3.1. Канонические
уравнения прямой.
Пусть в системе
координат Oxyz
дана прямая, которая проходит через
точку
(см. рис.18).Обозначим через
вектор, параллельный данной прямой.
Вектор
называетсянаправляющим
вектором прямой.
Возьмем на прямой точку 
и рассмотрим вектор
Векторы
коллинеарны, следовательно, их
соответствующие координаты пропорциональны:
(3.3.1)
Эти уравнения
называются каноническими
уравнениями прямой.
Пример: Написать
уравнения прямой, проходящей через
точку M(1,
2, –1) параллельно вектору
Решение:
Вектор
является направляющим вектором искомой
прямой. Применяя формулы (3.1.1), получим:
Это канонические
уравнения прямой.
Замечание:
Обращение в нуль одного из знаменателей
означает обращение в нуль соответствующего
числителя, то есть y
– 2 = 0; y
= 2. Данная прямая лежит в плоскости y
= 2, параллельной плоскости Oxz.
3.2.
Параметрические
уравнения прямой.
Пусть прямая
задана каноническими уравнениями
Обозначим 
тогда
Величина t
называется параметром и может принимать
любые значения:
.
Выразим x,
y
и z
через t
:
(3.2.1)
Полученные уравнения
называются параметрическими
уравнениями прямой.
Пример 1:
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(1, 2, –1) параллельно вектору 
Решение:
Канонические уравнения этой прямой
получены в примере пункта 3.1:
Для нахождения
параметрических уравнений прямой
применим вывод формул (3.2.1):
Итак,
— параметрические уравнения данной
прямой.
Ответ:
Пример 2.
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(–1, 0, 1) параллельно вектору
гдеA
(2, 1, –1), B
(–1, 3, 2).
Решение:
Вектор 
является направляющим
вектором искомой прямой.
Найдем вектор 
.
= (–3; 2; 3). По формулам
(3.2.1) запишем уравнения прямой:
— это искомые
параметрические уравнения прямой.
3.3. Уравнения
прямой, проходящей через две заданные
точки.
Через две заданные
точки в пространстве проходит единственная
прямая (см. рис.20). Пусть даны точки
Вектор
можно принять за направляющий вектор
данной прямой. Тогда уравнения прямой
наход
им
по формулам (3.1.1):
).
(3.3.1)
Пример 1.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точки
Решение:
Применяем
формулу (3.3.1)
Получили канонические
уравнения прямой. Для получения
параметрических уравнений применим
вывод формул (3.2.1). Получим
— это параметрические
уравнения прямой.
Пример 2.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точки 
Решение:
По формулам
(3.3.1) получим:
Это канонические
уравнения.
Переходим к
параметрическим уравнениям:
— параметрические
уравнения.
Полученная прямая
параллельна оси oz
(см. рис.21).
3.4. Прямая как
линия пересечения двух плоскостей.
Пусть в
пространстве даны две плоскости
и 
Если эти плоскости
не совпадают и не параллельны, то они
пересекаются по прямой:
Эта система двух
линейных уравнений задает прямую как
линию пересечения двух плоскостей. От
уравнений (3.4.1) можно перейти к каноническим
уравнениям (3.1.1) или параметрическим
уравнениям (3.2.1). Для этого необходимо
найти точку
лежащую на прямой, и направляющий вектор
Координаты точки
получим из системы (3.4.1), придав одной
из координат произвольное значение
(например,z
= 0). За направляющий вектор
можно взять векторное произведение
векторов
то есть
Пример 1.
Составить
канонические уравнения прямой
Решение: Пусть
z
= 0. Решим систему
Сложив эти уравнения,
получим: 3x
+ 6 = 0
x
= –2. Подставим найденное значение x
= –2 в первое уравнение системы и получим:
–2 + y
+ 1 = 0
y
= 1.
Итак, точка
лежит на искомой прямой.
Для нахождения
направляющего вектора прямой запишем
нормальные векторы плоскостей:
и найдем их векторное произведение:
Уравнения прямой
находим по формулам (3.1.1):
Ответ: 
.
Другой способ:
Канонические и параметрические
уравнения прямой (3.4.1) легко получить,
найдя две различные точки на прямой из
системы (3.4.1), а затем применив формулы
(3.3.1) и вывод формул (3.2.1).
Пример 2.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой
Решение:
Пусть y
= 0. Тогда система примет вид: 
Сложив уравнения,
получим: 2x
+ 4 = 0; x
= –2. Подставим x
= –2 во второе уравнение системы и
получим: –2 –z
+1 = 0
z
= –1. Итак, нашли точку
Для нахождения
второй точки положим x
= 0. Будем иметь: 
То есть
Далее применяем
формулы (3.3.1):
Получили канонические
уравнения прямой.
Составим
параметрические уравнения прямой:
Ответ:
; 
.
3.5. Взаимное
расположение двух прямых в пространстве.
Пусть прямые
заданы уравнениями:
:
;
: 
.
Под углом между
этими прямыми понимают угол между их
направляющими векторами
(см. рис.22). Этот угол
находим по формуле из векторной алгебры:
или
(3.5.1)
Если прямые 
перпендикулярны
(
),то
Следовательно,
(3.5.2)
Это условие
перпендикулярности двух прямых в
пространстве.
Если прямые 
параллельны (
),то их направляющие
векторы коллинеарны (
),
то есть
(3.5.3)
Это условие
параллельности двух прямых в пространстве.
Пример 1. Найти
угол между прямыми:
а). 
и 
б). 
и 
Решение:
а). Запишем направляющий вектор прямой
Найдем направляющий вектор
второй прямой. Для этого находим
нормальные векторы
плоскостей, входящих в систему
Затем найдем их векторное произведение:
(см. пример 1
пункта 3.4).
По формуле (3.5.1)
получим:
Следовательно,
б). Запишем
направляющие векторы данных прямых:
Векторы
коллинеарны, так как их соответствующие
координаты пропорциональны:
Значит прямые
параллельны (
),
то есть
Ответ: а).
б). 
Пример 2. Доказать
перпендикулярность прямых:
и 
Решение:
Запишем направляющий вектор первой
прямой
Найдем направляющий
вектор
второй прямой. Для этого находим
нормальные векторы
плоскостей, входящих в систему:
Вычислим их векторное произведение:
(См. пример 1пункта 3.4).
Применим условие
перпендикулярности прямых (3.5.2):
Условие выполнено;
следовательно, прямые перпендикулярны
(
).
Соседние файлы в предмете Математика
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
03.03.20154.96 Кб8Содержание OneNote.onetoc2
- #
Skip to content
Пусть прямая, проходящая через точку K1(x1;y1) и параллельная прямой y=kx+b, записывается в виде уравнения:
y-y1=k·(x-x1)
Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через данную точку K1(x1;y1) параллельно данной прямой y=kx+b
Пример 1
Составить уравнение прямой, проходящей через точку M(-3;4) и параллельно прямой
4x-7y+1=0
Решение
Данную прямую можно представить уравнением y=4/7x+1/7 (здесь k=4/7). Уравнение искомой прямой есть
Решение представим на графике
Пример 2
Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3;4) и параллельно прямой
5x+6=0
Решение
Здесь A=5, B=0, получаем 5(x+3)=0, т.е. x+2=0. В этом случае формула неприменима.
31998
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой.
Эта статья является развернутым ответом на вопрос: «Как составить уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой»? Сначала приведена необходимая теория, после чего разобраны решения характерных задач. В заключении разобрано нахождение уравнений прямой, проходящей через заданную точку трехмерного пространства параллельно заданной прямой.
Навигация по странице.
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой.
Чтобы составление уравнения прямой, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой, не вызвало затруднений, вспомним важные факты.
Аксиома параллельных прямых гласит: на плоскости через точку, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Таким образом, мы можем определить конкретную прямую a на плоскости, указав прямую линию b , которой параллельна прямая a , и точку М1 , не лежащую на прямой b , через которую проходит прямая a .
Поставим перед собой следующую задачу.
Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy . Пусть в этой системе координат задана точка и прямая b , которой соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. Требуется написать уравнение прямой a , которая проходит через точку М1 и параллельна прямой b .
Решим поставленную задачу.
Из условия мы знаем координаты точки М1 , через которую проходит прямая a . Этих данных не достаточно, чтобы написать уравнение прямой a .
Нам еще нужно знать
Как же их найти?
По условию прямая a параллельна прямой b , тогда, на основании необходимого и достаточного условия параллельности двух прямых на плоскости, в качестве направляющего вектора прямой a мы можем принять направляющий вектор прямой b , в качестве нормального вектора прямой a мы можем взять нормальный вектор прямой b , а угловой коэффициент прямой a равен угловому коэффициенту прямой b (или они оба бесконечны).
Таким образом, чтобы в прямоугольной системе координат на плоскости написать уравнение прямой a , проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой b , нужно определить
- или координаты направляющего вектора прямой b (),
- или координаты нормального вектора прямой b (),
- или угловой коэффициент прямой b (),
принять их соответственно в качестве
- координат направляющего вектора прямой a (),
- координат нормального вектора прямой a (),
- углового коэффициента прямой a (),
и записать требуемое уравнение прямой a соответственно в виде
- или ,
- ,
- .
Внесем ясности – приведем примеры с подробными решениями на каждый случай.
Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку параллельно прямой .
Из параметрических уравнений прямой нам сразу видны координаты ее направляющего вектора . Этот вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой нам требуется составить. Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор с координатами , имеет вид .
Это и есть искомые уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой .
.
Иногда требуется составить уравнение прямой определенного вида, проходящей через заданную точку плоскости параллельно заданной прямой. В этом случае сначала записываем уравнение прямой, которое проще всего получить, после чего приводим его к нужному виду.
Составьте уравнение прямой в отрезках, если эта прямая в прямоугольной системе координат Oxy проходит через точку плоскости с координатами параллельно прямой .
Очевидно, нормальным вектором прямой, общее уравнение которой имеет вид , является вектор . Этот вектор также является нормальным вектором прямой, уравнение которой мы ищем. Общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами и имеющей нормальный вектор имеет вид . Это общее уравнение прямой, проходящей через точку с координатами параллельно прямой . Осталось перейти от полученного уравнения прямой к требуемому уравнению прямой в отрезках: .
.
Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через точку и параллельна прямой .
Мы знаем, что угловые коэффициенты параллельных прямых равны (или бесконечны), тогда — угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам требуется составить. По условию эта прямая проходит через точку , следовательно, ее уравнение имеет вид .
.
Итак, уравнение прямой a , проходящей через заданную точку плоскости M1 параллельно заданной прямой b , проще всего записывать в таком виде, в котором записано уравнение заданной прямой b .
Уравнения прямой, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной прямой.
В трехмерном пространстве через точку М1 , не лежащую на прямой b , проходит единственная прямая a , параллельная прямой b . Таким образом, прямую в пространстве можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана прямая b некоторыми уравнениями прямой в пространстве и точка . Требуется написать уравнения прямой a , проходящей через точку M1 параллельно прямой b .
Направляющим вектором прямой a является направляющий вектор прямой b . Таким образом, по известным уравнениям прямой b мы можем определить координаты ее направляющего вектора, а, следовательно, и координаты направляющего вектора прямой a . После этого мы можем записать канонические уравнения прямой a в пространстве и параметрические уравнения прямой a в пространстве, так как известны координаты точки, лежащей на прямой a , и координаты направляющего вектора прямой a .
Рассмотрим решения примеров.
Напишите уравнения прямой, которая проходит через начало прямоугольной системы координат Oxyz в трехмерном пространстве параллельно прямой .
Очевидно, направляющим вектором прямой является вектор с координатами . Этот же вектор является направляющим вектором прямой, уравнение которой мы составляем. По условию эта прямая проходит через точку , следовательно, ее канонические уравнения имеют вид .
.
От канонических уравнений прямой a при необходимости можно будет перейти к уравнениям двух плоскостей, пересекающихся по прямой a .
В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы три точки . Напишите уравнения двух плоскостей, которые пересекаются по прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ .
Направляющим вектором прямой, проходящей через точку С параллельно прямой АВ , является вектор . По координатам точек В и А мы можем вычислить координаты вектора (при необходимости смотрите статью вычисление координат вектора по координатам точек конца и начала вектора): . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , запишутся как .
Осталось получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, задающих эту прямую:
.
Уравнение параллельной прямой
Как составить уравнение прямой параллельной данной прямой и проходящей через данную точку?
Пусть y = k1x+b1 — данная прямая. С учётом условия параллельности прямых уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид y = k1x+b2.
Так как эта прямая проходит через точку M(xo; yo), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение xo и yo, мы найдем b:
1) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(4;21) и параллельна прямой y=3x-8.
Так как угловые коэффициенты у параллельных прямых равны, то k2=k1=3 и уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, имеет вид y=3x+b. Так как искомая прямая проходит через точку A(4;21), подставляем в уравнение прямой координаты A (x=4; y=21):
21=3·4+b, откуда находим b: b= 21-12= 9.
Итак, уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, проходящей через точку A(4;21) — y=3x+9.
2) Написать уравнение прямой, параллельной прямой x=5, проходящей через точку B(-3; 5).
Так как прямая x=5 параллельна оси Oy, то и параллельная ей прямая также параллельна Oy, а значит, уравнение этой прямой имеет вид x=a.
Так как эта прямая проходит через точку B(-3; 5), то её абсцисса удовлетворяет уравнению прямой: a= -3.
Итак, уравнение прямой, параллельной прямой x=5 и проходящей через точку B(-3; 5) — x= -3.
3) Написать уравнение прямой, параллельной прямой y= -11, проходящей через точку K(2; 4).
Так как прямая y= -11 параллельна оси Ox, то и параллельная ей прямая также параллельна оси Ox. Поэтому уравнение прямой имеет вид y=b.
Поскольку эта прямая проходит через точку K(2; 4), то её ордината удовлетворяет уравнению прямой: b=4.
Уравнение прямой, параллельной прямой y= -11 и проходящей через точку K(2; 4) — y=4.
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
- Аналитическая геометрия
- Прямая в пространстве.
Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) $left<beginA_1x+B_1y+C_1z+D_1=0quad (P_1)\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0quad (P_2)endright. — $ общее уравнение прямой $L$ в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей $P_1$ и $P_2.$
2) $frac=frac=frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $overline=(m, n, p).$ Вектор $overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$
3) $frac=frac=frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:
Расположение двух прямых в пространстве.
Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $overline_1paralleloverline_2Leftrightarrow$ $frac=frac=frac.$
Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1perp L_2Leftrightarrow$ $overline_1perpoverline_2Leftrightarrow$ $cdot+cdot+p_1cdot p_2=0.$
Угол между прямыми:
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая $L$ задана уравнением $frac=frac=frac
,$ следовательно $overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=frac<|[overline, overline S]|><|overline S|>.$$
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:
а) вектору $q(2, -3, 5);$
е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-frac<1><2>t.$
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
$frac=frac=frac
-$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $overline=(m, n, p).$
По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $overline=q(2,-3,5).$
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $frac<5>=frac<2>=frac<-1>$ имеет координаты $overline S(5, 2, -1).$ Далее, находим уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(5, 2, -1)$ как и в пункте а):
в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей , поэтому Направляющий вектор прямой
$left<begin3x-y+2z-7=0,\ x+3y-2z-3=0; endright.$ можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$
для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $left<begin3x-y+2z-7=0,\ x+3y-2z-3=0; endright.$ имеет координаты $overline S (-4, 8, 10).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(-4, 8, 10):$
е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-frac<1><2>t.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
Отсюда находим направляющий вектор $overline Sleft(1, 2, -frac<1><2>right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $overline S_1(2, 4, -1).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(2, 4, -1):$
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
$frac=frac=frac -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
Подставляем заданные точки:
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=frac<|[overline, overline S]|><|overline S|>,$$ где $M_1-$ произвольная точка прямой $L_1,$ $M_2 — $произвольная точка прямой $L_2,$ $overline S -$ направляющий вектор прямой $L_2.$
Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)in L_2,$ $overline S=(3, 4, 2). $
Отсюда находим $overline=(7-2, 1-(-1),3-0)=(5, 2, 3);$
Ответ: 3.
2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $left<begin2x-2y+z+3=0,\ 3x-2y+2z+17=0 endright.$
Решение.
Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.
Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:
Таким образом, $M=(-14, -frac<25><2>, 0)$
Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:
Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$
для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$
Находим векторное произведение:
Таким образом, направляющий вектор прямой $left<begin2x-2y+z+3=0,\ 3x-2y+2z+17=0 endright.$
имеет координаты $overline S (-2, -1, 2).$
Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=frac<|[overline, overline S]|><|overline S|>.$$
$overline=left(2-(-14),3-left(-frac<25><2>right),-1-0right)=left(16, 15frac<1><2>, -1right)$
Ответ: $d(A, L)=15.$
2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: frac<3>=frac<-2>=frac<2>.$
Решение.
Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$
$P: 3x-2y-3z-7=0Rightarrow overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $overline N(3, -2, -3).$
$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 Rightarrow$
Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:
Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$
Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:
Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$— это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой ( 3) $frac=frac=frac :$
2.199.
б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$
б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $ L:$ $left<beginx=3t+5,\ y=2t,\z=-2t-25. endright.$
2.206. Доказать, что прямые $L_1: left<begin2x+2y-z-10=0,\ x-y-z-22=0, endright.$ и $L_2: frac<3>=frac<-1>=frac<4>.$ параллельны и найти расстояние $rho(L_1, L_2)$
2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $frac<5>=frac<-2>=frac<-1>$ и $frac<4>=frac<-6>=frac<2>.$
2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $frac<1>=frac<4>=frac<2>.$
http://mathportal.net/index.php/analiticheskaya-geometriya/pryamaya-v-prostranstve
Прямая в пространстве, всевозможные уравнения.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Существуют такие формы записи уравнения прямой в пространстве:
1) $left{begin{array}{lcl}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0quad (P_1)\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0quad (P_2)end{array}right. — $ общее уравнение прямой $L$ в пространстве, как линии пересечения двух плоскостей $P_1$ и $P_2.$
2) $frac{x-x_0}{m}=frac{y-y_0}{n}=frac{z-z_0}{p} -$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $overline{S}=(m, n, p).$ Вектор $overline S$ является направляющим вектором прямой $L.$
3) $frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1} -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
4) Приравнивая каждую из частей канонического уравнения 2 к прараметру $t,$ получаем параметрическое уравнение прямой:
$$left{begin{array}{lcl}x=x_0+mt\ y=y_0+nt\z=z_0+ptend{array}right. $$
Расположение двух прямых в пространстве.
Пусть $L_1:$ $frac{x-x_1}{m_1}=frac{y-y_1}{n_1}=frac{z-z_1}{p_1}$ $overline{S}_1=(m_1, n_1, p_1);$
$L_2:$ $frac{x-x_2}{m_2}=frac{y-y_2}{n_2}=frac{z-z_2}{p_2},$ $overline{S}_2=(m_2, n_2, p_2).$
Условие параллельности двух прямых: Прямые $L_1$ и $L_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $overline{S}_1paralleloverline{S}_2Leftrightarrow$ $frac{m_1}{m_2}=frac{n_1}{n_2}=frac{p_1}{p_2}.$
Условие перпендикулярности двух прямых: $L_1perp L_2Leftrightarrow$ $overline{S}_1perpoverline{S}_2Leftrightarrow$ ${m_1}cdot{m_2}+{n_1}cdot{n_2}+p_1cdot p_2=0.$
Угол между прямыми:
$coswidehat{(L_1, L_2)}=$ $frac{overline{S}_1cdotoverline{S}_2}{|overline S_1|cdot|overline S_2|}=frac{{m_1}cdot{m_2}+{n_1}cdot{n_2}+p_1cdot p_2}{sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}cdotsqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}.$
Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на данную прямую.
Пусть прямая $L$ задана уравнением $frac{x-x_0}{m}=frac{y-y_0}{n}=frac{z-z_0}{p},$ следовательно $overline S=(m, n, p).$ Пусть также $M_2=(x_2, y_2, z_2) -$ произвольная точка, принадлежащая прямой $L.$ Тогда расстояние от точки $M_1=(x_1, y_1, z_1)$ до прямой $L$ можно найти по формуле: $$d(M_1, L)=frac{|[overline{M_1M_2}, overline S]|}{|overline S|}.$$
Примеры.
2.198. Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно:
а) вектору $q(2, -3, 5);$
б) прямой $frac{x-1}{5}=frac{y+2}{2}=frac{z+1}{-1};$
в) оси $OX;$
д) прямой $left{begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\ x+3y-2z-3=0; end{array}right. $
е) прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-frac{1}{2}t.$
Решение.
а) Воспользуемся формулой (2) уравнения прямой в пространстве:
$frac{x-x_0}{m}=frac{y-y_0}{n}=frac{z-z_0}{p} -$ каноническое уравнение прямой $L,$ которая проходит через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ параллельно вектору $overline{S}=(m, n, p).$
По условию $M_0(2, 0, -3)$ и $overline{S}=q(2,-3,5).$
Таким образом, $frac{x-2}{2}=frac{y-0}{-3}=frac{z-(-3)}{5}Rightarrowfrac{x-2}{2}=frac{y}{-3}=frac{z+3}{5}.$
Ответ: $frac{x-2}{2}=frac{y}{-3}=frac{z+3}{5}.$
б) Прямая, параллельная заданной прямой, должна быть параллельна ее направляющему вектору. Направляющий вектор прямой $frac{x-1}{5}=frac{y+2}{2}=frac{z+1}{-1}$ имеет координаты $overline S(5, 2, -1).$ Далее, находим уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(5, 2, -1)$ как и в пункте а):
$frac{x-2}{5}=frac{y-0}{2}=frac{z-(-3)}{-1}Rightarrowfrac{x-2}{5}=frac{y}{2}=frac{z+3}{-1}.$
Ответ: $frac{x-2}{5}=frac{y}{2}=frac{z+3}{-1}.$
в) ось OX имеет направляющий вектор $i=(1, 0, 0).$ Таким образом, ищем уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $i(1, 0, 0):$
$frac{x-2}{1}=frac{y-0}{0}=frac{z-(-3)}{0}Rightarrowfrac{x-2}{1}=frac{y}{0}=frac{z+3}{0}.$
Ответ: $frac{x-2}{1}=frac{y}{0}=frac{z+3}{0}.$
д) Прямая, заданная как пересечение двух плоскостей перпендикулярна нормалям обеих плоскостей, поэтому Направляющий вектор прямой
$left{begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\ x+3y-2z-3=0; end{array}right.$ можно найти как векторное произведение нормалей заданных плоскостей.
Для плоскости $P_1:$ $3x-y+2z-7=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(3, -1, 2);$
для плосости $P_2:$ $x+3y-2z-3,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(1, 3, -2).$
Находим векторное произведение:
$[N_1, N_2]=begin{vmatrix}i&j&k\3&-1&2\1&3&-2end{vmatrix}=i(2-6)-j(-6-2)+k(9+1)=-4i+8j+10k.$
Таким образом, направляющий вектор прямой $left{begin{array}{lcl}3x-y+2z-7=0,\ x+3y-2z-3=0; end{array}right.$ имеет координаты $overline S (-4, 8, 10).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(-4, 8, 10):$
$frac{x-2}{-4}=frac{y-0}{8}=frac{z-(-3)}{10}Rightarrowfrac{x-2}{-4}=frac{y}{8}=frac{z+3}{10}.$
Ответ: $frac{x-2}{-4}=frac{y}{8}=frac{z+3}{10}.$
{jumi[*4]}
е) Найдем направляющий вектор прямой $x=-2+t, y=2t, z=1-frac{1}{2}t.$ Для этого запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:
$left{begin{array}{lcl}x=-2+t,\ y=2t,\z=1-frac{1}{2}t end{array}right.Rightarrow$ $left{begin{array}{lcl}t=x+2,\ t=frac{y}{2},\t=frac{z-1}{-frac{1}{2}} end{array}right.$ $Rightarrowfrac{x+2}{1}=frac{y}{2}=frac{z-1}{-frac{1}{2}}.$
Отсюда находим направляющий вектор $overline Sleft(1, 2, -frac{1}{2}right).$ Умножим координаты направляющего вектора на 2 (чтобы избавиться от дроби): $overline S_1(2, 4, -1).$
Далее нам необходимо найти уравнение прямой проходящей точку $M_0(2, 0, -3)$ параллельно вектору $overline S(2, 4, -1):$
$frac{x-2}{2}=frac{y-0}{4}=frac{z-(-3)}{-1}Rightarrowfrac{x-2}{2}=frac{y}{4}=frac{z+3}{-1}.$
Ответ: $frac{x-2}{2}=frac{y}{4}=frac{z+3}{-1}.$
2.199(a). Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (1, -2, 1)$ и $M_2(3, 1, -1).$
Решение.
Воспользуемся формулой (3) уравнения прямой в пространстве:
$frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1} -$ уравнение прямой, которая проходит через две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2).$
Подставляем заданные точки:
$frac{x-1}{3-1}=frac{y+2}{1+2}=frac{z-1}{-1-1} Rightarrow$ $frac{x-1}{2}=frac{y+2}{3}=frac{z-1}{-2}.$
Ответ: $frac{x-1}{2}=frac{y+2}{3}=frac{z-1}{-2}.$
2.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
$frac{x-2}{3}=frac{y+1}{4}=frac{z}{2}$ и $frac{x-7}{3}=frac{y-1}{4}=frac{z-3}{2}.$
Решение.
Расстояние между параллельными прямыми $L_1$ и $L_2$ равно расстоянию от произвольной точки прямой $L_1$ до прямой $L_2.$ Следовательно, его можно найти по формуле $$d(L_1, L_2)=d(M_1, L_2)=frac{|[overline{M_1M_2}, overline S]|}{|overline S|},$$ где $M_1-$ произвольная точка прямой $L_1,$ $M_2 — $произвольная точка прямой $L_2,$ $overline S -$ направляющий вектор прямой $L_2.$
Из канонических уравнений прямых берем точки $M_1=(2, -1, 0)in L_1,$ $M_2=(7, 1, 3)in L_2,$ $overline S=(3, 4, 2).$
Отсюда находим $overline{M_1M_2}=(7-2, 1-(-1),3-0)=(5, 2, 3);$
$[overline{M_1M_2}, overline S]=begin{vmatrix}i&j&k\5&2&3\3&4&2end{vmatrix}=i(4-12)-j(10-9)+k(20-6)=$ $=-8i-j+14k.$
$|[overline{M_1M_2},overline S]|=sqrt{8^2+1+14^2}=sqrt{64+1+196}=sqrt{261}=sqrt{9* 29}=3sqrt{29}.$
$|overline S|=sqrt{3^2+4^2+2^2}=sqrt{9+16+4}=sqrt{29}$
$$d(L_1, L_2)=frac{|[overline{M_1M_2}, overline S]|}{|overline S|}=frac{3sqrt{29}}{sqrt{29}}=3.$$
Ответ: 3.
2.205 (а). Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $left{begin{array}{lcl}2x-2y+z+3=0,\ 3x-2y+2z+17=0 end{array}right.$
Решение.
Для того, чтобы найти расстояние от точки $A$ до прямой $L,$ нам необходимо выбрать произвольную точку $M,$ принадлежащую прямой $L$ и найти направляющий вектор этой прямой.
Выбираем точку $M.$ Пусть координата $z=0.$ Подставим это значение в данную систему:
$left{begin{array}{lcl}2x-2y+0+3=0,\ 3x-2y+0+17=0 end{array}right.Rightarrow$ $left{begin{array}{lcl}2x-2y+3=0,\ 3x-2y+17=0 end{array}right.-Rightarrow$ $left{begin{array}{lcl}x+14=0,\ 2x-2y+3=0 end{array}right.Rightarrow$ $left{begin{array}{lcl}x=-14,\ -28-2y+3=0 end{array}right.Rightarrow$ $left{begin{array}{lcl}x=-14,\ y=-frac{25}{2}. end{array}right.$
Таким образом, $M=(-14, -frac{25}{2}, 0)$
Направляющий вектор найдем, как векторное произведение нормалей заданных плоскостей:
Для плоскости $P_1:$ $2x-2y+z+3=0$ нормальный вектор имеет координаты $N_1(2, -2, 1);$
для плосости $P_2:$ $3x+2y+2z+17=0,$ нормальный вектор имеет координаты $N_2(3, -2, 2).$
Находим векторное произведение:
$[N_1, N_2]=begin{vmatrix}i&j&k\2&-2&1\3&-2&2end{vmatrix}=i(-4+2)-j(4-3)+k(-4+6)=-2i-j+2k.$
Таким образом, направляющий вектор прямой $left{begin{array}{lcl}2x-2y+z+3=0,\ 3x-2y+2z+17=0 end{array}right.$
имеет координаты $overline S (-2, -1, 2).$
Теперь можно воспользоваться формулой $$d(A, L)=frac{|[overline{AM}, overline S]|}{|overline S|}.$$
$overline{AM}=left(2-(-14),3-left(-frac{25}{2}right),-1-0right)=left(16, 15frac{1}{2}, -1right)$
$[overline{AM}, overline S]=begin{vmatrix}i&j&k\16&15,5&-1\-2&-1&2end{vmatrix}=i(31-1)-j(32-2)+k(-16+31)=$ $=30i-30j+15k.$
$|[overline{AM},overline S]|=sqrt{30^2+30^2+15^2}=sqrt{900+900+225}=sqrt{2025}=45.$
$|overline S|=sqrt{2^2+1^2+2^2}=sqrt{4+1+4}=3$
$$d(A, L)=frac{|[overline{AM}, overline S]|}{|overline S|}=frac{45}{3}=15.$$
Ответ: $d(A, L)=15.$
2.212. Написать каноническое уравнение прямой, которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $P: 3x-2y-3z-7=0$ и пересекает прямую $L: frac{x-2}{3}=frac{y+4}{-2}=frac{z-1}{2}.$
Решение.
Запишем уравнение плоскости $P_1,$ которая проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ параллельно плоскости $3x-2y-3z-7=0:$
$P: 3x-2y-3z-7=0Rightarrow overline N=(3; -2; -3).$ Искомая плоскость проходит через точку $M_0(3, -2, -4)$ перпендикулярно вектору $overline N(3, -2, -3).$
$P_1: 3(x-3)-2(y+2)-3(z+4)=0Rightarrow $
$P_1: 3x-9-2y-4-3z-12=0 Rightarrow$
$P_1: 3x-2y-3z-25=0.$
Далее найдем точку пересечения плоскости $P_1$ и прямой $L.$ Для этого запишем уравнение прямой $L$ в параметрической форме:
$L: frac{x-2}{3}=frac{y+4}{-2}=frac{z-1}{2}=tRightarrow$
$left{begin{array}{lcl}x=3t+2,\ y=-2t-4,\z=2t+1. end{array}right.$
Далее, подставим значения $x, y$ и $z,$ выраженные через $t$ в уравнение плоскости $P_1,$ и из полученного уравнения выразм $t:$
$3x-2y-3z-25=0$
$3(3t+2)-2(-2t-4)-3(2t+1)-25=0$
$9t+6+4t+8-6t-3-25=0$
$7t-14=0$
$t=frac{14}{7}=2$
Подставляя найденное занчение $t$ в уравнение прямой $L,$ найдем координаты точки пересечения:
$left{begin{array}{lcl}x=3t+2,\ y=-2t-4,\z=2t+1. end{array}right.Rightarrow $ $left{begin{array}{lcl}x=6+2=8,\ y=-4-4=-8,\z=4+1=5. end{array}right.$
Таким образом, прямая $L$ и плоскость $P_1$ пересекаются в точке $M_1(8, -8, 5).$
Теперь запишем уравнение прямой, проходящей через точки $M_0(3, -2. -4)$ и $M_1(8, -8, 5)$— это и будет искомая прямая. Воспользуемся формулой (3) $frac{x-x_1}{x_2-x_1}=frac{y-y_1}{y_2-y_1}=frac{z-z_1}{z_2-z_1} :$
$frac{x-3}{8-3}=frac{y+2}{-8+2}=frac{z+4}{5+4}Rightarrow$ $frac{x-3}{5}=frac{y+2}{-6}=frac{z+4}{9}.$
Ответ: $frac{x-3}{5}=frac{y+2}{-6}=frac{z+4}{9}.$
Домашнее задание.
2.199.
б) Написать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки $M_1 (3, -1, 0)$ и $M_2(1, 0, -3).$
Ответ: $frac{x-3}{-2}=frac{y+1}{1}=frac{z}{-3}.$
2.205.
б) Найти расстояние от точки $A(2, 3, -1)$ до заданной прямой $L:$ $left{begin{array}{lcl}x=3t+5,\ y=2t,\z=-2t-25. end{array}right.$
Ответ: 21.
2.206. Доказать, что прямые $L_1: left{begin{array}{lcl}2x+2y-z-10=0,\ x-y-z-22=0, end{array}right.$ и $L_2: frac{x+7}{3}=frac{y-5}{-1}=frac{z-9}{4}.$ параллельны и найти расстояние $rho(L_1, L_2)$
Ответ: 25.
2.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости $x-3y+2z+1=0$ с прямыми $frac{x-5}{5}=frac{y+1}{-2}=frac{z-3}{-1}$ и $frac{x-3}{4}=frac{y+4}{-6}=frac{z-5}{2}.$
Ответ: $frac{x+1}{7}=frac{y-2}{-1}=frac{z-3}{-5}.$
2.211. Написать уравнение прямой, проходящей через точку $M_0(7, 1, 0)$ параллельно плоскости $2x+3y-z-15=0$ и пересекающей прямую $frac{x}{1}=frac{y-1}{4}=frac{z-3}{2}.$
Ответ: $frac{x-7}{67}=frac{y-1}{-28}=frac{z}{70}.$
{jcomments on}
Как составить уравнение прямой параллельной данной прямой и проходящей через данную точку?
Пусть y = k1x+b1 — данная прямая. С учётом условия параллельности прямых уравнение прямой, параллельной данной, имеет вид y = k1x+b2.
Так как эта прямая проходит через точку M(xo; yo), то её координаты удовлетворяют уравнению прямой. Подставив в уравнение xo и yo, мы найдем b:
yo= k1∙xo+ b2, откуда b2 = yo — k1∙xo.
Примеры.
1) Составить уравнение прямой, которая проходит через точку A(4;21) и параллельна прямой y=3x-8.
Решение:
Так как угловые коэффициенты у параллельных прямых равны, то k2=k1=3 и уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, имеет вид y=3x+b. Так как искомая прямая проходит через точку A(4;21), подставляем в уравнение прямой координаты A (x=4; y=21):
21=3·4+b, откуда находим b: b= 21-12= 9.
Итак, уравнение прямой, параллельной прямой y=3x-8, проходящей через точку A(4;21) — y=3x+9.
Ответ: y=3x+9.
2) Написать уравнение прямой, параллельной прямой x=5, проходящей через точку B(-3; 5).
Решение:
Так как прямая x=5 параллельна оси Oy, то и параллельная ей прямая также параллельна Oy, а значит, уравнение этой прямой имеет вид x=a.
Так как эта прямая проходит через точку B(-3; 5), то её абсцисса удовлетворяет уравнению прямой: a= -3.
Итак, уравнение прямой, параллельной прямой x=5 и проходящей через точку B(-3; 5) — x= -3.
Ответ: x= -3.
3) Написать уравнение прямой, параллельной прямой y= -11, проходящей через точку K(2; 4).
Решение:
Так как прямая y= -11 параллельна оси Ox, то и параллельная ей прямая также параллельна оси Ox. Поэтому уравнение прямой имеет вид y=b.
Поскольку эта прямая проходит через точку K(2; 4), то её ордината удовлетворяет уравнению прямой: b=4.
Уравнение прямой, параллельной прямой y= -11 и проходящей через точку K(2; 4) — y=4.
Ответ: y=4.