Средняя линия треугольника
Что такое средняя линия треугольника?
Каковы свойства средней линии треугольника?
Сколько средних линий в треугольнике?
Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
M — середина AB,
MN — средняя линия треугольника ABC.
Поскольку в треугольнике три стороны, треугольник имеет три средние линии.
MN, MP, PN — средние линии треугольника ABC.
Теорема (Свойства средней линии треугольника).
Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине:
Стороны треугольника равны a, b, c. Найти стороны и периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
Дано: ∆ ABC, AB=c, BC=a, AC=b,
M — середина AB, N — середина BC,
Найти: MN, PN, MP, P(∆ ABC).
Так как точки M, N и P являются серединами сторон треугольника ABC, то отрезки MN, PN и MP- средние линии этого треугольника (по определению).
По свойству средней линии треугольника
то есть периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника, равен половине периметра данного треугольника.
Как найти среднюю линию треугольника?
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Понятие треугольника
Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.
- Прямоугольный. Один угол прямой, то есть равен 90 градусам, два других меньше 90 градусов.
- Остроугольный. Градусная мера всех углов больше 0, но меньше 90 градусов.
- Тупоугольный. Один угол тупой, два других — острые.
Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.
Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.
Свойства треугольников:
- В треугольнике против большего угла лежит большая сторона — и наоборот.
- Сумма углов треугольника равна 180 градусов.
- Все углы равностороннего треугольника равны 60 градусам.
- В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!
Понятие средней линии треугольника
Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.
Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.
Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.
Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.
Понятие средней линии прямоугольного треугольника
Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.
Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.
В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.
Свойства средней линии треугольника
Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.
Свойства:
- Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
- Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Теорема о средней линии треугольника
Теорема о средней линии треугольника звучит так:
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:
Докажем теорему:
По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC
Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.
(по второму признаку подобия треугольников).
△ABC, то Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.
△ABC, то ∠1 = ∠2 . Так как ∠1 и ∠2 — соответственные углы, то по признаку параллельности прямых MN || BC.
Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.
Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.
Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:
Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.
Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:
Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:
Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.
Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:
Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.
Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:
S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.
Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.
Средняя линия треугольника
Определение 1. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон.
У треугольника три средние линии. На Рис.1 отрезки MN, NP, MP являются средними линиями треугольника.
Теорема 1. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон параллельна третьей стороне и равна ее половине.
Доказательство. Пусть MN средняя линия треугольника ABC (Рис.2). Докажем, что ( small MN || AC, ) ( small MN=frac12 AC. )
Через отрезок MN проведем прямую и отметим на ней точку P так, что ( small MN=NP. ) Имеем: ( small BN=NC ) поскольку N является серединой отрезка BC. Так как углы 1 и 2 вертикальные, то ( small angle 1=angle 2. ) Тогда, учитывая также ( small MN=NP ) получим, что треугольники MBN и NPC равны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда имеем: ( small angle 3=angle 4 ) и MB = CP. Но углы 3 и 4 накрест лежащие, при рассмотрении прямых AB и CP пересеченных секущей BC и, учитывая, что ( small angle 3=angle 4. ) (теорема 1 статьи Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых) получим, что AB || CP или AM || CP .
Далее, поскольку точка M является серединой отрезка AB, имеем : AM=MB. Но ( small MB=CP ) и, следовательно AM = CP. Получили что в четырехугольнике AMPC стороны AM и CP параллельны и равны. Тогда по признаку 1 статьи Параллелограмм четырехугольник AMPC является параллелограммом. Отсюда следует, что MP || AC или MN ||AC.
Остается показать, что ( small MN=frac12 AC. ) Так как MN=NP, то ( small MN=frac12 MP. ) Но в параллелограмме MP = AC. Тогда ( small MN=frac12 AC. )
http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-najti-srednyuyu-liniyu-treugolnika
http://matworld.ru/geometry/srednyaya-liniya-treugolnika.php
Как найти середину треугольника
Геометрические задачи на построение, в которых использовались только циркуль и линейка, зародились еще в древней Греции. Уже во времена Евклида и Платона математики умели решать множество геометрических задач. Например, строить правильные треугольники, квадраты, разбивать отрезки на равные части и находить центр треугольника.
Вам понадобится
- — лист бумаги или тетрадь (лучше в клеточку)
- — линейка
- — карандаш
- — циркуль
Инструкция
Отметьте на плоскости три точки А, В и С, причём так, чтобы они не лежали на одной прямой. Соедините полученные точки между собой отрезками АВ, ВС и СВ. У вас получился треугольник АВС – геометрическая фигура, имеющая три стороны, три вершины и три угла.
Найдите середину отрезка АВ. Для этого возьмите циркуль и проведите две окружности одинакового радиуса, равного отрезку АВ с центрами в вершинах А и В. Найдите точки пересечения P и Q двух построенных окружностей. С помощью линейки постройте отрезок, концами которого будут точки P и Q. Найдите искомую середину отрезка АВ – ею будет являться точка пересечения стороны АВ с отрезком PQ.
Найдите середины стороны ВС. Для этого возьмите циркуль и проведите две окружности одинакового радиуса равного отрезку ВС с центрами в вершинах В и С. Найдите точки пересечения H и G двух построенных окружностей. С помощью линейки постройте отрезок, концами которого будут точки H и G. Найдите искомую середину отрезка BC – ею будет являться точка пересечения стороны BC с отрезком HG.
Найдите середины стороны СА. Для этого возьмите циркуль и проведите две окружности одинакового радиуса, равного отрезку СА с центрами в вершинах С и А. Найдите точки пересечения M и N двух построенных окружностей. С помощью линейки постройте отрезок, концами которого будут точки M и N. Найдите искомую середину отрезка СА – ею будет являться точка пересечения стороны СА с отрезком MN.
Постройте медианы треугольника. Для этого с помощью линейки и карандаша проведите отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противолежащих сторон этого треугольника. В результате правильно построения медианы должны пересечься в одной точке.
Найдите центр треугольника. Им будет являться точка пересечения медиан. Центр треугольника ещё по-другому называют центром тяжести.
Полезный совет
Помните о точности построений, иначе вы не получите желаемого результата.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Как найти среднюю линию треугольника
Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Свойства и признаки
Признак средней линии: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей, то этот отрезок называется средней линией данного треугольника.
Свойства:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
- Равна половине длины основания и параллельна ему.
- Отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
- Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным треугольником.
- Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.
Формула для расчета
Теорема
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна её половине.
Доказательство
(A_1C_1) — средняя линия
Рассмотрим (triangle BA_1C_1) и (triangle BAC) :
Из этого следует, что треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
Следовательно, (angle BA_1C_1=angle BAC) , как соответственные элементы подобных треугольников. Следовательно (A_1C_1parallel AC) по признаку параллельности.
Кроме того, из подобия следует, что (frac=frac12)
Примечание
Данная формула одинаково работает для любого треугольника: равнобедренного, равностороннего (правильного).
Задачи на использование теоремы
Задача 1
В прямоугольном треугольнике ABC проведены средние линии: MN; NP; MP. При этом MN=NP=2. Найти площадь треугольника ABC.
Рассмотрим прямоугольный треугольник NMP:
(S_=frac12times MNtimes NP=frac12times2times2=2)
Все маленькие треугольники равны, следовательно (S_=2times4=8)
Задача 2
Площадь треугольника ABC равна 8. MN — средняя линия. Необходимо вычислить площадь треугольника BMN.
Задача 3
В треугольнике ABC точки M, N, K – середины сторон AB, BC, AC соответственно, MN=12, MK=10, KN=8. Необходимо узнать периметр треугольника ABC.
Средняя линия треугольника
Найдем площадь треугольника 
:
![[S_{ABC} =frac{1}{2} ACcdot BK=frac{1}{2} cdot 12cdot 5=30 cm^{2} ]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-842e2d7d3f0f8b8ea8fc2c13285af57e_l3.png)
Так как средняя линия 
отсекает треугольник 
, площадь которого равна одной четвёртой площади исходного треугольника , то площадь треугольника равна:
![[S_{MBN} =frac{1}{4} S_{ABC} =frac{1}{4} cdot 30=7,5 cm^{2} ]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28cd9c514cf4ef3edd98841bafe06ac7_l3.png)
см 
см 
см
Теперь можно найти периметр треугольника как сумму длин всех его сторон:
см
Что такое средняя линия треугольника
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии треугольника, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания теоретического материала.
- Определение средней линии треугольника
- Свойства средней линии треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
Определение средней линии треугольника
Отрезок, который соединяет середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.
- KL – средняя линия треугольника ABC
- K – середина стороны AB: AK = KB
- L – середина стороны BC: BL = LC
Свойства средней линии треугольника
Свойство 1
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон (которую не пересекает) и в два раза меньше этой стороны.
На рисунке выше:
- KL параллельна AC
- KL = 1 /2 ⋅ AC
Свойство 2
Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник (в соотношении 1:2), площадь которого в 4 раза меньше исходного.
На рисунке выше:
- △KBL ∼ △ABC (подобие по пропорциональности всех сторон)
- Стороны △KBL в два раза меньше соответствующих сторон △ABC:
AB = 2KB, BC = 2BL, AC = 2KL. - S△ABC = 4 ⋅ S△KBL
Свойство 3
В любом треугольнике можно провести три средние линии.
KL, KM и ML – средние линии треугольника ABC.
- KL || AC, KL = 1 /2 ⋅ AC
- KM || BC, KM = 1 /2 ⋅ BC
- ML || AB, ML = 1 /2 ⋅ AB
Свойство 4
Три средние линии треугольника делят его на 4 равных по площади треугольника.
Признак средней линии треугольника
Отрезок, проходящий через середину одной из сторон треугольника, пресекающий вторую и параллельный третьей стороне, является средней линией этого треугольника.
Пример задачи
Дан треугольник, две стороны которого равны 6 и 8 см. Найдите длину средней линии, соединяющей эти стороны.
Треугольник с заданными сторонами является прямоугольным, причем известные значения – это длины катетов. Средняя линия, которая соединяет катеты, параллельна гипотенузе и равна половине ее длины.
Мы можем найти гипотенузу, воспользовавшись теоремой Пифагора.
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 6 2 + 8 2 = 100.
BC = 10.Таким образом, средняя линия LM = 1 /2 ⋅ BC = 1 /2 ⋅ 10 = 5.
-
Милюша
28 января, 12:56
0
Середина отрезка определяется по формулам: x = (x1+x2) / 2, y = (y1+y2) / 2. Получим: Середина стороны AB: x = (-1+5) / 2=2, y = (2+6) / 2=6.
Середина стороны BC: x = (5+3) / 2=4, y=6/2=3.
Середина стороны AC: x = (-1+3) / 2=1, y = (2+0) / 2=1.
- Комментировать
- Жалоба
- Ссылка
Найди верный ответ на вопрос ✅ «Определить середины сторон треугольника с вершинами А (-1; 2), В (5; 6) и С (3; 0). …» по предмету 📙 Геометрия, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.
Искать другие ответы
Новые вопросы по геометрии
Главная » Геометрия » Определить середины сторон треугольника с вершинами А (-1; 2), В (5; 6) и С (3; 0).
Для определения средней линии, и ее длины, вам нужно взять и разделить ту линию которой она параллельна, на два, на картинке как вы видите этой линией является АС. А средней линией МК, которая и есть по своей длине, не что иное, как половина линии АС.
автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Krisonerrr
[647]
8 лет назад
Для этого существует теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. То есть, тебе будет достаточно знать длину третьей стороны, что бы найти среднюю линию треугольника.
-Irinka-
[282K]
4 года назад
Средняя линия треугольника — это линия, отрезок, который соединяет две стороны треугольника в их серединах.
При этом средняя линия треугольника всегда параллельна третьей стороне и равна 1/2 её длины.
Для того, чтобы найти длину средней линии нужно знать длину 3-ей параллельной линии и разделить её пополам.
moreljuba
[62.5K]
6 лет назад
Средняя линия треугольника по определению выступает в роли прямой, которая параллельна одной из его сторон и в свою же очередь равно половине той стороны, которой она и параллельна. Чтобы определить среднюю линию вам надо поделить параллельную сторону треугольника на 2.
Alexgroovy
[14.6K]
5 лет назад
По определению средняя линия является отрезком, соединяющим 2 стороны треугольника. При этом она параллельна третьей стороне и ее длина равняется ее половине.
Для треугольника ABC:
Длина средней линии MN находится так:
Птичка2014
[25.4K]
6 лет назад
Средняя длина треугольника найти очень легко. Она равна половине основания, которому параллельна. Так что рассчитать ее очень легко — надо основание поделить на два и это получится средняя длина треугольника.
Nelli4ka
[114K]
5 лет назад
Поможет в решении задачи свойство самой средней линии.
Так, она соединяет середины двух сторон, при этом являясь параллельным отрезком по отношению к третьей стороне. Но и это еще не все: средняя линия по длине равна половине третьей стороны, которой она параллельна.
Для этой теории есть свое доказательство:
Нам же останется только узнать, чему равна третья сторона, и поделить найденное значение пополам.
Кстати, за третью сторону по умолчанию берут основание треугольника.
FantomeRU
[13.3K]
5 лет назад
Средняя линия треугольника по определению — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. В геометрии существует теорема, согласно которой средняя линия всегда будет параллельна основанию треугольника. А для того, чтобы высчитать её длину, нужно длину этого основания поделить пополам.
Алиса в Стране
[364K]
6 лет назад
Есть специальная теорема, которая очень просто и доходчиво объясняет и что такое средняя линия треугольника, и как вычислить ее длину.
Средняя линия, это линия параллельная основанию треугольника, а длина ее равна 1/2 этого основания.
Galina7v7
[120K]
7 лет назад
Пусть дан треугольник АВС, MN- средняя линия треугольника АВС,причём:
AM = MB, BN = NC,тогда средняя линия равна половине стороны,против которой она лежит , и которой она параллельна,то есть MN =AC2.
AHTOXA89
[5K]
5 лет назад
Средняя линия треугольника-Это отрезок соединяющий середины двух его сторон.Зная свойства средней линии,а также длины сторон треугольника и его углы,можно найти длину средней линии.На рисунки показано как найти длину средней линии:
Антон75
[206]
8 лет назад
средняя линия треугольника равна 1/2 основания
Знаете ответ?