Как составить символическую запись

К
непосредственным умозаключениям
относятся следующие виды:

1. превращение;

2. обращение;

3. контрапозиция
   (противопоставление предикату);

4. умозаключение
   по логическому квадрату.

Контрапозиция
(противопоставление предикату)
– непосредственное умозаключение, в
результате которого в заключении
субъектом становится понятие,
противоречащие предикату исходного
суждения, а предикатом – субъект
исходного суждения. Противопоставление
предикату представляет собой синтез
превращения и обращения.

Контрапозиция
различных суждений производится по
следующей схеме:

Частноутвердительное
суждение контрапозицированно быть не
может.

29. Простой категорический силлогизм. Логическая структура: понятие о терминах, посылках, фигурах, модусах. Аксиома силлогизма. Правила силлогизма.

Категорический
силлогизм
– такое опосредствованное дедуктивное
умозаключение, посылками и заключением
которого являются категорические
суждения. Например:

Понятие,
являющееся субъектом заключения,
называется меньшим
термином и
обозначается символически S.
В вышеприведенном примере ему соответствует
понятие «карась». Понятие, являющееся
предикатом заключения, называется
большим
термином
и обозначается символом P.
В указанном примере им является понятие
«дышит жабрами». Меньший и больший
термины называются крайними
терминами.
Каждый из них входит в одну из посылок.
Посылка, содержащая больший термин,
называется большей; посылка, содержащая
меньший термин, называется меньшей. В
нашем примере суждение «Все рыбы дышат
жабрами» является большей посылкой.
Суждение «Карась — рыба» — меньшей
посылкой.

Кроме
крайних терминов, в состав простого
категорического силлогизма входит
термин, повторяющийся в обеих посылках
и отсутствующий в заключении. Этот
термин называется средним
и обозначается символом М. В указанном
примере им является понятие «рыба».
Исходя из состава простого категорического
силлогизма, его можно определить как
опосредствованное
дедуктивное умозаключение, в заключении
которого устанавливается отношение
крайних терминов на основании их
отношения к среднему термину.

В
зависимости от того, какое место –
субъекта или предиката – в посылках
занимает средний
термин,
различают четыре разновидности
силлогизма, называемые фигурами
простого
категорического силлогизма.
Каждая фигура
имеет
свои специальные правила, хотя эти
правила могут быть получены строго
логически, как следствия из общих правил
простого
категорического силлогизма.

Модусы
–
это
разновидности силлогизма внутри каждой
фигуры,
различающиеся характером суждений, –
посылок и заключения, – составляющих
силлогизм.

Аксиома силлогизма

Аксиома
простого категорического силлогизма
– это положение, обосновывающее
правомерность вывода из посылок
категорического силлогизма. Она имеет
две формулировки – по объему и по
содержанию.

Аксиома
по объему
– все, что утверждается или отрицается
относительно всего логического класса,
действительно и в отношении каждого
отдельного элемента этого класса.

Аксиома
по содержанию
– признак признака вещи есть признак
самой вещи; то, что противоречит признаку
вещи, противоречим самой вещи.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Виды сложных суждений

Сложные суждения получают из нескольких простых путем применения к ним логических операций (союзов, связок). Подобно простым, сложные суждения обладают истинностной характеристикой – они могут быть истинными или ложными. Разница состоит в том, что их истинность зависит не от соответствия или несоответствия действительности (как у простых суждений), а от истинности входящих в него простых суждений и способ их связи.

По логической структуре сложные суждения отличаются от простых. В качестве основных структурообразующих элементов выступают не понятия, а простые суждения (из которых образуется сложное). Связки используются не такие, как в простых суждениях между субъектом и предикатом («есть» или «не есть»), а логические союзы – «и», «или», «если … то …» и т.д.

В зависимости от используемых логических союзов сложные суждения бывают:

• разделительными (дизъюнктивными). Его части – дизъюнкты, между которыми ставится связка «или». Например: «Магазин игрушек может располагаться на первом или втором этаже торгового центра». Необходимо различать слабую и сильную дизъюнкцию. В слабой дизъюнкции союз «или» имеет соединительно-разделительное значение: компоненты не исключают друг друга, могут быть одновременно истинными. В сильной дизъюнкции союз «или» («либо») имеет исключающе-разделяющий смысл, т. е. составляющие являются взаимоисключающими. Это значит, что истинным может быть только один дизъюнкт;
• соединительными (конъюнктивными). Его части – конъюнкты, между которыми ставится связка «и». Например: «В вазе лежат яблоки и апельсины»;
• условными (импликативными). Эти суждения состоят из посылки (основания) и следствия, соединенных союзом «если … то …». Например: «Если уронить чашку, то она разобьется». Основание начинается со слова «если», а следствие – со слова «то». Условные суждения отражают объективные причинно-следственные, функциональные и пространственно-временные связи между явлениями и предметами действительности. Грамматическая форма «если … то …» не обязательно указывает на условное суждение, она может просто выражать последовательность событий, мыслей;
• эквивалентностными. В этих суждениях провозглашается эквивалентность (равнозначность) нескольких суждений;
• отрицательными. Особенность отрицания состоит в том, что эта операция применяется к одному суждению, а не к двум, как рассмотренные ранее. Отрицание указывает на отсутствие некоторой ситуации или свойства.

В реальном мышлении (особенно научном) рассмотренные виды сложных суждений могут сочетаться, образуя сложные конструкции.

Пример комбинированного сложного суждения: «Если на улице пойдет дождь, то земля увлажнится, и трава начнет быстро расти». Здесь следствие импликации является конъюнктивным сложным суждением.

Символическая форма сложного суждения

В сложных суждениях простые суждения (или символы, которыми они замещаются) соединяются логическими связками. В соответствии с типами сложных суждений выделяются основные типы логической связи:

• отрицательная (неверно, что данное утверждение: ¬p);
• конъюнктивная (одновременно одно и другое: p&q);
• слабая (неисключающая) дизъюнктивная связь (хотя бы одно из двух; возможно, что оба одновременно: pvq);
• сильная (исключающая) дизъюнктивная связь (только одно из двух; недопустимо, чтобы оба одновременно: p⨁q);
• импликативная связь (если первое, то обязательно второе: p→q);
• эквивалентная связь (если первое, то обязательно второе; если нет первого, то обязательно нет второго: p↔q).

Любое сложное суждение может быть записано в соответствующей ему символической форме. При этом конкретное смысловое содержание простых высказываний, входящих в состав сложного, не имеют значения. Перевод языковой конструкции, состоящей из некоторого множества суждений, на символический язык, заключается в следующем:

• суждения заменяют логическими переменными,
• связки (союзы) заменяются логическими союзами. В зависимости от того, какой союз использован, определяется форма сложного суждения, его логическая особенность.

Существуют сложные суждения, логическая форма которых такова, что эти суждения при всех наборах входящих в них переменных принимают значение «истина» — они называются логически необходимыми и выражаются тождественно-истинными формулами. Если же выражение на всех наборах переменных ложно, оно называется логически невозможным и выражается тождественно-ложной формулой.

Пример записи сложного суждения в символической форме. Исходное суждение: «Вы получите пятерку на экзамене тогда и только тогда, если не будете пропускать занятия без уважительной причины и решите все задачи.

Обозначим простые суждения с помощью пропозициональных переменных языка логики высказываний:

• p – вы получите пятерку на экзамене;
• q – вы будете пропускать занятия без уважительной причины;
• r – вы решите все задачи из билета.

Логической формой данного суждения, записанной на языке логики высказываний, будет:

p↔(¬q&r)

Этой же логической форме соответствует множество других (по содержательному смыслу) суждений, например: «Вы подружитесь с кошкой тогда и только тогда, если не будете ее обижать и будете кормить». С точки зрения логики высказываний разницы между этими суждениями нет.

Логические союзы являются взаимозаменяемыми. В естественном языке подобная трансформация не всегда удобна, могут получиться непривычные высказывания, но в символьной записи она имеет большое теоретическое и практическое значение. Благодаря взаимной замене логических союзов появляется возможность:

• упростить символическое выражение при оперировании с ним;
• заменить предложения, имеющие одну конструкцию, на предложения, имеющие другую конструкцию. Благодаря этому появляется возможность выражать одну мысль с помощью грамматически различающихся предложений.

Символическая запись

Cтраница 1

Символическая запись ( 27) операции свертывания при этом не изменяется.
 [1]

Символическая запись, в которой два числа или два выражения, содержащие переменные, соединены знаком больше или меньше О или), называется неравенством. Теория неравенств строится в множестве действительных чисел, так как понятия больше и меньше имеют смысл только для чисел этого множества.
 [2]

Символическая запись, использовавшаяся в этом параграфе, полезна при изучении общих методов вывода уравнений системы и общих свойств этих уравнений. При выводе уравнений для конкретной задачи необходимо учитывать особенности каждого уравнения, и использование символической записи не дает преимуществ. Сведения, полученные при изучении общих свойств, служат основой для умелого обращения с уравнениями системы. Ниже, на конкретных примерах, мы покажем подробно, как использовать рассмотренные выше методы для вывода уравнений систем, и, в частности, детально изучим вопросы, связанные с выбором дерева для метода ветвей-хорд.
 [3]

Символическая запись, в которой два числа или два выражения, содержащие переменные, соединены знаком, , или, называется неравенством.
 [4]

Символическая запись — используется для того, чтобы указать смещение равновесия в левую сторону, однако подразумевается, что при этом устанавливается новое равновесие с прежним значением константы равновесия. Ионы водорода, образованные из НС1, совершенно идентичны тем, которые возникают при диссоциации уксусной кислоты, и их воздействие, называемое влиянием общих ионов, заключается в том, что они подавляют ионизацию уксусной кислоты.
 [5]

Символическая запись в виде произведения матриц равносильна записи системы линейных алгебраических уравнений. Сами символы матриц-множителей показывают только, какие величины перемножаются; сложение попарных произведений при этом подразумевается ( см. ниже) и входит в правило выполнения операции.
 [6]

Символическая запись программы ведется после разработки блок-схемы задачи. Известно несколько вариантов символического кодирования программы; при одном из них, например, программа записывается в условных адресах ЭВМ.
 [8]

Символическая запись состава и / или структуры молекулы, иона, радикала ( напр.
 [9]

Символическая запись простейшего численного соотношения, п котором атомы различных элементов образуют химическое соединение, называется формулой. Следовательно, формула выражает определенный ( качественный и количественный) состав соединения.
 [10]

Символическая запись простейшего численного соотношения, в котором атомы различных элементов образуют химическое соединение, называется формулой. Следовательно, формула выражает определенный ( качественный и количественный) состав соединения.
 [11]

Символическую запись и интерпретацию их чрезвычайно удобно производить с помощью диаграммной техники.
 [12]

Использование символической записи удобно в том отношении, что оно позволяет оперировать с функциями времени ( а не преобразованными по Лапласу фукциями оператора р), а также избавляет от необходимости заботиться о начальных условиях.
 [13]

В символической записи равенство ( 58 7) должно было бы быть написано как т — ( У.
 [14]

В символической записи это будет выглядеть так: если со Л влечет за собой cog Bt то Л СП В, и обратно.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Формулы алгебры высказываний

Построение сложных высказываний

С помощью логических операций, рассмотренных в предыдущей лекции, из простейших высказываний можно строить высказывания более сложные. Например, из высказываний можно построить такое высказывание: «Если Саратов находится на берегу Невы и все люди смертны, то А.С. Пушкин — великий русский математик». Построенное высказывание символически записывается так: . Конечно, оно звучит несколько странно, поскольку соединяет в себе столь разнородные понятия, которые обычно существуют раздельно друг от друга. Но нас, еще раз подчеркиваем, интересует не содержание этого высказывания, а его логическое значение. Оно может быть определено, исходя из логических значений исходных высказываний и той схемы, по которой из исходных высказываний построено сложное высказывание. Так как , то, используя соотношения (1.4), (1.2) и определения 1.7, 1.3, находим:

Итак, высказывание истинно.

Для конструирования данного сложного высказывания из простейших высказываний и нужно применить операцию конъюнкции к первым двум высказываниям, а затем к полученному высказыванию и к третьему исходному высказыванию применить операцию импликации. Это словесное описание схемы конструирования данного сложного высказывания можно заменить описанием символическим: , где — некоторые символы (переменные), вместо которых можно подставить любые конкретные высказывания. Такая схема конструирования составного высказывания может быть применена к различным конкретным высказываниям, а не только к высказываниям . Например, по этой схеме» из высказываний построим высказывание «Если Сократ — человек и снег — белый, то «. Находим его логическое значение:

Таким образом, та же самая схема построения составного высказывания привела к ложному высказыванию. Однако ввиду разнородности понятий, которыми оперируют исходные высказывания , трудно на интуитивной основе судить об истинности высказывания .

По рассматриваемой схеме построено и следующее высказывание: «Если 100 делится на 5 и 100 делится на 2, то 100 делится на 10». Формальное вычисление логического значения данного высказывания показывает, что оно истинно, с чем вполне согласуются наши интуитивные представления об этом высказывании.

Итак, символическая запись является своего рода формулой. Конечно, более привычны формулы типа (формула площади круга), (формула потенциальной энергии тела) и им подобные. Тем не менее выражение также можно считать формулой — формулой схемы конструирования составных высказываний из более простых.

Понятие формулы алгебры высказываний

В формулу вместо переменных можно подставлять конкретные высказывания, после чего вся формула будет превращаться в некоторое составное высказывание. Переменные, вместо которых можно подставлять высказывания, т.е. переменные, пробегающие множество высказываний, называют пропозициональными переменными, или высказывательными переменными, или переменными высказываниями. Будем обозначать пропозициональные переменные заглавными буквами латинского алфавита или такими же буквами с индексами

Теперь дадим точное определение формулы алгебры высказываний.

Определение 2.1

1. Каждая отдельно взятая пропозициональная переменная есть формула алгебры высказываний.

2. Если и — формулы алгебры высказываний, то выражения также являются формулами алгебры высказываний:

3. Никаких других формул алгебры высказываний, кроме получающихся согласно пунктам 1 и 2, нет.

Определения такого типа называются индуктивными. В них имеются прямые пункты (в данном случае п. 1 и п. 2), где задаются объекты, которые в дальнейшем именуются определяемым термином (в данном случае — формулами алгебры высказываний), и косвенный пункт (в данном случае п. 3), в котором говорится, что такие объекты исчерпываются объектами, заданными в прямых пунктах. Среди прямых пунктов имеются базисные пункты (в данном случае п. 1), где указываются некоторые конкретные объекты, именуемые в дальнейшем определяемым термином, и индуктивные пункты (в данном случае п. 2), где даются правила получения определяемых объектов, в частности из объектов, перечисленных в базисных пунктах.

В данной лекции формулы алгебры высказываний будем называть просто формулами. Есть и другие названия для понятия формулы: правильно построенная формула или правильно построенное выражение, но они представляются менее предпочтительными. Само определение формулы, носящее индуктивный характер, на первых порах кажется непривычным. Определения такого типа вам ранее не встречались. Лучшее понимание этого определения наступит, когда вы научитесь применять его для определения того, является или не является формулой последовательность символов (слово), составленная из пропозициональных переменных, символов логических операций и скобок.

К этому полезно добавить следующее. Для каждой формулы должна существовать конечная последовательность всех ее подформул, т.е. такая конечная последовательность, которая начинается с входящих в данную формулу пропозициональных переменных, заканчивается самой этой формулой, и каждый член этой последовательности, не являющийся пропозициональной переменной, есть либо отрицание уже имеющегося члена этой последовательности, либо получается из двух уже имеющихся членов этой последовательности их соединением с помощью одного из знаков и заключением полученного выражения в скобки. Такую последовательность всех подформул данной формулы иногда называют порождающей последовательностью для данной формулы. Наличие такой последовательности у логического выражения служит критерием того, что выражение является формулой. Это свойство отличает формулы.

Приведем примеры формул. На основании п. 1 определения 2.1 формулами будут пропозициональные переменные:

Далее на основании п. 2 того же определения из этих формул построим следующие:

Из построенных формул также на основании п. 2 строим еще более сложные формулы:

Ясно, что процесс построения все более сложных формул может продолжаться безгранично.

Приведем примеры выражений, не являющихся формулами. Это в каком-то смысле нелепые выражения. К примеру, выражение было бы формулой на основании п. 2 определения 2.1, если бы формулами были выражения и . Выражение есть пропозициональная переменная и потому на основании п. 1 определения 2.1 является формулой. Рассмотрим выражение . Оно было бы формулой, если бы между формулами и стоял один из знаков логических связок. Но такого знака нет. Следовательно, выражение не формула, и исходное выражение формулой также не является.

Таким образом, индуктивный характер определения 2.1 дает возможность эффективно решать для каждого выражения, является оно формулой алгебры высказываний или нет.

Вот еще примеры выражений, не являющихся формулами (убедитесь в этом самостоятельно):

То, что последнее выражение не является формулой, может сначала вызвать недоумение. Но после сопоставления его с п. 2 определения 2.1 отмечаем, что в последнем выражении недостает внешних скобок для того, чтобы считать его формулой. Действительно, если бы мы сочли данное выражение формулой, то на основании п. 2 формулой было бы и выражение . Но оно бессмысленно, потому что неопределенно: неизвестно, какую операцию нужно выполнять первой, импликацию или эквивалентность. А от этого, как можно проверить (проверьте!), будет зависеть логическое значение составного высказывания (см. п. 3), получающегося из последнего выражения, если его превратить в формулу указанием последовательности действий и придать пропозициональным переменным и конкретные значения (высказывания). Если бы в исходном выражении стояли внешние скобки, т.е. если бы оно было формулой , то проделанное в предыдущем абзаце построение привело бы к формуле .

Итак, требование внешних скобок у формулы не является излишним формализмом. Тем не менее внешние скобки придают формуле громоздкость и, если данная формула не входит составной частью в более сложную формулу, не несут никакой информации и смысловой нагрузки. Поэтому внешние скобки в окончательно записанной формуле договариваются опускать. Например, формулу будем записывать в виде , а вместо формулы будем писать . Но если данная формула должна будет войти составной частью в более сложную формулу, то сначала заключаем ее во внешние скобки и только потом отправляем в процедуру построения новой формулы.

Логическое значение составного высказывания

Если в формулу алгебры высказываний вместо пропозициональных переменных подставить конкретные высказывания соответственно, то получится некоторое новое составное высказывание . Оно называется конкретизацией формулы на выборе высказываний . Как определить логическое значение полученного составного высказывания, если известны логические значения исходных высказываний ?

Прежде чем сформулировать в следующей теореме ответ на поставленный вопрос, введем одно понятие. Ранее отмечалось, что только логические значения высказываний, а не их содержание рассматриваются в алгебре высказываний. Это дает возможность несколько упростить обозначения и терминологию. Так, каждое ложное высказывание можно рассматривать как элемент 0, а каждое истинное — как элемент 1 двухэлементного множества , и писать вместо или лишь только или соответственно. Далее, если формула при подстановке вместо ее пропозициональных переменных высказываний с логическими значениями превращается в высказывание с логическим значением , то будем говорить, что формула принимает значение а, если ее переменные принимают значения соответственно, и писать и , где . Для нахождения значения нужно подставить в формулу вместо пропозициональных переменных значения соответственно и в полученном выражении последовательно проделать все действия с нулями и единицами, предписываемые правилами таблиц из определений 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9. В результате получим 0 или 1. Полученное значение будем обозначать и называть значением данной формулы на данном наборе нулей и единиц . Например, вычислим значение формулы

на наборе

Теорема 2.2. Логическое значение составного высказывания равно значению формулы на наборе логических значений составляющих высказываний , т.е.

Доказательство. Докажем утверждение методом полной математической индукции по числу символов логических операций, входящих в формулу .

Если формула содержит 0 символов логических операций, то она представляет собой просто пропозициональную переменную, скажем, , т.е. (знак обозначает абсолютную тождественность двух формул, графическую одинаковость левой и правой частей). Тогда доказываемое соотношение сводится к тривиальному равенству: .

Если формула содержит лишь один символ логической операции, то она является одной из следующих формул:

В этих случаях доказываемое равенство есть одно из равенств (1.1)–(1.5).

Предположим теперь, что утверждающееся в теореме равенство верно для всех формул алгебры высказываний, содержащих не более к символов логических операций. Докажем, что оно верно для формулы , содержащей символов логических операций. На основании определения 2.1 формула имеет один из следующих видов:

где и — некоторые формулы, каждая из которых содержит уже не более к символов логических операций. Нужно провести доказательство для всех пяти случаев. Но в силу принципиальной идентичности этих доказательств проделаем его, например, для случая . Вычисляем:

В проделанных вычислениях второе равенство основано на определении 1.3 логической операции конъюнкции. Третье равенство основано на предположении индукции о том, что для формул и соотношение теоремы выполняется. Наконец четвертое равенство записано на основании того, что .

Аналогичным образом соотношение теоремы доказывается и во всех остальных случаях конструирования формулы из формул и .

Следовательно, утверждение теоремы верно для любой формулы алгебры высказываний.

Итак, здесь необходимо понять, что логическое значение составного высказывания по существу является значением некоторого (логического) выражения при некотором наборе конкретных значений всех входящих в него (пропозициональных) переменных. При этом пропозициональные переменные могут принимать значения 0 или 1, само выражение принимает значение 0 или 1, и вычисляется это значение (в силу теоремы 2.2) посредством применения к значениям 0 и 1 предписываемых данным выражением логических действий. Логические действия над величинами 0 и 1 выполняются по правилам, определяемым таблицами истинности этих действий (операций) — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности. Таким образом, мы фактически начинаем иметь дело с некой новой (логической) алгеброй, или алгеброй логики, которая как бы «параллельна» привычной школьной алгебре. Сравним компоненты этих двух алгебр с помощью следующей таблицы:

Аналогия со школьной алгеброй будет продолжена при рассмотрении равносильных преобразований в алгебре логики.

Составление таблиц истинности для формул

На основании теоремы 2.2 можно для данной формулы алгебры высказываний найти логические значения всех тех высказываний, в которые формула превращается при подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных различных конкретных высказываний. При этом говорят о логическом значении самой формулы и о логических значениях ее пропозициональных переменных. При нахождении логических значений формулы, соответствующих всевозможным наборам значений ее пропозициональных переменных, удобной формой записи является табличная форма. Рассмотрим примеры.

Пример 2.3. Составим таблицу истинности для формулы . В первых двух столбцах таблицы выпишем всевозможные пары логических значений, которые могут принимать пропозициональные переменные и (точнее, те высказывания, которые могут быть подставлены в формулу вместо пропозициональных переменных и ). В последующих столбцах выписываем логические значения формул и , образующих так называемую порождающую последовательность для данной формулы. Руководствуемся при этом определениями логических операций импликации и дизъюнкции. В результате получаем таблицу:

Первые два столбца и последний столбец составленной таблицы задают соответствия между логическими значениями исходных высказываний и логическим значением составного высказывания, получаемого по данной формуле. Эти три столбца и образуют таблицу истинности данной формулы. Остальные два столбца (для логических значений и носят вспомогательный, промежуточный характер.

Пример 2.4. Составим таблицу истинности для формулы . Она содержит три пропозициональные переменные, для которых имеются точно восемь различных наборов значений истинности. Таблица истинности для рассматриваемой формулы вместе с промежуточными столбцами выглядит следующим образом:

Таблицу истинности формулы можно составлять в сокращенном виде.

Пример 2.5. Составим, например, такую таблицу для формулы: (внешние скобки у формулы, согласно договоренности, опущены). В первой строке таблицы выпишем данную формулу. Под переменными и выписываем всевозможные наборы их логических значений. Далее столбец под первым знаком заполним логическими значениями формулы , исходя из соответствующих значений переменной , а столбец под знаком — логическими значениями формулы , исходя из соответствующих логических значений формул и . Затем заполняем столбец под вторым знаком значениями формулы и столбец под знаком — значениями формулы . Наконец заполняем столбец под знаком логическими значениями данной формулы. В итоге получаем

Выделенные жирным шрифтом табулированные значения представляют собой столбец логических значений данной формулы.

Практика составления довольно большого числа таблиц истинности есть наилучший способ прочно запомнить определения логических связок (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности) и довести до автоматизма выдачу значений любой из этих операций. Это знание необходимо для решения более содержательных задач алгебры высказываний.

Классификация формул алгебры высказываний

Формулы алгебры высказываний подразделяются на следующие типы: выполнимые, тавтологии, опровержимые и тождественно ложные.

Формула алгебры высказываний называется выполнимой, если некоторая ее конкретизация является истинным высказыванием, т.е. существуют такие конкретные высказывания , которые, будучи подставленными в эту формулу вместо переменных соответственно, превращают ее в истинное высказывание. Таким образом, выполнима, если существуют такие конкретные высказывания , что . Выполнимой формулой является, в частности, формула, рассмотренная в примере 2.4. Она превращается в истинное высказывание, если, например, вместо пропозициональных переменных подставить ложные высказывания. Выполнима также формула , конкретизация которой рассмотрена в начале этой лекции.

Формула называется тавтологией, или тождественно истинной, если она превращается в истинное высказывание при всякой подстановке вместо переменных конкретных высказываний , т.е. если для любых высказываний . Формула из примера 2.3 является тавтологией. Для обозначения тавтологии используется знак , который ставится перед формулой, являющейся тавтологией. Таким образом, запись означает, что формула является тавтологией. В частности, для указанного примера можем записать .

Формула называется опровержимой, если существуют такие конкретные высказывания , которые превращают данную формулу в ложное высказывание , т.е. . Другими словами, опровержимые формулы — это формулы, не являющиеся тавтологиями. Опровержимой является формула, рассмотренная в примере 2.4. Она обращается в ложное высказывание лишь тогда, когда вместо всех переменных подставлены истинные высказывания. Формула также опровержима.

Наконец, формула называется тождественно ложной, или противоречием, если для любых конкретных высказываний . Другими словами, тождественно ложные формулы — это такие формулы, которые не являются выполнимыми.

При решении задач на классификацию формул полезно отказаться от механического составления таблиц истинности и научиться решать их методом анализа структуры формулы и нахождения тех отдельных наборов значений переменных, в случае которых формула принимает определяющее значение.

Мышление и математическая логика

В заключение следует отметить, что мы приступили к фундаментальному процессу исследования математическими методами такой сферы, как область человеческого мышления. Начало процессу математизации логики положено математизацией языка. Фактически построена своеобразная знаковая система (символический язык логики высказываний), с помощью которой можно попытаться отразить человеческую мысль и проследить оформление мыслительного процесса. Этот язык основывается на алфавите, состоящем из следующих символов:

1) пропозициональных букв: ;
2) символов логических операций: ;
3) технических знаков: .

Словами построенного языка являются формулы логики высказываний. Предложения обычного (русского) языка могут быть «переведены» на символический язык логики высказываний, где они представляются формулами логики высказываний. Следует иметь в виду, что при таком переводе сохраняются логическое содержание, логическая структура предложения, но, конечно же, теряются его языковая красота и психологические оттенки. Формула представляет собой формальную последовательность знаков, составленную по строгим правилам, нарушение которых недопустимо. Такой перевод высказывания естественного языка на символический язык называется его формализацией. В частности, перевод высказывания на символический язык логики высказываний есть его формализация в рамках символической логики высказываний. Получаемая формула показывает способ соединения простых высказываний в составное при помощи логических союзов. Она представляет как бы в «чистом виде» логическую структуру составного высказывания.

Формула логики высказываний сама по себе не имеет никакого содержания. В частности, она не является ни истинной, ни ложной. Она превращается в высказывание, истинное или ложное, при всякой подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных любых конкретных высказываний. Такой процесс подстановки называется интерпретацией данной формулы алгебры высказываний.

Таким образом, имеются два взаимно-обратных процесса (две процедуры): формализация и интерпретация. Если имеется формула и высказывание есть результат ее интерпретации, то сама формула будет формализацией высказывания . Обратно, если имеется высказывание и формула есть его формализация, то высказывание будет одной из интерпретаций формулы . Итак, формализация — это переход от высказывания естественного языка к формуле логики высказываний, а интерпретация — переход от формулы логики высказываний к высказыванию естественного языка. Таблица истинности или таблица значений формулы логики высказываний — это таблица, которая указывает логическое значение формулы при любой ее интерпретации.

Осознание этих понятий исключительно важно на данном этапе, поскольку они являются ключевыми для изучения в дальнейшем более глубоких разделов математической логики. На данном этапе делается первый шаг на пути формализации — важнейшего метода математической логики.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.