Криволинейный интеграл как найти работу

Продолжаем предыдущий урок на тему «Применение криволинейных интегралов 2 рода».
Готовые ответы задач на работу силового поля помогут студентам выучить тему, и научат быстро находить нужные интегралы.

Пример 4.4 Найти работу силы  по перемещению точки вдоль кривой C:
y=4-2x^2 от точки к точке
Решение: Построим траекторию движения материальной точки вдоль параболы L: y=4-2x².

Вычисляем дифференциал дуги y=4-2x², dy=-4x*dx и из условия выписиваем пределы интегрирования 
Работа силы F находим с помощью криволинейного интеграла второго рода

Интегрирование занимает не мало времени и при превращениях можно допустить ошибку, поэтому будьте внимательные в этих местах.

Пример 4.11 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=ln(x) от точки A(1;0) к точке B(e;1).
Решение: Траектория материальной точки вдоль логарифма имеет вид
Находим дифференциал логарифма y=ln (x), dy=dx/x.
Пределы интегрирования изменяются от единицы к экспоненте.
Работа силы F с помощью криволинейного интеграла ІІ рода примет значение:

Здесь для логарифма применили правило интегрирования частями (u*dv).

Пример 4.13 Найти работу силы F при перемещении вдоль кривой C:
x²+y²=9 от точки A (0;-3) к точке , где F задана формулой

ІІ — способ:
Параметризуэм заданный круг:

Учитывая, что во время движения от точки A(0;-3) к точке  угол изменяется от

Вычисляем искомый криволинейный интеграл ІІ рода :
В плане вычислений второй метод более легкий, поэтому для круговых и эллиптических форм кривой при симметричном вхождении x, y в уравнение силы рекомендуем переходить к полярной системе координат.

Пример 4.15 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
4x²+y²=4 от точки A(0;2) к точке B (-1;0).
Решение: Траектория движения материальной точки по эллипсу приведена ниже

Записываем верхнюю дугу эллипса и ее производную. 

Пределы интегрирования изменяются от 0 к -1
Работа силы F через криволинейный интеграл второга рода выражается зависимостью:

Пример 4.18 Найти работу силы  по перемещению материальной точки вдоль кривой C:
y=cos(x) от точки A(Pi/2;0) к точке B(-Pi/2;0).
Решение: Изобразим траекторию материальной точки вдоль косинуса

Построим дифференциал кривой y=cos(x), dy=-sin(x)*dx.
Он нужен для возведения криволинейного интегралу ІІ рода к определенному.
Находим работу силы F по перемещении вдоль контура интегрированием 

Для понижения под интегралом степеней косинуса и синуса применили известные тригонометрические формулы.

Пример 4.21 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=x³ от точки A(0;0) к точке B(2;8).
Решение: Построим траекторию материальной точки вдоль кривой y=x³.

Вычисляем дифференциал дуги dy=3x²dx.
Пределы интегрирования приведены на рисунку и в условии.
Работа силы F находим с помощью криволинейного интегралу ІІ рода:

Превращаем все к показательной форме и интегрируем.

Пример 4.23 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C: x²+2y²=2 от точки к точке
Решение: За инструкцией строим траекторию материальной точки вдоль эллипса: x²+2y²=2.

Для простоты вычислений криволинейного интеграла ІІ рода параметризуэм эллипс:

Учитывая, что от точки к точке угол изменяется в пределах  переходим к интегрированию

Понижаем степени и интегрируем.

Пример 4.24 Найти работу силы при перемещении вдоль кривой C:
y=1-|x| от точки A(-1;0) к точке B(2;- 1).
Решение: Наведем траекторию материальной точки вдоль модуль функции.

Как ни хотелось встретить задания с разбитием кривой на два интервала, однако одно Пример содержит такое условие. Разделим на две части: y=1+x, тогда пределы равны [-1;0] и дифференциал dy=dx;
На втором участке y=1-x имеем [0;2] и dy=-dx.
Вычисляем работу силы F, потраченную на перемещении точки вдоль модуль функции:

На этом ознакомление из такого сорта примерами завершено.
Больше готовых ответов из курса высшей математики ищите на страницах сайта.

Содержание:

Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл первого рода

Пусть К — некоторая гладкая (или кусочно-гладкая) плоская кривая

где t — параметр, а

— ее дифференциал дуги. Здесь если , то dt > 0 и ; если же , то dt < 0 и . Если — функция, непрерывная на кривой К, то под ее криволинейным интегралом первого рода, взятым по кривой понимается интеграл

Если кривая задана уравнением

то, рассматривая х как параметр, получим

Допустим, что кривая К — материальная, т. е. имеет массу. Пусть — некоторая дуга кривой К, содержащая точку М, а — масса этой дуги. Тогда отношение носит название средней плотности дуги , а

т. е предел средней плотности дуги при условии, что дуга стягивается в точку М, называется линейной плотностью дуги в точке М.

Если рассматривать как линейную плотность дуги в текущей ее точке М (х, у), то

есть масса бесконечно малой дуги ds (элементарная масса) и интеграл

представляет собой массу линии (физический смысл криволинейного интеграла первого рода).

Криволинейный интеграл первого рода обладает следующими очевидными свойствами.

1) При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл первого рода не изменяет своего значения (рис. 238), т. е.

где К+ — кривая К, пробегаемая в заданном направлении (например, при возрастании параметра t), а К-— кривая К, пробегаемая в противоположном направлении (соответственно при убывании t).

2) Если кривая интегрирования К с помощью некоторой точки разбита на части: (рис. 238), то

Пример:

Найти массу полуокружности (рис. 239), если линейная плотность ее в текущей точке М (х, у) пропорциональна ординате у.

Решение:

Беря в качестве параметра t полярный угол (рис. 239), получаем параметрические уравнения полуокружности

Элементарная масса

где k — коэффициент пропорциональности. Так как

то из (4) имеем

Отсюда масса линии Г будет равна

Аналогично определяется криволинейный интеграл первого рода от функции f(x, у, z), взятый по кусочно-гладкой пространственной кривой К:

где

— дифференциал дуги пространственной кривой -К.

Криволинейный интеграл второго рода

Пусть

— гладкая (или кусочно-гладкая) кривая К с выбранным направлением (такую линию, для краткости, будем называть путем) и Х(х, у), Y (х, у) — пара функций, непрерывных на кривой К. Учитывая, что дифференциалы текущих координат х и у кривой К имеют вид

под криволинейным интегралом второго рода от пары функций X и Y, взятым по кривой К, понимается интеграл

(по традиции для выражения, стоящего слева, скобки не пишутся и предполагается, что интеграл относится ко всей сумме).

Если путь К задается уравнением , то формула (2) принимает вид

Аналогично, если K, задается уравнением , то

Криволинейный интеграл второго рода обладает следующими свойствами.

1) При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет свой знак на обратный, т. е

Действительно, изменение направления пути интегрирования равносильно перестановке пределов интегрирования в определенном интеграле (2); а это влечет изменение знака определенного интеграла.

2) Если путь интегрирования К состоит из двух частей К = , то

Пример:

Найти значения интеграла вдоль указанных путей: 1) OA — прямая; 2) — парабола с вершиной О и осью Оу; 3) ОВА — ломаная, 4) ОСА — ломаная (рис. 240).

Решение:

1) Уравнение прямой OA есть у = 2х . Отсюда dy = 2 dx и, следовательно,

2) Уравнение параболы имеет вид у = kx². Так как парабола проходит через точку , то 2 = k — 1² и, значит, k = 2, т. е. у = 2х². Отсюда dу = 4х dx и

3) На основании свойства 2 имеем

Так как уравнение ОВ есть у = 0 , то = 0. Далее, уравнение ВА записывается так: х = 1 ; поэтому х'(у) = 0. Из формулы (7) получаем

4) Аналогично,

Заметим, что здесь интеграл I при фиксированных концах пути интегрирования К зависит от вида этого пути.

Пример:

Найти

вдоль линий К, указанных в примере 1.

Воспользовавшись приведенными выше уравнениями линии К, последовательно имеем:

Таким образом, здесь интеграл I имеет одно и то же значение для различных путей, соединяющих точки О и А. Принципиальное различие примеров 1 и 2 будет разъяснено. Если

есть кусочно-гладкая пространственная кривая — тройка функций, непрерывных на кривой К, то под соответствующим криволинейным интегралом второго рода понимается интеграл

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода

Пусть — непрерывно меняющаяся переменная сила и

— путь К, пробегаемый точкой ее приложения (рис. 241); обозначим через бесконечно малый вектор перемещения из текущей точки М (х, у) кривой К в бесконечно близкую точку (мы здесь пренебрегаем бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с ds). Имеем ds = {dx, dy}. Так как на бесконечно малом пути ds непрерывную силу F можно считать постоянной, то элементарная работа силы равна

Интегрируя выражение (1) вдоль кривой К, получим работу силы

Выражение (2), очевидно, есть соответствующий криволинейный интеграл второго рода.

Итак, криволинейный интеграл второго рода представляет собой работу переменной силы вдоль пути интегрирования, проекциями которой на координатные оси являются соответствующие коэффициенты при дифференциалах переменных.

Пример:

Найти работу А переменной силы , точка приложения которой описывает параболу ОВ (рис. 242)

Решение:

Согласно формуле (2) имеем

Из уравнения (3) получаем dy = 2х dx, поэтому

Аналогично, работа пространственной силы

вдоль пути К: выражается криволинейным интегралом второго рода

• Заказать решение задач по высшей математике

Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от вида пути интегрирования

Пусть — непрерывные функции в области G (рис. 243). Рассмотрим две произвольные точки области и всевозможные пути соединяющие эти точки (М₁ — начало пути, М₂ — конец пути) и не выходящие за пределы области G. Может случиться, что

В таком случае говорят, что криволинейный интеграл второго рода

не зависит от вида пути интегрирования в данной области G.

Если выполняются условия (1), то для интеграла (2) нет необходимости указывать путь интегрирования, а достаточно отметить лишь его начальную точку и его конечную точку М₂ пути. Поэтому здесь употребляется обозначение

Справедлива следующая теорема:

Теорема: Если в области G подынтегральное выражение X dx + Y dy является полным дифференциалом некоторой функции U = U (х, у), т. е.

то криволинейный интеграл (2) не зависит от пути интегрирования в области G.

Доказательство: Пусть

— произвольный путь К в области G, соединяющий точки , причем

Из формулы (4) имеем

Отсюда получаем

Далее, используя соотношения (6), будем иметь

Таким образом, значение интеграла I одно и то же при любом выборе функций , и, следовательно, интеграл I не зависит от вида пути, соединяющего точки

Следствие 1. Если выполнено соотношение (4), то в силу (9) имеем

(обобщенная формула Ньютона — Лейбница).

Следствие 2. Если подынтегральное выражение X dx + Y dy есть полный дифференциал и путь интегрирования К замкнутый, то

(кружок при интеграле обозначает интегрирование вдоль замкнутого пути).

Пример:

Найти

Решение:

Так как у dx + х dy = d (ху), то, независимо от вида пути, соединяющего точки , имеем

Работа потенциальной силы

Теорема предыдущего параграфа имеет физическое содержание. Пусть в области G определено силовое поле

Примером силового поля может служить поле силы тяжести у поверхности Земли, где на любую материальную точку массы т действует сила mg (g — ускорение свободного падения). Более общим примером силового поля является гравитационное поле, создаваемое массой М. Здесь на материальную точку массы находящуюся на расстоянии г от притягивающего центра, согласно закону Ньютона действует сила (k — гравитационная постоянная), направленная к притягивающему центру. Другим примером силового поля служит электрическое поле Кулона.

Если существует функция такая, что

то говорят, что поле потенциальное (иначе, F — потенциальная сила), а функцию U называют потенциалом поля. В этом случае, очевидно,

Отсюда для работы А потенциальной силы F вдоль пути, соединяющего точки , имеем

т. е. работа потенциальной силы не зависит от вида пути и равна разности потенциалов силы для конечной и начальной точек пути.

В частности, если путь замкнут, то работа А = 0.

Пример:

Найти работу А силы тяжести при перемещении в вертикальной плоскости Оху (вблизи поверхности Земли) точки массы т из положения в положение (рис. 244).

Решение:

Если ось Ох горизонтальна, а ось Оу вертикальна, то проекции силы тяжести, действующей на материальную точку массы т, равны X = 0, У = -mg. Имеем

Поэтому за потенциал поля силы тяжести можно принять

Отсюда работа силы тяжести, независимо от пути , равна

Замечание. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного интеграла, взятого по пространственной кривой. В частности, если

то

Работа
— это изменение формы движения,
рассматриваемое с его количественной
стороны. В общем смысле работа
— это процесс превращения одних форм
движения материи в другие и одновременно
количественная характеристика этого
процесса.

Механическая
работа —
процесс, в котором под действием сил
изменяется энергия системы, и одновременно
количественная мера этого изменения.

При совершении
работы всегда имеются сила, действующая
на материальную точку (систему, тело),
и вызванное данной силой перемещение.
При отсутствии хотя бы одного из этих
факторов работа не совершается.

Элементарная
работа
некоторой силы F,
действующей на материальную точку
(тело, систему), вызывающей элементарное
перемещение dr,
равна произведению силы на перемещение:

dA
= Fdr
= Fdrcos
= F_rdr,
(7.1)

где
α
— угол между направлением перемещения
и направлением действующей силы.

Из (7.1) следует, что при

α
< π/2,
dA > 0 — работа положительная;

α
= π/2,
dA = 0 — работа не совершается;

α
> π/2,
dA < 0 — работа отрицательная;

α
= 0, dA = Fdr
— направление перемещения и направление
действующей силы совпадают.

В том случае, когда
величина тангенциальной составляющей
силы остаётся всё время неизменной, то
работа определяется соотношением

.
(7.2)

В
частности, это условие выполняется,
если тело движется прямолинейно, и
постоянная по величине сила
образует с направлением движения
постоянный угол.
Поэтому выражению (7.2) в данном случае
можно придать следующий вид:

.
(7.3)

Надо
отметить, что понятие работы в механике
существенно отличается от обыденного
представления о работе. Например, для
того, чтобы держать тяжелый груз, стоя
неподвижно, а тем более для того, чтобы
перенести этот груз по горизонтальному
пути, носильщик затрачивает определенные
усилия, т.е. «совершает работу».
Однако работа как механическая величина
в этих случаях равна нулю.

Вектор
силы на плоскости всегда можно разложить
на две составляющие — нормальную и
тангенциальную. Ясно, что только
тангенциальная составляющая силы
способна совершить работу. В случае,
когда величина проекции силы на
направление перемещения не остается
постоянной во времени, для вычисления
работы следует разбить путь S на
элементарные участки
,
взяв их столь малыми, что за время
прохождения телом такого участка можно
было бы считать силу постоянной. Тогда
на каждом элементарном участке путиS₁работа
силы равна

.
(7.4)

А
работа на всем пути S может быть вычислена
как сумма элементарных работ:

.
(7.5)

В
общем случае, когда материальная точка
(тело, система), двигаясь по криволинейной
траектории, проходит путь конечной
длины, можно мысленно разбить этот путь
на бесконечно малые элементы, на каждом
из которых сила F
может считаться постоянной, а элементарная
работа может быть вычислена по формуле
(7.1). Сложив все эти элементарные работы
и перейти к пределу, устремив к нулю
длины всех элементарных перемещений,
а их число – к бесконечности, получим

. (7.6)

Выражение
(7.6) называют криволинейным интегралом
вектора F
вдоль траектории L.

Рис.7.1

Работу, определяемую
формулой (7.6), можно изобразить графически,
в координатах F — S,
площадью фигуры, что соответствует
нахождению криволинейного интеграла.
На рис.7.1 построен график F_
как функции положения точки на траектории.
Из рисунка видно, что элементарная
работа
численно равна площади заштрихованной
полоски, а работана пути от точки 1 до точки 2 численно
равна площади фигуры, ограниченной
кривой F_(S),
вертикальными прямыми 1 и 2 и осью OS.

Единица
измерения работы в СИ носит название
джоуль (Дж).

Найдем
работу, совершаемую при растяжении
пружины, подчиняющемуся закону Гука.
Сила, растягивающая пружину, равна по
величине и противоположна по направлению
упругой силе, т.е.

,
(7.7)

где
– удлинение пружины.

Соседние файлы в папке Лекции

• #
• #
• #
• #
• #