Кубическая парабола задается функцией y=x3
График кубической функции называется куби́ческой пара́болой. В литературе часто встречаются альтернативные определения кубической параболы как графика функции 
или 
Перечислим основные свойства функции
1.Область определения – любое действительное число:.
2.Область значений – любое действительное число:.
3.Функция является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием .
Производная кубической функции 
имеет вид 
. В случае, когда дискриминант 
полученного квадратного уравнения 
больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции 
. При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной 
определяет точку перегиба 
.
Как построить график кубических функций вида (y = a (x − h)3 + k). В этой статье мы покажем как построить график кубических функций путем построения точек. Общая формула кубической функции:
где (a, b, c) и (d) являются действительными числами и (a) не равно нулю.
Построим график кубических функций путем построения точек.
Пример 1. Постройте график (y = x^3 + 3) на промежутке (-3 ≤ x ≤ 3).
Решение.
- Выберем произвольные точки (x ) и посчитаем соответсвующие им значения (y):
- Построим точки из таблицы и плавно соединим их:
Пример 2. Постройте график (y = x^3-9x + 5) на промежутке (-4 ≤ x ≤ 4):
Решение. Строим график аналогично первому примеру:
1) когда (x = 1.6, ;y≈ –5.3)
2) когда (y = 12, ;x ≈ –0.8 ) или ( x ≈ –2.5)
Теперь выведем правила построения графиков кубических функций вида (y = a (x − h)^3 + k).
- Если (k > 0), то график сдвигается на (k) единиц вверх; если (k < 0), то график сдвигается на (k) единиц вниз.
- Если (h > 0),то график сдвигается на (h) единиц вправо; если (h < 0), то график смещается на (h) единиц влево.
- Если (a < 0), график переворачивается.
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Кубическая функция
Кубическая функция — это функция вида y=ax³, где a — число ( a≠0).
График кубической функции называется кубической параболой.
Для начала рассмотрим свойства и график кубической функции y=x³ (при a=1).
Свойства функция y=x³:
1) Область определения — множество действительных чисел:
2) Область значений — все действительные числа:
3) Функция имеет один нуль:
4) Точка O (0;0) делит кубическую параболу на две равные части, каждая из которых называется ветвью кубической параболы. Ветви кубической параболы симметричны относительно точки O — начала координат.
Отсюда следует, что противоположным значениям x соответствуют противоположные значения y: (- x)³= — x³ .
5) Функция возрастает на всей числовой прямой.
6) Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения при x∈(0;∞) (или y>0 при x>0);
функция принимает отрицательные значения при x∈(-∞;0) (или y
Эти точки отмечаем на координатной плоскости и строим кубическую параболу:
График функции y=ax³ при a≠1 ( a≠0) получают из графика функции y=x³ при помощи геометрических преобразований.
Функция y=x³ — один из частных случаев степенной функции
где α — любое действительное число.
В курсе алгебры из частных случаев степенной функции мы уже встречались с квадратичной функцией y=x² и функцией обратной пропорциональности
Построение графика кубической параболы.
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
График функции:Y= МЕТОДИЧЕСКОЕ И ПРАКТИЧЕСКОЕ пособие Учитель МБОУ СОШ №8 г. Каменск – Шахтинский Болдырева Н.Л.
Построим график зависимости Y= Вычислим координаты нескольких точек, удовлетворяющих условию, и заполним таблицу: x01-12-23-3 y01-18-827-27
Свойства кубической параболы: 1)Область определения x R 2)Множество значений y R 3)a>0,то функция y= возрастает при x R
4)При x=0.y=0-нули функции 5)График симметричен относительно начала координат. 6)График распределен в 1 и 3 координатных четвертях. 7)y>0 (функция принимает положительные значения) при x>0. Y
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Дистанционные курсы для педагогов
Самые массовые международные дистанционные
Школьные Инфоконкурсы 2022
33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
5 567 241 материал в базе
Материал подходит для УМК
«Алгебра», Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
§ 18. Четные и нечетные функции
Другие материалы
- 28.01.2018
- 2092
- 8
- 28.01.2018
- 318
- 0
- 28.01.2018
- 307
- 0
- 28.01.2018
- 447
- 3
- 28.01.2018
- 368
- 3
- 28.01.2018
- 1598
- 13
- 28.01.2018
- 3459
- 39
- 28.01.2018
- 800
- 16
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Добавить в избранное
- 28.01.2018 2370
- PPTX 1.7 мбайт
- 25 скачиваний
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Болдырева Наталья Леонидовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Автор материала
- На сайте: 5 лет и 4 месяца
- Подписчики: 1
- Всего просмотров: 18219
- Всего материалов: 21
Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов
Дистанционные курсы
для педагогов
663 курса от 690 рублей
Выбрать курс со скидкой
Выдаём документы
установленного образца!
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов
Время чтения: 1 минута
Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга
Время чтения: 1 минута
ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек
Время чтения: 2 минуты
Профессия педагога на третьем месте по популярности среди абитуриентов
Время чтения: 1 минута
Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения
Время чтения: 3 минуты
Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ
Время чтения: 0 минут
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Кубическая парабола
Вы будете перенаправлены на Автор24
Кубическая парабола – это парабола, задаваемая уравнением вида $y=ax^3$, где $a ≠ 0$. Также в литературе можно встретить и другие формулы для кубической параболы, все они эквивалентны.
Рисунок 1. График кубической параболы
Свойства функции кубической параболы
- График кубической параболы определён на всём пространстве действительных чисел.
- Функция, задаваемая графиком кубической параболы, является нечётной, то есть: $f(-x) =(-x)^3= — x^3 = f(x)$.
- Из этого следует, что обратная функция кубической параболы, заданная уравнением $y = -x^3$ будет располагаться II и IV четвертях графика, тогда как для $y = x^3$ график располагается в I и III четвертях.
- График кубической параболы центрально-симметричен относительно начала координат или точки перегиба, если он сдвинут относительно начала координат. То есть форма кривой справа до точки перегиба полностью идентична форме кривой слева. График кубической параболы хотя бы 1 раз пересекает ось абсцисс.
- График кубической параболы возрастает на всей области определения.
Анализ графика функции кубической параболы
- Найдя производную $f'(x)$ кубической функции первого порядка и приравняв полученное выражение к нулю, вы получите критические точки для кубической параболы, называемые также локальными минимумами и максимумами.
- Вторая производная $f»(x)$ параболы определяет точку перегиба функции.
- Области значения и определения кубической параболы — все действительные числа.
Найдите точку перегиба для кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$.
- Сначала найдём первую производную функции, она равна: $y’ = 6x^2 + 12x – 1$.
- Теперь найдём вторую производную, $y» = 12x + 12$. Чтобы найти значение по оси абсцисс точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: $12x + 12 = 0$, $x = -1$.
- Найдём значение по оси ординат, для этого в исходную функцию подставим значение найденного $x$: $y = -2 + 6 + 1 +2 = 7$. Точка перегиба кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$ находится по координатам $(-1; 7)$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 09 12 2021
http://infourok.ru/postroenie-grafika-kubicheskoy-paraboli-2516528.html
http://spravochnick.ru/matematika/parabola/kubicheskaya_parabola/
Дата публикации: 09 апреля 2017.
Алгебра – 7 класс. Функция $y= x^3$
Урок на тему: «График и свойства функции $y=x^3$. Примеры построения графиков»
Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.
Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 7 класса
Электронное учебное пособие для 7 класса «Алгебра за 10 минут»
Свойства функции $y=x^3$
Давайте опишем свойства данной функции:
1. x – независимая переменная, y – зависимая переменная.
2. Область определения: очевидно, что для любого значения аргумента (x) можно вычислить значение функции (y). Соответственно, область определения данной функции – вся числовая прямая.
3. Область значений: y может быть любым. Соответственно, область значений – также вся числовая прямая.
4. Если x= 0, то и y= 0.
График функции $y=x^3$
1. Составим таблицу значений:
2. Для положительных значений x график функции $y=x^3$ очень похож на параболу, ветви которой более «прижаты» к оси OY.
3. Поскольку для отрицательных значений x функция $y=x^3$ имеет противоположные значения, то график функции симметричен относительно начала координат.
Теперь отметим точки на координатной плоскости и построим график (см. рис. 1).
Эта кривая называется кубической параболой.
Примеры
I. На небольшом корабле полностью закончилась пресная вода. Необходимо привезти достаточное количество воды из города. Вода заказывается заранее и оплачивается за полный куб, даже если залить её чуть меньше. Сколько кубов надо заказать, что бы не переплачивать за лишний куб и полностью заполнить цистерну? Известно, что цистерна имеет одинаковые длину, ширину и высоту, которые равны 1,5 м. Решим эту задачу, не выполняя вычислений.
Решение:
1. Построим график функции $y=x^3$.
2. Найдем точку А, координата x, которой равна 1,5. Мы видим, что координата функции находится между значениями 3 и 4 (см. рис. 2). Значит надо заказать 4 куба.
II. Построить график функции $y=x^3+ 1$.
1. Составим таблицу значений:
2. Построим точки. Мы видим, что эти точки симметричны относительно точки с координатами (0,1). В итоге получаем кубическую параболу, смещенную вверх по оси OY (см. рис. 3).
Кубическая парабола
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Определение 1
Кубическая парабола – это парабола, задаваемая уравнением вида $y=ax^3$, где $a ≠ 0$. Также в литературе можно встретить и другие формулы для кубической параболы, все они эквивалентны.
Рисунок 1. График кубической параболы
Свойства функции кубической параболы
- График кубической параболы определён на всём пространстве действительных чисел.
- Функция, задаваемая графиком кубической параболы, является нечётной, то есть:
$f(-x) =(-x)^3= — x^3 = f(x)$. - Из этого следует, что обратная функция кубической параболы, заданная уравнением $y = -x^3$ будет располагаться II и IV четвертях графика, тогда как для $y = x^3$ график располагается в I и III четвертях.
- График кубической параболы центрально-симметричен относительно начала координат или точки перегиба, если он сдвинут относительно начала координат. То есть форма кривой справа до точки перегиба полностью идентична форме кривой слева. График кубической параболы хотя бы 1 раз пересекает ось абсцисс.
- График кубической параболы возрастает на всей области определения.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Анализ графика функции кубической параболы
- Найдя производную $f'(x)$ кубической функции первого порядка и приравняв полученное выражение к нулю, вы получите критические точки для кубической параболы, называемые также локальными минимумами и максимумами.
- Вторая производная $f»(x)$ параболы определяет точку перегиба функции.
- Области значения и определения кубической параболы — все действительные числа.
Пример 1
Найдите точку перегиба для кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$.
- Сначала найдём первую производную функции, она равна: $y’ = 6x^2 + 12x – 1$.
- Теперь найдём вторую производную, $y» = 12x + 12$. Чтобы найти значение по оси абсцисс точки перегиба, приравняем вторую производную к нулю и решим уравнение: $12x + 12 = 0$, $x = -1$.
- Найдём значение по оси ординат, для этого в исходную функцию подставим значение найденного $x$: $y = -2 + 6 + 1 +2 = 7$. Точка перегиба кубической параболы, заданной уравнением $y = 2x^3 + 6x^2 – x +2$ находится по координатам $(-1; 7)$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 09.12.2022