Как составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами

Теорема Виета

Теорема Виета звучит так:

Теорема Виета широко используется при решении задач, в которых

• не требуется найти корни квадратного уравнения, а лишь некоторое их соотношение;
• нужно найти значение параметра, при котором значение корней удовлетворяет заданному соотношению.

С помощью теоремы Виета можно устно находить корни квадратного уравнения, а также проверять, являются ли заданные числа корнями уравнения.

Чтобы грамотно использовать теорему Виета, ее нужно хорошо понимать.

Остановимся подробнее на каждом слове этой теоремы. Сначала о коэффициентах квадратного уравнения:

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1, то есть если

В общем случае не каждое квадратное уравнение является приведенным, например, уравнение не является приведенным. В этом уравнении .

Но каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, для этого достаточно обе части уравнения вида разделить на :

В полученном уравнении старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен , свободный член равен .

То есть корни произвольного квадратного уравнения , согласно теоремы Виета, удовлетворяют системе:

Например корни уравнения

Обратная теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение по значениям его корней:

Например, числа -7 и -2 являются корнями уравнения , или

Решим несколько задач с использованием теоремы Виета.

Задача 1. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней равен

Так как произведение корней должно быть числом рациональным, второй корень может представлять выражение, сопряженное выражению , то есть дополняющее его до формулы разности квадратов. Это выражение :

Тогда ;

Отсюда получаем уравнение:

Задача 2. Найдите значения выражения , где и — корни уравнения .

Если в задаче не требуется найти значения корней квадратного уравнения, а только их соотношение, следовательно, нужно воспользоваться теоремой Виета.

Запишем теорему Виета для этого уравнения:

Теперь мы знаем, чему равны сумма и произведение корней. Представим выражение в виде комбинации суммы и произведения. Приведем дроби к общему знаменателю.

Задача 3. Найдите значение выражения , где и — корни уравнения .

Эта задача аналогична предыдущей, только в ней чуть сложнее преобразование выражения в комбинацию выражений и .

Вспомним формулу квадрата суммы: . Перенесем влево и получим соотношение (1)

Запишем теорему Виета для уравнения :

(по формуле 1)

Задача 4. Решите устно уравнение:

Теорем Виета позволяет в некоторых случаях легко находить корни квадратного уравнения.

Для этого удобно придерживаться такой последовательности шагов:

1. Выписываем теорему Виета для данного уравнения.
2. Определяем знаки корней.
3. Раскладываем на два множителя свободный член, и определяем, какая пара множителей в сумме дает второй коэффициент, взятый с противоположным знаком.

Для данного уравнения

1

2 Определим знаки корней.

Для определения знаков удобно пользоваться такой таблицей:

Так как в уравнении произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней также отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

3. Будем раскладывать на множители число 24, имея в виду, что множитель с большим модулем отрицателен, и выбираем пару чисел, сумма которых равна -2.

Очевидно, что это числа -6 и 4.

Задача 5. Решите устно уравнение:

1

2 Определим знаки корней.

Так как в уравнении

произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

В данном случае корни проще подобрать, зная их сумму: . Можно предположить, что . Проверим, чему равно произведение этих выражений:

Ответ:

Следствием из теоремы Виета являются такие полезные факты:

Задача 6. Найти корни уравнения:

Заметим, что , следовательно, .

Найти корни уравнения:

Заметим, что , следовательно,

Как решать задачи с параметром с помощью теоремы Виета читайте здесь.

Тема урока: «Рациональные решения квадратных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели:

• образовательная: обобщить и систематизировать знания и умения решения квадратных уравнений;
• развивающая: формировать умения определять тип квадратного уравнения и выбирать рациональное решение по его коэффициентам;
• воспитательная: воспитывать внимательность и краткость изложения решений.

Тип урока: обобщение знаний и умений решения квадратных уравнений.

Оборудование: компьютер, интерактивная доска, карточки с заданиями, доска.

Эпиграф

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и далее подтвердить это, — что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
(Г.Лейбниц)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Учитель настраивает учащихся на урок и даёт установку на внимательность в подходе к решению квадратных уравнений.

2. Проверка домашнего задания.

Учащиеся сдают тетради на проверку. Учитель отвечает на возникшие вопросы у учащихся.

3. Формулирование цели и задачи урока.

Рассмотрим несколько вариантов решения квадратных уравнений, сравним их и научимся выбирать рациональное решение.

4. Классификация квадратных уравнений.

На интерактивной доске учащимся представляется таблица классификации квадратных уравнений и предлагается её прокомментировать.

a, b, c – некоторые числа, причем a 0.

D = b 2 – 4ac (дискриминант);

если D > 0, то уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х_{2 ;}

если D = 0, то уравнение имеет один корень (или ещё говорят, имеет два равных корня)

х (х₁ х₂ = );

если D 2 +2kx + c =0,

D = 4(k 2 –ac) = 4D₁ (дискриминант), где D₁ = k 2 –ac;

если D₁ >0, то D >0, уравнение имеет два корня

х_{1 ;} х₂;

если D₁ = 0, то D = 0, уравнение имеет один корень х ;

б) D > 0, если a+b+c=0, то

х₁ = 1; х₂ = ;

D = 0, если a+b+c=0, то

в) D > 0, если a-b+c=0, то

х₁ = -1; х₂ = ;

D = 0, если a-b+c=0, то

х = -1.Приведенное квадратное уравнениеЧастный случай приведенного квадратного уравненияx 2 + px + q = 0, если D > 0, уравнение имеет два корня и решается по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = -p, х₁·х₂ = q.Если p – четное, D = 4(– q)= 4D₂ (дискриминант),

где D₂ = (– q);

D₂ > 0, то D > 0, уравнение имеет два корня

х₁ + , х₂ — .

Неполное квадратное уравнениеа) ax 2 + c = 0, где с0;

если — > 0, то

х₁ — , х₂ = ;

если — 2 + bx = 0, где b0; уравнение имеет два корня

х₁ = 0, х₂ = — .в) ax 2 = 0; уравнение имеет один корень

х = 0.Метод “переброски”

ax 2 + bx + c = 0, для решения данного квадратного уравнения составим и решим вспомогательное квадратное уравнение путём умножения свободного члена на первый коэффициент и запишем это произведение в новом уравнении свободным членом, т.е. получим квадратное уравнение вида

у 2 + by + ac = 0. Полученное квадратное уравнение можно решать любым рациональным способом (как правило, по теореме, обратной теореме Виета). Его корни — у₁ и у₂. Корни исходного квадратного уравнения:

х₁ = и х₂ = .

5. Ознакомившись с таблицей классификации, трём учащимся предлагается составить свои уравнения для каждого случая и решить их на доске с последующими комментариями.

1. 5х 2 – 11х + 2 = 0;

D = b 2 – 4ac = (-11) 2 — 45·2 = 81; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 0,2;

х₂ = = = 2.

2. 3х 2 – 14х + 16 = 0;

D₁ = k 2 –ac = (-7) 2 — 316 = 1; D > 0, уравнение имеет два корня;

х₁ = = = 2;

х₂ = = = 2.

Ответ: 2; 2.

3. 15х 2 +22х — 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как 15 + 22 – 37 = 0, то х₁ = 1, х₂ = = — 2 .

Ответ: 1; — 2 .

Следующим трём учащимся предлагается аналогичное задание, но для других случаев.

4. -15х 2 + 22х + 37 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

Так как -15– 22 + 37 = 0, то х₁ = -1 , х₂ = = 2 .

Ответ: -1; 2 .

5. х 2 – 5х + 6 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по теореме, обратной теореме Виета х₁+х₂ = 5, х₁·х₂ = 6.

6. х 2 – 6х + 7 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом имеем

х₁ + , х₂ — .

Ответ: — , + .

Следующему учащемуся предлагается решить квадратное уравнение методом “переброски”.

7. 5х 2 + 37х — 24 = 0;

D > 0, уравнение имеет два корня;

составим вспомогательное уравнение

у 2 + 37y – 120 = 0; по теореме, обратной теореме Виета у₁+ у₂ = -37, у₁·у₂ = -120.

Значит, у₁ = -40, у₂ = 3, тогда корни исходного уравнения

х₁ = — 8, х₂ = .

Ответ: — 8, .

6. Устные упражнения:

(учащимся предлагается прокомментировать возможные способы рационального решения квадратного уравнения).

1. 2х 2 + 3х + 1 = 0; (D > 0, a – b + c = 0);

2. х 2 + 5х — 6 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

3. 3х 2 — 7х + 4 = 0; (D > 0, a + b + c = 0);

4. 5х 2 + 8х + 3 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a – b + c = 0);

5. у 2 — 10y – 24 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

6. у 2 + y – 90 = 0; (D > 0, по теореме, обратной теореме Виета);

7. у 2 — 8y – 84 = 0; (D₂ > 0, значит, D > 0, по формуле корней приведенного квадратного уравнения с чётным вторым коэффициентом);

8. 3х 2 — 8х + 5 = 0; (D₁ > 0, значит, D > 0, a + b + c = 0);

9. 3х 2 + 6х = 0; (неполное квадратное уравнение; случай б));

10. 4х 2 — 16 = 0; (неполное квадратное уравнение; случай а));

11. 3у 2 — 3y + 1 = 0; (D 2 — 5х — 1 = 0; (D > 0, метод “переброски”).

7. Творческая самостоятельная работа

(по карточкам; в двух вариантах; с последующей устной проверкой).

8. Домашнее задание.

1. Повторите таблицу классификации квадратных уравнений.

2. Решите квадратные уравнения наиболее рациональным способом:

3. Составить пять квадратных уравнений с недостающими коэффициентами.

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен :а) — √6 ;б)√7 ;в)2 — √5Покажите как это делается плиз(очень надо), сделайте хотя бы пе?

Алгебра | 5 — 9 классы

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен :

Покажите как это делается плиз(очень надо), сделайте хотя бы первые 2!

Если х1 и х2 — корни квадратного уравнения, то это уравнение можно записать в виде а(х — х1)(х — х2) = 0.

А) х1 = — √6 пусть у нас а = 1, тогда х2 = √6 и получим (х — √6)(х + √6) = 0, т.

б) аналогично для х1 = √7 пусть у нас а = 1, тогда х2 = — √7 и получим (х — √7)(х + √7) = 0, т.

в) сложнее для х1 = 2 — √5.

Чтобы при умножении избавиться от символа «корень», берем х2 = 2 + √5, тогда

$(x-(2-sqrt5))(x-(2+sqrt5))=0\ x^2-(2-sqrt5)x-(2+sqrt5)x+(2-sqrt5)(2+sqrt5)=0\ x^2-2x+xsqrt5-2x-xsqrt5+4-5=0\ x^2-4x-1=0$.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если : сумма корней равна — 1дробь6, а произведение равно 11дробь12?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, если : сумма корней равна — 1дробь6, а произведение равно 11дробь12.

Существует ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами один из корней которого равен?

Существует ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами один из корней которого равен.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен ?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами, у которого один из корней равен .

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 1 / (6 + корень из 2)?

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен 1 / (6 + корень из 2).

1. СОСТАВЬТЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЯ В КОТОРОМ КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ В ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ РАВНЯЛСЯ БЫ — 15 И ОДИН КОРЕНЬ БЫЛ БЫ ВДВОЕ БОЛЬШЕ ДРУГОГО 2?

1. СОСТАВЬТЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЯ В КОТОРОМ КОЭФФИЦИЕНТ ПРИ НЕИЗВЕСТНОМ В ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ РАВНЯЛСЯ БЫ — 15 И ОДИН КОРЕНЬ БЫЛ БЫ ВДВОЕ БОЛЬШЕ ДРУГОГО 2.

Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются x1 — 2 и x2 — 2 где x1и x2 — корни квадратного уравнения 3×2 — 2x — 5 = 0.

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами корнями которого являются числа, — 1 / 2и 3?

Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами корнями которого являются числа, — 1 / 2и 3.

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффицентами один из корней которого равен 1 разделить на 6 + корень из 2?

Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффицентами один из корней которого равен 1 разделить на 6 + корень из 2.

Составьте квадратное уравнение у которого старший коэффициент равен 8 коэффициент при Х равен 5 свободный член равен 1?

Составьте квадратное уравнение у которого старший коэффициент равен 8 коэффициент при Х равен 5 свободный член равен 1.

Составьте приведённое квадратное уравнение если известны его корни 1 и 5?

Составьте приведённое квадратное уравнение если известны его корни 1 и 5.

Составьте квадратное уравнение, если известны корни х 1 = — 1, 8 и х2 = 5?

Составьте квадратное уравнение, если известны корни х 1 = — 1, 8 и х2 = 5.

На этой странице вы найдете ответ на вопрос Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен :а) — √6 ;б)√7 ;в)2 — √5Покажите как это делается плиз(очень надо), сделайте хотя бы пе?. Вопрос соответствует категории Алгебра и уровню подготовки учащихся 5 — 9 классов классов. Если ответ полностью не удовлетворяет критериям поиска, ниже можно ознакомиться с вариантами ответов других посетителей страницы или обсудить с ними интересующую тему. Здесь также можно воспользоваться «умным поиском», который покажет аналогичные вопросы в этой категории. Если ни один из предложенных ответов не подходит, попробуйте самостоятельно сформулировать вопрос иначе, нажав кнопку вверху страницы.

Светило науки — 2019 ответов — 14682 помощи

Если х1 и х2 — корни квадратного уравнения, то это уравнение можно записать в виде а(х-х1)(х-х2)=0.
а) х1= -√6  пусть у нас а=1, тогда х2= √6 и получим (х -√6)(х+ √6)=0, т.е. 

б) аналогично для х1= √7  пусть у нас а=1, тогда х2= -√7 и получим (х -√7)(х+ √7)=0, т.е. 

в) сложнее для х1=2-√5. чтобы при умножении избавиться от символа «корень», берем х2=2+√5, тогда
[tex](x-(2-sqrt5))(x-(2+sqrt5))=0 x^2-(2-sqrt5)x-(2+sqrt5)x+(2-sqrt5)(2+sqrt5)=0
x^2-2x+xsqrt5-2x-xsqrt5+4-5=0
x^2-4x-1=0[/tex]

Теорема Виета звучит так:

Теорема Виета широко используется при решении задач, в которых

• не требуется найти корни квадратного уравнения, а лишь некоторое их соотношение;
• нужно найти значение параметра, при котором значение корней удовлетворяет заданному соотношению.

С помощью теоремы Виета можно устно находить корни квадратного уравнения, а также проверять, являются ли заданные числа корнями уравнения.

Чтобы грамотно использовать теорему Виета, ее нужно хорошо понимать.

Остановимся подробнее на каждом слове этой теоремы. Сначала о коэффициентах квадратного уравнения:

Квадратное уравнение называется приведенным, если старший коэффициент равен 1, то есть если

В общем случае не каждое квадратное уравнение является приведенным, например, уравнение не является приведенным. В этом уравнении .

Но каждое квадратное уравнение можно сделать приведенным, для этого достаточно обе части уравнения вида разделить на :

В полученном уравнении старший коэффициент равен 1, второй коэффициент равен  , свободный член равен .

То есть корни  произвольного квадратного уравнения, согласно теоремы Виета,  удовлетворяют системе:

Например корни уравнения

удовлетворяют системе

Обратная теорема Виета позволяет составить квадратное уравнение по значениям его корней:

Например, числа -7 и -2 являются корнями уравнения ,   или 

Решим несколько задач с использованием теоремы Виета.

Задача 1. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней равен

Так как произведение корней должно быть числом рациональным, второй корень может представлять выражение, сопряженное выражению , то есть дополняющее его до формулы разности квадратов. Это выражение :

Тогда ;

Отсюда получаем уравнение:

Задача 2. Найдите значения выражения , где и — корни уравнения .

Если в задаче не требуется найти значения корней квадратного уравнения, а только их соотношение, следовательно, нужно воспользоваться теоремой Виета.

Запишем теорему Виета для этого уравнения:

Теперь мы знаем, чему равны сумма и произведение корней. Представим выражение  в виде комбинации суммы и произведения. Приведем дроби к общему знаменателю.

Ответ: -8

Задача 3. Найдите значение выражения , где и — корни уравнения .

Эта задача аналогична предыдущей, только в ней чуть сложнее преобразование выражения  в комбинацию выражений  и .

Вспомним формулу квадрата суммы: . Перенесем  влево и получим соотношение (1)

Запишем теорему Виета для уравнения :

(по формуле 1)

Ответ: 20,5

Задача 4. Решите устно уравнение:

Теорем Виета позволяет в некоторых случаях легко находить корни квадратного уравнения.

Для этого удобно придерживаться такой последовательности шагов:

1. Выписываем теорему Виета для данного уравнения.
2. Определяем знаки корней.
3. Раскладываем на два множителя свободный член, и определяем,  какая пара множителей в сумме дает второй коэффициент, взятый с противоположным знаком.

Для данного уравнения 

1  

2  Определим знаки корней.

Для определения знаков удобно пользоваться такой таблицей:

Так как в уравнении  произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней также отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

3. Будем раскладывать на множители число 24, имея в виду, что множитель с большим модулем отрицателен, и выбираем пару чисел, сумма которых равна -2.

Очевидно, что это числа -6 и 4.

Ответ: -6; 4

Задача 5. Решите устно уравнение:

1  

2 Определим знаки корней.

Так как в уравнении

произведение корней отрицательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней отрицательна, следовательно, корень с большим модулем отрицателен.

В данном случае корни проще подобрать, зная их сумму: . Можно предположить, что . Проверим, чему равно произведение этих выражений:

Предположение верное.

Ответ: 

Следствием из теоремы Виета являются такие полезные факты:

Задача 6. Найти корни уравнения:

Заметим, что  , следовательно, .

Задача 7.

Найти корни уравнения:

Заметим, что  , следовательно,

Как решать задачи с параметром с помощью теоремы Виета читайте здесь.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Пусть уравнение имеет вид $%x^2+px+q=0$%. По теореме Виета, $%x_1+x_2=-p$%; $%x_1x_2=q$%. Нам нужно, чтобы выполнялось равенство $%x_1=1-2x_2^2$%. Пусть это будет так по определению; тогда мы хотим, чтобы было $%1+x_2-2x_2^2=-p$% и $%x_2-2x_2^3=q$%. Из первого равенства следует, что $%2x_2^2=1+p+x_2$%, и тогда $%2x_2^3=2x_2^2cdot x_2=(1+p)x_2+x_2^2=(1+p)x_2+frac{1+p}2+frac12x_2=(frac32+p)x_2+frac{1+p}2$%. Тогда $%q=x_2-2x_2^3=-(p+frac12)x_2-frac{1+p}2$%. Чтобы $%x_2$% при этом не выражалось через рациональные числа, надо взять $%p=-frac12$%. При этом получится, что $%q=-frac14$%.

Уравнение $%x^2-frac12x-frac14=0$% имеет два иррациональных корня: $%x_1=frac{1-sqrt5}4$% и $%x_2=frac{1+sqrt5}4$%. Прямая проверка показывает, что при этом $%x_1+2x_2^2=1$%.

Методическая
разработка

Теорема
Виета для квадратного уравнения

Теоретические
сведения.

Теорема Виета (прямая):

Если квадратное уравнение (a≠0) 
имеет корни  и, то

   и    .

Доказательство:
 По формуле корней квадратного уравнения

Таким образом, первая формула теоремы
доказана.

Для доказательства второй формулы
воспользуемся тем, что D
= b²
— 4ac,
поэтому

что и требовалось
доказать.

Замечание. Корни приведенного квадратного
уравнения  удовлетворяют соотношениям:    и .

Действительно, не приведенное квадратное
уравнение  (a≠0)
можно связать с приведенным уравнением следующим образом:  или т.к. а≠0, то.Это
и есть приведенное квадратное уравнение, которое можно записать в виде, где  , , поэтому , если в теореме заменить  на р,

а    на  q,
то получим, что, .

Теорема Виета(обратная):

Если числа α и β таковы, что  α+β=р, а αβ=q,
то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения  .

Доказательство:
Докажем, действительно ли числа удовлетворяют этому уравнению. Подставим в
левую часть уравнения  р =  α + β и q
= αβ :

.

Таким образом, квадратное уравнение  принимает вид,
а корнями этого уравнения, очевидно, являются числа α и β, что и требовалось
доказать.

Замечание1. Обратная теорема Виета
используется для составления квадратного уравнения по его известным корням.

Замечание 2.  Если один из корней квадратного
уравнения с рациональными коэффициентами – иррациональный и имеет вид , то второй корень этого уравнения ( это следует из формулы корней
квадратного уравнения  и  ).

Решение типовых задач.

Пример 1.
Не находя корней квадратного уравнения ,
найти, чему равны выражения :

а) ;    
б);     в) ;   г) ;   д)

Решение:
Из уравнения по теореме Виета  находим

,

а) .

б) .

в) .

г)

д )

Пример 2.  Составить
приведенное квадратное уравнение, корни которых обратны корням уравнения .

Решение.
Пусть корни искомого уравнения  и. Тогда по условию задачи   и.  
Чтобы составить приведенное квадратное уравнение, нужно знать  и

.

Тогда по обратной теореме Виета искомое
уравнение имеет вид.

Пример
3.  Составить
приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней
которого равен .

Решение.
Учитывая замечание 2, получим второй корень данного уравнения . Тогда

Тогда по обратной теореме Виета искомое
уравнение имеет вид

Пример 4. Пусть и  —
корни квадратного уравнения . Составить квадратное
уравнение, корнями которого являются числа:

а) и ;   б) и;   в) и .

Решение. 
а) По условию , а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х²
+ рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное
теоремеВиета.

 Получим: р = -(Х₁ + Х₂)
и q = Х₁ · Х₂, где , а

Составим квадратное уравнение с
полученными коэффициентами:

 или

Ответ:

Б) а) По условию ,
а . Составим

второе уравнение по его корням в виде х²
+ рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное
теоремеВиета.

 Получим: р = -(Х₁ + Х₂)
и q = Х₁ · Х₂, где , а

Составим квадратное уравнение с
полученными коэффициентами:

Ответ:

Пример 5. Уравнение 2х² – 7х – 3 = 0 имеет корни х₁
и х₂.Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного
уравнения, корнями которого являются числа Х₁ = 1/х₁ и Х₂
= 1/х₂.

Решение. х_1
+ х₂ = 7/2 и х_{1 ·} х₂ = -3/2. Составим

второе уравнение по его корням в виде х²
+ рх + q = 0.

Для этого используем утверждение, обратное
теореме

 Виета.

 Получим: р = -(Х₁ + Х₂)
и q = Х₁ · Х₂.

 р = -(х_{1 +} х₂)/(х₁ ·
х₂) =  7/3 и q = 1/(х_{1 ·} х₂) = -2/3.

Искомое уравнение примет вид: х²
+ 7/3 · х – 2/3 = 0.

 Теперь легко посчитаем утроенную сумму
его

 коэффициентов:   3(1  + 7/3  –
2/3) = 8.

 Ответ: 8

Теорему Виета удобно применять при решении
систем уравнений

Пример 5. Решить систему
уравнений:

Решение:
Преобразуем выражение 

Получим систему:

Пусть х + у = u,
a xy=v
, получим:

Сложив уравнения получим  уравнение

u²
+ u -20
= 0, корни которого u=-5  и u=4

тогда v₁
= 12 , v₂
= 3. Возвращаясь к исходной

 переменной
получим две системы  уравнений:

                                    и

По теореме, обратной теореме Виета ,
составим

 квадратные
уравнения

                                      и

 Пары чисел, составленные из корней
второго квадратного уравнения, являются решениями данной системы.

Ответ: (1; 3), (3; 1)

Рассмотрим применение теоремы Виета для
решения задач с параметром.

Пример1 .При каком значении параметра
а  сумма квадратов  корней уравнения

                                  
        равна          ?

Решение. По
теореме Виета

По условию

При а=-11 получим 2х² — 11х + 22 + 1 = 0.
Это уравнение не имеет  корней, т.к. D<0/

При а=3 получим уравнение 2х² +3х – 6 + 1
= 0 или 2х² + 3х – 5 = 0, корни которого х₁=1,
х₂=-2,5

удовлетворяют  условию                    
.

Действительно, 1+6,25=7,25=

Ответ: при  а = 3

Пример 2. При каком значении
параметра k
произведение корней квадратного уравнения равно
нулю?

Решение.
Произведение корней приведенного  квадратного уравнения  равно свободному
члену, т.е. .Требуется выполнение условия.  Решив данное уравнение, получим корни ,

Ответ:
при k=3,
k=4.

Пример 2.
Найдите разность корней уравнения  и значение параметра k,
при котором корни уравненияотносятся как 2:3.

Решение.   По
условию х₁ : х₂
= 2:3, откуда х₂ = 1,5х₁.
Тогда

х₁
+ х₂ = 5/2  (1) , а

х₁х₂
= -а/2  (2)

 Из соотношения (1) получим х₁
+1,5 х₁ = 5/2

                                                        
х₁ = 1

                                                         
х₂ = 1,5

Откуда х₂
— х₁ = 0,5

Подставив полученные значения в (2),
получим  k =-3

Пример 3.
При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего
 корней уравнения 2х² – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их
произведению?

Это квадратное уравнение. Оно будет иметь
2 разных корня, если D > 0. Иными словами

(а + 1)² – 8(а – 1) > 0
или (а – 3)² > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за
исключением а = 3.

Для определенности будем считать, что х₁>х₂
и получим х₁ + х₂ = (а + 1)/2 и

 х₁ · х₂ = (а –
1)/2. Исходя из условия задачи х₁ – х₂ = (а – 1)/2.
Все три условия должны выполняться одновременно

Рассмотрим первое и последнее уравнения
как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.

Получаем х₁ = а/2, х₂ =
1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х₁ · х₂
= (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2.
Тогда,  а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.

Ответ: при а = 2.

Пример 4.
Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней

 уравнения х² – 2а(х – 1)
– 1 = 0 равна сумме квадратов его
корней.

Решение.
Прежде всего, приведем уравнение

 к каноническому виду: х² –
2ах + 2а – 1 = 0.Оно будет иметь корни, если

D/4 ≥ 0.

Следовательно: а² – (2а – 1) ≥
0. Или (а – 1)² ≥ 0.

 А это условие справедливо при любом а.

Применим теорему Виета: х₁ + х₂
= 2а, 

 х₁ · х₂ = 2а – 1

х₁² + х₂²
= (х₁ + х₂)² – 2х₁ · х₂

х₁² + х₂²
= (2а)² – 2 · (2а – 1) = 4а² – 4а + 2.

По условию задачи: х₁ + х₂
= х₁² + х₂².

 Получим: 2а = 4а² – 4а + 2.
Это квадратное

уравнение имеет 2 корня: а₁ = 1
и а₂ = 1/2.

Наименьший из них –1/2.

Ответ: 1/2.

Пример5.Найти все значения параметра
а,при которых квадратное уравнение(а+2)х² –ах-а=0 имеет два корня,
расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.

Решение.

При а+2=0, а=-2, тогда 2х+2=0, х=-1 –

единственное решение, следовательно данное
значение а не удовлетворяет условию задачи.

Пусть  а≠-2. Тогда , если х₁
и х₂ — корни уравнения, то х₁
=1-у, х₂= 1+у, где у –некоторое
действительное число.

По
теореме Виета  имеем:

                                 или

Решим первое уравнение системы:

2(а+2)=а, а=-4.

Найдем дискриминант
данного квадратного уравнения:

Данное значение а = -4 удовлетворяет

полученным значениям.

Ответ: а =
-4.