Как составить сборник логических заданий

Муниципальное
автономное общеобразовательное учреждение

средняя
общеобразовательная школа №16

Щёлковского
муниципального района

Московской
области

Проект
на тему

Логические
задачи и софизмы

                                    
Работу выполнил

     
                             ученик 5а класса

                                                                  
Слепченков Алексей

                                           
Руководитель:  Немова Татьяна Сергеевна

2019
– 2020 уч. год

Оглавление

Введение……………………………………….…………….…..…3

Основная часть………………………………………………….4-16

            1. Виды логических задач
и методы их решения……………4

           
2. Решение
задач на соответствие………………………….5-12

           
3. Софизмы как нарушение правил логики
………….….13-14

4.
Опрос-исследование ……………………………….…..15-16

Заключение………………………………..……..………………17

Источники
информации…………………………..….…..………18

Приложение. Сборник
логических задач

Введение

Актуальность темы

В повседневной
жизни каждому из нас приходится решать много важных проблем. Чтобы осознанно
подходить к их решению необходимо, чтобы у человека было развито логическое
мышление. Также человек, знакомый с логикой, умеет точно и ясно выражать свои
мысли, грамотно ими делиться.

У школьников
логическое мышление развивается в процессе решения логических задач, прежде
всего на уроках математики и информатики.

Какие логические
задачи существуют, какими методами их решают, и как нарушение правил логики
влияет на их решение?

Я заинтересовался
этими вопросами.  Так появилась тема моего учебного проекта.                                                                                                                               

Цель работы: выявить различные методы
решения логических задач, а также выяснить к каким последствиям могут привести
ошибки в рассуждениях.

Задачи:

1)         
собрать и
проанализировать материал о видах логических задач и о различных методах их
решения на примере задач на соответствие;

2)         
разобрать
ошибки в некоторых софизмах;

3)         
провести
опрос-исследование с целью заинтересовать школьников данной проблемой;

4)         
составить
сборник логических задач.

Методы
исследования:
поиск и анализ научно-популярной и занимательной литературы, опрос.

Основная часть

1.    Виды логических задач и
методы их решения

Логику можно
определить как науку о правильном мышлении.    Основателем логики  считается
древнегреческий философ
Аристотель.
Предшественниками Аристотеля
в развитии логической науки в Древней
Греции были Зенон
Элейский, Сократ
и Платон.
Аристотель
же впервые систематизировал доступные знания о логике, обосновал формы и
правила логического мышления.

Используя
Интернет-ресурсы и дополнительную литературу, я выяснил, что существуют разные
виды логических задач, а также множество методов их решений.

 Виды задач на
логическое мышление:

1.Задачи на соответствие
между элементами множеств (например, «Кто есть кто?»)

2. Математические ребусы.

3. Истинностные задачи (с
использованием законов математической логики)

4. Задачи на переливание.                                 

5. Задачи на взвешивание.

6. Геометрические задачи.

          7. Словесные логические
шутки.

Методы решения логических задач:

1. Метод рассуждений.

2. Метод подбора (перебор всевозможных
вариантов)

3. Метод таблиц и графов.

4. Метод кругов Эйлера.

2. Решение задач
на соответствие

Я подробно рассмотрел задачи на соответствие
между элементами множеств.

 В математике  группу
предметов с общими свойствами  называют множеством. Предметы, входящие в это множество, называют элементами
множества.

 Простые
задачи на соответствие решают методом рассуждений, а более сложные – методом
таблиц или графов.

Задача. В трёх мешках находятся крупа, вермишель и сахар. На одном
мешке написано «крупа», на другом – «вермишель», на третьем – «крупа или
сахар». В каком мешке что находится, если содержимое каждого из них не
соответствует записи?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств:
множества продуктов и множества мешков.

Будем рассуждать: если содержимое
каждого мешка не соответствует записи, то в третьем мешке – не крупа и не
сахар, а значит, там вермишель. Тогда в первом мешке  – не крупа и не
вермишель, значит – сахар, а во втором остаётся только крупа.

Ответ:
в первом мешке – сахар, во втором – крупа, в третьем – вермишель.

Задача.  Олег, Игорь и Аня учатся в 5
классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник.
Известно, что:

·       
лучший художник не нарисовал своего портрета, но
нарисовал портрет Игоря;

·       
Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и лучший
художник?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств: множества
детей и множества профессий.

Если Аня
никогда не проигрывала мальчикам в шахматы, то она и есть лучший шахматист.
Лучший художник – Олег, т.к. он нарисовал портрет Игоря.

Ответ: Аня
– лучший шахматист, Олег – лучший художник, Игорь – лучший математик.

Таким же методом рассуждений
можно решить следующие задачи.

1. В квартирах 1, 2, 3 жили три
котёнка: белый, чёрный и рыжий. В квартирах 1 и 2 жил не чёрный котёнок. Белый
котёнок жил не в квартире 1. В какой квартире жил каждый котёнок?

Ответ:
Чёрный котёнок живёт в квартире №3, белый – в квартире №2, рыжий – в квартире
№1.

2. Мама, папа и сын любили разные
мультфильмы: «Ну, погоди!», «Смешарики», «Том и Джерри». Определите, какой
мультфильм любит каждый из них, если мама, папа и любитель мультфильма «Смешарики»
никогда не унывают, а папа и любитель мультфильма «Том и Джерри» делают зарядку
по утрам? 

Ответ:  мама любит мультфильм «Том и
Джерри», папа –«Ну, погоди!, сын – «Смешарики».

3. В летний лагерь приехали отдыхать три друга:
Миша, Володя и Петя. Их фамилии: Иванов, Семёнов, Герасимов. Миша – не
Герасимов, отец Володи – инженер, Володя учится в 6 классе,  Герасимов – в 5
классе, отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из друзей?

Ответ: Володя Семёнов, Миша Иванов,
Петя Герасимов.

4.  Школьный драмкружок, готовясь
к постановке отрывка из сказки А.С.Пушкина о царе Салтане, решил распределить
роли между участниками:

— Я буду Черномором, — сказал Юра.

— Нет, я буду Черномором, — заявил Коля.

— Ладно, — уступил ему Юра, — я могу сыграть Гвидона.

— Ну, я могу стать Салтаном, — тоже проявил уступчивость
Коля.

-Я же согласен быть только Гвидоном! – произнёс Миша.

Желания мальчиков были удовлетворены. Как распределились
роли?

Ответ: Миша – Гвидон, Юра –Черномор,
Коля – Салтан.

Более сложные задачи (особенно если  элементов
во множествах больше трёх) удобно решать методом таблиц.

Задача. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, квас,
лимонад и вода. Известно, что вода  и молоко не в бутылке. Сосуд с
лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. В банке не лимонад и не
вода. Стакан стоит между банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится каждая из жидкостей?

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств:
множества сосудов и множества напитков.

 Строим таблицу: строки – сосуды, столбцы – напитки.
 Договоримся отмечать положительный результат знаком «+» , а отрицательный–
знаком «-».

Если в каком-то столбце или строке появляется знак «+», то в
остальных ячейках этого столбца или строки ставим знак «-». Если во всех
ячейках столбца или строки, кроме одной стоят все минусы, то в эту ячейку
ставим плюс.  

Мы знаем, что вода и молоко не в бутылке, значит, ставим знак «-».
Еще известно, что сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом,
следовательно, в кувшине не лимонад и не квас. Еще, лимонад и вода не в банке,
а в стакане и  в банке не молоко.

	Лимонад	Вода	Молоко	Квас
Бутылка	+	–	–	–
Стакан	–	+	–	–
Банка	–	–	–	+
Кувшин	–	–	+	–

Ответ: лимонад в бутылке, вода в стакане, молоко в кувшине и квас в
банке.

Задача. Четверо друзей — Алик,
Володя, Миша и Юра — собрались в доме у Миши. Мальчики оживленно беседовали о
том, как они провели лето.
— Ну, Балашов,ты, наконец,
научился плавать? — спросил Володя.
— О, еще как, — ответил Балашов, —
могу теперь потягаться в плавании с тобой, Алик.
— Посмотрите, какой я гербарий
собрал, — сказал Петров, прерывая разговор друзей, и достал из шкафа большую
папку.
    Всем, особенно Лунину и Алику,
гербарий очень понравился. А Симонов обещал показать товарищам собранную им
коллекцию минералов. 
Назовите имя и фамилию каждого
мальчика.

Решение: в задаче идет речь о соответствии элементов 2-х множеств:
множества имён и множества фамилий.

 Друзья собрались в доме у Миши, а Петров достал из шкафа
папку, значит, Миша Петров, т.к. хозяин может достать папку (ставим «+»). Из
первых двух высказываний следует, что у Володи и Алика фамилия не Балашов
(ставим два минуса). Лунину и Алику гербарий понравился, значит, Алик не Лунин
(ставим «-»).
Действуя по правилам, заполняем таблицу. 

	Балашов	Петров	Лунин	Симонов
Алик	–	–	–	+
Володя	–	–	+	–
Миша	–	+	–	–
Юра	+	–	–	–

Ответ: Алик Симонов, Володя Лунин,
Миша Петров, Юра Балашов.

Методом таблиц решаются следующие задачи.

1. Матвей,
Виктор, Борис и Илья на уроке труда смастерили кораблики: зелёные, синие,
красные и жёлтые. Каждый складывал кораблики только одного цвета. Кораблики
Ильи и Матвея не красные. Борис и Илья не захотели мастерить синие, Матвей не
делал ни синие, ни жёлтые. Кто из мальчиков какие кораблики смастерил?

Решение:

	зелёные	синие	красные	желтые
Матвей	+	–	–	–
Виктор	–	+	–	–
Борис	–	–	+	–
Илья	–	–	–	+

2. В семье четверо детей. Им 5, 8, 13, 15 лет. Детей зовут
Катя, Ваня, Ира и Галя. Сколько лет каждому, если одна девочка ходит в детский
сад, Катя старше Вани, и сумма лет Кати и Иры делится на три?

Решение:

	5 лет	8 лет	13 лет	15 лет
Катя	–	–	+	–
Ваня	–	+	–	–
Ира	+	–	–	–
Галя	–	–	–	+

  3. В компьютерном классе на перемене пять ребят – Максим,
Настя, Саша, Рома, Сережа стали играть в такие игры: пасьянс «Паук», гонки,
сапер, «Марио», тетрис. Каждый из них играл только в одну игру. 
• Саша думал, что в «Марио» играет Настя. 
• Настя предполагала, что Рома играет в тетрис, а Максим – в гонки. 
• Рома считал, что Сережа играет в гонки, а Саша – в сапера. 
• Максим думал, что Настя раскладывает пасьянс, а в «Марио» играет Рома. 
В результате оказалось, что все они ошиблись в своих предположениях. Кто и во
что играл?

Решение:

	«Паук»	гонки	сапёр	«Марио»	тетрис
Максим	–	–	–	–	+
Настя	–	–	+	–	–
Саша	–	+	–	–	–
Рома	+	–	–	–	–
Серёжа	–	–	–	+	–

Если в задаче
используются не два, а больше множеств, то её лучше решать методом графов.

Граф – это геометрическая схема, в
которой элементы множеств изображаются точками, а соответствия между ними
линиями.

Задача.   У трёх подружек – Ксюши,
Насти и Маши новогодние карнавальные костюмы белого, синего и красного цветов и
шапочки тех же цветов. Костюм и шапочка Насти одного цвета. Костюм и шапочка
Ксюши не красные. Маша в белой шапочке, а костюм её не белый.

Кто в каком
костюме и шапочке?

Решение: Имеем 3 множества: множество
девочек, множество костюмов и множество шапочек.

Связь между  множествами будем
рисовать сплошной линией, а если между  элементами соответствия нет, то будем
соединять их пунктирной линией.

        Мы знаем, что костюм и шапочка
Ксюши не красные, соединяем пунктирной линией. У Маши белая шапочка, соединяем
сплошной линией. Костюм у Маши не белый, соединяем пунктирной линией. Понятно,
что Ксюша не в красной и не в белой шапочке, следовательно,  в синей.

Остаётся красная
шапочка, значит, она у Насти. Нам известно, что у Насти костюм и шапочка одного
цвета. Значит, Настя во всём красном.

Получается, что Маша в синем костюме,
а Ксюша в белом.

                      
        Ксюша

        
      Настя                           Маша

               

Костюмы                                          
Шапочки

Синий                    
Белый                                Синяя                
Белая                                        

                                                                                                                    

  
Красный                                                          Красная

 

Ответ:
Настя в красном костюме и красной шапочке, Ксюша в белом костюме и синей
шапочке, Маша в синем костюме и в белой шапочке.

Другие задачи,
решаемые с помощью графов.

1.    
Три клоуна Бим, Бам и Бом вышли на арену в
красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же цветов. У Бима цвета
рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам
был в зеленых туфлях, а в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?

                             
    Бам

               
 Бим                            Бом

               

    Рубашки                                        
Туфли

Синяя                    
Зелёная                                Синие               
Зелёные                                       

                                                           
                                                         

  
Красная                                                          Красные

 

Ответ: Бим в красных рубашке и
туфлях, Бам в синей рубашке и зелёных туфлях, Бом в зелёной рубашке и в синих
туфлях.

2. Иван, Дмитрий и Сте­пан — преподают различные
предметы (химию, биоло­гию, физику) в школах Москвы, Минска и Киева. Известно:
1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий не в Минске;  2) москвич преподает
не физику;  3) тот, кто работает в Минске, преподает химию;  4)
Дмитрий преподает не биологию. Какой предмет и в каком городе преподает каждый?

                              
Дмитрий

               Иван                          
Степан

               

Предметы                                   
       Город

химия                    
физика                                Москва                 Киев                                       

                                                                                                        
            

   биология                                                         
Минск

Ответ:
Иван преподаёт химию в Минске,  Дмитрий – физику в Киеве, а Степан – биологию в
Москве.

3. Софизмы как нарушение правил логики

В древней Греции философские беседы нередко приводили к
изобретению хитроумных «доказательств» неверных утверждений.

Такие «доказательства» называются софизмами, т. к. их
часто использовали софисты — учителя философии и красноречия в Древней Элладе.

Софизм –  кажущееся правильным утверждение,
в доказательстве которого кроются  замаскированные ошибки.

Основные ошибки в математических софизмах: деление на 0;
неприменимость законов действий над числами; нарушения правил действия с
именованными величинами.

Софизм №1 «Пять равно четырём»

Возьмем верное равенство 20+15-35 = 16+12-28. В каждой части
вынесем за скобки общий множитель: 5 ∙ (4+3-7) = 4
∙ (4+3-7). Разделив обе части
равенства на одинаковый множитель (4+3-7),  получим 5 = 4.

Разбор софизма. Ошибка допущена при
делении верного равенства

5 ∙  (4+3 — 7) = 4 ∙ (4+3-7) на число 4+3-7, равное 0. Этого
нельзя делать. Любое равенство можно делить только на число, отличное от 0.

Софизм №2 «Один метр не равен ста сантиметрам»

Известно, что

 1 м = 100 см и

 10 м = 1000 см

Перемножая эти равенства почленно, получим

10 м = 100 000
см

и разделив последнее равенство на 10, получим, что

1 м = 10 000
см

Таким образом, один метр не равен ста сантиметрам.

Разбор софизма: Ошибка, допущенная в
этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами:
все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их единицами
измерений.  Ведь перемножая равенства и деля на 10 мы получим, что 1
м² = 10 000 см²  ,что верно.   

Очень
многие софизмы выглядят как лишенная смысла игра с языком; которая опирается на
многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность и т.д.

                                           1.«Лекарства» 
       «Лекарство,
принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит,
лекарств нужно принимать как можно больше». 
Разбор софизма: Лекарство не всегда
добро: оно будет им только в нужной для больного дозе, иначе оно является злом.

                                2.«Рогатый» 
       «Что ты не терял, то
имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога». 
Разбор софизма: Начальное суждение не
верно, т.к. существуют вещи которых у тебя нет и не было, и ты их, конечно, не
терял (чего нет, потерять нельзя).

                               3. «Глаза не нужны для зрения»

  «Без правого глаза мы видим, без левого тоже видим; кроме
правого и левого, других глаз у нас нет, поэтому ясно, что глаза не нужны для
зрения»

Разбор софизма: Без
правого глаза мы видим – левым, а без левого глаза – правым. Значит, без обоих
глаз мы видеть не можем.

      Софизмы развивают наблюдательность и
вдумчивость, приучают тщательно следить за точностью объяснений.

3.
Опрос-исследование

Я провел
исследование, целями которого было не только выявить уровень развития
логического мышления школьников, но и заинтересовать их  этой темой. В нём
приняли участие 17  школьников 11-12  лет.
Участникам предлагалось решить 2 задачи на соответствие,  несколько логических
задач-шуток, а также найти ошибку в софизме.

Решите задачи
методом рассуждений:

1. В квартирах 1, 2, 3 жили три
котёнка: белый, чёрный и рыжий. В квартирах 1 и 2 жил не чёрный котёнок. Белый
котёнок жил не в квартире 1. В какой квартире жил каждый котёнок?

2. В
летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Их фамилии: Иванов,
Семёнов, Герасимов. Миша – не Герасимов, отец Володи – инженер, Володя учится в
6 классе,  Герасимов – в 5 классе, отец Иванова – учитель. Какая фамилия у
каждого из друзей?

Решите задачи-шутки:

1. Один
оборот вокруг Земли спутник делает за 1 час 40 минут, а другой оборот за 100
минут. Как такое может быть?

2. Что тяжелее: килограмм железа или килограмм ваты?

3. В парке 8 скамеек. Три покрасили. Сколько
скамеек стало в парке?

4. В комнате горело 50 свечей, 20
из них задули. Сколько останется?
          5. Грузовик ехал в деревню.
По дороге он встретил 4 легковые машины. Сколько машин ехало в деревню?

  6. Один поезд едет из Москвы в С.-Петербург с опозданием 10
минут, а другой — из С.-Петербурга в Москву с опозданием 20 минут. Какой из
этих поездов будет ближе к Москве, когда они встретятся?
        7. Тройка лошадей пробежала 30
км. Сколько км пробежала одна лошадь?

8. Сын
моего отца, а мне не брат?

9. Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли
ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода?

Найдите ошибку в рассуждении:

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя
рога». 

Анализ ответов

Задачи №1 и №2	Задачи-шутки	софизм
Решили хотя бы одну задачу	Решили две задачи	Решили хотя бы 4 задачи	Решили 5 и более задач	Правильно разобрали
17 чел.	10 чел.	16 чел.	10 чел.	6 чел.

После этого я провёл небольшой опрос,
с целью выяснить уровень заинтересованности школьников.

1.    
Какие задания оказались для вас
простыми, а в решении каких у вас возникли трудности?

2.    
Понравилось ли вам решать логические
задачи? Какие задачи больше всего понравились?

3.    
Хотели бы вы научиться решать
задачи методом таблиц и графов?

4.    
Как вы думаете, к каким
последствиям могут привести логические ошибки в словесных рассуждениях?

5.     Согласны
ли вы с тем, что у современного человека должно быть развито логическое
мышление?

Заключение

Существует несколько видов логических задач. Их можно решать
различными методами. При решении задач на соответствие («кто есть кто») удобно
использовать табличный метод и метод графов.

Нарушение в логике рассуждений приводит к возникновению софизмов.
Решение логических задач и разбор софизмов – хорошая гимнастика для ума.
Благодаря этому школьники учатся грамотно строить свои логические
рассуждения, искать ошибки в рассуждениях других. Развивается смекалка, интерес
к математике.

Опрос–исследование показал, что у школьников возникали некоторые
трудности при решении логических задач.  Но всем очень понравилось их решать,
особенно задачи-шутки.

Также все опрошенные согласились с тем, что надо развивать
логическое мышление, что ошибки в рассуждениях приводят к неправильным
выводам.  Многие выразили желание научиться решать  задачи методом таблиц и
графов, т.е. заинтересовались этой
темой.

В помощь
ученикам был составлен сборник логических задач, где разобраны табличный метод
решения и метод графов. Ко всем задачам даны решения и ответы. Также в нём
собрано много логических задач-шуток. 

Источники информации

1.     Кордемский Б.А.
Математическая смекалка.– «Юнисам», МДС, 1994.

2. Лихтарников Л.М. Занимательные
логические задачи. – С- Пб, 1996.

3. Мадера А.Г., Мадера Д.А.
Математические софизмы. – М.: Просвещение, 2003.

4. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. Математическая шкатулка. –  М.: Просвещение, 1988.

5.
Фарков А.В. Математические олимпиады. 5-6 классы. ФГОС. – М.: «Экзамен», 2018.

6. Статьи «Википедии» и другие интернет-ресурсы.

Государственное автономное профессионально образовательное учреждение

Новосибирской области

«Черепановский педагогический колледж»

Курсовая работа на тему: «Логические задачи как средство умственного развития младших школьников»

Выполнила студентка 201 группы:

Геньш Марина Константиновна

Преподаватель: Быкова Наталья Александровна

Г.  Черепаново

2020 год

Содержание

Введение        2

Глоссарий        5

Пункт 1. Теоретические         основы  развития  логического мышления младших школьников. ………………………………………………………………………………6

1.1. Сущность понятия «логическое мышление»        6

1.2. Особенности логического мышления детей младшего школьного возраста.        8

1.3 Развитие логического мышления в условиях введения ФГОС НОО.        12

1.4 Обзор программ, методов, используемых для развития логического мышления младших школьников.        13

Пункт 2. Методика изучения элементов математической логики учащимися начальной школы.        17

2.1 Методика работы над логическими заданиями.        17

Пункт 3. Практический аспект.        30

Заключение        38

Список литературы        40

Приложение        42

Введение

На современном этапе развития общества большое внимание должно уделяться воспитанию подрастающего поколения, которое через несколько лет придет на смену настоящему. Школа обеспечивает начальный этап становления личности, развития всех познавательных процессов, формирует умение и желание учиться.

Актуальность:

С введением Федерального государственного образовательного стандарта нового поколения перед начальным образованием установились новые цели. Главной целью образовательного процесса является — формирование универсальных учебных действий, таких как: личностные, регулятивные, познавательные, коммуникативные.         

Познавательные         универсальные         действия         включают: общеучебные, логические, а также постановку и решение проблемы: глава 2 пункт 11: овладение логическими действиями синтеза, обобщения, классификации по родовидовые установления аналогий и причинно-следственных связей; пункт 12.2: овладение основами логического и алгоритмического мышления. [13]

Противоречие: на данный момент разработано множество заданий, упражнений и программ направленные на развитие логического мышления у младших школьников, но количество детей с отставанием в развитии гораздо больше.

Проблема: работа над развитием логического мышления учащихся идет недостаточно. Это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно, поэтому большинство учащихся не овладевают начальными приемами мышления, без них полноценного усвоения материала не происходит. Таким образом возникает вопрос: действительно ли логические задачи помогают умственному развитию младших школьников?

Уже в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения и др.). Поэтому одной из важнейших задач, стоящих перед учителем начальных классов, является развитие всех качеств и видов мышления, которые позволили бы детям строить умозаключения, делать выводы, обосновывая свои суждения, и, в конечном итоге, самостоятельно приобретать знания и решать возникающие проблемы.

Многолетний психолого-педагогический эксперимент В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, Л.В. Занкова и других педагогов и психологов убедительно доказывает, что даже младшие школьники в состоянии усваивать, причем в обобщенной форме, гораздо более сложный материал, чем это представлялось до последнего времени. Мышление школьников, несомненно, имеет еще очень большие и недостаточно используемые резервы и возможности.

Одна из основных задач психологии и педагогики – до конца вскрыть эти резервы и на их основе сделать обучение более эффективным и творческим. [8]

Поэтому мы считаем развитие логического мышления младших школьников актуальной задачей. В связи с актуальностью нами сформулирована тема исследования «Логические задачи как средство умственного развития младших школьников».

Цель исследования: выявление условий результативного формирования приемов логического мышления у младших школьников.

В ходе исследования поставлены следующие задачи. 

1. Проанализировать психолого-педагогическую литературу по проблеме исследования и раскрыть психологические особенности логического мышления младших школьников.
2. Выявить условия эффективного формирования приемов логического мышления у младших школьников на уроках математики.
3. Составить сборник логических задач для умственного развития младших школьников.

Объект исследования: процесс умственного развития детей младшего школьного возраста.

Предмет исследования: логические задачи как средство умственного развития младших школьников.

Гипотеза: развитие логического мышления младшего школьника будет проходить более успешно, если: использовать комплекс упражнений, направленных на развитие умений выделять существенное, сравнивать, обобщать, классифицировать, упражнения будут носить проблемный характер, развивать познавательный интерес; применять во время проведения занятий дифференцированный подход.

Методы исследования:

-анализ психолого-педагогической, методической и учебной литературы по проблеме;

-наблюдение за учебным процессом в начальной школе;

Методологическую основу исследования составляют труды психологов и педагогов: теория формирования и развития интеллектуальных операций (П. Я. Гальперин), теория психического развития (В. В. Давыдов), концепция воспитания мышления (Д. Дьюи), развитие логического мышления у детей в младшем возрасте (А.Н. Леонтьев, Л.Ю. Огерчук, Н.С.Рождественский,

Т.Ф. Талызина, Ж. Пиаже), теории деятельностного подхода в формировании личности (С.А. Рубинштейн, Д.Б. Эльконин, Л.С. Выготский).

Практическая значимость исследования: материалы могут быть использованы учителями начальных классов в своей практической деятельности.

Теоретическая значимость результатов исследования: заключается в развитии теоретических представлений об особенностях осуществления младшими школьниками основных логических операций (анализа, синтеза, сравнения, обобщения, абстрагирования).

Глоссарий

Дедукция — способ рассуждения, при котором новое положение выводится чисто логическим путём от общих положений к частным выводам. [16]

Индукция-способ рассуждения от частных фактов, положений к общим выводам. [17]

Логика — в переводе с греческого имеет несколько значений (др.-греч.Λογικ- «способность к рассуждению» от др.-греч. Λόγος — «рассуждение», «мысль», «разум»). [18]

Логические         задачи — это последовательное         совершение определённых логических действий, работа с понятиями,         использование различных логических конструкций, построение цепочки точных рассуждений с правильными промежуточными и итоговыми умозаключениями. [19]

Логическое мышление – это один из видов мышления, характеризующийся использованием понятий, логических конструкций. [20]

Мышление — способность человека рассуждать, представляющая собою процесс отражения объективной действительности в представлениях, суждениях, понятиях. [21]

Понятие — это выраженная в слове мысль об общих и существенных признаках предметов и явлений действительности. [22]

Средства обучения в педагогике          – это все материалы, которые использует преподаватель         для         осуществления         учебного         процесса. [23]

Суждение — форма мышления, в которой высказывается утверждение или отрицание тех или иных связей и отношений между предметами, явлениями и событиями. [24]

Умозаключение — форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение, так или иначе завершающее мыслительный процесс. [25]

Умственное развитие — это количественные         и         качественные         изменения, происходящие в мыслительной деятельности ребёнка в связи с возрастом, обогащением опыта и под влиянием воспитательных воздействий. [26]

Пункт 1. Теоретические         основы         развития         логического мышления младших школьников.

1.1. Сущность понятия «логическое мышление»

Задача         данного пункта – раскрыть сущность понятия «логическое мышление». Для решения данной задачи, во-первых, дадим определение понятию «мышление», во-вторых рассмотрим сущность и дадим определение понятию «логическое мышление».

Мышление как феномен, обеспечивающий родовую особенность человека, в структуре психики человека относится к психическим познавательным процессам, которые обеспечивают первичное отражение и осознание людьми воздействий окружающей действительности. Чтобы объяснить, что такое «логическое мышление», разделим это понятие на две части, мышление и логика, дадим определение каждой из них. [14]

Мышление есть процесс обобщенного и опосредствованного отражения действительности в ее существенных связях и отношениях. Он представляет собой процесс познавательной деятельности, при котором субъект оперирует различными видами обобщений, включая образы, понятия и категории. Суть мышления — в выполнении некоторых когнитивных операций с образами во внутренней картине мира. Эти операции позволяют строить и достраивать меняющуюся модель мира. [10]

Логика в переводе с греческого имеет несколько значений (др.-греч.Λογική- «способность к рассуждению» отдр.-греч.Λόγος — «рассуждение», «мысль», «разум») раздел философии, нормативная наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о формах и законах правильного мышления. [6] Так как мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частными случаями которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений. Логика как наука изучает методы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить, как науку о способах получения выводного знания.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

Логическое мышление – это один из видов мышления, характеризующийся использованием понятий, логических конструкций. Логические мышление функционирует на базе языковых средств и представляет собой наиболее поздний этап исторического и онтогенетического развития мышления. В структуре логического мышления формируются и функционируют различные виды обобщений.

Основные логические формы мышления — понятие, суждение, умозаключение. Понятие — это выраженная в слове мысль об общих и существенных признаках предметов и явлений действительности. Этим оно отличается от представлений, которые только показывают их образы. Понятия формируются в процессе исторического развития человечества. Поэтому содержание их приобретает характер всеобщности. Это значит, что при различном обозначении одного и того же понятия словами в различных языках сущность остается одной и той же.

Усваиваются понятия в процессе индивидуальной жизни человека по мере обогащения его знаниями. Умение мыслить — всегда связано с умением оперировать понятиями, оперировать знаниями.

Суждение — форма мышления, в которой высказывается утверждение или отрицание тех или иных связей и отношений между предметами, явлениями и событиями. Суждения могут быть общими, частными, одиночными.

Умозаключение — форма мышления, в которой из одного или нескольких суждений выводится новое суждение, так или иначе завершающее мыслительный процесс. Различают два основных вида умозаключений: индуктивное (индукция) и дедуктивное (дедукция).

Индуктивным называется умозаключение от частных случаев, от частных суждений к общему. [7]

Основная цель (функция) логики всегда оставалась неизменной: исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом предполагается, что вывод зависит только от способа связи в ходящих в него утверждений их строения, а не от их конкретного содержания. Изучая, «что из чего следует», логика выявляет наиболее общие или, как говорят, формальные условия правильного мышления. Сфера конкретных интересов логики существенно менялась на протяжении её истории.

Когда произносят словосочетание «логическое мышление», то чаще всего имеют в виду интерес объективную смыслопорождающую и смысло-понимающую деятельность сознания, то есть более или менее однозначно понимаемый многими индивидуальными сознаниями процесс оперирования понятиями, посредством которого постигаются внутренние, непосредственно чувствам не данные, свойства и отношения вещей. Для того, чтобы деятельность логического мышления реально осуществилась, необходимы три условия:

а) Наличие системы индивидуальных логических операций — идентификации, абстракции, обобщения, предикации, вывода и так далее. Система логических операций, которая поэтапно формируется в онтогенезе, образует инвариант порождения и понимания любых смыслов. Исследование логических операций ведется преимущественно в рамках психологии мышления.

б) В рамках формальной логики мышление изучается не в плане осуществления индивидуальных логических операций, а с точки зрения всеобщих логических форм (суждений, понятий, умозаключений и так далее), придающих мышлению форму всеобщности и необходимости. Наличие логических форм позволяет мышлению приобретать доказательный, дискурсивно-обоснованный характер.

в) Логическое мышление есть мышление, опосредствованное языком (в отличие, скажем, от гуманитарного, о котором речь пойдет ниже). Без языка невозможно ни бытие логических форм, ни интерсубъективная коммуникация, ни тем более рефлексия систематического логического мышления над своими собственными основаниями. Особую роль в становлении систематического логического мышления играет овладение письменным языком.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

Таким образом, в данном пункте мы дали понятие и определили сущность логического мышления. Логическое мышление — это вид мышления, сущность которого в оперировании понятиями, суждениями, умозаключениями на основе законов логики, их сопоставлении и соотнесении с действиями или же совокупность умственных логически достоверных действий или операций мышления, связанных причинно-следственными закономерностями, позволяющими согласовать наличные знания с целью описания и преобразования объективной действительности.

1.2. Особенности логического мышления детей младшего школьного возраста.

Задача данного пункта –  рассмотреть особенности и приемы развития логического мышления детей младшего школьного возраста. Для решения данной задачи, во-первых, рассмотрим особенности развития логического мышления детей младшего школьного возраста, во-вторых изучим основные приемы, применяемые педагогами для развития логического мышления младших школьников.

В развитии познавательной деятельности младшего школьника особую роль играет мышление. В тесной связи с мышлением развиваются все познавательные процессы. Одним из ведущих познавательных процессов является логическое мышление. [4]

Логическое мышление детей развивается в возрасте между 6 и 10 и происходят огромные когнитивные (познавательные) изменения. Они перемещаются от дошкольников в середину детства, где в жизни доминируют фантазии, которые начинают регулировать логику и разум. Они начинают видеть себя как автономная личность, способная решить основные независимые задачи. Они начинают принимать к сведению «правильный» способ делать вещи, инвестировать больше времени и энергию в выполнении задач ожидаемым образом. Однако они по-прежнему предпочитают структурированную деятельность открытого состава, и они по-прежнему нуждаются в последовательном направлении взрослыми.

Именно в этом возрасте задачи на развитие логического мышления улучшают познавательное и эмоциональное развитие с учетом их собственных природных шагов.

Для создания оптимальных условий развития мышления необходимо знать эти особенности ребенка. Ряд ученых выявили психологические особенности и условия развития мышления в обучении. Наибольшую известность и признание не только в отечественной, но и мировой науке получила теория развивающего обучения, разработанная Д. Б. Элькониным и В. В. Давыдовым.

Д. Б. Эльконин и В. В. Давыдов не только декларировали необходимость логики и изменения в связи с этим методом и приемом обучения, но и заложили ее принципы в структуру учебных предметов, их содержание. Естественно, что ключевым звеном цепи умственного развития школьников они сделали логическое мышление. [15]

Именно в младшем школьном возрасте наглядно-образное мышление, имевшее ранее основное значение, трансформируется в словесно-логическое, понятийное. Вот потому в начальной школе чрезвычайно важно уделять внимание становлению логического мышления.

Формирование логического мышления тесным образом связано с речью. И для него характерны следующие особенности:

— поиск и открытие нового знания;

-обобщенное отражение полученной информации и окружающей действительности;

— анализ событий или объектов;

— восприятие предметов.

По мере взросления и социализации ребенка происходит совершенствование нервной системы и мышления. Для их развития понадобится помощь взрослых, которые окружают малыша. Поэтому уже с года можно начинать занятия, направленные на формирование познавательной деятельности детей.

С началом обучения мышление выдвигается в центр психического развития ребенка и становится определяющим в системе других психических функций, которые под его влиянием интеллектуализируются, приобретают осознанный и произвольный характер.

Особенности мышления этой возрастной группы определяются следующим:

• обобщение – ребенок способен сравнивать и делать выводы о схожих объектах;
• наглядность – ребенку необходимо видеть факты, наблюдать различные ситуации, чтобы сформировать собственное представление;
• абстракция – умение отделять признаки и свойства от объектов, которым они принадлежат;
• понятие – представление или знание о предмете, относящееся к конкретному термину или слову.

Развитие мышления в младшем школьном возрасте в значительной степени связано с совершенствованием мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения, обобщения, систематизации, классификации, с усвоением различных мыслительных действий. [15]

Младшие школьники развивают своё логическое мышление тем, что регулярно выполняют задания, учатся думать тогда, когда надо.

Учитель учит:

-находить взаимосвязи в окружающей жизни;

-вырабатывать правильные понятия;

-применять на практике изучаемые теоретические положения;

-анализировать с помощью мыслительных операций (обобщения, сравнения, классификации, синтеза, и пр.).

Всё это позитивно влияет на развитие логического мышления младших школьников. Систематическое освоение понятий происходит уже в школе. Но группы понятий закладываются ранее. Вместе с развитием абстракции у детей происходит постепенно освоение внутренней речи.

Развитие логического мышления младших школьников – одно из важнейших направлений обучения учащихся. На важность этого процесса указывают учебные программы и методическая литература. Совершенствовать логическое мышление лучше всего и в школе, и дома, однако далеко не все знают, какие методы и приемы для этого будут наиболее эффективными. Вследствие этого логическое обучение принимает форму стихийного, что негативно сказывается на общем уровне развития учеников.

Особенности логического мышления младших школьников проявляются и в самом протекании мыслительного процесса, и в каждой его отдельной операции (сравнении, классификации, обобщении, совершающихся в разных формах суждения и умозаключения).

Для мышления младших школьников 7-10 лет характерно однолинейное сравнение (они устанавливают либо только различие, либо только сходное и общее). Им доступны логические суждения, оперирования понятиями, переходы к обобщениям и выводам. В процессе формирования логического мышления детей 7-10 лет, пожалуй, самое важное — научить ребят делать пусть маленькие, но собственные открытия, что в результате способствует их развитию, упрочению формальных логических связей. [15]

Успешная организация учебной работы младших школьников требует постоянной заботы о развитии у них произвольного внимания и формировании волевых усилий в преодолении встречающихся трудностей в овладении знаниями. Зная, что у детей этой возрастной группы преобладает непроизвольное внимание и что они с трудом сосредоточиваются на восприятии «неинтересного» материала, учителя стремятся использовать различные педагогические приемы, чтобы сделать учение более занимательным. Не следует, однако, забывать, что не все в учении имеет внешнюю занимательность и что у детей нужно формировать понимание своих школьных обязанностей.

Таким образом, в данном пункте мы рассмотрели особенности в процессе формирования логического мышления детей 6-10 лет, пожалуй, самое важное — научить ребят делать пусть маленькие, но собственные открытия, что в результате способствует их развитию, упрочению формальных логических связей развития логического мышления детей младшего школьного возраста.

Развитие логического мышления непосредственно связано с процессом обучения, формирование первоначальных логических умений при определенных условиях может успешно осуществляться у детей младшего школьного возраста, процесс формирования обще логических умений, как компонента общего образования, должен быть целенаправленным, непрерывным и связанным с процессом обучения школьным дисциплинам на всех его ступенях.

Логическое мышление, являясь высшей ступенью в умственном развитии ребенка, проходит длительный путь развития. На ранних ступенях развития ребенок накапливает чувственный опыт и научается решать практическим путем ряд конкретных, наглядных задач. Осваивая речь, он приобретает возможность формировать задачу, задавать вопросы, строить доказательства, рассуждать и делать выводы. Ребенок овладевает понятиями и рядом умственных действий.

1.3 Развитие логического мышления в условиях введения ФГОС НОО.

Образовательный стандарт нового поколения ставит перед начальным образованием новые цели. [13] Теперь в начальной школе ребёнка должны научить не только читать, считать и писать, чему и сейчас учат вполне успешно. Ему должны привить две группы новых умений. Речь идёт, во-первых, об универсальных учебных действиях, составляющих умения учиться: навыках решения творческих задач и навыка поиска, анализа и интерпретации информации. Во-вторых, речь идёт о формировании у детей мотивации к обучению, саморазвитию, самопознанию.

Учителю, который до этого занимался с ребятами просто математикой как таковой, теперь придётся на знакомом ему материале решать ещё и новые нестандартные задачи. Следует, уже в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения, анализа и другими).

Поэтому одной из важнейших задач, стоящих перед учителем начальных классов, является развитие самостоятельной логики мышления, которая позволила бы детям строить умозаключения, приводить доказательства, высказывания, логически связанные между собой, делать выводы, обосновывая свои суждения, и, в конечном итоге, самостоятельно приобретать знания. Математика именно тот предмет, где можно в большой степени это реализовывать.

Развивая своё логическое мышление, мы способствуем работе интеллекта, а интеллект – это гарантия личной свободы человека и самодостаточности его индивидуальной судьбы. Чем в большей мере человек использует свой интеллект в анализе и оценке происходящего, тем в меньшей мере он податлив к любым попыткам манипулирования им извне.

Каждое поколение людей предъявляет свои требования к школе. Раньше первостепенной задачей считалось вооружение учащихся глубокими знаниями, умениями и навыками. Сегодня задачи общеобразовательной школы иные. Обучение в школе не столько вооружает знаниями, умениями, навыками. На первый план выходит формирование универсальных учебных действий, обеспечивающих школьникам умение учиться, способность в массе информации отобрать нужное, саморазвиваться и самосовершенствоваться.

Появились новые Федеральные образовательные стандарты общего образования второго поколения, в которых прописано, что главной целью образовательного процесса является формирование универсальных учебных действий, таких как: личностные, регулятивные, познавательные, коммуникативные. В соответствии стандартам второго поколения познавательные универсальные действия включают: общеучебные, логические, а также постановку и решение проблемы. [13]

К логическим универсальным действиям относятся:

— анализ объектов с целью выделения признаков (существенных, несущественных);

— синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;

— выбор оснований и критериев для сравнения, классификации объектов;

— подведение под понятие, выведение следствий;

— установление причинно-следственных связей;

— построение логической цепи рассуждений;

— доказательство;

— выдвижение гипотез и их обоснование.

Из вышесказанного следует, что уже в начальной школе дети должны овладеть элементами логических действий (сравнения, классификации, обобщения и другими).

Поэтому одной из важнейших задач, стоящих перед учителем начальных классов, является развитие всех качеств и видов мышления, которые позволили бы детям строить умозаключения, делать выводы, обосновывая свои суждения, и, в конечном итоге, самостоятельно приобретать знания и решать возникающие проблемы.

1.4 Обзор программ, методов, используемых для развития логического мышления младших школьников.

Задача данного пункта – проанализировать непрерывные линии учебников на содержание логических задач для развития логического мышления и учащихся начальных классов.

Непрерывная линия учебников системы «Начальная школа XXI века»

Непрерывная линия учебников системы «Начальная школа XXI века» закладывает фундамент для развития и формирования логического мышления уже в первом классе, где у детей начинают формироваться простейшие умственные действия, основанные на умениях наблюдать, сравнивать, анализировать, обобщать, классифицировать. [11]

В этом курсе математики даются теоретические сведения о логике, и вводится логико-математическая линия курса, что отличает эту программу от других, в которых таких новшеств не прослеживается.

Мы видим, что авторы «Начальная школа XXI века» придают большое значение развитию мышления, а также реализуют математическую подготовку к дальнейшему обучению и закладывают основы для овладения школьниками определённым объектом математических знаний и умений.

Для учителя в практическом плане наиболее важно знание тех видов заданий и упражнений, на которых должно формироваться и развиваться логического мышление.

Авторы среди таких упражнений выделяют следующие:

1. упражнения на подведение тех или иных понятий под определение;
2. задания на выяснение связей между различными математическими объектами, на установление закономерности;
3. упражнения на нахождение недостающей фигуры, на выделение лишнего предмета среди данного множества;
4. задания на доказательства и так далее.

Мы выяснили, что успешное формирование мышления младших школьников на уроках математики в основном будет определяться соблюдением следующих психолого-педагогических условий:

На каждом уроке применять специальные задания, направленные на формирование мышления.

1. Учитывать уровень индивидуального развития ребенка и в связи с этим осуществлять индивидуальную и дифференцированную работу с учащимися.
2. Формировать словесно-логическое, абстрактное мышление на уроках математики в тесной связи с развитием практически-действенного и наглядного — образного мышления.
3. При формировании словесно — логического мышления необходимо применять приём моделирования.
4. Формировать словесно-логическое мышление на факультативах по математике, внеклассных занятиях.

Все выше изложенное говорит, о том, что формирование логического мышления является одной из актуальных проблем. Процесс воспитания культуры мышления довольно длителен.

Поэтому и начинаться он должен с первых лет обучения ребёнка в школе на уровне, соответствующем его возрасту, так как формируется не только математическая культура учащихся, но и развиваются умения по решению жизненно важных и необходимых задач.

Логическое мышление младших школьников основывается на решении нестандартных задач в их единстве: обучения, воспитания и развития.

Критерием сфорсированности логического мышления является регулярное применение на уроках математики и во внеклассных занятиях нестандартные задачи. Регулярно используя нестандартные задачи, учитель может сформировать развитие логического мышления.

Таким образом, в непрерывной линии учебников системы «Начальная школа XXI века» уделяется много внимания формированию мышления. Учитель, работающий по этой программе, должен правильно подбирать и систематически использовать упражнения и задания логического характера.

Непрерывная линия учебников системы “Школа 2100”

Непрерывная линия учебников системы “Школа 2100” эффективна для детей, у которых уровень обученности зависит от сформированности всех психических процессов, включающих уровень интеллекта, большой объём памяти, высокую степень сформированности произвольного внимания, развитый фонематический слух и богатый активный словарный запас, сформированность техники чтения, особенно на уровне понимания прочитанного. [12]

Непрерывная линия учебников по математике рассчитан на сильного ученика с развитым теоретическим логическим и вариативным мышлением, включающим моделирование с помощью специальных знаков – символических средств; умеющим абстрагироваться, с высокой степенью концентрацией внимания, быстротой выполнения математических операций и работы в целом. Несмотря на то, что учебный материал дифференцирован по степени сложности.

Основная цель программы – формирование различных способов деятельности. Поставленную учебную задачу решают вместе учитель и ученик.

Программа трудновата, так считают многие учителя, которые порой сами не в состоянии решить некоторые математические задачи.

Непрерывная линия учебников системы Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова

Большинство учителей, выбравших данную систему, отмечает, что программа Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова достаточна сложна. Система предполагает использование разнообразных групповых дискуссионных форм работы, в ходе которых дети открывают для себя основное содержание учебных предметов. [9]

Знания не даются детям в виде готовых правил, схем. В основу изучаемых курсов положена система научных понятий. Отметок ученикам в начальной школе не ставят, учитель совместно с учениками оценивает результаты обучения на качественном уровне, что создаёт атмосферу психологического комфорта. Основное положение программы: „Знания должны усваиваться ребёнком в процессе анализа условий их происхождения.“ В программе Д.Б. Эльконина – В.В. Давыдова существует особенный метод освоения учебного предмета – решение детьми системы учебных задач. Школьники должны уметь обнаруживать в учебном материале исходное, существенное, всеобщее отношение, определяющее содержание и структуру изучаемого, которое они воспроизводят в особых предметных, графических или буквенных моделях. Позиция учителя – деловой партнёр, активно сотрудничающий с учащимися в процессе решения учебных задач

Пункт 2. Методика изучения элементов математической логики учащимися начальной школы.

2.1 Методика работы над логическими заданиями.

Развивая логическое мышление школьников, мы способствуем и развитию познавательного интереса и способностей, свойственных практически всем детям в раннем возрасте. Тренируя ум, человек становится наблюдательным, сообразительным, проницательным, догадливым, дальновидным, изобретательным, находчивым, остроумным, а также приобретает многие другие важные и полезные качества, которые все вместе составляют культуру мышления, или умственную культуру. Задача данного пункта – рассмотреть методики изучения логических задач в начальных классах.

Логические задачи — особый раздел по развитию словесно-логического мышления, включающий в себя целый ряд разнообразных упражнений.

Логические задачи предполагают осуществление мыслительного процесса, связанного с использованием понятий, логических конструкций, существующих на базе языковых средств.

В ходе такого мышления происходит переход от одного суждения к другому, их соотношение через опосредование содержания одних суждений содержанием других, и как следствие формулируется умозаключение.

Приведем примеры задач, которые способствуют развитию логического мышления у детей. [2]

1. Логические задачи.

Вася выше Саши на 8 см, а Коля ниже Саши на 3 см. На сколько сантиметров

самый высокий из мальчиков выше самого маленького?

2) «Магические квадраты».

Расставьте числа 2; 4; 5; 9; 11; 15 так, чтобы по всем линиям в сумме получилось 24.

3) Сравни уравнения в каждом столбике и, не вычисляя, скажи, в котором из них неизвестное число больше. Проверь вычислением:

х + 37 = 78 90 – х = 47 х – 28 = 32 45 + х = 63

х + 37 = 80 90 – х = 50 х – 28 = 22 45 + х = 68

Развитию мышления способствует так же применение различных приемов работы над задачей:

1. Решение задач различными способами.

2. Решение задач с недостающими или лишними данными.

3. Изменение вопроса задачи

4. Работа над решенной задачей.

5. Моделирование текста задач.

6. Представление ситуации, описанной в задаче (нарисовать «картинку»).

7. Самостоятельное составление задач учащимися. (используя слова больше на, столько, сколько, меньше в, на столько больше, на столько меньше).

8. Выбор математических выражений по данным условия задачи и объяснение, что обозначает то или иное выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.

9. Объяснение готового решения задачи.

10. Использование приема сравнения текстов задач

11. Выбор верного решения из двух предложенных.

12. Изменение условия задачи в соответствии с данным решением.

13. Закончить решение задачи.

14. Выбор вопроса к данному условию? (обратный вариант – восстановить пропущенный вопрос и действие в задаче).

15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.

16. Решение «обратных» задач.

Задачи для решения.

1. Саша ел яблоко большое и кислое. Коля ел яблоко большое и сладкое. Что в этих яблоках одинаковое? Разное?

2. Маша и Нина рассматривали картинки. Одна девочка рассматривала картинки в журнале, а другая девочка — в книжке. Где рассматривала картинки Нина, если Маша не рассматривала картинки в журнале?

3. Толя и Игорь рисовали. Один мальчик рисовал дом, а другой — ветку с листьями. Что рисовал Толя, если Игорь не рисовал дом?

4. Алик, Боря и Вова жили в разных домах. Два дома были в три этажа, один дом был в два этажа. Алик и Боря жили в разных домах, Боря и Вова жили тоже в разных домах. Где жил каждый мальчик?

5. Коля, Ваня и Сережа читали книжки. Один мальчик читал о путешествиях, другой — о войне, третий — о спорте. Кто, о чем читал, если Коля не читал о войне и о спорте, а Ваня не читал о спорте?

6. Зина, Лиза и Лариса вышивали. Одна девочка вышивала листочки, другая — птичек, третья — цветочки. Кто что вышивал, если Лиза не вышивала листочки и птичек, а Зина не вышивала листочки?

7. Мальчики Слава, Дима, Петя и Женя сажали плодовые деревья. Кто-то из них сажал яблони, кто-то — груши, кто-то — сливы, кто-то — вишни. Что сажал каждый мальчик, если Дима не сажал сливы, яблони и груши, Петя не сажал груши и яблони, а Слава не сажал яблони?

8. Девочки Ася, Таня, Ира и Лариса занимались спортом. Кто-то из них играл в волейбол, кто-то плавал, кто-то бегал, кто-то играл в шахматы. Каким спортом увлекалась каждая девочка, если Ася не играла в волейбол, в шахматы и не бегала, Ира не бегала и не играла в шахматы, а Таня не бегала?

Эти восемь задач имеют три степени сложности. Задачи 1-3 — самые простые, для их решения достаточно оперировать одним суждением. Задачи 4-6 — второй степени сложности, поскольку при их решении необходимо сопоставить два суждения. Задачи 7 и 8 — самые сложные, т.к. для их решения нужно соотнести три суждения.

Обычно трудности, возникающие при решении задач с 4 по 8, связаны с невозможностью удержать во внутреннем плане, в представлении все обстоятельства, указанные в тексте, и они путаются, поскольку не пытаются рассудить, а стремятся увидеть, представить правильный ответ. Эффективен в этом случае прием, когда ребенок имеет возможность опираться на наглядные представления, помогающие ему удержать все текстовые обстоятельства.

Например, взрослый может сделать картинки домиков (задача № 4). А затем с опорой на них проводить рассуждение такого типа: «Если Алик и Боря жили в разных домах, то в каких из нарисованных они могли бы жить? А почему не в первых двух? и так далее.

«Известно, что Дима не сажал сливы, яблони и груши. Следовательно, около этих деревьев рядом с Димой мы можем поставить прочерк. Тогда, что же сажал Дима? Правильно, осталась только одна свободная клеточка, то есть Дима сажал вишни. Поставим в этой клетке знак «+» и так далее.»

	Яблони	Груши	Сливы	Вишни
Дима	—	—	—	+
Слава	—	+	—	—
Петя	—	—	+	—
Женя	+	—	—	—

Графическое отражение структуры хода рассуждения помогает ребенку уяснить общий принцип построения и решения задач такого типа, что в последующем делает успешной мыслительную деятельность ребенка, позволяя справляться с задачами более сложной структуры.

Следующий вариант задач содержит следующее исходное положение: если даны три объекта и два признака, одним из которых обладают два объекта, а другим один, то, зная, какие два объекта отличаются от третьего по указанным признакам, можно легко определить, каким признаком обладают первые два.

При решении задач подобного типа ребенок учится совершать следующие мыслительные операции:

— делать вывод об идентичности двух объектов из трех по указанному признаку. Например, если в условии сказано, что Ира и Наташа и Наташа с Олей вышивали разные картинки, то понятно, что Ира и Оля вышивали одинаковую;

— делать вывод о том, каков тот признак, по которому эти два объекта идентичны. Например, если в задаче сказано, что Оля вышивала цветок, следовательно, Ира тоже вышивала цветок;

— делать окончательный вывод, то есть исходя из того, что уже известны два объекта из четырех, которые идентичны по одному из двух данных в задаче признаков, ясно, что другие два объекта идентичны по-другому из двух известных признаков. Так, если Ира и Оля вышивали цветок, то другие две девочки, Наташа и Оксана, вышивали домик.

Задачи на сравнение.

В основе этого типа задач лежит такое свойство отношения величин объектов, как транзитивность, состоящее в том, что если первый член отношения сравним со вторым, а второй с третьим, то первый сравним с третьим.

Начинать обучение решению таких задач можно с самых простых, в которых требуется ответить на один вопрос и которые опираются на наглядные представления.

1. «Галя веселее Оли, а Оля веселее Иры. Нарисуй рот Иры. Раскрась красным карандашом рот самой веселой девочки. Кто из девочек самый грустный?

1. «Волосы у Инны темнее, чем у Оли. Волосы у Оли темнее, чем у Ани. Раскрась волосы каждой девочки. Подпиши их имена. Ответь на вопрос, кто светлее всех?»

1. «Толя выше Игоря, Игорь выше Коли. Кто выше всех? Покажи рост каждого мальчика».

Графическое изображение транзитивного отношения величин значительно упрощает понимание логической структуры задачи. Поэтому, когда ребенок затрудняется, мы советуем использовать прием изображения отношения величин на линейном отрезке.

Например, дана задача: «Катя быстрее Иры, Ира быстрее Лены. Кто быстрее всех?». В этом случае объяснение может строиться следующим образом: «Посмотри внимательно на эту линию.

С одной стороны, располагаются дети самые быстрые, с другой — медленные. Если Катя быстрее Иры, то где мы поместим Катю, а где Иру? Правильно, Катя будет справа, где быстрые дети, а Ира слева, так как она более медлительна. Теперь сравним Иру и Лену.

Мы знаем, что Ира быстрее Лены. Где мы тогда поместим Лену относительно Иры? Правильно, еще левее, так как она медленнее Иры. Посмотри внимательно на чертеж. Кто же быстрее всех? а медленнее?».

Ниже мы приводим варианты логических задач, которые делятся по степени сложности на три группы:

1) задачи 1-12, в которых требуется ответить на один вопрос;

2) задачи 12-14, в которых нужно ответить на два вопроса;

3) задачи 15 и 16, решение которых предполагает ответ на три вопроса.

Условия задач различаются не только по количеству информации, в которой нужно разобраться, но и по ее наблюдаемым особенностям: виды отношений, разные имена, поставленный по-разному вопрос. Особое значение имеют «сказочные» задачи, в которых отношения между величинами построены таким образом, каких в жизни не бывает. Важно, чтобы ребенок смог отвлечься от жизненного опыта и пользовался теми условиями, какие даются в задаче.

Варианты задач.

1. Саша грустнее, чем Толик. Толик грустнее, чем Алик. Кто веселее всех?

2. Ира аккуратнее, чем Лиза. Лиза аккуратнее, чем Наташа. Кто самый аккуратный?

3. Миша сильнее, чем Олег. Миша слабее, чем Вова. Кто сильнее всех?

4. Катя старше, чем Сережа. Катя младше, чем Таня. Кто младше всех?

5. Лиса медлительнее черепахи. Лиса быстрее, чем олень. Кто самый быстрый?

6. Заяц слабее, чем стрекоза. Заяц сильнее, чем медведь. Кто самый слабый?

7. Саша на 10 лет младше, чем Игорь. Игорь на 2 года старше, чем Леша. Кто младше всех?

Все рассмотренные нами варианты логических задач направлены на создание условий, в которых существует или существовала бы возможность формирования способности выделять существенные отношения между объектами и величинами.

Кроме тех задач, которые были указаны выше, целесообразно предлагать ребенку задачи, в которых отсутствует часть необходимых данных или, наоборот, имеются ненужные данные. Можно также использовать прием самостоятельного составления задач по аналогии с данной, но с другими именами и иным признаком (если в задаче имеется признак «возраст», то это может быть задача про «рост» и так далее), а также задач с недостающими и избыточными данными. Имеет смысл превращение прямых задач в обратные и наоборот.

Например, прямая задача: «Ира выше Маши, Маша выше Оли, кто выше всех?»; в обратной задаче вопрос: «Кто ниже всех?».

Если ребенок успешно справляется со всеми видами предложенных ему задач, целесообразно предлагать задания, связанные с творческим подходом:

— придумать задачу, которая как можно более не похожа на задачу-образец, но построена по единому с ней принципу;

— придумать задачу, которая была бы сложнее, например, содержала бы больше данных, чем образец;

— придумать задачу, которая была бы проще, чем задача-образец, и так далее.

Полезны и занимательны игры со счетных палочек. Они развивают у детей умение самостоятельно осуществлять поиск способа решения. В этих играх содержатся задания на преобразование одних фигур в другие. Для их решения надо ставить фигуру по отдельным условиям или видоизменить ее: переложить, убрать указанное количество палочек с целью получения новой фигуры той же структуры, но с другим количеством квадратов или треугольников. [3]

Более простыми являются задания на составление фигуры из палочек.

1. Составить из пяти палочек флажок; лопатку; два равных треугольника и один четырехугольник. Из шести палочек – домик, прямоугольник.

В результате практических поисков дети приходят к какому-то решению (со-

ставить, видоизменить фигуру), видят и называют получившиеся геометрические фигуры (квадраты, треугольники, прямоугольники и др.), понимают значение слова общая по отношению к стороне, смежная для двух фигур и так далее.

На втором этапе задания усложняются. Используются те решения, для которых нужно изменить положение палочек, убрав или переложив их. И цель здесь другая: учить детей рациональному способу решения задач (преобразованию). Необходимо проанализировать задачу, высказать предположение, прежде чем действовать практически.

1. В фигуре, состоящей из 6 квадратов, убрать 2 палочки, чтобы осталось 4

квадрата.

2. Убрать 4 палочки, чтобы получился прямоугольник.

3. Убрать 3 палочки, чтобы осталось 3 квадрата.

4. В фигуре, состоящей из 5 квадратов, убрать 4 палочки, чтобы осталось 2 неравных квадрата.

Третий этап обучения направлен на то, чтобы постепенно подводить детей к

решению задач в уме, направлен на развитие творческой мыслительной деятельности. Даются задания на более сложное преобразование путем перекладывания палочек.

1. В фигуре, состоящей из 4 квадратов, переложить 2 палочки, чтобы квадратов

стало 5.

2. В фигуре, похожей на ключ, переложить 4 палочки, чтобы получилось 3

одинаковых квадрата.

Игра с палочками развивает у детей самостоятельность мышления, творческую инициативу, что необходимо для успешного овладения учебным материалом в школе.

«Задачи на составление заданной фигуры из определенного количества палочек». Задачи на изменение фигур, для решения которых надо убрать указанное количество палочек.

«Дана фигура из 6 квадратов. Надо убрать 2 палочки так, чтобы осталось 4 квадрата».

«Дана фигура, похожая на стрелу. Надо переложить 4 палочки так, чтобы получилось 4 треугольника».

«Составить два равных квадрата из 7 палочек».

Задачи, решение которых состоит в перекладывании палочек с целью видоизменения фигуры.

«В фигуре переложить 3 палочки так, чтобы получилось 4 равных треугольника».

«В фигуре, состоящей из 4 квадратов, переложить 3 палочки так, чтобы получилось 3 таких же квадрата».

«Составить домик из 6 палочек, а затем переложить 2 палочки так, чтобы, получился флажок».

«Переложить 6 палочек так, чтобы, из корабля получился танк».

«Переложить 2 палочки так, чтобы фигура, похожая на корову, смотрела в другую сторону».

«Какое наименьшее количество палочек нужно переложить, чтобы убрать мусор из совочка?»

Можно использовать игры на составление фигур-силуэтов, геометрических фигур из специальных наборов, полученных при разрезании по определенным правилам какой-либо геометрической фигуры. Например, квадрат в игре «Танграм», головоломка «Пифагор», прямоугольник в играх «Пентамино», «Стомахион», «Сфинкс», овал в игре «Колумбово яйцо», круг в играх «Волшебный круг», «Вьетнамская игра» и так далее.

Эти игры направлены на уточнение знаний о геометрических фигурах и их свойствах, на развитие сенсорных и мыслительных способностей, на усвоение способов преобразования, соединения. Они предназначены для развития у детей пространственного воображения, логического и интуитивного мышления.

Упражнения, направленные на развитие наглядно-образного мышления. [5]

Упражнение №1. «Продолжи узор».

Упражнение состоит из задания на воспроизведение рисунка относительно симметричной оси. Трудность в выполнении часто заключается в неумении ребенка проанализировать образец (левую сторону) и осознать, что вторая его часть должна иметь зеркальное отображение. Поэтому, если ребенок затрудняется, на первых этапах можно использовать зеркало (приложить его к оси и посмотреть, какой же должна быть правая сторона).

После того, как подобные задания уже не вызывают сложностей при воспроизведении, упражнение усложняется введением абстрактных узоров и цветовых обозначений. Инструкция остается такой же: «Художник нарисовал часть картинки, а вторую половину не успел. Закончи рисунок за него. Помни, что вторая половина должна быть точно такой же, как и первая».

Упражнение №2 «Платочек».

Это упражнение сходно с предыдущим, но является более сложным его вариантом, так как предполагает воспроизведение узора относительно двух осей — вертикальной и горизонтальной.

«Посмотри внимательно на рисунок. Здесь изображен сложенный пополам (если одна ось симметрии) или вчетверо (если две оси симметрии) платочек. Как ты думаешь, если платочек развернуть, какой у него вид? Дорисуй платочек так, чтобы он выглядел развернутым».

Узоры и варианты заданий можно придумать самостоятельно.

Упражнение №3. «Составь фигуру».

Это упражнение, так же, как и предыдущее, направлено на развитие образного мышления, геометрических представлений, конструктивных пространственных способностей практического плана.

Можно предложить несколько вариантов этого упражнения (от самого легкого до более сложного).

а) На каждой полоске отметь крестиком (х) две такие части, из которых можно составить круг.

б) На каждой полоске отметь крестиком (х) две такие детали, из которых можно составить целую данную фигуру.

Подобного вида задания можно разработать для любых фигур — треугольников, прямоугольников, шестигранников и т.д.

Упражнение № 4. «Найди закономерность».

а) Упражнение направлено на формирование умения понимать и устанавливать закономерности в линейном ряду.

Инструкция: «Внимательно рассмотри картинки и заполни пустую клетку, не нарушая закономерности».

б) Второй вариант задания направлен на формирование умения устанавливать закономерности в таблице.

Инструкция: «Рассмотри снежинки. Нарисуй недостающие так, чтобы в каждом ряду были представлены все виды снежинок».

Подобные задания можно придумать самостоятельно.

Упражнение № 5. «Светофор».

«Нарисуй в клеточках красные, желтые и зеленые кружки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце не было одинаковых кружков».

Упражнение № 6. «Классификация».

Так же, как и предыдущее упражнение, это направлено на формирование умения классифицировать по определенному признаку. Отличие заключается в том, что при выполнении этого задания правило не дается. Ребенку необходимо самостоятельно выбрать, каким образом можно разделить предлагаемые фигуры на группы.

Инструкция: «Перед тобой ряд фигур (предметов). Если бы необходимо было разделить их на группы, то как это можно сделать?»

Важно, чтобы ребенок, выполняя это задание, нашел как можно больше оснований для классификации. Например, это может быть классификация по форме, цвету, размеру; деление на 3 группы: круглые, треугольники, четырехугольники, или 2 группы: белые и не белые и так далее.

Таким образом, можно сделать вывод, что имеется множество заданий и методик на развитие логического мышления у школьников. И использование любой из методик несет за собой положительное воздействие на логическое мышление младших школьников.

Пункт 3. Практический аспект.

Третья задача заключалась в составлении сборника логических задач для умственного развития младших школьников. Нами был составлен сборник включающие следующие разделы:

1. Задачи на анализ
2. На синтез
3. Сопоставление
4. Сравнение
5. Классификация
6. Обобщение

Данный сборник предназначен для учителей, учеников и родителей. При необходимости организовать развивающие задания с учащимися. Все разделы снабжены специальными комментариями и необходимыми разъяснениями по работе с той или иной группой задач. (приложение 1)

Задачи можно усложнять (по желанию ребенка или родителей) за счет усложнения числового материала.

Я проходила практику в МАОУ СОШ№3 г.Черепаново. Выдавала уроки математики, окружающий мир, литературное чтение и русский язык в разных классах. В структуре каждого урока использовала логические задания, за весь процесс практики вышло большое количество задач, которые способствуют умственному развитию младших школьников.

Фрагмент урока №1

Класс: 1 «А»

Тема: «Вычитание вида 8- и 9-»

Цель: создать условия для закрепления знания приёма вычитания на основе связи между суммой и слагаемыми; развития умений решать задачи.

Задача:

Коля ростом выше Васи, но ниже Серёжи. Кто выше Вася или Серёжа?

Решение:

Что бы решить данную задачу мы с вами будем чертить вертикальные линии, но сначала нам надо определить условия задачи.

Условия задачи:

1) Коля выше Васи

2) Но Коля ниже Сережи

Начинаем работать. Читаем первое условие: Коля выше Васи. Значит мы можем начертить две вертикальные лини одна длиннее другой. Маленькая черта, это кто у нас будет по условию задачи, почему? (Маленькая черта – это Вася, так как сказано, что он ниже Коли. А длинная Черта – это Коля, так как по условию задачи сказано, что, коля выше Васи) Верно.

Какое у нас второе условие задачи? (Коля ниже Серёжи). Значит мы чертим с вами еще одну вертикальную линию, но только она будет длиннее, кто скажет почему? (Потому что Сережа выше Коли, а Коля выше Васи). Молодцы.

Кто помнит главный вопрос задачи? (Кто выше Вася или Сережа?)

Кто мне может ответить на данный вопрос. (Сережа выше, так как по рисунку видно, что Серёжа самый высокий)

Фрагмент урока №2:

Класс: 2 «Б»

Тема: «Решение задач и выражений»

Цель: создание условий для формирования умения решать выражения, используя способ группировки, умение решать простые и составные задачи.

Задача.

Жили-были три котёнка: белый, серый и рыжий. У каждого был свой домик. В каком домике жил каждый котёнок, если серый не жил в первом домике, а белый жил во втором домике?

Решение. Для решения этой задачи нам потребуется таблица (вывести на интерактивную доску).

Ребята, мы должны выделить условия.

Читаем текст задачи, а я на доске буду записывать (учащиеся читают условия, а учитель фиксирует их на доске)

Условия:

1.Было три котенка: белый, серый и рыжий.

2.У каждого свой домик.

3.Серый не жил в первом домике.

4.Белый жил во втором домике.

Начинаем работать с таблицей. Читаем первое условие: Было три котенка, значит мы можем заполнить крышечку таблицы.

О чем говорится в следующем условии? (О том, что у каждого котенка был свой домик)

Значит левый столбец мы можем заполнить.

Теперь третье условие. (серый не жил в первом домике)

Если серый котенок не жил в первом домике, то утверждение истинно или ложно? (ложно)

В таблице найдем первый домик и под серым котенком поставим «-».

Читаем следующее условие (белый жил во втором домике.)

Какое это условие? Истинное или ложное? (Истинное).

Следовательно, в таблицу, в нужное окошко поставим «+».

Итак, все что нам было дано по условию задачи мы отразили в таблице, теперь настало время наших рассуждений.

Зная, что «серый не жил в первом домике», а «белый жил во втором домике», что мы можем узнать?

(Если «серый не жил в первом домике», то он жил либо во втором, либо в третьем домике. Но во втором домике живет белый котенок, значит «серый не живет во втором». В нужном окошке ставим «-». Из этого следует, что серый котенок живет в третьем домике. Ставим «+» в соответствующем окошке.)

Если мы знаем, что «белый жил во втором домике», а серый в третьем домике, что мы можем сказать на счет рыжего котенка?

(Рыжий котенок не жил во втором домике и не жил в третьем домике. Ставим «-» в соответствующих окошках. Значит рыжий котенок жил в первом домике. Обозначаем знаком «+».)

Фрагмент урока №3:

Класс:3 «А»

Тема: «Деление суммы на число»

Цель: совершенствовать вычислительные навыки, закрепить знание правила деление суммы на число и умения применять его при решении примеров и задач.

Задача:

Лягушка встречала гостей. Лиса пришла раньше медведя, волк – позже зайца, медведь – раньше зайца, сорока – позже волка. В каком порядке приходили гости?

Решение:

Итак, ребята, задачу мы прочитали. Теперь выделяем условия. (Учащиеся читают, учитель записывает на доске.)

Условия:

1) Лиса пришла раньше медведя.

2) Волк пришел позже зайца.

3) Медведь пришел раньше зайца.

4) Сорока пришла позже волка.

Сейчас, для наглядности, я предложу вам начертить прямую линию.

Представим, что прямая – это промежуток времени, в который приходили гости. По мере того, как они приходили, мы будем ставить их обозначения на этой прямой.

Изображение на интерактивной доске:

Читаем первое условие: «Лиса пришла раньше медведя.»

Если лиса пришла раньше медведя, то на линии ее фигурка будет располагаться левее или правее медведя? Почему? (Лиса на прямой будет располагаться левее, потому что медведь пришел позже лисы. Время по прямой движется слева направо (также как мы читаем- слева направо)

Как мы расположим фигурки на прямой? (Сначала лису, через некоторое расстояние медведя)

Читаем второе следствие (Волк пришел позже зайца.)

Заяц пришел позже или раньше волка? (раньше)

Как расположим их фигурки на прямой? (Чуть правее: сначала зайца, потом волка)

Читаем следующее условие. (Медведь пришел раньше зайца)

Все верно, ребята? (да)

Читаем последнее условие (Сорока пришла позже волка).

Где поместим фигурку сороки? (Правее от волка)

Проверим по условиям. (Учащиеся вместе с учителем проверяют по условиям задачи)

Фрагмент урока №4

Предмет: русский язык

Класс: 2

Тема урока: «Единственное и множественное число имён существительных»

Цели урока: формировать умение изменять имена существительные по числам; учить определять число имен существительных, употреблять в речи формы единственного и множественного числа; развивать наблюдательность, речь; формировать навыки грамотного письма.

Задача:

Чтобы узнать новое словарное слово я, предлагая вам выполнить «Буквенную матрицу»

Решение:

-Это домик словарного слова. У вас есть адрес, но он не простой, вам необходимо сопоставить верхний ряд чисел и нижний. Те числа, которые располагаются над линией, в таблице находятся в верхней строке, располагаются горизонтально. Числа, которые находятся под линией, в таблице находятся в первом столбике, располагаются вертикально.

	1	2	3
4	м	к	л
5	б	о	к
6	о	т	о

      1       2        3       1       2       3             (Молоко)

      4       5        4       6       4       6

Фрагмент урока№5:

Класс: 3

Предмет: окружающий мир

Тема урока: Кто что ест? Цепи питания.

Цель: создать условия для формирования умений классифицировать животных по типу питания, составлять цепи питания и устанавливать взаимосвязи, обосновывать необходимость поддержания человеком природных цепей питания.

Задание:

Перед вами звенья различных цепей питания. Я предлагаю вам выступить в роли учёных-экологов и заняться поисковой деятельностью. У вас в группах есть картинки. Соедините их в цепи питания.

Решение:

Дуб (желудь) – мышь – лиса.

Трава – кузнечик – лягушка – цапля.

Осина – заяц – волк.

– Мы составили несколько пищевых цепей

– С чего начинается каждая из них? (растения)

– Дальше? (растительноядные)

– Последнее звено? (хищные)

Фрагмент урока №6

Предмет: литературное чтение

Класс:2

Тема урока: «Анализ произведения Л.Н Толстого «Котенок»

Тип урока: чтение и анализ литературного текста.

Цель: познакомить учащихся с рассказом Л. Толстого «Котёнок», совершенствовать умение читать правильно, осознанно, выразительно; развивать способность полноценно воспринимать текст и эмоционально откликаться на прочитанное, составлять план для подробного пересказа произведения, работая с деформированным планом, развивать умение сравнивать, анализировать, обобщать, делать выводы, выявлять авторское отношение к героям и их поступкам, определять жанр произведения и главную мысль текста; на материале урока прививать интерес к творчеству Л. Толстого, воспитывать любовь, ответственное и бережное отношение к животным.

Задание:

Сравните героев рассказа Васю и Катю, выделив их схожие и отличительные характеристики.

Составив таблицу:

Решение:

Какой вывод можно сделать?

Вывод: Вася и Катя схожи по родственным отношениям и по отношению к животным. Вася и Катя различны по чертам характера, по уровню форсированности чувства ответственности. Вася – мальчик, а Катя – девочка.        

Заключение

На основании исследования и изученных источников можно сделать следующий вывод: формирование логического мышления – важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал – одна из основных задач современной школы. 

Младший школьный возраст является активным пропедевтическим этапом развития логического мышления, в ходе которого закладываются основы осуществления логических операций анализа, синтеза, обобщения, ограничения, классификации, сравнения, абстрагирования и других, являющихся базой успешного овладения учебной программой общеобразовательной школы.

К основным возрастным особенностям, характеризующим выполнение логических операций младшими школьниками, относятся: преобладание чувственного, деятельностного анализа над абстрактным, осуществление синтеза преимущественно в наглядной ситуации без отрыва от действий с предметами, стремление к подмене операции сравнения рядоположением объектов, связей и отношений между предметами и их свойствами, замена сущностных признаков предметов их яркими внешними признаками.

Для развития мышления школьников придумано огромное количество игр, заданий и упражнений. Умелое использование их в школьной и родительской практике принесет наилучшие результаты. Главное здесь – желание и инициатива.

В соответствии с задачами исследования, в первом пункте курсовой работы было дано определение логического мышления, выявлены особенности и приемы развития логического мышления младших школьников.

Под логическим мышлением понимается способность и умение ребёнка младшего школьного возраста самостоятельно производить простые логические действия (анализ, синтез, сравнение, обобщение, конкретизация), а также составные логические операции (построение отрицания, утверждение и опровержение как построение рассуждения с использованием различных логических схем — индуктивной или дедуктивной.

Проведенный в работе анализ литературы, позволил выделить особенности мышления детей этого возраста: его развитие идет от наглядно-действенному к конкретно- образному и от него к понятийному (логическому) мышлению.

Очень важно уже в начальной школе научить детей анализировать, сравнивать, классифицировать, обобщать, делать выводы. Изучение приемов логического мышления приводит к росту учебной мотивации, к развитию когнитивных и креативных способностей обучающихся, их учебной самостоятельности, переходу от чисто исполнительского поведения школьника к подлинному самосовершенствованию человека, умеющего учиться всю жизнь.

Во втором пункте были рассмотрены особенности развития логического мышления на уроках математики в начальной школе. Математика, как ни одна другая наука даёт возможность глубокого и осмысленного перехода от наглядно-действенного к образному, а потом и к логическому мышлению.

Объекты математических умозаключений и принятые в математике правила их конструирования способствуют формированию у индивида умения формулировать чёткие определения обосновывать суждения, развивать логическую интуицию.

Наиболее эффективными средствами развития логического мышления являются дидактические игры, интеллектуальные разминки, логически–поисковые задания, тесты и другие упражнения занимательного характера, разнообразная подача которого эмоционально воздействует на детей.

Систематическое использование на уроках математики специальных задач и заданий, направленных на развитие логического мышления, расширяет математический кругозор младших школьников и позволяет более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

По третьему пункту задач, которые мы ставили в начале нашей курсовой работы был разработан сборник логических задач для умственного развития младших школьников, который отражает практическую значимость курсовой работы.

В результате исследования была выполнена цель курсовой работы и решены поставленные задачи по проблеме развития логического мышления младших школьников на уроках математики, что позволяет сделать вывод о том, что в начальной школе именно этот предмет является основой развития у учащихся познавательных действий, в первую очередь логических.

Построение уроков с учетом возрастных особенностей мышления, обеспечивает эффективное развитие логического мышления учащихся начальной школы.

Данное учебное пособие рекомендую, как готовое средство умственного развития младших школьников через логические задачи.

Список литературы

1. Асмолов, А. Г. и др. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. М.: Просвещение, 2011.
2. Гончарова М. А. «Развитие у детей математических представлений, воображения и мышления.» Антал 1995.
3. Зак А. З. «Развитие умственных способностей младших школьников». Москва «Просвещение» 1994.
4. Левитов Н.Д. Психологические особенности младших школьников. М.: Просвещение, 2012. 175 с.  
5. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. Для учащихся начальной школы. – СПб.: «Лань», «Мик».
6. Логика. Материал из Википедии — свободной энциклопедии.[Электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org .
7. Понятие о мышлении. Логические формы мышления и мыслительные операции. Условия развития мышления в учебном процессе [Электронный ресурс]URL:https://studopedia.su/15_83036_ponyatie-o-mishlenii-logicheskie-formi-mishleniya-i-mislitelnie-operatsii-usloviya-razvitiya-mishleniya-v-uchebnom-protsesse.html .
8. Самыгин С.И. Психологи и педагогика: Учебное пособие. М.: КноРус, 2012.480с.  
9. Система         Д.Б.         Эльконина         –         В.В.         Давыдова официальный сайт [Электронный ресурс] http://www.lbz.ru/metodist/authors/elkonin-davydov/ .
10. Узорова, О. Большая книга для развития мышления и внимания. М.: АСТ, 2014. 740c.  
11. Учебно-методический комплект «Начальная школа XXI века» официальный сайт [Электронный ресурс] https://shkolaveka.ru/ .
12. Учебно-методический комплект «Школа 2100» официальный сайт [Электронный ресурс] http://school2100.com/  .
13. Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования. Приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413 «Об утверждении Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования» (Зарегистрировано в Минюсте России 07.06.2012 № 24480).
14. Что такое логическое мышление [Электронный ресурс] URL:https://4brain.ru/logika/ .
15. Шапочникова Н.А. Формирование логического мышления младших школьников [Электронный ресурс] URL:http://kladraz.ru/blogs/natalja-aleksandrovna-shapochnikova/formirovanie-logicheskogo-myshlenija-mladshih-shkolnikov.html .
16.  Электронный ресурс – Дедукция   https://gufo.me/dict/philosophy/ДЕДУКЦИЯ
17.   Электронный ресурс – Индукция https://wordparts.ru/crossword/13042/ 
18. Электронный ресурс – Логика         https://kartaslov.ru/карта знаний/Рассуждение+%28логика%29 
19. Электронный ресурс – Логические задачи https://scienceforum.ru/2018/article/2018002612 
20. Электронный ресурс – Логическое мышление https://studopedia.ru/22_109558_ponyatie-mishleniya-i-ego-klassifikatsiya.html
21. Электронный ресурс – Мышление https://www.studsell.com/view/140481/?page=2
22. Электронный ресурс – Понятие https://nsportal.ru/blog/obshcheobrazovatelnaya-tematika/all/2011/09/27/myshlenie 
23. Электронный ресурс – Средства обучения педагогики https://fb.ru/article/4347/sredstva-obucheniya-v-pedagogike 
24. Электронный ресурс – Суждение https://psixologiya.org/obshhaya/pp/1790-formy-myshleniya.html
25.  Электронный ресурс – Умозаключение https://studopedia.ru/5_85972_informatsionniy-material.html
26. Электронный ресурс – Умственное развитие https://nsportal.ru/detskii-sad/vospitatelnaya-rabota/2017/10/21/pedagogicheskie-usloviya-formirovanie-umstvennoy 

Приложение 1.

В книге “Занимательная логика” Э.Кольмана и
О.Зиха имеется много интересных логических
задач. Вот одна из них.

1. В кафе встретились три друга: скульптор Белов,
скрипач Чернов и художник Рыжов. “Замечательно,
что один из нас имеет белые, один черные и один
рыжие волосы, но ни у одного из нас нет волос того
цвета, на который указывает его фамилия”, —
заметил черноволосый. “Ты прав”, — сказал Белов. Какой
цвет волос у художника?

Решение. Для решения подобных логических задач
полезно составить таблицу.

Ответ.

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся
молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и
молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит
между кувшином и сосудом с квасом, в банке – не
лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и
сосуда с молоком.

Куда налита каждая жидкость?

Ответ.

3. В течение последних четырех лет Алексеев,
Фомин, Дементьев и Иванов получали очередной
отпуск в мае, июне, июле или в августе. Причем,
если один из них отдыхал в мае, то другой — в июне,
третий – в июле, а четвертый – в августе. Каждый
их них получал отпуск в эти четыре года в разные
месяцы. Так в первый год Дементьев отдыхал в июле,
во второй год – в августе. Алексеев во второй год
отдыхал в мае, Иванов в третий год – в июне, а
Фомин в четвертый год – в июле.

Кто в каком месяце отдыхал в каждом из этих
четырех лет?

Ответ.

Три подруги вышли в белом, зеленом и синем
платьях. Их туфли тоже были белого, зеленого и
синего цветов. Известно, что только у Ани цвет
платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли
Вали не были белыми, Наташа была в зеленых туфлях.

Определить цвет платья и туфель каждой из
подруг.

Решение: можно решать, составляя две таблицы, а
можно таблицы объединить в одно целое.

5. Три друга – спортсмена — Алеша, Вася и
Сережа – учились в одном классе. Каждый из них
увлекался двумя видами спорта из следующих
шести: футбол, волейбол, баскетбол, теннис,
плавание и велоспорт. Известно, что:

• все трое – Сережа, теннисист и пловец ходят из
  школы домой вместе,
• пловец и футболист – соседи по дому,
• Алеша самый старший из троих, а теннисист старше
  велосипедиста,
• Наиболее интересные спортивные передачи по
  телевизору все трое – Алеша, велосипедист и
  волейболист – смотрят вместе.

Надо узнать, кто каким спортом увлекается.

Ответ.

• Алеша – баскетбол и плавание,
• Вася – волейбол и теннис,
• Сережа – футбол и велоспорт.

6. На школьном вечере четыре юноши: Валентин,
Николай, Владимир и Алексей все из разных
классов, и их одноклассницы танцевали танец, но
каждый юноша танцевал не своей одноклассницей.

Лена танцевала с Валентином, Аня – с
одноклассником Наташи, Николай — с
одноклассницей Владимира, а Владимир танцевал с
Олей.

Ответ.

Танцевали Лена с Валентином, Оля с Владимиром,
Аня с Николаем, Наташа с Алексеем.

Учатся в одних классах Аня и Владимир, Оля и
Валентин, Лена и Алексей, Наташа и Николай.

Кто с кем танцевал?

А вот эту задачу придумали дети после
очередного занятия математического кружка в 6
классе.

7. В одном поселке живут три товарища: Саша,
Коля и Петя, которые осваивают новую профессию.
Один из них готовится стать дизайнером, другой —
садоводом, третий — парикмахером. Кроме того, все
они имеют и другую профессию: один строитель,
другой – руководитель драмкружка, а третий ведет
дискотеки. В разное время они сказали разные
фразы:

• Петя, ты меня не жди, я должен доделать прическу,
• Эх, Коля, вести дискотеку – сложно, но мне очень
  нравится,
• Завтра, Коля, ко мне не приходи, я буду на
  конкурсе парикмахеров,
• На днях я получу новый диск “ Комнатные
  растения”.Для меня, как для будущего садовода, он
  будет интересным и полезным.
• Наблюдал я вчера за тобой во время репетиции и
  подумал, что тебе поставить пьесу не легче, чем
  мне вывести новый сорт роз.
• С применением новых технологий в строительстве
  я совершенно не знаком, хотя как дизайнеру надо
  сними познакомиться.

Попробуйте по этим фразам установить, кто из
друзей осваивает какую профессию и какую
профессию они уже имеют?

Ответ.

• Саша – парикмахер и строитель,
• Коля – дизайнер и руководитель драмкружка,
• Петя — садовод и ведущий дискотек.

8. Сокровиша.

Три пирата: Нытик, Стрелец и Барс зарыли свои
сокровища на одном острове. Один из них зарыл
возле дерева лимона, другой – банана, а третий –
абрикоса. Ёмкость для хранения тоже у каждого
была своя: один использовал сундучок, второй –
большую морскую ракушку, а третий – кожаный
мешочек.

Определите имя пирата, а также где и чем
хранил свои сокровища каждый из них, если
известно, что:

1. Ракушку использовал не Нытик.
2. Тот, кто закопал сокровища под абрикосом,
   использовал мешочек.
3. Барс закопал сундучок, но не под лимоном.

Ответ.

9. После традиционного вечера встречи с бывшими
выпускниками школы в стенгазете появилась
заметка о трех бывших учениках школы. В этой
заметке было написано, что Иван, Борис и Андрей
стали учителями. Теперь они преподают разные
дисциплины: один – математику, второй – физику,
третий – химию. Живут они тоже в разных городах:
Минске, Витебске и Харькове. В заметке было еще
написано, что первоначальные их планы
осуществились не полностью: Иван работает не в
Минске, Андрей – не в Витебске; житель Минска
преподает не математику, Андрей преподает не
физику. Повезло только жителю Витебска: он
преподает любимую им химию. Кто есть кто?

Ответ.

• Иван – химик — Витебск
• Борис — физик — Минск
• Андрей — математик – Харьков

10. Арташ, Отар, Гурам и Сурен занимаются в разных
спортивных секциях. Один из них играет в
баскетбол, другой – в волейбол, третий – в
футбол, четвертый – в теннис. У них различные
увлечения: один из них любит кино, другой – театр,
третий – эстраду, а четвертый – цирк. Арташ не
играет ни в волейбол, ни в баскетбол. Отар играет
в футбол и любит театр. Сурен не играет в
волейбол. Тот из ребят, кто играет в волейбол,
любит ходить в кино, а тот, кто играет в баскетбол,
не любит цирк. Какое у каждого из них
увлечение, и каким видом спорта занимается
каждый?

Ответ.

• Арташ – теннис – цирк, Отар – футбол – театр,
• Гурам – волейбол – кино, Сурен – баскетбол –
  эстрада.

11. Первоклашки.

Год назад с нашего двора первый раз в первый
класс пошли 5 мальчиков. Их имена: Петя, Коля,
Ваня, Гена и Миша. Получилось так, что все
пятеро попали в разные классы: один в класс “А”,
другой – в “Б”, третий – в “В”, четвертый — в “Г”,
пятый – в “Д”. Каждому из ребят досталась в
качестве классного руководителя добрая
учительница: Лидия Михайловна, Елена
Анатольевна. Екатерина Кирилловна. Татьяна
Григорьевна и Виктория Николаевна. Дети учились
прекрасно, напротив их фамилий ( Анисин,
Белов, Кукушкин, Степанов и Харитонов) всегда
были практически одни пятерки.

Определите имя, фамилию, класс и добрую
учительницу для каждого из первоклашек, если
известно, что

1. Ваня учится у Татьяны Григорьевны и его фамилия
   не Степанов.
2. В классе “Д” преподает не Екатерина
   Кирилловна.
3. Коля учится в классе “Б”. Он старше на 1месяц,
   чем Белов, и младше на 12 дней, чем тот, кто учится у
   Татьяны Григорьевны.
4. Елена Анатольевна преподает в классе “Г” и у
   нее нет ученика по фамилии Белов.
5. Харитонов Гена дружит с Петей и с тем, кто ходит
   в класс “А”.
6. Кукушкин учится в классе “А”. Его учительница
   не Лидия Михайловна и не Екатерина Кирилловна.
7. Анисин учится в классе “В” и его имя не Петя и
   не Миша.

Имя

Учительница

Класс

Петя

Коля

Ваня

Гена

Миша

Лидия Михайловна

Елена Анатольевна

Екатерина Кирилловна

Татьяна Григорьевна

Виктория Николаевна

А

Б

В

Г

Д

Фамилия

Анисин

Белов

Кукушкин

Степанов

Харитонов

Класс

А

Б

В

Г

Д

Учительница

Лидия Михайловна

Елена Анатольевна

Екатерина Кирилловна

Татьяна Григорьевна

Виктория Николаевна

Ответ.

На математическую олимпиаду в город Киров
поехало четыре девятиклассника: Лева, Коля, Миша
и Петя. В первый день они решили позавтракать в
разных местах: один пошел в кафе, другой – в
столовую, третий – в закусочную, четвертый – в
буфет. После завтрака они снова собрались вместе.
Разговор, естественно, зашел о том, кто как
позавтракал. Выяснилось, что все они пили разные
напитки, так как в каждом из этих мест, где они
завтракали, оказалось в наличии только по одному
напитку: в одном месте – только кофе, в другом –
только молоко, в третьем – только ряженка, в
четвертом – только чай. В буфете, например, было
только молоко, а в столовой не было ряженки. Петя
рассказал, что он был в столовой, но пил там не
чай. Лева рассказал, что он пил ряженку, а Миша
сказал, что он не был ни в закусочной, ни в буфете. Кто
из ребят где завтракал и что пил?

Ответ.

• Лева – закусочная – ряженка,
• Коля – буфет – молоко,
• Миша – кафе – чай,
• Петя – столовая – кофе.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В начале учебного года пятиклассники
избрали старосту, председателя совета отряда,
звеньевых первого, второго и третьего звеньев. Их
имена: Аня, Боря, Вася, Гриша и Дина. Звеньевая
первого звена решила подружиться со звеньевой
второго звена. Дина удивилась, узнав, что
председатель совета отряда и звеньевая второго
звена брат и сестра. Гриша дружит с председателем
совета отряда и со старостой. У Васи нет сестер.

Назовите имена каждого из избранных.

Ответ.

• Вася – староста, Боря – председатель отряда,
• Дина – звеньевая 1 –го звена, Аня – 2-го звена,
  Гриша — 3-го звена.

2. Петя, Гена, Дима и Вова занимаются в детской
спортивной школе в разных секциях:
гимнастической, баскетбольной, волейбольной и
легкой атлетики. Петя, Дима и волейболист
занимаются в одном классе. Петя и Гена на
тренировки ходят пешком вместе, а гимнаст ездит
на автобусе. Легкоатлет не знаком ни с
баскетболистом, ни с волейболистом.

Кто в какой секции занимается?

Ответ.

• Петя – баскетболист, Гена – волейболист,
• Дима – гимнаст. Вова – легкоатлет.

3. Пять человек живут в одном городе. Их имена:
Леонид, Владимир, Николай, Олег и Петр. Их Фамилии:
Степанов, Борисов, Козин, Дроздов и Истомин.
Известно, что

• Козин знаком только с двумя, а с Козиным знаком
  только один человек,
• Петр знаком со всеми, кроме одного, а Леонид
  знает только одного из всех,
• Николай и Истомин знают друг друга с детства.
• Владимир, Николай и Олег знакомы между собой,
• Дроздов и Владимир незнакомы,
• Олег, Николай и Борисов Часто вместе ходят на
  работу,

Назовите имена и фамилии каждого.

Ответ. Борисов Владимир, Степанов Николай,
Козин Леонид, Дроздов Петр. Истомин Олег.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Семигорская средняя общеобразовательная школа»

Проект по математике

«Решение логических задач

для подготовки к ЕГЭ»

Семигорск, 2022

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Основная часть

Что такое «логика», «логическая задача».

Основные Методы решения логических задач:

1.Метод рассуждения;

2. Метод таблиц;

3. Метод алгебры высказываний;

4. Метод решения с помощью полупрямой;

5. Метод решения с помощью кругов Эйлера;

6. Задачи на смекалку.

Заключение

Список литературы

Паспорт проекта

Название проекта: Решение логических задач для подготовки к ЕГЭ

Описание проблемы: Не все школьники умеют решать логические задачи, электронный сборник помог бы разобраться в решении часто встречающихся задач из сборников ЕГЭ по математике базового уровня.

Проблемные вопросы: Как успешно научиться решать логические задачи, при подготовке к ЕГЭ по математике?

Аннотация: Наша жизнь — это постоянное решение больших и маленьких логических задач или проблем. Жуть будет сложно без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно.

Довольно часто мы, сами того не замечая, решаем логические задачи. Логические задачи развивают умение делать анализ, обобщать данные, искать различные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность.  Логические задачи сейчас очень популярны и они должны входить в наше развитие и образование с самых ранних лет.

Чтобы успешно логические задачи, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Знание различных методов решения логических задач поможет развить логическое мышление, успешно подготовиться к ЕГЭ по математике базового уровня.

Характеристика проекта

Цель проекта: Научиться успешно решать логические задачи.

Задачи проекта:

1) изучить литературу по данной теме, познакомиться с понятием «логика», «логическая задача»;

2) изучить основные методы решения логических задач;

3) создать электронный сборник логических задач с решениями для учащихся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня.

Планируемые результаты: овладение способами решения логических задач базового уровня, успешная сдача ЕГЭ по математике.

Продукт проекта: Создание электронного сборника логических задач с решениями для учащихся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня.

Необходимое оборудование: компьютер, мультимедиапроектор.

ВВЕДЕНИЕ

При подготовке к ЕГЭ по математике умения решать логические задачи очень важно, это возможность получить дополнительные баллы, найти подход к решению задач через логику. Логическое мышление и знание основ математики поможет справиться со многими заданиями из ЕГЭ по математике.

Логические задачи отличаются от других математических задач тем, что не имеют определенного алгоритма действий для отыскания их решения, не задаются формулами, не требуют сложных вычислений, а требуют умения логически рассуждать.

Все мы когда-то пытались решать логические задачи, но сталкивались с этим редко, так как на уроках математики эта тема затрагивается мало. Хотя это очень увлекательно и интересно.

При составлении школьных математических олимпиад используют много различных задач, где надо применять логическое мышление. Умение решать логические задачи часто встречается и в разных жизненных ситуациях, например на отдыхе, в спорте, да и просто в разговоре с собеседником.

Проблема:  Как успешно научиться решать логические задачи, при подготовке к ЕГЭ по математике? Не все школьники умеют решать логические задачи, электронный сборник помог бы разобраться в решении часто встречающихся задач из сборников ЕГЭ по математике базового уровня.

Актуальность: Наша жизнь — это постоянное решение больших и маленьких логических задач или проблем. Жить будет сложно без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно.

Довольно часто мы, сами того не замечая, решаем логические задачи. Логические задачи развивают умение делать анализ, обобщать данные, искать различные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность.  Логические задачи сейчас очень популярны и они должны входить в наше развитие и образование с самых ранних лет.

Гипотеза: Чтобы успешно решать логические задачи, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Знание различных методов решения логических задач поможет развить логическое мышление, успешно подготовиться к ЕГЭ по математике базового уровня.

Цель: Научиться успешно решать логические задачи.

Задачи:

1) изучить литературу по данной теме, познакомиться с понятием «логика», «логическая задача»;

2) изучить основные методы решения логических задач;

3) создать электронный сборник логических задач с решениями для учащихся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня.

Методы исследования:

1. Поисковый метод (сбор и изучение информации).

2. Обобщение теоретического материала.

Продукт проекта: электронный сборник логических задач с решениями для учащихся 10-11 классов для подготовки к ЕГЭ по математике базового уровня.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Что такое «логика», «логическая задача»

Ло́гика — «наука о правильном мышлении», «способность к рассуждению» от др.-греч. λόγος — «логос», «рассуждение», «мысль», «разум», «смысл») — нормативная наука о законах, формах и приёмах интеллектуальной деятельности.

Логика, как наука, возникла в недрах древнегреческой философии. Далее в течение почти двух с половиной тысячелетий до второй половины XIX века логика изучалась как часть философии и риторики. Начало современной логики, построенной в форме исчисления, положил Г. Фреге в сочинении «Begriffsschrift» .

Основная сущность логики, её цель и функция всегда оставались неизменными: исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом рассматриваются только такие выводы, которые зависят только от способа связи и строения входящих в вывод утверждений, а не их конкретного содержания. Изучая, как одни мысли следуют из других, логика выявляет наиболее общие формальные условия правильного мышления. При этом сфера конкретных интересов логики в выявлении условий формального вывода на протяжении её истории существенно менялась.

Что же представляют собой логические задачи? Логические задачи или, как их еще иногда называют, нечисловые, представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). А любые вычисления и построения играют вспомогательную роль или вообще отсутствуют. То есть – логические задачи отличаются от обычных тем, что в них чаще не требуется умение вычислять, а требуется умение рассуждать.

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Существуют разные типы логических задач и разные способы их решения: Каждый из этих способов обладает своими достоинствами.

Основные Методы решения логических задач

1. Метод рассуждения.

Самый примитивный способ решения простых логических задач — метод рассуждения. Его суть заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий задачи. Таким образом, мы постепенно приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Например:

1.1 В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

Решение:

Так как среди любых 12 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 11. Так как среди любых 20 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 19. А так как всего в корзине 30 грибов, то груздей ровно 11, а рыжиков ровно 19.

1.2. Взяли несколько досок и распилили их (за один распил можно распилить только одну доску). Всего сделали 11 поперечных распилов, в итоге получилось 16 кусков. Сколько досок взяли?

Решение.

Каждый поперечный распил добавляет один кусок к уже имеющимся, следовательно, изначально было 16 − 11 =  5 досок.

1.3. Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 5 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

Решение.

Если от каждых из 8 столбов отходит по 5 проводов, то между каждыми парами таких столбов ровно 5 проводов. Всего имеем 8:2 = 4 пар и

4∙5 = 20 проводов

2. Метод таблиц.

Суть метода состоит в оформлении условий задачи и полученных результатов логических рассуждений в виде таблицы. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками + и -.

2.1 В одном дворе живут четыре друга. Вадим и шофёр старше Сергея; Николай и слесарь занимаются боксом; электрик – младший из друзей; по вечерам Антон и токарь играют в домино против Сергея и электрика. Определите профессию каждого из друзей.

2.2 В семье четверо детей. Им 5,8,13 и 15 лет. Их зовут Аня, Боря, Вера и Галя. Сколько лет каждому ребёнку, если одна девочка ходит в детский сад, Аня старше Бори и сумма лет Ани и Веры делится на три?

2.3 Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причём никакие два мальчика не делили между собой какие-нибудь места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил:  «Ни первое, ни четвёртое»; Борис сказал : «Второе», а Вова заметил, что он был не последним. Какое место занял каждый из мальчиков?

3. Метод алгебры высказываний.

Алгебра высказываний изучает способы построения и закономерности высказываний. Но её цель ― не всестороннее изучение, а их истинностная оценка. Именно это и является определяющим свойством высказывания. Оно не может быть одновременно и истинным, и ложным. Пусть имеется несколько простейших высказываний, о каждом из которых точно известно, истинно оно или ложно. Причем имеются как истинные высказывания, так и ложные.

3.1 Когда учитель физики Николай Дмитриевич ведёт урок, он обязательно отключает свой телефон. Выберите утверждения, которые верны при приведённом условии.

1) Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он не ведёт урок.

2) Если телефон Николая Дмитриевича включён, значит, он ведёт урок.

3) Если Николай Дмитриевич проводит на уроке лабораторную работу по физике, значит, его телефон выключен.

4) Если Николай Дмитриевич ведёт урок физики, значит, его телефон включён.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение.

1) Утверждение следует из приведённых данных.

2) Утверждение не следует из приведённых данных, оно противоречит поставленному условию.

3) Утверждение следует, так как лабораторная работа это тоже урок, следовательно, телефон Николая Дмитриевича обязательно будет выключен.

4) Утверждение не следует из приведённых данных, так как при проведении урока Николай Дмитриевич обязательно выключает телефон.

Ответ: 13

3.2 Двадцать выпускников одного из 11 классов сдавали ЕГЭ по математике. Самый низкий балл, полученный среди них, был равен 36, а самый высокий — 75.

Выберите утверждения, которые следуют из данной информации.

1) Среди этих выпускников есть человек, который получил 75 баллов за ЕГЭ по математике.

2) Среди этих выпускников есть два человека с равными баллами за ЕГЭ по математике.

3) Среди этих выпускников нет человека, получившего 72 балла за ЕГЭ по математике.

4) Баллы за ЕГЭ по математике любого из этих двадцати человек не ниже 35.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и

других дополнительных символов.

Решение.

1) Это так, иначе это не был бы самый высокий балл в классе. 2) Учеников 20, а различных результатов за ЕГЭ, которые могли бы быть   Таким образом, необязательно у каких-то двух учеников есть одинаковый балл.

3) Такой человек мог быть, нам об этом ничего не известно.

4) Баллы всех двадцати учеников не меньше 36, значит, они также не меньше 35.

Ответ: 14

3.3 Некоторые сотрудники фирмы летом 2021 года отдыхали на даче, а некоторые — на море. Все сотрудники, которые не отдыхали на море, отдыхали на даче.

Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Сотрудник этой фирмы, который летом 2021 года не отдыхал на даче, не отдыхал и на море.

2) Каждый сотрудник этой фирмы отдыхал летом 2021 года или на даче, или на море, или и там, и там.

3) Если Галина летом 2021 года не отдыхала ни на даче, ни на море, то она является сотрудником этой фирмы.

4) Если сотрудник этой фирмы летом 2021 года не отдыхал на даче, то он отдыхал на море.

Решение.

1) Нет, так как если сотрудник отдыхал на море, то он обязательно отдыхал и на даче.

2) Да, так как все сотрудники, не отдыхавшие на море, отдыхали на даче, то есть, нет таких, которые нигде не отдыхали.

3) Да, так как все сотрудники фирмы отдыхали на даче, а некоторые из них отдыхали еще и на море.

4) Нет, см. п. 1.

Ответ: 23

4. Метод решения с помощью полупрямой

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

4.1. Виктор старше Дениса, но младше Егора. Андрей не старше Виктора. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

Егор самый старший из указанных четверых человек.

Андрей и Егор одного возраста.

Виктор и Денис одного возраста.

Денис младше Егора.

Решение. Построим модель описанной ситуации, отмечая на прямой правее старшего мальчика.

Д

А

В

Е

Ответ: 14.

4.2. В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята? [3]

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени».

а ) Вика стоит впереди Сони, но после Аллы

б) Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, значит он – крайний слева

в) Боря и Алла не стоят рядом, Борис не находится рядом с Денисом, значит место Бориса – после Вики

Ответ: Алла, Вика, Борис, Соня, Денис.

4.3. При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Леопард тяжелее верблюда

2) Жираф тяжелее леопарда.

3) Жираф легче тигра.

4) Жираф самый тяжелый из всех этих животных.

Решение. Отметим данные задачи на полупрямой, причем тех животных, которые тяжелее, будем отмечать правее.

ЖЖ

ВЛ

ЛЛ

Т

Ответ: 24

5. Метод решения с помощью кругов Эйлера

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Эйлер наглядно изображал операции над множествами при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы элементов они не содержали, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур.

Данный метод позволяет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств.

5.1. В фирме N работает 50 сотрудников, из них 40 человек знают английский язык, а 20 -немецкий. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

1).В фирме N хотя бы три сотрудника знают и английский, и немецкий языки.

2).В этой фирме нет ни одного сотрудника, знающего и английский, и немецкий языки.

3).Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он знает и немецкий

4).Не более 20 сотрудников этой фирмы знают и английский, и немецкий языки.

Р ешение: построим диаграмму, используя условия. Получается, что английский и немецкий языки знают 10 человек.

Ответ: 14.

5 .2. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение. Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом занимаются 5 человек.

Ответ. 5 человек занимаются только спортом.

5.3. В 7-А учится 38 человек. Ученики увлекаются разными спортивными играми: 16 – баскетболом, 17 – хоккеем, 18 – футболом. Одновременно баскетбол и хоккей любят 4 человека, баскетбол и футбол – 3, хоккей и футбол – 5, а 3 ученика не интересуются спортом. Есть ли ученики, увлекающиеся всеми спортивными играми?

Решение. Все ученики класса – наибольшая окружность. Круг «Б» — баскетболисты, «Х» — хоккеисты, «Ф» — футболисты, «x» — универсальные спортсмены. Трое неспортивных учеников просто находятся в общем круге. Баскетболисты, входящие в множество «Б», но не входящие в зоны пересечения со множествами «Х» и «Ф»:16 – (4 + x + 3) = 9 – x

П о аналогии, находим количество хоккеистов:17 – (4 + x + 5) = 8 – x.

Футболисты: 18 – (3 + x + 5) = 10 – x.

Чтобы определить значение x, нужно суммировать множества учеников.

3 + (9 – x) + (8 – x) + (10 – x) + 3 + 4 + 5 + x = 38;

42 – 2 x = 38;

x = 2.

Соответственно, Б = 7, Ф = 8, Х = 6.

Ответ: 2 человека увлекаются всеми спортивными играми.
6. Задачи на смекалку

Существуют такие задания, решение которых зависит только от здравого смысла, сообразительности и смекалки того, кому они заданы. Решение задач на смекалку помогает развивать нестандартность мышления и внимание.
Так как же их решать?

Во-первых – внимательно прочитайте задание. Проанализируйте каждое условие и утверждение – верны они или нет. Часто ответ задачи на смекалку лежит на поверхности и становится очевиден, если найдено несоответствие условия задачи с реальностью.
Во-вторых – будьте внимательны, когда визуально представляете картинку, описанную в задаче. Задание зачастую нарочно запутывает отгадывающего.
В-третьих – не сдерживайте свое мышление в определенных рамках, отпустите его. Именно нестандартность мышления часто помогает найти выход в запутанной ситуации.
6.1. Квартира Саша при­гла­сил Петю в гости, сказав, что живёт в седь­мом подъ­ез­де в квар­ти­ре № 462, а этаж ска­зать забыл. По­дой­дя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех эта­жах число квар­тир одинаково, но­ме­ра квар­тир в доме на­чи­на­ют­ся с единицы.)
Решение: 462 : 7 = 66 квар­тир, на каж­дом из 7 эта­жей в подъ­ез­де не мень­ше 9 квар­тир. Пусть на каж­дой лест­нич­ной пло­щад­ке по 9 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах всего 9 · 7 · 7 = 441 квар­ти­ра, и квар­ти­ра 462 ока­жет­ся в вось­мом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Пусть на каж­дой пло­щад­ке по 10 квар­тир. Тогда в пер­вых семи подъ­ез­дах 10 · 7 · 7 = 490 квар­тир, а в пер­вых шести — 420. Сле­до­ва­тель­но, квар­ти­ра 462 на­хо­дит­ся в седь­мом подъ­ез­де. Она в нем 42-ая по счету, по­сколь­ку на этаже по 10 квар­тир, она рас­по­ло­же­на на пятом этаже. Если бы на каж­дой пло­щад­ке было по 11 квар­тир, то в пер­вых шести подъ­ез­дах ока­за­лось бы 11 · 7 · 6 = 462 квар­ти­ры, то есть 462 квар­ти­ра в ше­стом подъ­ез­де, что про­ти­во­ре­чит усло­вию. Тем самым, Саша живёт на пятом этаже.
6.2 Улитка за день за­пол­за­ет вверх по де­ре­ву на 4 м, а за ночь спол­за­ет на 2 м. Вы­со­та де­ре­ва 14 м. За сколь­ко дней улит­ка доползёт от ос­но­ва­ния до вер­ши­ны дерева?

Решение: Улитка за день под­ни­ма­ет­ся вверх на 4 м, а опус­ка­ет­ся вниз на 2 м. Итого за сутки она про­дви­га­ет­ся на 2 м. За 5 суток она под­ни­мет­ся на 10 м. За 6 день улитка поднимется ещё на 4 м и окажется на высоте 14 м, то есть она до­стиг­нет вер­ши­ны дерева.

Ответ: 6.

6.3 Каждую се­кун­ду бак­те­рия де­лит­ся на две новые бактерии. Известно, что весь объём од­но­го ста­ка­на бак­те­рии за­пол­ня­ют за 1 час. За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями наполовину?

Решение: Заметим, что каждую секунду в стакане становится в два раза больше бактерий. То есть если в какой-то момент бактериями заполнена половина стакана, то через секунду будет заполнен весь стакан. Таким образом, полстакана будет заполнено через 59 минут и 59 секунд то есть через 3599 секунд.

Ответ: 3599 секунд

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, на основе изученного материала можно с уверенностью сделать вывод о том, что умение решать логические задачи является необходимым в повседневной жизни для того, чтобы справляться не только с учебой, но и с жизненными ситуациями. Чтобы успешно решать логические задачи, нужно уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Знание различных методов решения логических задач поможет развить логическое мышление, успешно подготовиться к ЕГЭ по математике базового уровня, эту гипотезу полностью подтверждаю. Были изучены материалы учебно-методической литературы, материалы из интернета. Решено множество задач.

Моя работа направлена на изучение способов решения логических задач, встречающимся в КИМах ЕГЭ базового уровня по математике, итогом работы является созданный электронный сборник логических задач с разборами решений.

Чтобы успешно их решать, нужно знать способы решения, иметь развитое логическое мышление, обладать графической культурой. Задачи на логическое мышление, как правило, требуют не столько большого объема знаний, сколько умения эти знания применить. С уверенностью могу сказать, что логические задачи на едином государственном экзамене по математике базового уровня решу верно. Моя гипотеза подтвердилась.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Интернет источники

1. https://ru.wikipedia.org/wiki/

2. https://pandia.ru/text/80/398/205.php

3. https:// infourok.ru/zadachi-na-smekalku-podgotovka-k-ege-bazoviy-uroven-2105271.html

4. https://www.kakprosto.ru/kak-38069-kak-reshit-zadachu-na-smekalku

5. http://xn—-etbbfc5ae1a3k.xn--p1ai/?base=zadachi-na-smekalku

6.https://www.google.com/search?q=%D1%80%D0%B5%D1%88%D1%83+%D0%B5%D0%B3%D1%8D+2022

7. ЕГЭ 2022. Математика. Базовый уровень: типовые экзаменационные варианты: 30 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2022 – 190 с.

8. ЕГЭ 2022. Математика. Базовый уровень: типовые экзаменационные варианты: 12 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2022 – 72 с.

9. ЕГЭ 2022. Математика. Базовый уровень: типовые экзаменационные варианты: 50 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2022 – 350 с.