Как составить матрицу второго порядка - AvtoShod.ru

Содержание

Определитель квадратной матрицы первого порядка
Определитель квадратной матрицы второго порядка
Схема вычисления определителя второго порядка
Примеры вычисления определителей второго порядка
Определитель квадратной матрицы третьего порядка
Правило треугольников нахождения определителя третьего порядка
Примеры вычисления определителей третьего порядка

Используя специальное правило каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое будем называть определителем (детерминантом) и обозначать или или

Определитель квадратной матрицы первого порядка

Определителем квадратной матрицы первого порядка $A=(a_{11})$ называется число

$|A|=|a_{11}|=a_{11}.$

Заметим, что здесь выражение $|a_{11}|$ означает определитель, хоть внешне очень похоже на запись модуля числа $a_{11}.$ Таким образом, определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы, например для матриц

определители

Определитель квадратной матрицы второго порядка

Определителем квадратной матрицы второго порядка

$A=left(!!begin{array}{cc}a_{11}^{}& a_{12}^{}\[0.5ex]a_{21}^{}&a_{22}^{}end{array}!!right)$

называется число

$left|Aright|= left|!!begin{array}{cc}a_{11}^{}& a_{12}^{}\[0.5ex]a_{21}^{}&a_{22}^{}end{array}!!right|=a_{11}^{}a_{22}^{}-a_{12}^{}a_{21}.$

Таким образом, для того, что вычислить определитель матрицы 2-го порядка нужно умножить элементы главной диагонали матрицы и от полученного произведения вычесть произведение элементов побочной диагонали матрицы. Схема вычисления определителя второго порядка представлена на рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим примеры, где требуется вычислить определитель второго порядка. У матриц

$A=left(!!begin{array}{cc} 3& -4\[0.5ex] 2&1end{array}!!right),$ $B=left(!!begin{array}{cc} cosalpha & sinalpha\[0.5ex] -sinalpha&cosalpha end{array}!!right)$

определители

$left|Aright|=left|!!begin{array}{cc} 3& -4\[0.5ex] 2&1end{array}!!right|=3cdot 1-({}-4)cdot2=3+8=11,$

$left|Bright|=left(!!begin{array}{cc} cosalpha & sinalpha\[0.5ex] -sinalpha&cosalpha end{array}!!right) =cosalphacosalpha-sinalpha({}-sinalpha)=$

Определитель квадратной матрицы третьего порядка

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

$A=left(!!begin{array}{ccc}a_{11}^{}& a_{12}^{}&a_{13}^{}\[0.5ex]a_{21}^{}& a_{22}^{}&a_{23}^{}\[0.5ex]a_{31}^{}& a_{32}^{}&a_{33}^{}end{array}!!right)$

называется число

$left|Aright|=left|!!begin{array}{ccc}a_{11}^{}& a_{12}^{}&a_{13}^{}\[0.5ex]a_{21}^{}& a_{22}^{}&a_{23}^{}\[0.5ex]a_{31}^{}& a_{32}^{}&a_{33}^{}end{array}!!right|=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-$ $(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{11}a_{23}a_{32}).$

Как видим, для того чтобы вычислить определитель матрицы третьего порядка необходимо использовать достаточно сложную для запоминания формулу, однако, заучивать ее вовсе не обязательно. Гораздо легче понять и запомнить схему вычисления определителя третьего порядка (рис. 2) (ее еще называют правилом треугольников). Используя эту схему решаются задачи на вычисление определителей матриц 3×3, и с ее помощью всегда можно восстановить формулу нахождения определителя 3-го порядка.

Рис. 2

Как видно из схемы (рис. 2), для того чтобы найти определитель третьего порядка необходимо вычислить 6 чисел, каждое из которых представляет собой произведение трех чисел. Для нахождения первого числа требуется найти произведение элементов главной диагонали, второе и третье числа представляют собой произведения элементов, находящихся в вершинах равнобедренных треугольников (см. рис. 2), чьи основания параллельны главной диагонали матрицы. Аналогично, четвертое число в схеме есть произведение элементов второй (побочной) диагонали матрицы, а пятое и шестое числа находятся как произведения элементов-вершин равнобедренных треугольников с основаниями параллельными второй диагонали матрицы. Затем следует сложить первые три числа и из этой суммы вычесть сумму чисел с номерами 4 — 6.

Рассмотрим пример вычисления определителя матрицы третьего порядка. Определитель

$left|!!begin{array}{ccc}2& 3&-1\[0.5ex] 1& 3&{}-1\[0.5ex] 1& {}-3&0}end{array}!!right|= 2cdot3cdot0+3cdot(-1)cdot1+(-1)cdot 1cdot(-3)-$

Источник

Матрица первого порядка содержит единственный элемент, и этот элемент является определителем матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка,

(1)

Для вычисления определителя матрицы A нужно рассмотреть все возможные перестановки индексов, нумерующих ее столбцы. В рассматриваемом случае перечень возможных перестановок множества {1, 2} исчерпывается двумя вариантами:

Перестановка {1, 2} не содержит инверсий и поэтому является четной, тогда как перестановка {2, 1} является нечетной, ибо содержит одну инверсию.
Эти перестановки порождают произведения

алгебраическая сумма которых представляет собой определитель матрицы второго порядка:

(2)

В случае матрицы третьего порядка существует уже шесть различных перестановок множества
{1, 2, 3}:

{1, 2, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2},

{3, 2, 1}, {2, 1, 3}, {1, 3, 2}.

Первые три перестановки являются четными, поскольку каждая из них содержит четное число инверсий. Оставшиеся три перестановки являются нечетными, так как каждая из них содержит нечетное число инверсий (см Примеры).

Таким образом,

Эту формулу можно легко запомнить с помощью правила треугольников, которое иллюстрируется представленными ниже рисунками.

Рис. 1. Произведения элементов, расположенных на главной диагонали матрицы или в вершинах треугольников, основания которых параллельны этой диагонали, берутся со своими знаками.

Рис. 2. Произведения элементов, расположенных на побочной диагонали матрицы или в вершинах треугольников, основания которых параллельны этой диагонали, берутся с противоположными знаками.

Источник

Содержание:

Определители второго порядка:

Под определителем (детерминантом) второго порядка понимается выражение

Числа

Формула (1) дает правило «развертывания» определителя второго порядка, а именно: определитель второго порядка равен разности произведений его элементов первой и второй диагоналей.

Определители второго порядка

С помощью определителей второго порядка удобно решать линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Такую линейную систему, в которой свободные члены находятся в правых частях, для определенности мы будем называть стандартной.

Под решением системы (2) понимается всякая пара чисел (х, у), обращающая эту систему в тождество. Если существует только одна такая пара, то решение называется единственным. Аналогично вводится понятие решения для системы, содержащей п неизвестных .

Для нахождения решений системы (2) применим метод исключения. Умножая первое уравнение системы (2) на , а второе — на — и складывая, будем иметь

Аналогично, умножая первое уравнение системы (2) на а₂ второе — на складывая, получаем

Введем определитель системы

а также дополнительные определители

Заметим, что дополнительные определители Dx и Dy получаются из определителя системы D путем замены коэффициентов при указанном неизвестном на соответствующие свободные члены.

Уравнения (3) и (4) принимают вид

Если , то отсюда получаем, что система (2) имеет единственное решение

(формулы Крамера)

Замечание. Если определитель D = 0, то система (2) или не имеет решений (т. е. несовместна), или имеет бесконечно много решений (т. е. система неопределенная).

Пример:

Решить систему

Решение:

Имеем

Отсюда на основании формул Крамера (6) получаем

Геометрически решение (95; 110) представляет собой точку пересечения прямых (7).

Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим однородную систему

Эта система всегда совместна, так как, очевидно, имеет нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0. Однако интересно найти не н у л е в ы е решения (х, у, z) системы (1). Пусть, например, .

Тогда систему (1) можно переписать в виде

Отсюда, предполагая, что , получаем

Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов системы (1)

Определители второго порядка , которые получаются из матрицы (5) путем вычеркивания соответствующего столбца, называются ее минорами. Таким образом, имеем

Используя эти обозначения, уравнения (3) и (4) можно переписать в следующем виде:

Отсюда получаем

Равенства (6), очевидно, справедливы также и для нулевого решения.

Таким образом, имеем следующее правило: неизвестные однородной системы (1) пропорциональны соответствующим минорам ее матрицы коэффициентов, взятым с надлежащими знаками.

Обозначая через t коэффициент пропорциональности для отношений (6), получим полную систему решений системы (1):

При выводе формул (7) мы предполагали, что . Однако, как легко убедиться, формулы (7) будут справедливы, если любой (хотя бы один) из миноров отличен от нуля.

Замечание. Если все миноры равны нулю, то система (1) требует особого рассмотрения.

Пример:

Решить систему

Решение:

Составляя матрицу коэффициентов

находим ее миноры: На основании формулы (7) полная система решений системы (8) имеет вид

где

Простейшее ненулевое решение системы (1), получающееся при t — 1, есть х = -3, у = 18, z = 13.

Определители третьего порядка

Определение: Под определителем {детермипантом) третьего порядка понимается выражение

Числа называются элементами определителя; они расположены в трех строках и трех столбцах его (ряды определителя). ,

Раскрывая определители второго порядка (миноры) в формуле (1) и собирая члены с одинаковыми знаками, получаем, что определитель третьего порядка представляет собой знакопеременную сумму шести слагаемых:

из которых три берутся со знаком плюс, а три — со знаком минус.

Пример:

Вычислить

Решение:

Используя формулу (1), имеем В дальнейшем мы укажем более удобные способы вычисления определителей третьего порядка.

Определение: Под минором элемента определителя третьего порядка понимается определитель младшего (второго) порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, для определителя (3) минором его элемента 2, стоящего во второй строке и в первом столбце, является определитель В дальнейшем для краткости будем говорить, что элемент определителя третьего порядка занимает четное место, если сумма номеров его строки и его столбца есть число четное, и нечетное место, если эта сумма есть число нечетное.

Определение: Алгебраическим дополнением (минором со знаком) элемента определителя третьего порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент занимает четное место у и со знаком минус, если его место нечетное.

Таким образом, если М есть минор элемента определителя, a i и j — соответственно номер строки и номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент, то его алгебраическое дополнение есть

Например, для элемента с₂ определителя (1), находящегося во второй строке и в третьем столбце, его алгебраическое дополнение есть

Соответствующие знаки, приписываемые при этом минорам элементов определителя, можно задать таблицей

В дальнейшем алгебраические дополнения элементов определителя с буквенными элементами условимся обозначать соответствующими прописными (большими) буквами.

Теорема Разложения: Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда его на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Таким образом, для определителя (1) справедливы шесть разложений:

Легко проверить, что формулы (4) и (5) дают одно и то же выражение (2), принятое за определение.

Замечание. С помощью формул типа (4) или (5), по индукции, можно ввести определители высших порядков.

Основные свойства определителей

При формулировках мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка.

I. (Равноправность строк и столбцов.) Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, т. е.

Действительно, разлагая первый определитель по элементам первой строки, а второй — по элементам первого столбца, в силу теоремы разложения мы получим один и тот же результат.

II. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на обратный.

Пусть, например, в определителе переставлены первая и вторая строки; тогда получим определитель Разлагая определитель D по элементам второй строки и учитывая, что при перестановке строк изменилась четность мест этих элементов, будем иметь

Аналогичное положение получается и в других случаях.

Следствие 1. Определитель, у которого два параллельных ряда одинаковы, равен нулю.

В самом деле, пусть, например,

Переставляя первую и вторую строки определителя, в силу теоремы получим определитель -D. Но очевидно, эта операция не изменяет определитель D, поэтому -D = D и, следовательно, D = 0.

Следствие 2. Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю, т. е. для определителя (2) имеем и т. д., а также и т. д. (всего таких соотношений можно написать двенадцать).

Левые части всех соотношений (3) и (4) представляют собой разложения соответствующих определителей третьего порядка, содержащих два одинаковых параллельных ряда и, следовательно, равны нулю. Например, (здесь разложение нужно производить во второй строке!).

III. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя, т. е.

и т. п.

Это свойство непосредственно вытекает из разложения определителя по элементам соответствующего ряда.

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда его, то определитель равен нулю.

Например, имеем

IV. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например, имеем

и т. п.

Следствие. Величина определителя не изменится, если /с элементам какого-либо ряда его прибавить (или отнять) числа, пропорциональные соответствующим элементам параллельного ряда с одним и тем же коэффициентом пропорциональности (так называемые «элементарные преобразования определителя»).

Действительно, пусть

Рассмотрим, например, определители

Используя свойства IV и III, будем иметь Элементарные преобразования дают удобный способ вычисления определителей.

Пример:

Вычислить симметричный определитель

Решение:

Вычитая из второй строки удвоенную первую строку, а из третьей строки утроенную первую строку, получим

Система трех линейных уравнений

Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений

свободные члены которых находятся в правых частях. Под решением системы понимается всякая тройка чисел (х, у, г), удовлетворяющая этой системе. Введем определитель системы

а также дополнительные определители

Последовательно умножая уравнения системы (1) на алгебраические дополнения соответствующих элементов первого столбца определителя D, получим

Отсюда, применяя теорему разложения и следствие 2 к свойству II, будем иметь , т. е. Используя алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбцов определителя D, аналогично находим

Если определитель системы , то из уравнений (5) и получаем единственное решение системы (1): Таким образом, имеем правило Крамера: неизвестные стандартной линейной системы (1) с ненулевым определителем представляют собой дроби, знаменатель которых есть определитель системы, а числители равны соответствующим дополнительным определителям.

Замечание. Если определитель системы D = 0, то система (1) или несовместна, или имеет бесконечно много решений.

Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Решить систему

Решение:

Имеем

Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третьего столбца утроенный первый столбец, получим

Для дополнительных определителей находим следующие значения: Используя правило Крамера, получаем решение системы:

Однородная система трех линейных уравнений

Рассмотрим линейную систему

свободные члены которой равны нулю. Такая линейная система называется однородной.

Однородная линейная система (1), очевидно, допускает нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0 и, следовательно, всегда совместна.

Интересно выяснить случаи, когда однородная система имеет ненулевые решения.

Теорема: Линейная однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е.

Доказательство: Пусть система (1) имеет ненулевое решение Если определитель ее то на основании формул Крамера система (1) обладает только нулевым решением, что противоречит предположению. Следовательно, D = 0.

Пусть D = 0. Тогда линейная система (1) либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Но наша система совместна, так как имеется нулевое решение. Следовательно, система (1) допускает бесконечно много решений, в том числе и ненулевые.

Замечание. Укажем способ нахождения ненулевых решений однородной системы (1) в типичном случае.

Пусть определитель системы D = 0, но не все его миноры второго порядка равны нулю.

Мы будем предполагать, что

(этого всегда можно добиться с помощью перестановки уравнений и изменения нумерации неизвестных).

Рассмотрим подсистему, состоящую из двух первых уравнений системы (1):

В силу решения этой системы имеют вид

где — соответствующие алгебраические дополнения. Подставляя эти числа в неиспользованное третье уравнение системы (1) и учитывая, что определитель D = 0, получаем

Следовательно, формулы (5), где t произвольно, дают все решения полной системы (1).

Геометрически уравнения системы (1) представляют собой уравнения трех плоскостей в пространстве Oxyz. Если определитель , то эти плоскости пересекаются в единственной точке 0(0, 0, 0); если же определитель D =0, но не все его миноры второго порядка равны нулю, то в нашем случае эти плоскости пересекаются по прямой линии (как «листы книги»). Без рассмотрения оставлен случай слияния трех плоскостей.

Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными:

Здесь для коэффициентов системы введена двойная индексация, а именно: у коэффициента первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного. Для удобства выкладок свободные члены обозначены через

Наиболее простой метод решения системы (1) — это метод исключения. Мы изложим его в форме схемы Гаусса (обычно называемой методом Гаусса).

Пусть для определенности — ведущий коэффициент». Разделив все члены первого уравнения на аи, будем иметь приведенное уравнение

где

Рассмотрим i-e уравнение системы (1):

Для исключения xx из этого уравнения умножим приведенное уравнение (2) на ап и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь

где

Таким образом, получаем укороченную систему

коэффициенты которой определяются по формулам (6).

Если ее ведущий коэффициент , то из системы (7) указанным выше приемом можно исключить неизвестное . причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.

Для определения неизвестных Рассмотрим приведенные уравнения

Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход) Заметим, что операции (9) выполняются без деления.

Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Гаусса не допускает реализации.

Пример:

Методом Гаусса решить систему

Решение:

Составляем таблицу коэффициентов системы (10), рассматривая свободные члены ее как коэффициенты при :

Последний столбец содержит суммы элементов соответствующих строк таблицы; этот столбец служит для контроля вычислений.

Считая отмеченный коэффициент 2 ведущим и деля на этот коэффициент все элементы первой строки таблицы (включая и входящий в столбец ), получаем коэффициенты первого приведенного уравнения (см. табл.). Текущий контроль вычислений осуществляется тем, что элемент из столбца равен сумме всех остальных элементов этой строки. Этим заканчивается заполнение раздела I таблицы.

Далее, используя формулу (6), подсчитываем коэффициенты укороченной системы, не содержащей неизвестного xv Для наглядности будем называть строку, содержащую коэффициенты приведенного уравнения, приведенной, а столбец, содержащий ведущий элемент раздела, — ведущим. Тогда на основании формулы (6) справедливо правило: преобразованные коэффициенты схемы Гаусса, равны ее прежним коэффициентам минус произведение «проекций» их на соответствующие приведенную строку и ведущий столбец таблицы. Пользуясь этим, заполняем раздел II таблицы, включая контрольный столбец. Для удобства вычислении в качестве ведущего коэффициента раздела П берем элемент 8 (см. табл.).

Аналогично производится заполнение раздела III таблицы. Этим заканчивается прямой ход схемы Гаусса.

Неизвестные последовательно определяются из приведенных уравнений

Отсюда

(обратный ход). Результаты обратного хода помещены в разделе IV таблицы.

Заметим, что если в качестве свободных членов взять элементы столбца , то для неизвестных получатся значения превышающие на единицу значения неизвестных Этим обеспечивается заключительный контроль вычислений.

Метод Гаусса — определение и вычисление
Прямая линия на плоскости и в пространстве
Плоскость в трехмерном пространстве
Функция одной переменной
Ряды в математике
Дифференциальные уравнения с примерами
Обратная матрица — определение и нахождение
Ранг матрицы — определение и вычисление

Источник

В прошлый раз мы рассмотрели понятие определителя матрицы. Для вычисления определителей существуют различные правила. Например, определитель матрицы FF первого порядка — элемент f11:∣F∣=f11f_{11}: |F|= f_{11}. Рассмотрим вычисление определителя второго порядка.

Правило нахождения определителя второго порядка

Для того чтобы вычислить определитель второго порядка необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов второй (побочной) диагонали.

В общем случае нахождение определителя выглядит следующим образом:

∣B∣=∣b11b12b21b22∣=b11⋅b22−b12⋅b21|B|=begin{vmatrix}color{green}{b_{11}}&color{purple}{b_{12}}\color{purple}{b_{21}}&color{green}{b_{22}}end{vmatrix}=color{green}{b_{11}}cdotcolor{green}{b_{22}}-color{purple}{b_{12}}cdotcolor{purple}{b_{21}}.

Схема вычисления определителя второго порядка выглядит следующим образом:

Алгоритм нахождения определителя второго порядка:

Определяем порядок определителя (подробнее о порядке определителя можно узнать в теме «Что такое определитель матрицы»).
Если порядок определителя = 2, то находим произведение элементов главной диагонали, и произведение элементов второй (побочной) диагонали (с понятием главной и побочной диагонали можно ознакомиться в теме «Основные типы матриц»).
Находим разность произведения элементов главной диагонали и произведения элементов второй (побочной диагонали).

Пример 1

Вычислить определитель второго порядка Δ=∣−1543−2∣Delta=begin{vmatrix}-15&4\3&-2end{vmatrix}.

Определитель второго порядка равен

Δ=∣−1543−2∣=−15⋅(−2)−4⋅3=30−12=18Delta=begin{vmatrix}-15&4\3&-2end{vmatrix}=-15cdot(-2)-4cdot3=30-12=18.

Пример 2

Вычислить определитель второго порядка Δ=∣−cos⁡α−sin⁡α−sin⁡α−cos⁡α∣Delta=begin{vmatrix}-cosalpha&-sinalpha\-sinalpha&-cosalphaend{vmatrix}.

Определитель второго порядка равен Δ=∣−cos⁡α−sin⁡α−sin⁡α−cos⁡α∣=−cosα⋅(−cosα)−(−sinα⋅(−sinα))=cos2α−sin2α=cos(2α)Delta=begin{vmatrix}-cosalpha&-sinalpha\-sinalpha&-cosalphaend{vmatrix}=-cosalphacdot(-cosalpha)-(-sinalphacdot(-sinalpha))=cos^{2}alpha-sin^{2}alpha=cos(2alpha).

Обратитесь к нашим экспертам, если вам потребовалась онлайн-помощь с решением задач!

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы второго порядка»

Источник

Рассмотрим
квадратную матрицу, состоящую из четырех
элементов:

.
(1.1)

Определение
1.
Определителем
или
детерминантом второго порядка,
соответствующим матрице (1.1), называется
число, равное разности произведений
элементов стоящих на главной диагонали,
и элементов, стоящих на побочной диагонали
(определитель обозначается
илиdetA).

Пример
1.3.
1),
2).

Рассмотрим
квадратную матрицу, состоящую из девяти
элементов:
(1.2)

Определение 2. Определителем
или детерминантом третьего порядка,
соответствующим
матрице (1.2), называется число равное

Структура
этого выражения помогает понять наглядное
правило Саррюса. Припишем к элементам
определителя справа первый и второй
столбцы определителя. Три произведения,
соответствующие прямым, параллельным
главной диагонали, надо взять со знаком
плюс, а остальные три произведения,
соответствующие прямым, параллельным
побочной диагонали, надо взять его со
знаком минус.

Пример 1.

Свойства определителей

1⁰.
Величина определителя не изменится,
если его строки и столбцы поменять
местами.

2⁰.
Перестановка двух строк или столбцов
определителя равносильна умножению
его на (-1).

3⁰.
Если определитель имеет две одинаковые
строки или два одинаковых столбца, то
он равен нулю.

4⁰.
Умножение всех элементов строки или
столбца определителя на любое число 
равносильно умножению определителя на
это число .

5⁰.
Если все элементы некоторого столбца
или строки определителя равны нулю, то
и сам определитель равен нулю.

6⁰.
Если элементы двух строк или двух
столбцов определителя пропорциональны,
то определитель равен нулю.

7⁰.
Если каждый элемент любого столбца или
любой строки определителя представлен
в виде двух слагаемых, то определитель
можно представить в виде суммы двух
определителей.

,
аналогично для определителей 2-го
порядка.

8⁰.
Если к элементам некоторой строки или
столбца прибавить соответствующие
элементы другой строки или столбца,
умноженные на любой общий множитель ,
то величина определителя не изменится.

Определение
3. Минором
элемента

определителя называется определитель,
полученный из данного определителя
вычеркиванием строки и столбца, на
пересечении которых расположен этот
элемент, т.е.
i
– ой строки и
j
– го столбца.

Определение 4. Алгебраическим
дополнением

элемента

определителя называется минор этого
элемента, умноженный на,
т.е..

Для
вычисления алгебраических дополнений
элементов определителей третьего
порядка знаки легко запомнить по
следующей схеме:
.

Например:
;

9⁰.
Определитель равен сумме произведений
элементов какой-нибудь строки или
столбца на их алгебраические дополнения.

Например:
=.

10⁰.
Сумма произведений элементов какого-нибудь
столбца или строки определителя на
алгебраические дополнения соответствующих
элементов другого столбца или строки
равна нулю.

Например:
или.