Логарифмическая функция как найти наибольшее значение функции - AvtoShod.ru

Наибольшее и наименьшее значение логарифмической функции. Задание 12

В этой статье мы рассмотрим решение двух примеров, которые на первый взгляд очень похожи, а на второй принципиально отличаются друг от друга.

Итак.

Пример 1

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

Чтобы найти наибольшее значение функции, нам надо найти ее производную, затем приравнять производную к нулю, определить ее знаки и выяснить поведение функции на отрезке.

В этом примере под знаком логарифма стоит выражение x+5 в пятой, то есть в нечетной степени. Если мы возводим отрицательное число в нечетную степень, то в результате получаем отрицательное число. Поскольку выражение по знаком логарифма должно быть больше нуля, следовательно, и отсюда x+5>0 .

Упростим функцию: вынесем показатель степени за знак логарифма. Получим .

Найдем производную функции. (Не забываем, что мы, строго говоря, имеем дело со сложной функцией.)

Найдем нули производной:

Определим знаки производной: (учитываем, что x+5>0 )

И, соответственно, поведение функции:

В точке x=-4 производная меняет знак с «+» на «-«, следовательно, это точка максимума функции. Точка -4 принадлежит заданному отрезку:

Следовательно, в точке x=-4 функция принимает наибольшее значение на отрезке .

Найдем значение функции при x=-4 :

Ответ: 20.

Замечание. Так как при решений заданий В-части в ответе должно получиться целое число или конечная десятичная дробь, а натуральный логарифм при рациональном аргументе принимает такие значения только в том случае, если его аргументом является число 1, то мы могли бы сразу сказать, что x=-4 , т.к. x+5=1 . Но это для тех, кому трудно освоить алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке.

Пример 2.

Найдите точку максимума функции

В этом примере под знаком логарифма стоит выражение в квадрате. Выражение в четной степени больше нуля, если основание степени не равно нулю, поэтому область допустимых значений этой функции x<>-4 . Если бы мы решили вынести показатель степени за знак логарифма, то получили бы такое выражение:

При вынесении четной степени не забываем ставить модуль! Если бы мы забыли поставить знак модуля, то сузили бы область определения функции.

Далее, чтобы взять производную, нам пришлось бы раскрыть модуль, а для этого рассмотреть два промежутка: x>-4 и x<-4 . Но поскольку в школе практически не рассматривают нахождение производной от функции с модулем, мы не будем выносить показатель степени за знак производной, а найдем производную сложной функции:

$y{prime}={1/{x^2+8x+16}}*(x^2+8x+16){prime}+2={2x+8}/{x^2+8x+16}+2$ $={2(x+4)}/{(x+4)^2}+2=2/{x+4}+2$

Найдем нули производной:

2x+10=0

x=-5;

В точке -4 производная не определена, но меняет знак.

Исследуем знаки производной:

В точке x=-5 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«, следовательно, это точка максимума функции.

Ответ: -5

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать

Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Функции с логарифмами (наибольшее и наименьшее значение). В этой статье речь пойдёт о задачах на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции. Рассмотрим задачи с логарифмами. Задания связанные с исследованием функции разнообразны. Кроме логарифмических функций рассматриваются: функции с числом е, с тригонометрическими функциями, дробно-рациональные функции и прочие.

В любом случае рекомендую ещё раз просмотреть теорию изложенную в статье «Исследование функций. Это нужно знать». Если вы этот материал поняли и имеете хороший навык нахождения производных, то любую задачу в этой теме решите без труда.

Напомню алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке:

1. Вычисляем производную.

2. Приравниваем её к нулю и решаем уравнение.

3. Определяем принадлежат ли полученные корни (нули производной) данному отрезку. Отмечаем те, которые принадлежат.

4. Вычисляем значения функции на границах отрезка и в точках (полученных в предыдущем пункте) принадлежащих данному отрезку.

*В некоторых случаях удобно обойтись без п.4. Достаточно определить убывание (возрастание) функции чтобы найти точку максимума (минимума) и далее вычислить наименьшее (наибольшее) значение.

Найдите наименьшее значение функции у=5х–ln (х+5)⁵на отрезке [–4,5;0].

Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее из них.

Вычисляем производную, приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

Производная функции:

Найдем нули производной:

*Дробь равна нулю тогда, когда числитель равен нулю.

Точка х= – 4 принадлежит заданному интервалу.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках: – 4,5; – 4; 0.

Значения с логарифмами, которые мы получили, вычислить (или проанализировать) можно. НО! На это уйдет драгоценное время

Вычислять их не обязательно. Почему? Мы знаем, что ответом должно быть либо, целое число, либо конечная десятичная дробь. А значения с логарифмами: – 22,5 – ln 0,5⁵ и – ln3125 такого ответа не дадут.

Кроме того, убедится в том, что в точке х=–4 функция приобретает минимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (– 5:– 4) и (– 4;+∞).

Теперь информация для тех, у кого с производной и пониманием того, как решать подобные задачи, нет вообще никаких трудностей. Как можно обойтись без вычисления производной и без лишних расчётов?

Итак, если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то такое значение мы можем получить только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма в скобках у нас получится единица или число е. В противном случае, мы не сможем получить оговоренное значение. А это возможно только при х = – 4.

Значит именно в этой точке значение функции будет наименьшим, вычислим его:

Ответ: – 20

Решить самостоятельно:

Найдите наименьшее значение функции у=3х– ln (х+3)³на отрезке [–2,5;0].

Посмотреть решение

Найдите наибольшее значение функции у=ln (х+5)⁵–5х на отрезке [–4,5;0].

Посмотреть решение

Найдите наибольшее значение функции у=х²–13х+11∙lnх+12 на отрезке [13/14; 15/14].

Чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке, необходимо вычислить значение функции на его концах, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале.

Вычислим производную, приравниваем её к нулю, решим полученное уравнение:

Решив квадратное уравнение, получим

Точка х = 1, принадлежит заданному интервалу.

Точка х = 22/4 ему не принадлежит.

Таким образом, вычисляем значение функции в точках:

Мы знаем, что ответом является целое число либо конечная десятичная дробь, значит наибольшее значение функции равно 0. В первом и третьем случае такое значение мы не получим, так как натуральный логарифм данных дробей такого результата не даст.

Кроме того, убедится в том, что в точке х = 1 функция приобретает максимальное значение, можно определив знаки производной на интервалах от (0:1) и (1;+∞).

Как решить такой тип задач без вычисления производной?

Если учесть, что ответом должно быть целое число, либо конечная десятичная дробь, то это условие обеспечивается только тогда, когда х будет являться целым числом, либо целым с конечной десятичной дробью и при этом под знаком логарифма у нас будет единица или число е.

Это возможно только при х = 1. Значит в точке х=1 (или 14/14) значение функции будет наибольшим, вычислим его:

Ответ: 0

Решите самостоятельно:

Найдите наибольшее значение функции у = 2х²–13х+9∙lnх+8 на отрезке [13/14; 15/14].

Посмотреть решение

Отмечу, что способ решения таких заданий без нахождения производных, можно использовать только для экономии времени при вычислении задания на самом экзамене. И только в том случае, когда вы отлично понимаете, как решать такие задачи через нахождение производной (по алгоритму) и хорошо умеете это делать. Бесспорно, что при решении без вычисления производной должен быть некоторый опыт в аналитике.

«Хитрых» приёмов, которые порой помогают в конкретных заданиях множество, и все их не запомнить. Важно понимать принципы решения, свойства. Если же вы возложите свои надежды на какой-то приём, то он может просто не сработать по простой причине: вы его забудете или вам попадёт такой тип задания, который вы видите впервые.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

На этом всё. Успехов Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Источник

Нахождение
наибольшего значения логарифмической функции.

Краткая
теоретическая часть

Рассмотрим,
как производная используется для нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке. Наибольшее и наименьшее значение непрерывной
функции на отрезке может быть как на концах отрезка, так и внутри него. ( в
отличие от экстремумов функции, которые на концах промежутка не могут быть).
Если наибольшее или наименьшее значение достигается внутри отрезка, то это
только в стационарных точках (где производная равна нулю) или в
критических ( где производная не существует). Будем их называть
одним словом «Критические».

Алгоритм нахождения
наибольшего и наименьшего значения функции y
= f(x)
на отрезке [a;b]

1. Найти
производную f ´(x).

2. Найти
стационарные и критические точки (приравнять производную к нулю, то есть

найти f
´(x)=0).

3. Из
полученных точек выбрать те, которые попадают в заданный по условию отрезок.

4. Вычислить
значение функции в выбранных точках и на концах промежутка.

5. Из
полученных чисел выбрать самое наибольшее У_наиб
или самое наименьшее У_наим.

Самостоятельная
работа.

Вариант
1.

1. Найдите наибольшее
значение функции $y~=~ln {{(x+5)}^{5}}-5x$

на отрезке .

2.Найдите
наибольшее значение функции $y~=~ln {{(x+4)}^{9}}-9x$

на
отрезке .

3. Найдите
наибольшее значение функции на отрезке .

4.
Найдите наибольшее значение функции

на
отрезке $[frac{1}{8};frac{5}{8}]$ .

5.
Найдите наибольшее значение функции

на
отрезке $[frac{1}{22};frac{5}{22}]$ .

6.
Найдите наибольшее значение функции на отрезке $[frac{10}{11};frac{12}{11}]$ .

7.
Найдите наибольшее значение функции .

8.
Найдите наибольшее значение функции .

Вариант
2.

1. Найдите наибольшее
значение функции $y~=~ln {{(x+5)}^{7}}-7x$

на отрезке .

2. Найдите наибольшее
значение функции $y~=~ln {{(x+4)}^{5}}-5x$

на отрезке .

3.
Найдите наибольшее значение функции на
отрезке .

4. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке $[frac{1}{10};frac{1}{2}]$ .

5.Найдите
наибольшее значение функции

на отрезке $[frac{1}{4};frac{5}{4}]$ .

6.
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
$[frac{7}{8};frac{9}{8}]$ .

7.
Найдите наибольшее значение функции .

8.
Найдите наибольшее значение функции

Вариант 3.

1.Найдите наибольшее значение функции $y~=~ln {{(x+5)}^{3}}-3x$

на отрезке .

2. Найдите наибольшее значение функции $y~=~ln {{(x+3)}^{9}}-9x$

на отрезке .

3. Найдите наибольшее
значение функции

на отрезке .

4.
Найдите
наибольшее значение функции

на
отрезке $[frac{1}{20};frac{1}{4}]$ .

5.
Найдите
наибольшее значение функции

на
отрезке $[frac{1}{14};frac{5}{14}]$ .

6.
Найдите
наибольшее значение функции

на
отрезке $[frac{5}{6};frac{7}{6}]$ .

7.
Найдите наибольшее значение функции .

8.
Найдите наибольшее значение функции

Вариант 4

1.Найдите наибольшее значение функции $y = ln {{(x+15)}^{12}}-12x$

на отрезке .

2. Найдите наибольшее
значение функции $y~=~ln {{(x+7)}^{2}}-2x$

на отрезке .

3. Найдите наибольшее
значение функции

на отрезке .

4. Найдите наибольшее
значение функции

на отрезке $[frac{1}{4};frac{5}{4}]$ .

5. Найдите наибольшее
значение функции

на отрезке $[frac{1}{12};frac{5}{12}]$ .

6. Найдите наибольшее
значение функции .

7. Найдите наибольшее
значение функции

на
отрезке $[frac{8}{9};frac{10}{9}]$ .

8.Найдите
наибольшее значение функции

Источник

Тема исследования:

« Нестандартные решения « В-14 » ЕГЭ по
математике ».

2012
– 2013 учебный год.

Учитель:Л.А.Цораева.

Оглавление.

1.
Введение …………………………………………………………….. 3

2.
Нахождение наименьшего и наибольшего
значения функций, с помощью понятия производной……………………………………. 5

3.
Логарифмическая функция в задачах «В-14»
ЕГЭ………………… 7

4.
Натуральный логарифм в задачах на
нахождение наибольшего и наименьшего значений функций……………………………………. 8

5.
Экспонента в задачах
«В-14»……………………………………….. 9

6.
Показательная функция с квадратичным
показателем в задачах

«В – 14»……………………………………………………………… 10

7.
Нахождение наибольшего или наименьшего
значения функций, содержащих тригонометрические функции………………………. 11

8.
Решение задач «В-14» для функций,
представленных в виде квадратной функции под знаком квадратного корня………………12

9.
Функция на отрезке……………13

10.
Заключение……………………………………………………………15

11.
Список литературы…………………………………………………..16

Введение.

Дорогой
выпускник!

ЕГЭ
проводится с 2001 года, когда стартовал эксперимент в нескольких регионах
страны. После завершения эксперимента с 2009 года ЕГЭ стал обязательным для
сдачи во всех школах России для поступления во все ВУЗы. Недавно в Интернете я
прочитала, что в 2013 году проходной балл будет существенно повышен, так как
считают, что это единственный способ улучшить качество знаний обучающихся. Для
вас выпускников, это означает, что получить высокий балл на экзамене можно,
если мы справимся с 90% работы. Но зачастую задачи первой части требуют
длительных вычислений.

Возьмем
к примеру задачи «В-14» — нахождение наибольшего или наименьшего значения
функции. Нередко в заданиях этого типа представлены функции, содержащие
логарифмы, квадратный корень, показательную функцию, тригонометрические
функции. Чтобы выполнить это задание, нужно знать производные этих функций ,
знать значение тригонометрических функций для некоторых углов, уметь работать с
приближенными значениями. При этом на экзамене нельзя пользоваться
калькулятором. Я ,предлагаю без производной , найти способ без без временных
затрат выполнить поставленную задачу, используя свойства логарифмической,
показательной, тригонометрической, квадратной функций. Конечно, точного
математического доказательства примененного способа нет, но задания подобраны
таким образом, что данный прием дает 100% результат. И на выполнение этого
задания можно потратить около двух минут, а значительная часть выпускников даже
не приступит к его решению, если выполнять его по «традиционной» схеме.

В
работе рассмотрены все функции, к которым можно применить этот прием, так как в
заданиях типа «В-14» ответом является либо целое число, либо конечная
десятичная дробь.

В
работе также показано решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции с помощью понятия производной.

Времени
до экзаменов осталось немного, и если в задании «В-14» встретится
рассматриваемая функция, и вы воспользуетесь результатами моей работы, то для
решения сложных задач типа «С₁– С₆» у вас будет
достаточно времени.

Желаю
вам успеха!

Нахождение наименьшего и наибольшего
значения функций, с помощью понятия производной.

Задача 1.

Найти
наибольшее и наименьшее значение функции:

на
отрезке [-2;0].

Решение: Решение задач
«В-14» осуществляется по следующему алгоритму:

1.
Найти производную функции.

2.
Найти критические точки, т.е. решить
уравнение

3.
Выяснить какие критические точки
принадлежат отрезку .

4.
Найти значения функции в тех критических
точках, которые принадлежат и
на концах промежутка.

5.
Из полученных значений найти наибольшее и
наименьшее, они и будут соответствовать наибольшему и наименьшему значению
функции.

3)
; ;

Ответ: ; .

Задача 2.

Найти наибольшее значение функции:

Решение:

;
;

так както;

Ответ: 11

Сделай сам:

1)
Найти наименьшее значение функции

,
на отрезке .

2)
Найти наибольшее значение функции

на
отрезке .

Логарифмическая функция в задачах «В-14»
ЕГЭ

Задача 3.

Найдите
наибольшее значение функции

Решение:Поскольку исходная
логарифмическая функция убывающая, т.к. то
функция принимает наибольшее значение при наименьшем значении .

Рассмотрим
функцию графиком
которой является парабола, ветви которой направленны вверх, и наименьшее
значение ее достигается в вершине параболы. Исходная задача свелась к
нахождению абсциссы вершины параболы, т.е.

Функция
принимает наибольшее значение при ,
т.е.

Ответ:
.

Задача 4.

Найдите
наибольшее значение функции

Решение:Исходная
логарифмическая функция является возрастающей, т.к. поэтому функция
принимает наибольшее при наименьшем значении подлогарифмического выражения.
Графиком функции является
парабола, ветви которой направленны вниз, и наибольшее ее значение достигается
в вершине параболы.

Итак,
функция=

Ответ:

Вывод: таким способом можно
решить 4 типа задач:

1.
Нахождение наибольшего значения функции

при
и

2.
Найти наибольшее значение функции

при
и

3.
Найти наименьшее значение функции

при
и

4.
Найти наименьшее значение функции

при
и

Сделай сам:

1.
Найти наибольшее значение функции

2.
Найти наименьшее значение функции

Натуральный логарифм в задачах на
нахождение наибольшего и наименьшего значений функций

Задача 5.

Найти наибольшее значение функциина отрезке .

Решение:
Все значения на
своей области определения являются бесконечными десятичными дробями, кроме , поэтому . Поэтому исходная функция
принимает наибольшее значение при .

Ответ:

Сделай сам:

1.
Найти наибольшее значение функциина отрезке.

2.
Найти наименьшее значение функциина отрезке.

3.
Найти наибольшее значение функциина отрезке.

Экспонента в задачах
«В-14».

Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции, содержащих экспоненту.

Задача 6.
Найти наименьшее значение функции на
отрезке.

Решение:
Так как все значения при
любом , кроме , являются десятичными
бесконечными дробями, а должны получить либо целое число, либо конечную
десятичную дробь, то решение исходной задачи будет достигаться при .

Итак, .

Ответ:

Задача 7.Найти
наименьшее значение функции на
отрезке.

Решение: – целое число при при.

Ответ: .

Сделай сам:

1.
Найти наименьшее значение функции на отрезке.

2.
Найти наибольшее значение функции на отрезке.

Показательная
функция с квадратичным показателем в задачах «В – 14»

Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции

Задача 8.Найти
наибольшее значение функции.

Решение:
Функция является
возрастающей, т.к. поэтому
наибольшее значение она принимает при наибольшем значении

Графиком функции является парабола, ветви
которой направленны вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы.

Итак, исходная функция принимает наибольшее
значение при

Ответ:

Вывод: таким же образом
решаются 4 типа задач:

1.
Нахождение наибольшего значения функции

при
и

2.
Нахождение наименьшего значения функции

при
и

3.
Нахождение наименьшего значения функции

при
и

4.
Нахождение наибольшего значения функции

при
и

Сделай сам:

1.
Найти наименьшее значение функции

2.
Найти наибольшее значение функции

Нахождение наибольшего или наименьшего
значения функций, содержащих тригонометрические функции

Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функций, содержащих тригонометрические функции.

Задача 9.
Найдите наименьшее значение функции

на
отрезке .

Решение:
В задачах типа «В-14» ЕГЭ в ответе получается либо целое число, либо конечная
десятичная дробь, т.к. –
бесконечные десятичные дроби, то от них нужно как-то избавляться, а это
возможно, когда сумма слагаемых

Итак, наименьшее значение функции будет достигаться при

Ответ:

Задача 10.
Найдите наименьшее значение функции

на
отрезке .

Решение:

Ответ: 6

Вывод:
В задачах данного типа, достаточно прировнять сумму слагаемых с и с переменной к нулю, и найти значение . Подставляя найденное
значение в
исходную функцию, получим требуемый результат.

Сделай сам:

Найдите наибольшего значения функции на отрезке .

Решение задач «В-14» для
функций, представленных в виде квадратной функции под знаком квадратного корня

Нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции вида:

Задача 11.
Найдите наименьшее значение функции

Решение: Наименьшее
значение исходной функции будет достигаться при наименьшем значении
подкоренного значения, т.к. графиком функции является парабола, ветви
которой направленны вверх, то наименьшее ее значение принимает в вершине
параболы.

Итак,
функция принимает
наименьшее значение при

Ответ:
3.

Задача 12.
Найдите наибольшее значение функции

Решение:
Наибольшее значение исходная функция принимает при наибольшем значении . Т.к. графиком функции является парабола,
ветви которой направленны вниз, то наибольшее ее значение достигается в вершине
параболы.

Ответ:
6

Сделай
сам:

1.
Найти наименьшее значение функции (Лысенко, стр156)

2.
Найти наименьшее значение функции

Функцияна отрезке

Нахождение наибольшего и наименьшего
значения функции вида

на
отрезке

Задача 13. Найдите наибольшее
значение функциина
отрезке

Решение:
Так как , а при , то . Обозначим , тогда функция принимает наибольшее
значение при ,
так как

или

Но ,
поэтому исходная функция принимает наибольшее значение при

Ответ: 9

Сделай сам:

1.
Найдите наибольшее значение функциина отрезке

2.
Найдите наименьшее значение функциина отрезке

Заключение.

После разбора рассматриваемых в работе
задач ,вам будет не сложно решить аналогичные задания на нахождение наибольшего
или наименьшего значения функции.

Еще раз хочу заострить ваше внимание на
том, что многие задания «В-14» на ЕГЭ подобраны так, что найденная таким
образом переменная входит и в область определения функции, и в заданный
промежуток, и в ней достигается экстремальное значение функции.

При любой другой форме проверки знанию
учащихся, конечно, целесообразней воспользоваться понятием «производной» для
решения задач «В-14», так как можно получить неверный результат.

Если написанная мной работа поможет вам на
экзамене, буду очень рада.

В добрый путь, выпускник!

Используемая литература.

1.
ЕГЭ «Подготовка к ЕГЭ -2013». Математика.
Под редакцией Ф.Ф. Лысенко; С.Ю. Кулабухова.

2.
Диагностические работы от 18.12.12г.
(Запад без производного).

3.
Вариант alexlarin.net
2013/

4.
Диагностические работы от 18.12.12г.
(Запад без логарифмов).

5.
Тренировочные работы от 24.01.13 г.

6.
Варианты ЕГЭ от 7.06.12 г.

7.
ЕГЭ. Математика с теорией вероятностей и
статистикой под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко. Издательство «Экзамен»,
Москва 2013 г.

Источник

Всего: 28 1–20 | 21–28