Как составить проекцию вектора на оси - AvtoShod.ru

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Проекция вектора на ось в физике — формулы и определения с примерами

Содержание:

Проекция вектора на ось:

Вы уже знаете, что вектор имеет модуль и направление. При решении задач часто используется понятие проекция вектора на ось. Что такое проекция вектора? Как ее определяют?

Начнем с понятия проекция точки на ось.

Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

На рисунке 24 точка

Как определяют проекцию вектора на ось

Проекция вектора на ось — это длина отрезка между проекциями начала и конца вектора, взятая со знаком «+» или «-». Знак «+» берут, если угол между вектором и осью острый, а знак «-» — если угол тупой.

На рисунке 25 проекция вектора на ось Ох обозначена через а проекция вектора — через

Проекция — число положительное, т. к. угол на рисунке 25, а — острый. Проекция — число отрицательное т. к. угол на рисунке 25, б — тупой.

А если вектор перпендикулярен оси? Тогда его проекция на эту ось равна нулю (рис. 26).

Проекцию вектора можно выразить через его модуль и угол между вектором и осью.

Рассмотрим треугольник на рисунке 25, а. Его гипотенуза катет а угол между ними равен Следовательно,

Проекция вектора на ось равна модулю вектора, умноженному на косинус угла между вектором и осью.

Это правило справедливо при любых углах между вектором и осью. Подтвердите это с помощью рисунков 25 и 26.

Обратим внимание на еще одно важное свойство проекций: проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

С помощью рисунка 27, а, б убедитесь, что из векторного равенства следует равенство для проекций: Не забывайте о знаках проекций.

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Рассмотрим вектор лежащий в плоскости (рис. 28). Его проекции на оси определим из рисунка:

Модуль вектора находим по теореме Пифагора из треугольника ACD: Разделив на получим: По значению косинуса находим угол

Таким образом, вектор, лежащий в заданной плоскости, полностью определяется двумя проекциями на оси координат.

Вектор в пространстве определяется тремя проекциями: (рис. 29).

Главные выводы:

Проекция вектора на ось — это длина отрезка, заключенного между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «-».
Если угол между вектором и осью острый, то его проекция на эту ось положительна, если угол тупой — отрицательна, если прямой — равна нулю.
Проекция вектора на ось равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью.
Проекция суммы векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось.

Пример №1

1. Определите сумму и разность взаимно перпендикулярных векторов (рис. 30). Найдите модули векторов суммы и разности

Решение

Сумму векторов находим по правилу треугольника (рис. 31, а) или параллелограмма (рис. 31, б). Так как векторы взаимно перпендикулярны, модуль вектора находим по теореме Пифагора: Разность векторов определим по правилам вычитания векторов (рис. 32, а, б).

Модуль вектора находим аналогично:

Ответ:

Заказать решение задач по физике

Пример №2

Выразите вектор через векторы (рис. 33). Как связаны между собой проекции этих векторов на оси Ох и Оу?

Решение

По правилу треугольника находим: Отсюда Определив координаты начальных и конечных точек векторов находим проекции этих векторов:

Вычислением убедимся, что проекции векторов связаны теми же равенствами, что и сами векторы:

Ответ:

Путь и перемещение
Равномерное прямолинейное движение
Прямолинейное неравномерное движение
Прямолинейное равноускоренное движение
Колебательное движение
Физический и математический маятники
Пружинные и математические маятники
Скалярные и векторные величины и действия над ними

Источник

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Навигация по странице:

Определение проекции вектора на ось
Определение проекции вектора на вектор
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Примеры задач на проекцию вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A₁B₁ оси l, где точки A₁ и B₁ являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

рис. 1

Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	11	= 2.2
\|b\|	5

Ответ: Пр _ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √4² + 2² + 4² = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	12	= 2
\|b\|	6

Ответ: Пр _ba = 2.

Источник

В математике существуют два определения:

1) геометрическая проекция вектора — вектор;

2) проекция вектора на ось — число.

Геометрическая проекция вектора — это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси. Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Для вектора

v→

геометрическая проекция на оси (t) — это вектор

vt→

Для вектора

n→

геометрическая проекция на оси (y) — это вектор

ny→

Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

ax=4bx=−3

Если длина вектора

a→

равна

a→

— это острый угол, созданный вектором и осью (x), то скалярная проекция вектора вычисляется по формуле:

ax=a→⋅cosα

Знак проекции вектора выбирается в зависимости от направления оси.

На рисунке видно, что эту формулу можно получить из соотношения в прямоугольном треугольнике:

cosα=прилежащий катетгипотенуза=ax→a→

Обрати внимание!

Если вектор и ось проекций параллельны, то скалярная проекция на этой оси — число, которое равно длине вектора, если направления вектора и оси совпадают, или число, противоположное длине вектора, если направления вектора и оси — противоположные.

Если вектор и ось проекций перпендикулярны, то проекция вектора на этой оси равна (0).

at=3bt=−5ct=0dt=0

Источник

Прямая
с заданной на ней точкой и единичным
базисным вектором
называетсяосью.

Ортогональной
проекцией
точки A
на ось называется точка пересечения
оси с перпендикулярной к ней плоскостью,
проходящей через точку А.

Пусть
в пространстве задана направленная
прямая l.
Проекцией точки М
на ось l
называется основание
перпендикуляра,
опущенного из точкиМ
на ось. Если точка М
лежит на оси l,
то проекция точки М
на ось совпадает с М
(рис. IV.4).

Рис.
IV.4

Пусть
– произвольный вектор.Проекцией
вектора

на осьl
называется координата вектора
относительно единичного вектораоси, гдеА₁
и В₁
– проекции точек A
и B
на ось l,
то есть если
,
то число
называется проекцией вектора
на осьl,
в направлении
.
Обозначение для проекции:.

Из правил сложения
векторов и умножения вектора на число,
заданных своими координатами, следует,
что:

,
где
.

Легко
показать, что
,
где
– угол между векторами
и,
отсчитываемый по правилам тригонометрии:
от векторапротив часовой стрелки до вектора.

Следует
помнить: проекция
вектора на ось положительна (отрицательна),
если вектор образует с осью острый
(тупой) угол, и равна нулю, если этот угол
прямой.

Действия над
векторами, заданными проекциями,
выполняются аналогично действиям над
матрицей-строкой (матрицей-столбцом).

Рассмотрим
3-х мерное линейное пространство L
и
(рис.IV.5).
Введем декартову систему координат
Oxyz.
Представим вектор
в виде линейной комбинации базисных
векторов,,:

.
(IV.1)

Проекцией
вектора
на осьOx
называется величина направленного
отрезка
и записывается.

Так
как, по определению,
,
то если

– угол между осью Ox
и вектором
,
то

.
(IV.2)

Аналогично
определяются проекции вектора

на другие оси.

Рис.
IV.5.

Сопоставляя
(IV.1)
и (IV.2)
и учитывая, что проекция есть направленный
отрезок (если
,
то),
то

,
,.

Заметим,
что
,
получаем

,
,.
(IV.3)

называются направляющими косинусами.
Возводя в квадрат и складывая, получим

то есть сумма
квадратов направляемых косинусов равна
1:

.
(IV.4)

Пусть
углы вектора

с осями Ox,
Оу,
Оz
соответственно равны ,
,
.
По свойству проекции вектора на ось
имеем:

или, что то же
самое:

.
(IV.5)

Числа

называются направляющими косинусами
вектора

().

Линейные свойства проекции вектора на ось

Пусть
дана ось Ox
и векторы

и
:

Тогда, как следует
из свойств сложения векторов, имеем

;

Отсюда,
как следует из (IV.2),
получаем

;

Координаты вектора

Найдем
координаты вектора
,
если известны координаты точек

и
.
Имеем:

Следовательно,
координаты
вектора равны разностям соответствующих
координат его конца и начала.

Зададим
в пространстве декартову систему
координат Oxyz
и вектор
,
где координаты точек
,

Проекция
вектора

на ось Ox
(рис. IV.6)
определяется

.
(IV.6)

Рис.
IV.6.

Тригонометрическая
формула (IV.6)
устанавливает связь между геометрическим
образом отрезка и его проекцией на ось
Ox,
которая в алгебраической форме имеет
вид

.
(IV.7)

Знак
правой части в (IV.7)
определяется
,
для
.
Таким образом,

,
(IV.8
а)

,
(IV.8
б)

.
(IV.8
в)

Для
нахождения длины отрезка

воспользуемся теоремой Пифагора, получим

.
(IV.9)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Проекция вектора на ось

Определение и формула проекции вектора на ось

Под осью понимается прямая, для которой указано направление.

Чтобы построить проекцию вектора на ось , нужно из точек и (начало и конец вектора соответственно) опустить перпендикуляры на направленную прямую , основания этих перпендикуляров будут началом и концом искомой проекции (рис. 1).

Числовой характеристикой проекции вектора на ось является числовая проекция ${Pi text{p}}_{l} bar{a}$ этого вектора на данную ось – число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между этим вектором и вектором, определяющим направление оси.

Если направление оси определяется вектором , то числовая проекция вектора на эту ось обозначается как ${Pi text{p}}_{bar{b}} bar{a}$ , причем

$[{Pi text{p}}_{bar{b}} bar{a}=left|bar{a}right|cdot cos left(mathop{bar{a},; bar{b}}limits^{wedge } right) (1)]$

Примеры нахождения проекции вектора на ось

Из определения скалярного произведения двух векторов и :

$[left(bar{a},; bar{b}right)=left|bar{a}right|cdot left|bar{b}right|cdot cos left(mathop{bar{a},; bar{b}}limits^{wedge } right),]$

получаем, что

$[cos left(mathop{bar{a},; bar{b}}limits^{wedge } right)=frac{left(bar{a},; bar{b}right)}{left|bar{a}right|cdot left|bar{b}right|} ]$

В результате формула (1) принимает вид:

$[{Pi text{p}}_{bar{b}} bar{a}=left|bar{a}right|cdot frac{left(bar{a},; bar{b}right)}{left|bar{a}right|cdot left|bar{b}right|} =frac{left(bar{a},; bar{b}right)}{left|bar{b}right|} ]$

То есть числовой проекцией вектора на ось, направление которой совпадает с направлением вектора , есть отношение скалярного произведения векторов и к модулю вектора :

$[{Pi text{p}}_{bar{b}} bar{a}=frac{left(bar{a},; bar{b}right)}{left|bar{b}right|} ]$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Источник

Проекция вектора на ось в физике — формулы и определения с примерами

Как определяют проекцию вектора на ось

Можно ли найти модуль и направление вектора по его проекциям на координатные оси

Пример №1

Пример №2

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Линейные свойства проекции вектора на ось

Координаты вектора

Проекция вектора на ось

Определение и формула проекции вектора на ось

Примеры нахождения проекции вектора на ось

Не пропустите также: