Как составить треугольник с помощью циркуля

Была ли эта статья полезной?

Как начертить равносторонний треугольник

Из этого материала вы узнаете, как с помощью циркуля построить правильный треугольник. Напомним, что треугольник является правильным, если длина всех его сторон одинакова, а каждый из углов составляет 60°.

На листе бумаги отметьте произвольную точку. Установите в эту точку иглу циркуля и нарисуйте окружность.

Установите иглу циркуля в любую произвольную точку, лежащую на окружности, и нарисуйте вторую окружность с центром в этой точке.

При этом не меняйте раствор циркуля, то есть радиус первой окружности должен быть равен радиусу второй окружности.

Отметьте точки пересечения окружностей.

Соедините полученные точки линией. Полученный отрезок будет первой стороной треугольника.

Далее, через центры обеих окружностей нужно провести прямую линию.

Таким образом, у вас получилось три точки, которые будут тремя вершинами треугольника.

Соедините все три точки между собой.

Полученный треугольник имеет одинаковую длину сторон, а величина каждого его угла составляет 60°, а значит он правильный.

Построение с помощью циркуля и линейки — описание, алгоритмы и задачи

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача — начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка — AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O₁ — место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО₁ и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO₁A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O₁AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O₁CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.

Как нарисовать треугольник: этапы выполнения задания

Как нарисовать треугольник? Этому учат в процессе изучения геометрии в школе. Чтобы задание было выполнено правильно, важно точно знать, какой треугольник необходимо изобразить: равносторонний, равнобедренный или же вписанный. Правилам начертания этих фигур будет посвящена данная статья.

Как рисовать треугольник с равными сторонами?

Как нарисовать треугольник, стороны у которого равны? Для этого можно воспользоваться одним из трех методов.

Такая фигура имеет три одинаковые по длине стороны, связанные тремя углами равной ширины. Это может быть сложным для рисования треугольника вручную. Поэтому можно использовать круглый объект для выделения углов.

Варианты создания фигуры

Обязательно используйте линейку и один из представленных ниже способов:

1. Применение циркуля: надо начертить ровную линию. Проведите карандаш вдоль прямого края бумаги. Этот сегмент линии образует одну из сторон. А это означает, что нужно будет чертить вторую и третью линии одинаковой длины, каждая из которых достигает точки под углом 60° от первой линии. Удостоверьтесь, что достаточно места для рисования всех трех сторон!
2. Разделите сегмент циркулем. Вставьте карандаш и убедитесь, что он острый! Поместите точку циркуля на один конец сегмента и установите карандаш на другую. Опишите дугу. Не изменяйте установленную «ширину» инструмента от точки циркуля до точки карандаша. Нарисуйте вторую дугу, чтобы она пересекала первую дугу, которую уже нарисовали. Отметьте точку, в которой пересекаются две дуги. Это вершина (верхняя точка) треугольника. Он должен лежать в точном центре сегмента линии, который нарисовали. Теперь можете сделать две прямые линии, ведущие к этой точке: по одному от каждого конца «нижнего» сегмента линии. Закончите треугольник. Далее с помощью линейки надо нарисовать еще два сегмента прямой линии – это стороны в треугольнике. Подключите каждый конец исходного сегмента линии к точке, в которой пересекаются дуги. Чтобы закончить работу, сотрите дуги, которые нарисовали, так, чтобы остался только треугольник.
3. Использование объекта с круглой базой: этот совет подойдет для построения дуги. Предложенный метод по сути такой же, как с использованием циркуля.

Указанные советы помогут выяснить, как нарисовать равносторонний треугольник.

Рекомендации по построению равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник представляет собой фигуру с двумя равными сторонами и двумя равными углами. Если знаете длину, основание и высоту стороны, это можно сделать только с линейкой и циркулем (или просто циркулем, если заданы размеры).

Как нарисовать равнобедренный треугольник:

1. Учитывая все боковые длины. Чтобы использовать этот метод, важно знать длину основания треугольника и длину двух равных сторон.
2. Учитывая две равные стороны и угол между ними. Чтобы использовать этот метод, нужно знать длину двух равных сторон и измерение угла между этими двумя сторонами.
3. Учитывая базовые и смежные углы – необходимо знать длину базы, градусы двух углов, смежных с основанием. Помните, что два угла, смежные с основанием равнобедренного треугольника, будут равны.
4. Основа и высота. Нужно знать длину основания треугольника, а также высоту этой геометрической фигуры.

Вписанный треугольник

Как нарисовать вписанный треугольник? Выберите круглый объект. Используйте предмет с круглым основанием. Выбор компакт-диска станет хорошим вариантом. Но можно взять и другой объект нужного размера. Для этого метода свойственно, что длина каждой стороны равносторонней геометрической фигуры с тремя углами будет равна размерам радиуса (половине диаметра) круга.

Как нарисовать треугольник, если используете компакт-диск? Представьте себе равносторонний треугольник, который вписывается в верхнюю правую часть компакт-диска. Надо начертить первую из сторон. Радиус круглого объекта – расстояние на полпути до получения желаемого результата. Удостоверьтесь, что линии нарисованы ровно.

С помощью линейки просто выполните измерения диаметра объекта и нарисуйте линию на половину длины. Если ее нет, поместите круглый объект на бумагу, затем тщательно проведите по окружности карандашом. Удалите объект – должен быть идеальный круг. Используйте прямой край, чтобы нарисовать линию через точный центр круга: точку, которая полностью равноудалена от любой точки по окружности круга.

Используйте круглый объект для создания дуги. Поместите объект по отрезку линии, с краем круга, расположенным на одном конце линии. Для обеспечения точности убедитесь, что линия проходит четко через центр круга. Используйте карандаш, чтобы начертить дугу – это четверть пути по окружности.

Начертите еще одну дугу. Теперь сдвиньте круглый объект так, чтобы край касался другого конца сегмента линии.

Подведем итоги

В статье были предоставлены рекомендации, как нарисовать треугольник равносторонний, равнобедренный и вписанный в окружность.