45 + 46, 62 — 55, 83 — 25, 7 + 55, 19 + 34, 53 — 19, 91 — 46, 58 + 25, соедини сумму с разностью, которая этой сумме соответствует :
Перед вами страница с вопросом 45 + 46, 62 — 55, 83 — 25, 7 + 55, 19 + 34, 53 — 19, 91 — 46, 58 + 25, соедини сумму с разностью, которая этой сумме соответствует ?, который относится к
категории Математика. Уровень сложности соответствует учебной программе для
учащихся 1 — 4 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и
сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и
выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется
варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском»,
который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав
кнопку в верхней части страницы.
Содержание:
Действие вычитание и компоненты вычитания
Связь вычитания и сложения
Свойства разности
Как вычесть сумму из числа и число из суммы
Изменение разности при изменении вычитаемого и/или уменьшаемого
Правила вычитания разности
Вычитание однозначного числа
Вычитание в столбик многозначных чисел
Проверка действий сложение и вычитание
Пройти тест по теме «Сложение и вычитание натуральных чисел» можно по ссылке. Проверьте свои знания!
Мы можем не только собирать в группы различные предметы, то есть, складывать их, но и забирать из существующей группы определенное их количество.
Например, в кошельке было 1850 рублей. В магазине было потрачено 780 рублей. Чтобы узнать, сколько осталось денег, можно вытащить кошелек и пересчитать их. Но можно поступить по-другому: из той суммы, которая была в кошельке, отнять ту сумму, что была потрачена в магазине. Разница этих чисел, то есть, на сколько единиц изначальная сумма денег больше той суммы, которую потратили, и будет остатком денег.
Разность (или остаток) – это такое число, которое получится, если от одного числа отнять другое, то есть, от всех единиц одного числа отнять все единицы, которые содержатся в другом числе.
Уменьшаемое – это то число, от которого мы отнимаем единицы другого числа.
Вычитаемое – это число, которое мы вычитаем из другого числа. То есть, то число, на количество единиц которого мы уменьшаем другое число.
Вычитание – это арифметическое действие, которое выполняется для получения разности двух или нескольких чисел.
то есть, совершить действие вычитания – это найти такое число, которое получится, если от данного числа отнять определенное количество единиц другого числа.
Компоненты вычитания:
Про действие вычитание также говорят, что нужно из одного числа вычесть другое, или одно число уменьшить на другое.
Совершая вычитание натуральных чисел, вы должны помнить, что из одного натурального числа можно вычесть только равное ему или меньшее натуральное число. Действительно, мы никак не можем отобрать единиц предметов больше, чем их есть в наличии.
Поэтому, уменьшаемое натуральное число всегда больше или равное вычитаемому. Другими словами, мы всегда вычитаем из большего меньшее или из равного равное.
Связь вычитания и сложения
Действие вычитание непосредственно связано с действием сложение.
Действительно, когда мы ищем сумму, мы складываем все единицы, из которых состоят числа, вместе. То есть, получаем число, которое складывается из разных чисел.
А когда мы ищем разность, мы из одного числа (уменьшаемое) отнимаем некоторое количество единиц (вычитаемое), которые входят в его состав, и получаем другое количество единиц. То есть, получаем число (разность), которое также составляло уменьшаемое, пока от него не отняли вычитаемое. Поэтому разность и имеет второе название – остаток – то, что осталось от числа, после вычитания его части.
Из этого мы можем сделать вывод, что, если сложить обратно обе части одного числа (разность и вычитаемое), то мы получим уменьшаемое.
Поэтому, вычитание и сложение – это взаимно обратные действия. Если нам известна сумма двух слагаемых, мы можем превратить ее в разность двух чисел, и наоборот, разность можно перевести в сумму.
Уменьшаемое – это сумма вычитаемого и разности. То есть, разность и вычитаемое – это слагаемые.
Когда мы складываем числа, слагаемые нам известны, и нужно вычислить их сумму. А когда мы вычитаем, нам даются сумма (уменьшаемое) и одно из слагаемых (вычитаемое) этой суммы, а второе слагаемое (разность) нам нужно вычислить.
Рассмотрим это на примере. Мы нашли разность 8-5=3. Это означает, что мы разложили одно данное нам число 8 на два: 5 (данное нам уменьшаемое) и 3 (найденная нами разность). Но мы знаем, что состав числа – это слагаемые, которые в сумме дают нам это самое число. Поэтому, найденную нами разность чисел мы можем превратить в сумму чисел, сложив остаток с вычитаемым: 3+5=8.
Свойства разности натуральных чисел
Свойства разности натуральных чисел состоят из:
- Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы;
- Зависимость разности от изменения уменьшаемого или вычитаемого.
- Правило вычитания разности из числа;
Рассмотрим каждый пункт подробнее.
Правила вычитания суммы из числа и числа из суммы
Как вычесть сумму из числа
Чтобы найти разность числа и суммы чисел нужно из данного числа вычесть последовательно каждое слагаемое суммы.
То есть, сначала мы находим разность между данным числом и первым слагаемым, потом от этой полученной разности отнимаем второе слагаемое, третье, и так далее до последнего слагаемого суммы.
Действительно, так как сумма – это объединение всех слагаемых, то очевидно, что, отнимая последовательно каждое слагаемое, каждое ее составляющее число, мы в конце концов отнимем всю сумму.
Рассмотрим это на примере из урока сложение чисел.
325+(12+64+5) = 325+81 = 406
Я запишу это в виде разности:
406-(12+64+5) = 325
и покажу, что результат будет равен первому слагаемому:
406—12 = 394;
394-64 = 330;
330-5 = 325.
Как видите, все верно.
Как вычесть число из суммы
Чтобы найти разность суммы чисел и некоторого числа, нужно отнять это число от какого-нибудь подходящего слагаемого этой суммы.
То есть, мы сначала находим разность одного из слагаемых и данного числа, а потом складываем получившийся результат последовательно с остальными слагаемыми.
Действительно, вы знаете, что, если уменьшить одно из слагаемых на какое-то число, то и сумма уменьшится на это же самое число. Следовательно, если нам нужно сумму чисел уменьшить на какое-то число, то для этого достаточно уменьшить на это число одно из слагаемых суммы.
Для рассмотрения я возьму тот же пример, только сумму расчленю на слагаемые, а слагаемое в скобках заменю суммой:
325+81 = (191+65+150)
Превращаю выражение в разность:
(191+65+150)-81 = 325
и покажу, что результат также будет равен первому слагаемому:
191-81 = 110;
110+65 = 175;
175+150 = 325
или
150-81 = 69;
69+191 = 260;
260+65 = 325.
Я недаром написал в правиле, что нужно отнимать от подходящего слагаемого суммы, потому что, если оно будет меньше вычитаемого, то оно нам не подходит. Так, в нашем примере 65<81.
Отсюда следует, что это правило применимо не к любой сумме натуральных чисел, а только к той, в которой хотя бы одно из слагаемых больше, чем вычитаемое.
Как меняется разность при изменении вычитаемого или уменьшаемого
Изменение разности при изменении вычитаемого и уменьшаемого является следствием описанных в уроке изменений суммы чисел с изменением ее слагаемых.
Если уменьшаемое увеличить на некоторое количество единиц, то и разность увеличится на такое же количество единиц.
Если уменьшаемое уменьшить на некоторое количество единиц, то и разность уменьшится на такое же количество единиц.
Если вычитаемое увеличить на некоторое количество единиц, то разность уменьшится на такое же количество единиц.
Если вычитаемое уменьшить на некоторое количество единиц, то разность увеличится на такое же количество единиц.
Если сразу оба числа, и уменьшаемое, и вычитаемое, увеличить или уменьшить на одно и то же количество единиц, то разность не изменится.
Правила вычитания разности
Если нужно вычесть из числа разность других чисел, можно воспользоваться одним из двух способов:
1. Прибавить к данному числу вычитаемое, и из получившейся суммы вычесть уменьшаемое;
2. Вычесть из данного числа уменьшаемое, а потом результат этого действия сложить с вычитаемым.
Это свойство выводится из предыдущих, рассмотренных нами.
Рассмотрим на примере 22-(17—3).
Для начала вычислим обычным способом: сперва узнаем разность в скобках (это будет 17-3=14), а потом вычтем 14 из 22. Получится 22-14=8.
22-(17—3) = 8
Теперь вернемся к исходному примеру и отнимем от 22 не разность 17-3, то есть, не 17 без 3 единиц, а все число 17.
22—17 = 5
Но мы ведь отняли больше, чем нужно было, поэтому нам нужно вернуть лишне взятые 3 единицы обратно, а именно, прибавить их к полученному результату.
5+3 = 8
Попробуем решить другим путем: увеличим и уменьшаемое (данное число), и вычитаемое (разность в скобках) на одно и то же число 3. Получим:
22+3-(17+3-3)
Так как 22+3=25, а 3-3=0, то в итоге получается:
25-17+0 = 8
Как видите, оба способа показали верный результат.
Вычитание однозначного числа
Вы сможете без каких-либо трудностей совершать вычитание любых чисел, если сперва хорошо натренируете себя вычитать однозначные числа в уме из однозначных и двухзначных.
А поскольку вычитание – это действие обратное сложению, тогда необходимо просто выучить на память все суммы однозначных чисел. Пользуясь ими, мы легко сможем получить необходимые вам разности.
Например, нам нужно найти разность чисел 17 и 8. Для этого нам необходимо вспомнить, какое число при сложении с числом 8 дает сумму 17? Это число 9, потому что 8+9=17. Значит, если от 17 отнять 8, мы получим: 17-8=9.
Хорошо натренировавшись в нахождении разности чисел из суммы однозначных чисел, можно переходить к более сложным случаям вычитания. Подробно эти приемы рассмотрены в разделе рубрики «Устный счет».
Вычитание в столбик многозначных чисел
Так же, как и сложение, разность многозначных чисел удобно находить, используя вычитание в столбик.
Вычитание в столбик – это способ нахождения разности чисел при помощи их записи друг под другом таким образом, чтобы соответствующие разряды разных чисел находились на одной вертикали (один под другим), и последующего вычисления.
Давайте найдем разность чисел 52063-4825.
Запишем их друг под другом таким образом, чтобы совпадали соответствующие разряды обоих чисел, т.е. единицы под единицами, десятки под десятками и т.д. После этого, под вторым слагаемым проводим горизонтальную черту, а между слагаемыми ставим знак действия, т.е. минус. У нас получилась такая запись:
Вычитание в столбик выполняется подобным способом, как и при сложении, только теперь мы отнимаем единицы от единиц, десятки от десятков и так далее.
От 3 единиц в уменьшаемом мы не можем отнять 5 единиц вычитаемого, поскольку 3<5. Поэтому, мы раскладываем соседние 6 десятков на 5 десятков и 1 десяток. Этот десяток содержит 10 единиц, которые мы складываем с 3 имеющимися в уменьшаемом единицами. Теперь у нас есть 13 единиц, и мы можем отнять от них 5, получим 8 единиц. Записываем их под чертой в разряде простых единиц, а над цифрой разряда десятков в уменьшаемом ставим одну точку, чтобы не забыть, что 1 десяток единиц мы оттуда уже забрали.
Переходим к десяткам. У уменьшаемого в разряде десятков мы уже забрали 1 десяток, о чем нам напоминает поставленная точка. Поэтому, мы отнимаем 2 десятка вычитаемого не от 6, а от 5 десятков, потому что 6-1=5.
5>2, значит, действие вычитания возможно: 5-2=3. Пишем цифру 3 под чертой в разряде десятков, и переходим к сотням.
Сотен в уменьшаемом у нас нет, поэтому мы смотрим, сколько в числе содержится тысяч? Их тоже 0. Смотрим следующий разряд. Здесь у нас 5 десятков тысяч. Из них мы берем 1 десяток тысяч (ставим точку над цифрой 5 в уменьшаемом), что составляет 10 тысяч единиц. Из них (из взятых в десятках тысячах) мы занимаем 1 тысячу для того, чтобы закончить вычитание в разряде сотен (ставим точку над цифрой 0 в разряде тысяч уменьшаемого).
1 тысяча единиц – это 10 сотен. Кроме этих занятых, больше в уменьшаемом сотен нет. В вычитаемом 8 сотен, поэтому находим разность сотен уменьшаемого и вычитаемого: 10-8=2. Пишем результат под чертой в разряде сотен.
В разряде тысяч уменьшаемого у нас осталось 9 тысяч единиц (потому что 1 тысячу мы отдали для разряда сотен в качестве 10 сотен). Отнимаем от нее 4 тысячи вычитаемого, получаем: 9-4=5, которые записываем под чертой в разряде тысяч.
Десятков тысяч в уменьшаемом осталось 5-1=4 (помните, мы для разряда сотен занимали?), в вычитаемом их нет совсем, то есть, 0. Поэтому мы просто сносим цифру 4 в результат под черту в разряд десятков тысяч.
После нахождения разности чисел способом вычитания в столбик записываем ответ в строчном примере:
50063-4825 = 45238.
Как проверить действия сложение и вычитание?
После того, как вы закончили арифметическое действие, нужно проверить правильность ответа, то есть, удостовериться, что вычисление было сделано без ошибок.
Проверить сложение можно двумя способами: обратным сложением и вычитанием.
Обратное сложение означает, что мы меняем слагаемые местами, и складываем их еще раз. Если результат будет такой же, как и после первого сложения, значит, вычисление было верным.
Например, в уроке сложение чисел мы находили сумму: 5728+803 = 6531. Проверим правильность результата способом обратного сложения:
Как видите, сложив слагаемые в другом порядке, мы получили тот же самый результат, а значит, вычисление было правильным.
Проверка сложения вычитанием – это способ, при котором нужно из суммы, которую получили после выполнения действия сложение, отнять одно из слагаемых. Если результат этого вычитания будет равен второму слагаемому (или сумме остальных слагаемых, если их больше двух), значит сложение было выполнено верно.
Проверим эту же сумму вычитанием: отнимем от результата 6531 слагаемое 5728.
И этот способ проверки показал правильность нашего решения.
Проверить вычитание также возможно и сложением, и другим вычитанием.
Проверка вычитания сложением основана на взаимосвязи вычитания и сложения. Зная, что уменьшаемое – это сумма, а остаток и вычитаемое – это слагаемые, мы можем сложить между собой вычитаемое и остаток, и, если получим в результате уменьшаемое, значит, мы правильно сделали действие.
Вот так выглядит проверка вычитания сложением на примере вычисленной на этом уроке разницы 50063-4825 = 45238:
Проверка вычитания вычитанием также основывается на взаимосвязи вычитания и сложения, а также на переместительном законе сложения. Так как уменьшаемое – это сумма двух слагаемых: вычитаемого и остатка, и сумма не зависит от порядка сложения слагаемых, то очевидно, что мы можем отнять от уменьшаемого остаток. Если результат этого действия будет равен вычитаемому, значит наша первая разность вычислена верно.
Проверка той же самой разницы вычитанием:
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 268 человек из 65 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Целые неотрицательные числа
Электронный конспект для студентов
педагогических колледжей
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
Арифметические действия
с целыми неотрицательными числами
Вычитание -
2 слайд
Содержание:
Для продолжения работы щелкните мышкой по соответствующей теме
Понятие разности целых неотрицательных чисел;
Связь вычитания со сложением;
Свойства вычитания;
Изучение действия вычитание в начальном курсе математики.
Множество No
Умножение
Сложение
Деление
С помощью этих кнопок можно перейти в электронные конспекты по указанным темам.
Для возвращения в данный конспект нажмите <esc>. -
3 слайд
n(A) – n(В)= 5 – 2 = 3
ВА
n( )=
Понятие разности неотрицательных чисел
Ознакомление с действием вычитание начинается в дошкольном возрасте. Выполняя предметные действия, дети оперируют с конкретными множествами и результат вычитания находят как численность дополнения подмножества.
В гараже стояло 5 машин. Уехало 2 машины. Сколько машин осталось в гараже?
В этой задаче речь идет о двух множествах:
А – множество машин, стоящих в гараже в начале. n(A) = 5
В – множество уехавших машин. n(В) = 2
В А
Дошкольники, при решении данной задачи, пересчитают оставшиеся машины, то есть они найдут
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Например:
численность дополнения подмножества В до множества А .В начальной школе дети усваивают, что для решения подобных задач можно не пересчитывать оставшиеся предметы, а из численности множества предметов, которые были, вычесть численность множества убранных предметов
Определение 8: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число с, которое является численностью дополнения подмножества В до множества А, где n(A)=а; n(B)=b, В А
Числа называются: a – уменьшаемое, b – вычитаемое, с – разность, запись a – b так же называется – разность.
Определение 9: Действие, посредством которого находится разность, называется вычитание.
Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.
А
В
ВА
n( )=3
Запишите это в тетрадь, продолжив предложение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Проверьте себя, щелкнув мышкой по знаку вопроса. При повторном щелчке по этому знаку подсказка исчезнет.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Возврат в оглавление -
4 слайд
Запишите это в тетрадь. Прочитайте выражение записанное символами. Если Вы затрудняетесь это сделать щелкните мышкой по знаку вопроса. В этом случае советуем Вам записать, как читается это математическое предложение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю
Запишите эти примеры и свой вывод в тетрадь.
Вы можете проверить себя, щелкнув мышкой по соответствующей кнопке.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Выполните это задание дома.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Выполните это задание.
Вы можете проверить себя, щелкнув мышкой по соответствующей кнопке
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
(а,bNo) (!сNо: с = а – b) (а b)
Теорема: Разность целых неотрицательных чисел a и b существует тогда и только тогда, когда a больше или равно b . Эта разность единственна.
В начальной школе дети сталкиваются со случаями невыполнимости действия вычитания на множестве целых неотрицательных чисел.
Понятие разности неотрицательных чисел (продолжение)
Возврат в оглавление
Задание 2: Составьте 3 примера на вычитание, которые не имеют значения на множестве No. К какому выводу об условии выполнимости действия вычитания должны прийти дети?
Сформулированный Вами вывод соответствует теореме об условии существования разности:
Задание 1: Подберите в учебниках математики задание, в котором бы дети результат действия вычитания находили бы как численность дополнения подмножества.
Данная теорема содержит связку тогда и только тогда, когда, которая предполагает верность прямой и обратной теоремы.
Задание 3: Сформулируйте и запишите прямую и обратную теоремы, а так же сформулируйте эту теорему с использованием связки необходимо и достаточно.
Прямая теорема: Если целое неотрицательное число число a больше или равно b, то существует разность чисел a и b.
(а,bNo) (!сNо: с = а – b) (а b)
Обратная теорема:Если разность целых неотрицательных чисел a и b существует, то число a больше или равно b .
(а,bNo) (!сNо: с = а – b) (а b)
Для того, чтобы существовала разность целых неотрицательных чисел a и b необходимо и достаточно, чтобы число a было больше или равно b .Для любых целых неотрицатель-ных чисел a и b справедливо утверждение: единственное целое неотрицательное число с, явля-ющееся разностью этих чисел, существует тогда и только тогда, когда a b
Из одного числа можно вычесть другое, если первое число больше второго.Задание 3
Задание 2 -
5 слайд
Запишите это в тетрадь. Проговорите возможные рассуждения детей.
Если вы затрудняетесь это сделать, щелкните мышкой по примерам.
В этом случае советуем Вам записать эти рассуждения.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Задание3: Сделайте рисунки, которые помогут детям решить данные примеры:Запишите, как будут рассуждать дети, решая данные примеры без наглядности.
После решения таких троек примеров дети могут заметить, что если от целого (суммы) отнять одну часть (одно слагаемое), то получим другую часть (другое слагаемое). Таким способом дети могут установить связь действия вычитания со сложением.
Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.
Связь вычитания со сложением
Возврат в оглавление
При ознакомлении с действиями сложение и вычитание младшие школьники находят результат, рассматривая предметные действия с множествами. Например:
В основе такого рассуждения лежит следующее определение понятия «разность»:
Определение 10: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется целое неотрицательное число с, являющееся корнем уравнений а = b + х или а = х + b.
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
6-2
Задание1: Как могут рассуждать дети, решая примеры с использованием данного рисунка?
В дальнейшем результат действия вычитания находят по следующему правилу:
«Чтобы найти разность можно подобрать такое число, которое, при сложении с вычитаемым, даст уменьшаемое».
При решении конкретных примеров дети это правило заменяют такими рассуждениями:
«Шесть – это 4 и 2, значит если от 6 отнять 4, то получится 2».
Задание 2: Запишите рассуждения детей при решении примера 6 – 2.
8 — 3
5 — 2
7 — 5
9 — 7
К четырем красным треугольникам прибавили два зеленых, всего получилось шесть треугольников. Значит 4 + 2 = 64+2
Если от шести треугольников отнять четыре красных, то останется два зеленых. Значит 6 – 4 = 2.6-4
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана -
6 слайд
Связь вычитания со сложением (продолжение)
Возврат в оглавление
Определение 10 связывает действия _________ и _________. Используя это определение, можно вывести правила нахождения неизвестного числа в этих действиях по известному результату и второму числу.
нахождение неизвестного слагаемого
нахождение неизвестного уменьшаемого;
нахождение неизвестного вычитаемого.
Это правила:
Запишите это в тетрадь, вставив пропущенные названия действий.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
сложение
вычитание
Сформулируйте и запишите эти правила. Чтобы проверить себя, щелкните мышкой кругу рядом с названием соответствующего правила.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, достаточно из суммы вычесть известное слагаемое.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, достаточно к разности прибавить вычитаемое.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, достаточно из уменьшаемого вычесть разность.
Ознакомление младших школьников с этими правилами может проводиться при рассмотрении троек равенств. Например, для введения правила нахождения неизвестного слагаемого можно рассмотреть такую тройку равенств:
4 + 2 = 6
6 — 2 = 4
6 — 4 = 2
Эти тройки могут быть даны детям в готовом виде или могут быть получены ими в результате решения взаимно обратных задач. Рассмотрим пример такой работы.
Составьте тройку равенств для рассмотрения правил нахождения неизвестного уменьшаемого и вычитаемого.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке. -
7 слайд
Связь вычитания со сложением (продолжение)
9
Нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого
Возврат в оглавление
Задача
В автобусе ехало 9 пассажиров.
На остановке вышло три человека.
Сколько пассажиров осталось в автобусе?
?
9 – 3 = 6
После решения этой задачи учитель предлагает детям составить обратные задачи и решить их (условие обратных задач может сформулировать сам учитель).
Запишите условие задачи и ее решение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Составьте две обратные задачи, заменяя известное в первой задаче данное словом «несколько», и решите их . Для проверки и продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Обратная задача 1
В автобусе ехало несколько пассажиров. После того как вышло 3 человека, в автобусе осталось 6 пассажиров. Сколько пассажиров ехало в автобусе?
Обратная задача 2
В автобусе ехало 9 пассажиров. После того как вышло несколько человек, в автобусе осталось 6 пассажиров. Сколько пассажиров вышло?
6 + 3 = 9
9 – 6 = 3
В результате дети получают три равенства:
Проверьте составленные Вами задачи и при необходимости внесите изменения. Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Как называются числа в первом равенстве?
Уменьшаемое, вычитаемое , разность
Как получили уменьшаемое 9?
К разности 6 прибавили вычитаемое 3.
Как получили вычитаемое 3?
От уменьшаемого 9 отняли разность 6.
вычи-таемое
умень-шаемое
раз-ность
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
После такой беседы дети могут сформулировать правила нахождения неизвестного уменьшаемого и вычитаемого.
Для продолжения работы щелкните по управляющей кнопке.
Запишите вопросы учителя и предполагаемые ответы учеников. Для проверки и продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана. -
8 слайд
6 + 3 = 9
проверяем: к шести прибавить три – получится девять.
После ознакомления с правилами нахождения неизвестного числа в действиях сложение и вычитание дети могут решать простейшие уравнения вида:
Связь вычитания со сложением (продолжение)
Возврат в оглавление
Задание: Придумайте свою задачу и обратные ей для введения правила нахождения неизвестного слагаемого. Продумайте иллюстрацию этой задачи.
Запишите вопросы учителя и предполагаемые ответы учеников.
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
6 + х = 9
х — 4 = 2
6 — х = 2
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Задание: Запишите рассуждения учеников при решении оставшихся уравнений.
Рассуждения учеников при решении уравнения могут быть такими:
6 + х = 9
уравнение содержит действие сложение, значит нам неизвестно 2-ое слагаемое;
чтобы найти 2-ое слагаемое, можно из суммы вычесть 1-ое слагаемое.
мы из суммы 9 вычитаем 1-ое слагаемое 6 и получаем 2-ое слагаемое 3.
х = 9 – 6
х = 3
Младшие школьники знакомятся также с уравнениями, состоящими из двух и более действий. Например:
Задание: Запишите рассуждения учеников при решении этих уравнений. Чтобы посмотреть пример рассуждения, щелкните мышкой по кнопке со знаком вопроса, при повторном щелчке подсказка исчезнет.
(х + 25) + 70 = 220
(х + 15) – 60 = 90
160 — (х + 26) = 89
28 – (15 + х) = 6(х + 15) – 60 = 90
х + 15 = 90 + 60
х + 15 = 150
х = 150 — 15
х = 135
В данном уравнении последнее действие – вычитание;
Неизвестное содержится в выражении (х + 15), значит нам неизвестно уменьшаемое;
Чтобы найти это уменьшаемое, мы к разности 90 прибавим вычитаемое 60. Получаем 150.
Полученное уравнение содержит действие сложение, значит нам неизвестно 1-ое слагаемое.
Чтобы найти 1-ое слагаемое, мы от суммы 150 отнимем 2-ое слагаемое 15. Получаем 135.
Выполните это задание.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана.
(135 + 15) – 60 = 90
150
Проверяем: 135 + 15 = 150; 150 – 60 = 90. -
9 слайд
Возврат в оглавление
Свойства вычитания
Для действия вычитание справедливы следующие свойства (законы):
Вычитание числа из суммы
Вычитание суммы из числа
Запишите это в тетрадь.
Для продолжения работы щелкните мышкой по выделенному свойству. После ознакомления щелкните мышкой по голубому полю экрана.
Задание: Для данных выражений :
39 – 7
43 – 20
50 – 7
43 – 8
30 – 16
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
запишите развернутое решение и найдите значение;
опишите, что с точки зрения определения действия вычитания Вы нашли;
определите какое свойство лежит в основе вычислительного приема;
придумайте задачу, иллюстрирующую данное свойство и запишите все способы решения данной задачи, составлением числовых выражений.
Для ознакомления с организацией работы на уроке по ознакомлению со свойством и приемами вычислений, основанными на этом свойстве щелкните мышкой по оранжевому кругу.
После ознакомления щелкните мышкой по голубому полю экрана. -
10 слайд
Возврат в оглавление
Вычитание числа из суммы
Для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство:
(а + b) – с = (а – с) + b =(b – с) + а
(а,b, с No) (а с) (а + b) – с = (а – с) + b
(а,b, с No) (b с) (а + b) – с = (b – с) + а
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
В начальной школе знакомство с данным свойством сводится к знакомству с правилом:
Чтобы из суммы вычесть число можно:
Правило «Вычитание числа из суммы» лежит в основе вычислительных приемов вычитания в примерах вида:
Задание:
Запишите развернутое решение каждого примера;
Запишите рассуждения ученика при решении этих примеров.
87 – 40
30 – 4
87 – 4
Чтобы посмотреть пример рассуждения, щелкните мышкой по голубому полю экрана.
87 — 4
Рассуждения ученика:
представляю число 87 в виде суммы разрядных (удобных) слагаемых 80 + 7;
= (80 + 7) — 4
= (7 — 4) + 80
= 3 + 80 = 83
нам удобно из единиц вычитать единицы, поэтому сначала от 7 отнимаю 4, а затем к полученному результату прибавлю 80;
7 отнять 4 – получится 3 и прибавим 80 – получится 83.
Сформулируйте два способа вычитания числа из суммы.
Чтобы проверить себя, щелкайте мышкой по оранжевым кругам.
Для продолжения работы, щелкните мышкой по голубому полю экрана.
это число вычесть из 1-ого слагаемого и к полученному результату прибавить 2-ое слагаемое;
это число вычесть из 2-ого слагаемого и к полученному результату прибавить 1-ое слагаемое. -
11 слайд
Возврат в оглавление
Вычитание суммы из числа
Для любых целых неотрицательных чисел а, b и с верно равенство:
а — ( b + с ) = (а – b) — с =(а – с) — b
(а,b, с No) а — ( b + с ) = (а – b) — с
(а,b, с No) а — ( b + с ) = (а – с) – b
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
В начальной школе знакомство с данным свойством сводится к знакомству с правилом:
Чтобы вычесть сумму из числа можноПравило «Вычитание суммы из числа» лежит в основе вычислительных приемов вычитания в примерах вида:
Задание:
Запишите развернутое решение каждого примера;
Запишите рассуждения ученика при решении этих примеров.
60 – 26
75 – 24
42 – 5
Чтобы посмотреть пример рассуждения, щелкните мышкой по голубому полю экрана.
60 — 26
Рассуждения ученика:
представляю число 26 в виде суммы разрядных (удобных) слагаемых 20 + 6;
= 60 – (20 + 6)
= (60 — 20) — 6
= 40 — 6 = 34
нам удобно сначала от 60 отнять 20, а затем от полученного результата отнять 6;
от 60 отнять 20 – получится 40 и отнять 6 – получится 34.
Сформулируйте два способа вычитания суммы из числа.
Чтобы проверить себя, щелкайте мышкой по оранжевым кругам.
Для продолжения работы, щелкните мышкой по голубому полю экрана.
из числа вычесть сначала 1-ое слагаемое и из полученного результата вычесть 2-ое слагаемое;
из числа вычесть сначала 2-ое слагаемое и из полученного результата вычесть 1-ое слагаемое; -
12 слайд
Возврат в оглавление
Изучение действия вычитание в начальном курсе математики
I этап. Ознакомление с действием вычитание. На этом этапе дети знакомятся:
с записью арифметического действия;
с чтением выражений. Например: 5 – 2: «От пяти отнять два», «Пять минус два»;
Результат действия вычитания на этом этапе находят как численность дополнения подмножества, за исключением случаев вычитания числа 1 (отнять 1 – назвать предыдущее число).
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
II этап. Изучение приемов вычитания чисел первого десятка. На этом этапе дети:
заучивают наизусть результаты вычитания чисел 2, 3, 4;
знакомятся с названием чисел при вычитании (уменьшаемое, вычитаемое, разность) и со способами чтения выражений. Например: 5 – 2: «Разность чисел 5 и 2», «Уменьшаемое – 5, вычитаемое 2, найти разность»;
изучают прием нахождения результата вычитания, как действия обратного сложению и учатся вычитать числа 5, 6, 7, 8, 9. Например: 9 – 6: «Девять – это шесть и три, следовательно 9 – 6 = 3».
III этап. Изучение приемов вычитания чисел до 20. На этом этапе дети:
знакомятся с приемами нахождения результата действия вычитания, основанными на знании нумерации. Например: 12 – 2: «12 – это 1 десяток и 2 единицы, если вычесть 2 единицы, то останется 1 десяток, следовательно 12 – 2 = 10», аналогично решается пример вида 12 – 10;
13 – 1: «отнять 1 – назвать предыдущее число, перед числом 13 стоит число 12, следовательно 13 – 1 = 12»;
знакомятся с приемами нахождения результата действия вычитания, основанными на правиле Вычитание суммы из числа. Например: 12 – 5: «Нам удобно сначала от 12 отнять 2, получится – 10, а затем отнять 3, получится – 7». После ознакомления с данным приемом, результаты вычитания чисел до 20 заучиваются наизусть.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке. -
13 слайд
Изучение действия вычитания в НКМ (продолжение)
Возврат в оглавление
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
IVэтап. Изучение приемов вычитания чисел до 100. На этом этапе дети:
знакомятся с приемами нахождения результата действия вычитания, основанными на знании нумерации. Например: 36 – 6, 36 – 30, 43 – 1 (рассуждения такие же как на III этапе);
знакомятся с приемами нахождения результата действия вычитания, основанными на свойствах «Вычитание числа из суммы» и «Вычитание суммы из числа». Например: 45 – 3; 45 – 30; 35 – 8; 50 – 18; 57 – 13.
знакомятся с алгоритмом письменного вычитания двузначных чисел. Например:
45 – 32; 75 – 35; 56 – 28; 60 – 37.
Для продолжения работы вернитесь в оглавление.
V этап. Изучение приемов вычитания чисел до 1000 и многозначных чисел. На этом этапе дети закрепляют полученные ранее навыки устных и письменных приемов вычитания, основанных:
на знании нумерации. Например: 353 – 53; 353 – 3; 350 – 50; 1000 – 1
на использовании свойств «Вычитания числа из суммы» и «Вычитания суммы из числа». Например: 340 – 230; 234 – 20; 485 – 7;
на знании алгоритма письменного вычитания трехзначных и многозначных чисел. Например: 456 – 234; 234 – 132; 485 – 372; 1000 — 375Задание: запишите рассуждения учеников при решении каждого из этих примеров;
Для ознакомления с алгоритмом письменного вычитания щелкните мышкой по знаку вопроса
Задание: запишите рассуждения учеников при решении каждого из этих примеров. -
14 слайд
Работа учителя по изучению вычислительных приемов может строиться по следующему плану:
Ознакомление со свойством методом неполной индукции. Здесь детям может быть предложена задача, имеющая несколько способов решения, которые иллюстрируют данное свойство. Числа в задаче подбирают так, чтобы все вычисления проходили:
для сложения и вычитания – в пределах десяти;
для умножения и деления – в пределах таблицы умножения;
Нахождение значений выражений удобным способом с применением данного свойства.
Изучение вычислительного приема, основанного на данном свойстве.
В в спортивном зале было 6 футбольных и 4 волейбольных мяча. Для игры взяли 3 мяча. Сколько мячей осталось в зале?
Ознакомление с вычислительными приемами, основанными на использовании свойств арифметических действий
Возврат в оглавление
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Задание:
Запишите план решения задачи в каждом способе.
Запишите каждый способ решения, составив выражения.
Запишите рассуждения учеников, которые приведут их к выводу правила «Вычитание числа из суммы».
Например, при изучении вычислительного приема, основанного на правиле «Вычитание числа из суммы» можно, для ознакомления с правилом, предложить детям задачу:
Выполните это задание.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
1-ый способ
2-ой способ
3-ий способ
Посмотрите продолжение иллюстрации, подводящее детей к одному из способов решения этой задачи. Для этого щелкайте мышкой по соответствующей кнопке.
При повторном щелчке по этой же кнопке восстановится исходное положение.
Для продолжения работы щелкните мышкой по голубому полю экрана. -
15 слайд
Ознакомление с приемами вычитания (продолжение)
Возврат в оглавление
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Полученное правило используют сначала для нахождения значений выражений удобным способом. Например,
34 — 20 = (30 + 4) — 20 = (30 — 20) + 4 = 10 + 4 = 14
Рассуждения ученика:
представляю число 34 в виде суммы разрядных (удобных) слагаемых 30 + 4;
нам удобно от десятков отнимать десятки, поэтому сначала от 30 отнимем 20, а затем к полученному результату прибавим 4;
30 отнять 20 – получится 10 и прибавим 4 – получится 14.
Затем вводят вычислительный прием, основанный на данном свойстве:
Задание:
Найдите в данном рассуждении правило, которым дети заменяют сложную для них формулировку правила «Вычитания числа из суммы» и подчеркните ее.
Проговорите рассуждения учеников при решении примеров удобным способом, используя там, где это необходимо, данную формулировку.
Выполните это задание.
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке.
(80 + 7) — 20
(70 + 9) — 7
(12 + 3) – 4 -
16 слайд
Алгоритм письменного вычитания
1. Запишете вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;
Если цифра уменьшаемого больше цифры вычитаемого, то произведите вычитание.
Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то займите одну единицу у следующего разряда. Эта единица составляет 10 единиц данного разряда. Прибавим к десяти имеющиеся единицы данного разряда и произведем вычитание.
Если в следующем разряде нет единиц, то займите единицу в ближайшем слева разряде, в котором есть единицы. Переведите занятую единицу в 10 единиц стоящего справа разряда и займите из них одну, для следующего справа разряда. Поступайте так, пока не дойдете до разряда, в котором производится вычитание. Прибавим к десяти имеющиеся единицы данного разряда и произведем вычитание.
Полученный результат запишите в ответ в соответствующий разряд.
2. Вычитайте, начиная с единиц первого разряда.
3. Повторяйте те же действия со всеми разрядами числа. При этом необходимо учитывать занятые единицы, уменьшая на единицу цифру уменьшаемого, если из данного разряда занимали.
4. Вычитание считается законченным, когда произведены вычисления со всеми разрядами, содержащимися в вычитаемом.
Запишите это в тетрадь и щелкните мышкой по голубому полю экрана
Для продолжения работы щелкните мышкой по управляющей кнопке. -
17 слайд
Вы завершили знакомство с данной темой.
Если Вы хотите завершить работу – нажмите клавишу <ESC>
Если Вы хотите вернуться в оглавление – щелкните мышкой по управляющей кнопке
Действия с целыми неотрицательными числами.
Вычитание
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 267 965 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 13.12.2020
- 500
- 11
- 11.12.2020
- 319
- 1
- 11.12.2020
- 162
- 0
- 22.11.2020
- 247
- 0
- 04.11.2020
- 219
- 1
- 16.10.2020
- 193
- 0
- 08.09.2020
- 1617
- 11
- 04.09.2020
- 233
- 2
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Правовое обеспечение деятельности коммерческой организации и индивидуальных предпринимателей»
-
Курс повышения квалификации «Основы управления проектами в условиях реализации ФГОС»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация логистической деятельности на транспорте»
-
Курс повышения квалификации «Маркетинг в организации как средство привлечения новых клиентов»
-
Курс повышения квалификации «Основы менеджмента в туризме»
-
Курс повышения квалификации «Мировая экономика и международные экономические отношения»
-
Курс профессиональной переподготовки «Деятельность по хранению музейных предметов и музейных коллекций в музеях всех видов»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация системы менеджмента транспортных услуг в туризме»
-
Курс профессиональной переподготовки «Метрология, стандартизация и сертификация»
-
Курс профессиональной переподготовки «Гостиничный менеджмент: организация управления текущей деятельностью»
-
Курс профессиональной переподготовки «Техническая диагностика и контроль технического состояния автотранспортных средств»
-
Курс профессиональной переподготовки «Организация процесса страхования (перестрахования)»
Рассмотрим значенияФункции
В точках
… Выделим всевозможные пары соседних значений:
… ив каждом случае вычтем пре
Дыдущее значение из последующего, получим разности:
Эти разности называют конечными разностями первого порядка или просто первыми разностями. Обозначения первых разностей:
(31.4)
Разностями второго порядка или вторыми разностями называют разности первых разностей _ Обозначают вторые разности через
(31.5)
. Разности третьего порядка (или третьи разности) определяются и обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются последующее разности. Разности (и + 1)-го порядка получаются из разностей и-го порядка по формулам
(31.6)
Таблица разностей различных порядков строится согласно схеме (табл. 31.1).
Таблица 31.1
Каждое число из этой таблицы (начиная с третьего столбца) является разностью двух смежных чисел столбца слева (из нижнего числа вычитается верхнее; разность записывается в следующем столбце между этими числами). Третий столбец содержит первые разности, четвертый — вторые и т. д.
Для контроля вычислений при составлении таблицы разностей пользуются следующим утверждением: сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних чисел предыдущего столбца.
Разделенные разности первого порядка определяются формулами
(31.7)
Разделенные разности второго порядка получаются из разделенных разностей первого порядка по формулам
(31.8)
Аналогично определяются разделенные разности третьего порядка:
(31.9)
Разделенные разностиГо порядка получаются из разностей
-го порядка по формулам
(31.10)
В случае равноотстоящих узлов с шагомРазделенные разно
Сти различных порядков имеют вид:
(31.11)
(31.12)
Пр имер 31.3. Составить таблицу разностей различных порядков при следующих значенияхИ
По формулам (31.4) находим первые разности:
В
Соответствии с формулами (31.5) получаем разности второго порядка:
Аналогично находим разности третьего порядка:
,.
И разность
Четвертого порядка
Полученные разности можно представить в виде табл. 31.2.
Таблица 31.2
Замечание. Последние две строки служат для контроля вычислений: в строкеЧисла равны суммам всех чисел, расположенным в соответствующем столбце, в строке
— разности последнего и первого числа соответствующего столбца. Совпадение этих чисел
В таблице — по диа
Гонали) означает, что вычисления таблицы верны.
< Предыдущая | Следующая > |
---|
Изменение разности с изменением данных чисел
- Уменьшение или увеличение уменьшаемого
- Уменьшение или увеличение вычитаемого
- Изменение уменьшаемого и вычитаемого
Уменьшение или увеличение уменьшаемого
Если к уменьшаемому прибавить одну или более единиц, то разность увеличится на столько же единиц.
В общем виде: если записать разность в виде равенства
a — b = c,
то изложенное свойство разности можно записать так:
(a + m) — b = c + m.
Пример. Возьмём разность двух чисел: 9 — 4 = 5 и проследим, как она изменится, если мы увеличим уменьшаемое. Если к уменьшаемому прибавить 3, то получится:
(9 + 3) — 4 = 12 — 4 = 8.
Разность увеличилась на столько же единиц, на сколько мы увеличили уменьшаемое (5 + 3 = 8).
Следовательно, когда уменьшаемое увеличивается на одну или более единиц, то и разность увеличивается на столько же единиц.
Если от уменьшаемого отнять одну или более единиц, то разность уменьшится на столько же единиц.
В общем виде: если
a — b = c,
то
(a — m) — b = c — m.
Пример. Возьмём разность двух чисел: 9 — 4 = 5 и проследим, как она изменится, если мы уменьшим уменьшаемое. Если от уменьшаемого отнять 3 единицы, то получится:
(9 — 3) — 4 = 6 — 4 = 2.
Разность уменьшилась на столько же единиц, на сколько мы уменьшили уменьшаемое (5 — 3 = 2).
Следовательно, когда уменьшаемое уменьшается на одну или более единиц, то и разность уменьшается на столько же единиц.
Уменьшение или увеличение вычитаемого
Если к вычитаемому прибавить одну или более единиц, то разность уменьшится на столько же единиц.
В общем виде: если
a — b = c,
то
a — (b + m) = c — m.
Пример. Возьмём разность двух чисел: 9 — 4 = 5 и проследим, как она изменится, если мы увеличим вычитаемое. Если к вычитаемому прибавить 3, то получится:
9 — (4 + 3) = 9 — 7 = 2.
Разность уменьшилась на столько же единиц, на сколько мы увеличили вычитаемое (5 — 3 = 2).
Следовательно, когда вычитаемое увеличивается на одну или более единиц, то разность уменьшается на столько же единиц.
Если от вычитаемого отнять одну или более единиц, то разность увеличится на столько же единиц.
В общем виде: если
a — b = c,
то
a — (b — m) = c + m.
Пример. Возьмём разность двух чисел: 9 — 4 = 5 и проследим, как она изменится, если мы уменьшим вычитаемое. Если от вычитаемого отнять 3 единицы, то получится:
9 — (4 — 3) = 9 — 1 = 8.
Разность увеличилась на столько же единиц, на сколько мы уменьшили вычитаемое (5 + 3 = 8).
Следовательно, когда вычитаемое уменьшается на одну или более единиц, то разность увеличивается на столько же единиц.
Изменение уменьшаемого и вычитаемого
Разность не изменится, если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить или уменьшить на одно и то же число единиц.
В общем виде: если
a — b = c,
то
(a + m) — (b + m) = c
и
(a — m) — (b — m) = c.
Пример. Возьмём разность двух чисел: 9 — 4 = 5 и проследим, что с ней станет, если мы одновременно увеличим или уменьшим уменьшаемое и вычитаемое на одно и то же число. Если к уменьшаемому и вычитаемому прибавить 3 единицы или отнять от них 3 единицы, то получится:
(9 + 3) — (4 + 3) = 12 — 7 = 5,
(9 — 3) — (4 — 3) = 6 — 1 = 5.
Следовательно, если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.