow$ $sinalpha=frac{BE}{BD}=frac{12}{13}$
- Перейдем к $bigtriangleup OCD$ : в нем прилежащий катет $OD=frac{1}{2}BD=6,5$. Чтобы найти второй катет, нам нужен тангенс,
- а чтобы найти гипотенузу, т. е. сторону ромба, – косинус. Найдем их через основное тригонометрическое тождество :
- $sin^2alpha+cos^2alpha=1$ . Тогда косинус: $cosalpha=pmsqrt{1-sin^2alpha}=pmsqrt{1-frac{144}{169}}=pmsqrt{frac{25}{169}}=pmfrac{5}{13}$
- Угол $alpha$ острый, так как он входит в прямоугольный треугольник, т. е. принадлежит первой четверти.
- Следовательно, косинус положительный и мы останавливаемся на одном значении: $cosalpha = frac{5}{13}$
- Тогда: $frac{DO}{DC}=frac{6,5}{DC}=cosalpha=frac{5}{13}$ $Rightarrow$ $DC=frac{6,5cdot13}{5}=frac{13cdot13}{10}=16,9$
- Площадь ромба равна произведению основания на высоту: Ответ: $S=16,9cdot12=202,8$
Задача 4: В Ромбе $ABCD$ точка $K$ делит сторону $CD$ в соотношении $2:7$, а $M$ делит $1:3$ сторону $BC$. $MN$ параллельна $AB$, $O$ — пересечение $MN$ и $BK$. Найти площадь трапеции $ABON$, если площадь $ABCD=420$.
Решение: пробa Анализ рисунка:
- $AB$, $MN$, $CD$ — параллельные. Какие углы равные?
- Треугольники $BMO$ и $BKC$ подобные. Коэффициент подобия $1:3$.
- Отношение площадей $BMO$ и $BKC$ равен $1:9$ — квадрату коэффициента подобия.
- (по формулам) Площади $BKC$ и $BCD$ относятся как $CK$ и $CD$, т.е. $5:7$.
- Площадь $BCD$ равен половине площади $ABCD$, т.е. $S_{BCD}=210$.
- $S_{ABMN}:S_{ABCD}=1:3$ $Rightarrow$ $S_{ABMN}=140$ .
- Из складываемости площадей: площадь $ABON$ = разности площадей $ABMN$ и $BOM$.
Упражнения:
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
- «Чтоб Выучить, распознать нечто неподвижное — узнать его в движении, при изменениях»
- Ромб провернем на 180 градусов вокруг точки пересечения диагоналей — ромб совместится с самим собой. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по диагонали — новый ромб совпадет с прежним. Симметрия.
- Отразим ромб зеркально по другой диагонали — ромб совпадает с самим собой. Симметрия.
Замечание: Если «зряче видим» центральную и осевые симметрии ромба, то все его свойства у нас «в кармане».
Свойства ромба:
- Ромб симметричен относительно точки O — пересечения диагоналей. O — центр симметрии.
- Ромб симметричен относительно любой из диагоналей. Диагональ — ось симметрии.
- У ромба, по определению, Стороны равны $AB=BC=CD=DA=a$.
- Противолежащие углы равны $angle A=angle C$ , $angle B=angle D$ . Прилежащие $angle A+angle B=180^o$ , $angle A+angle D=180^o$.
- Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам $AO=OC=frac{AC}{2}$ и $BO=OD=frac{BD}{2}$.
- Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и образуют прямоугольные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба со сторонами ромба образуют равнобедренные $bigtriangleup$ треугольники.
- Диагонали ромба являются биссектрисами углов — делят углы пополам.
- Диагонали ромба со сторонами образуют равные накрест лежащие углы.
- Угол между высотами ромба, проведенными из вершины тупого угла, равен острому углу ромба.
Квадрат — одновременно прямоугольник, ромб, параллелограмм. Диагонали квадрата равны между собой и делятся пополам.
Задача 1: Найти периметр ромба $ABCD$, в котором $angle C=60^o$ , а меньшая диагональ равна $10,5$ см.
- Решение: Рассмотрим $bigtriangleup BCD$. Что в нём равного? $Rightarrow$ каков данный треугольник?
- По условию, угол $bigtriangleup BCD$ у вершины $angle B=60^o$ , тогда как два других угла?
- Каков все-таки этот треугольник? Чему равны стороны ромба. А сумма сторон? Ответ: $p=42$ см.
Задача 2: Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен $45^o$.
- Решение: «Односторонние углы»: В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^o$ .
- Противоположные стороны ромба параллельны, их пересекает диагональ (секущая). Какие накрест лежащие углы равны?
- Как найти все углы ромба. Кем является Диагональ в ромбе для угла? Ответ: $22^o30’$ , $67^o30’$
- Полезные напоминания: «В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов.
- Если в равнобренном треугольнике один из углов 60, то это равносторонный треугольник — стороны равны, углы тоже.
- В прямоугольном треугольнике катет напротив угла 30 градусов равен половине гипотенузы.
Упражнения:
Задачи из сайта https://resh.edu.ru :
Задача 11: В ромбе АВСD ∠А = 140°, диагонали пересекаются в точке O. Найдите угол CBO.
Задача 12: В ромбе ABCD ∠С = 50°. Точка O – точка пересечения диагоналей ромба. Найдите угол OBC.
Задача 13: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.
Задача 14: ???? В любом ромбе равны… Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180 градусов:(?) Ромб, у которого все углы равны, это… (?) Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. (?) Диагонали взаимно перпендикулярны. (?)
Задача 15: Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. В образовавшемся четырёхугольнике ∠CAD = ∠ADB. Найдите ∠BCA.
Задача 16: На диагонали квадрата как на стороне построен новый квадрат. Чему равна его диагональ, если сторона исходного квадрата равна 6 см?
Задача 17: Одна из диагоналей ромба образует с его стороной угол 65°. Найдите больший угол ромба.
Ромб – это фигура, являющаяся параллелограммом. Но его особенность в том, что он обладает четырьмя
одинаковыми сторонами. Имеет некоторые важные геометрические свойства, а если быть точнее:
- Два угла будут равны, если они противоположные.
- Точка пересечения делить диагонали пополам.
- Стороны, которые находятся друг напротив друга, попарно равны.
- Если сложить градусную меру соседних углов, то получится 180 градусов.
- Биссектрисами ромба являются все его диагонали
- Высота ромба через сторону и синус любого угла
- Высота ромба через длинную диагональ и синус острого
угла - Высота ромба через короткую диагональ и синус тупого
угла - Высота ромба через диагонали
- Высота ромба через диагонали и сторону
Через диагонали
Бывают случаи, когда из всех возможных данных нам известны только две диагонали: длинная и короткая,
тогда математики применяют такую формулу:
h = D * d / (√D² + d²)
где h – высота ромба, D – длинная диагональ, d – короткая диагональ.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Имеем ромб ABCD, длинная диагональ равна 7 см, а короткая – 4 см. В условиях
сказано, что нужно найти высоту, округлив ответ до десятых. Используя предыдущую формулу,
подставляем вместо переменных следующие числа: h = 7 * 4 / (√7² + 4²) = 3.4. Ответ: 3.4 см.
Через диагонали и сторону
Когда в условиях задачи нам даны обе диагонали (и короткая, и длинная) вместо с одной из сторон, то
нужно следовать этой формуле:
h = Dd / 2a
где h – высота, D – длинная диагональ, d – короткая диагональ, a – одна из сторон
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Решим задачу. Дан ромб ABCD. Имеется две диагонали: короткая диагональ равна
3 см, а длинная 6. Сторона AB в длину составляет 8 см. Найдите высоту, ответ дайте в десятых. Режим
задачу при помощи формулы: h = 6 * 3 / 2 * 8 = 1,2 см. Ответ: 1,2 см.
Через длинную диагональ и синус острого угла
Если в задаче дан синус острого угла, а так же нам известно значение длинной диагонали, то можно
использовать данный способ:
h = D * sin α/2
где h – высота, D – длинная диагональ, sin α – синус острого угла.
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Приведём одну из возможных ситуаций. В задаче представлен ромб ABCD. Нам
неизвестны его стороны, однако мы знаем, что длинная диагональ равна 9 сантиметрам. Так же мы имеем
острый угол α в 30°. Нужно найти его высоту, ответ округляем до десятых. Для этого мы умножаем
диагональ на sin острого угла, так как он равен 30°, то его синус равен 1/2, соответственно: h = 9 * 1/2 = 2.3 сантиметра. Ответ: 2.3 см.
Через короткую диагональ и синус тупого угла
Допустим, в условиях прописано, какая длина у короткой диагонали. Так же мы знаем градус одного
тупого угла. Для решения задач подобного типа используем эту формулу:
h = d * sin β/2
где h – высота, d – короткая диагональ, β – синус тупого угла
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Решим одну из задач. Нам дан ромб ABCD. У этой фигуры короткая диагональ
равна 10 см, мы знаем, что в ромбе есть тупой угол в 150°. Найдите высоту с точностью до десятых.
Чтобы узнать необходимую величину, необходимо умножить D, что обозначает длинную диагональ на sin
150°/2, получается: h = 10 * (sin 150º / 2) = 9.8 сантиметров. Ответ: 9.8
см.
Через сторону и синус любого угла
Для того чтобы найти высоту фигуры используя сторону и любой синус, нужно обратиться к следующей
формуле:
h = a * sin α
где h является высотой, a – сторона ромба, sin α – синус любого угла, который мы решили взять
Цифр после
запятой:
Результат в:
Пример. Рассмотрим формулу на примере. Имеем ромб ABCD, где сторона CB = 5
сантиметров, а угол C равен 90°. Чтобы найти его высоту, нам необходимо умножить CB на sin угла C.
Так как синус угла 90 градусов равен 1, соответственно, получаем следующее выражение: h = 5 • 1 = 5 сантиметров составляет высота ромба ABCD. Ответ: 5 см
Если быть внимательным, то можно заметить необычные признаки ромба, по которым его легко отличить от
других:
- Если в параллелограмме есть возможность вписать окружность, то это ромб.
- Если в параллелограмме все высоты равны, то это ромб.
- Если в параллелограмме под углом в 90° пересекаются диагонали, то это ромб.
- Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны друг друга, кроме этого ещё и делятся точкой
пересечения, то это ромб. - Если все четыре стороны параллелограмма равны, то это ромб.
Задачи на нахождение различных величин ромба встречаются во многих экзаменах, в том числе на ОГЭ и
ЕГЭ.
Порой в задачах необходимо определить высоту ромба, чтобы при её помощи узнать основную неизвестную
величину. К примеру, для того, чтобы вычислить площадь ромба, в одной из формул нам необходимо знать
высоту: , где a – это одна из сторон ромба, а h – высота. По обратной формуле можно будет найти
сторону ромба, для этого будет необходимо разделить площадь на высоту: .
Высот у ромба 4 , но они равны между собой , если рассмотреть все треугольники , в которые входят эти высоты. Высоту ромба можно найти по тем формулам , исходя из того , какие данные изначально даны в задаче .
1 ) Допустим , дана площадь ромба S и его сторона а , тогда высота ромба h = S / a ,
2 ) Если даны диагонали ромба d1 и d2 , и сторона ромба а :,
h = (d1 * d2 ) / a ,
3 ) Если дана сторона а и угол между смежными сторонами А :
h = a * a * sin A / a = a * sin A.
Возможны другие варианты нахождения высоты ромба в зависимости от того , что будет дано в условии задачи. Но одними из основных данных параметров ромба являются а (сторона ромба ) , диагонали d1 , d2 , A (sin A).