Как составить композиции функций

В математике составная функция — это операция, при которой две функции порождают новую функцию. В некоторых источниках то же самое явление называется композицией функции.

Возьмем такой простой пример:

Как видите в примере выше, функция

применяется к функции

. Другими словами, одна функция применяется к результату другой функции.

Давайте посмотрим на математическое определение составной функции:

На рисунке ниже показано графическое представление составных функций:

Порядок функции является важным моментом при работе с композицией функций, потому что выражения

и

не равны между собой.

Это можно очень хорошо понять на примере. Представим машину, которая сначала запекает торт, а затем украшает его глазурью. Будем рассматривать эти действия как функции:

Машина будет производить торт, используя

— сначала печь, затем украшать. Но если функции поменять местами

, то машина сначала украсит сырой торт, а сожжет его в печке вместе со всеми украшениями. Такая перестановка действий не сработает, поэтому нам нужны оба домена.

Теперь рассмотрим, как обозначаются составные функции и их области:

Обратите внимание, что будет, если мы обратим операцию над функцией. Например, если мы возьмем

от

от

, то в итоге получим

.

Композиция функций и функциональные уравнения

Школьный курс математики предполагает обучение учащихся различным методам решения задач на композицию функций, функциональные уравнения и неравенства. Однако, пожалуй впервые, в явном виде учащиеся общеобразовательных классов сталкиваются с понятием «композиция функций» в теме «Производная и ее применение» при выводе формулы производной сложной функции. Использование же этого понятия даже в достаточно простых задачах из других тем школьного курса вызывает у них большие трудности. Поэтому обращение авторов к данной теме является актуальным.
Наш опыт показывает, что и в ЕГЭ, и на олимпиадах разного уровня довольно часто встречаются задания на композицию функций, функциональные уравнения и неравенства, которые необходимо решать нетрадиционными способами, но в школьных учебниках не уделяется должного внимания методам их решения. Кроме того, при решении этих задач не подходит ни один стандартный (известный) алгоритм и учащимся приходится применять более широкий спектр теоретических знаний, проявлять сообразительность и умение рассуждать. Можно добавить, что они просто интересны, а решения некоторых из них необыкновенно красивы. Заметим, что такие задачи не выходят за рамки школьной программы, поскольку могут быть решены школьными методами. Поэтому изучение школьниками данной тематики улучшает закрепление пройденного материала, способствует развитию интереса к предмету, позволяет отработать различные способы решения задач при подготовке к ЕГЭ, олимпиадам разного уровня и вступительным испытаниям в вузы (в которых эти испытания сохранились).
Авторы настоящей статьи ставили перед собой цель познакомить заинтересованного читателя с основными подходами и методами решения задач, в которых фигурирует понятие сложной функции. Надеемся, что подобранный и систематизированный нами материал, а также максимально подробное его изложение будет полезно как учителям, так и школьникам.
Для начала напомним определение.
Пусть заданы две функции y = f(x) и x = g(t), причем область определения функции f содержит множество значений функции g. Тогда каждому числу t из области определения функции g соответствует значение x = g(t), принадлежащее области определения функции f, а ему, в свою очередь, соответствует число y = f(x).
Таким образом, каждому числу t из области определения функции g ставится в соответствие единственное число y из множества значений функции f, а это означает, что на области определения функции g задана функция, которую называют сложной функцией или композицией функций. При этом пишут y = f(g(x)).

Спонсор публикации статьи учебный центр «Стимул». Центр предлагает Вам пройти учебные семинары для парикмахеров, семинары по парикмахерскому делу, косметологии, ногтевому сервису, организации туристического бизнеса, компьютерные курсы и другие. Профессиональная программа, квалифицированные преподаватели, доступные цены. Узнать подробнее о курсах в Ульяновске, цены и контакты Вы сможете на сайте, который располагается по адресу: http://www.stimul-kursy.ru/.

Пример 1. (Открытый банк заданий ЕГЭ-2010.) Найти
если
при | x | ≠ 2.
Решение. Функция g(x) определена при x ∈ (–∞; +∞); g(2 – x) — композиция функций g(x) и f(x) = 2 – x, а g(2 + x) — композиция g(x) и h(x) = 2 + x. Тогда

Пример 2. Дана функция f(x) = –x2 + 4x – 3. Решить уравнение f(2x + 3) = 4f(x – 2).
Решение. Опуская некоторые очевидные рассуждения и выкладки, получим для всех действительных x:
f(2x + 3) = –(2x + 3)2 + 4(2x + 3) – 3 = –4x2 – 4x,
f(x – 2) = –(x – 2)2 + 4(x – 2) – 3 = –x2 + 8x – 15.
Тогда уравнение f(2x + 3) = 4f(x – 2) примет вид:

Ответ:

Пример 3. Дана функция
Решить неравенство
2f(x + 3) < f(3x + 5).
Решение.

Тогда неравенство 2f(x + 3) < f(3x + 5) примет вид:

Поскольку 3x2 + 13x + 16 > 0 для всех действительных x, то последнее неравенство выполняется при x ∈ (–4; –2).
Ответ: (–4; –2).

Пример 4. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найти значение f(f(1)), если

Решение. Найдем вначале f(1). Поскольку
1 ≥ –2, то f(1) = –1 – 5 = –6. Значит, f(f(1)) = f(–6). Так как –6 < –2, то f(–6) = 2∙(–6) + 1 = –11. Итак, f(f(1)) = –11.
Ответ: –11.

Пример 5. (МИЭТ, 2002, № 9 из 11.) Пусть

Так как f(4) = 1, то неравенство f(g(x – 9)) ≥ f(4) примет вид:

Пусть тогда t ≥ 0 и имеем систему:

Возвращаясь к переменной x, получим:

Ответ: [9; 18) (18; 25].

Пример 6. (Московская межвузовская олимпиада, 2009, № 5.) Пусть
Найти значение функции
в точке x = 4.
Решение. Установим вид функции
для первых трех натуральных значений n.
При 

При

Докажем, что при n = k + 1 функция
имеет вид:

Действительно,

В последнем соотношении выражение, заключенное в скобки, представляет собой сумму первых 2009 членов геометрической прогрессии со знаменателем
и первым членом, равным 2. Тогда

или

Пример 7. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Построить график функции y = 3| f(f(x)) | + 1, где 

Решение. Выполним (по определению композиции функций) формальные преобразования:

Найдем область определения функции f(f(x)):

Таким образом, функция y = 3∙| f(f(x)) | + 1 может быть представлена в виде:

График функции y = 3∙| f(f(x)) | + 1 изображен на рисунке 1.

Пример 8. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию
где f(x) = 1
– | x |.
Решение. Преобразуем уравнение, задающее на плоскости Oxy искомое множество точек:

Множество точек на плоскости Oxy, удовлетворяющих уравнению

очевидно, симметрично относительно координатных осей. Поэтому можно изобразить точки этого множества в первой координатной четверти, а затем окончательно достроить его, последовательно симметрично отразив относительно осей Ox и Oy. Итак, при x ≥ 0 и y ≥ 0 уравнение

примет вид

Тогда, раскрывая по определению модуль, получим:

Поскольку при 0 ≤ x < 1 значения
отрицательны, то в I координатной четверти нет точек, удовлетворяющих системе

Множество точек на координатной плоскости, удовлетворяющих системе

Окончательно, графическое изображение множества точек на плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию

показано на рисунке 3.

Пример 9. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Построить график функции y = f(f(x)), где

Решение. По определению композиции функций:

Формально возможны следующие четыре случая:

Найдем значения переменной x, при которых выполняется каждый из этих четырех случаев.
Первый случай выполняется, когда

Второй случай выполняется, когда

Третий случай выполняется, когда

Четвертый случай выполняется, когда

.

Таким образом,

График функции y = f(f(x)) изображен на рисунке 4.

Пример 10. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наименьшему значению многочлена g(t) = t2
– 6t + 8 на отрезке [x + 1; x + 2]. Постройте график функции f(x).
Решение. Приведем функцию g(t) к виду:
g(t) = (t – 3)2 – 1.
Графиком функции g(t) является парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке (3; –1). Значит, наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно –1, если 3 ∈ [x + 1; x + 2], то есть, записав систему неравенств

получим x ∈ [1; 2].
Если 3 [x + 1; x + 2], то наименьшее значение функции g(t) достигается на левом конце отрезка [x + 1; x + 2] (в случае 3 < x + 1) или на правом конце отрезка [x + 1; x + 2] (в случае
3 > x + 2).
Следовательно, если x > 2, то наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно
g(x + 1) = (x + 1 – 3)2 – 1 = (x – 2)2 – 1.
Если же x < 1, то наименьшее значение функции g(t) на отрезке [x + 1; x + 2] будет равно
g(x + 2) = (x + 2 – 3)2 – 1 = (x – 1)2 – 1.
Окончательно получим:

График функции f(x) изображен на рисунке 5.

Далее рассмотрим тип задач, в которых надо найти функцию, если задано некоторое уравнение, в котором в качестве неизвестной выступает сама функция. Такие уравнения называют функциональными уравнениями. В дальнейшем будем рассматривать функциональные уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одной переменной с помощью операции образования сложной функции. Отметим также, что функциональные уравнения можно рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций. Например, f(x) = f(–x) — уравнение четности, f(x + T) = f(x) —
уравнение периодичности и т.д.
Рассмотрим сначала задачи, в которых требуется найти значения функции, не заданной явно, но обладающей свойствами четности (нечетности), периодичности, или когда из данного функционального уравнения надо вывести (доказать) указанные свойства.

Пример 11. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом
T = 10. Найти значение f(2004), если f(–4) = 1,5.
Решение. Воспользуемся вначале условием периодичности функции f(x). Тогда
f(2004) = f(4 + 10∙200) = f(4).
Поскольку функция f(x) нечетная, то
f(–x) = –f(x),
следовательно,
f(4) = –f(–4) = –1,5.
Ответ: –1,5.

Пример 12. (МИЭТ, 2005, № 10 из 11.) Известно, что f(x) нечетная периодическая функция с периодом 4 и f(x) = x4 – 2x3 при x ∈ [0; 2]. Вычислить сумму f(1) + f(2) + … + f(150).
Решение. f(0) = 0, f(1) = 14 – 2∙13 = –1,
f(2) = 24 – 2∙23 = 0. Поскольку f(x) нечетная функция, то f(–x) = –f(x), следовательно,
f(–1) = –f(1) = 1.
Так как f(x) — периодическая с периодом 4, то
f(3) = f(3 – 4) = f(–1) = 1,
f(4) = f(4 – 4) = f(0) = 0,
f(5) = f(5 – 4) = f(1) = –1,
f(6) = f(6 – 4) = f(2) = 0,
. . . . . . . . . . .
f(147) = f(–1 + 4∙37) = f(–1) = 1,
f(148) = f(0 + 4∙37) = f(0) = 0,
f(149) = f(1 + 4∙37) = f(1) = –1,
f(150) = f(2 + 4∙37) = f(2) = 0.

Таким образом получаем, что искомая сумма равна

f(1) + f(2) + (f(3) + f(4) + f(5) + f(6)) + … +
+ (f(147) + f(148) + f(150)) =
= –1 + 0 + (1 + 0 – 1 + 0) + … + (1 + 0 – 1 + 0) = –1.
Ответ: –1.

Пример 13. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство f(x + 2) = –f(x) имеет место для всех действительных x. Доказать, что функция f(x) является периодической с периодом 4.
Решение. Пусть t = x + 2, тогда x = t – 2, и соотношение f(x + 2) = –f(x) примет вид
f(t) = –f(t – 2).
В последнем уравнении вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая буква. Поэтому, заменив t на x, получим: f(x) = –f(x – 2). Подставим последнее выражение для f(x) в исходное уравнение и выполним преобразования:
f(x + 2) = –(–f(x – 2)) ⇔ f(x + 2) = f(x – 2).
Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение f(x + 2) = f(x – 2) примет вид:
f(u + 4) = f(u) ⇔ (переобозначение: u ↔ x) ⇔  f(x + 4) = f(x).
Это означает, что функция f(x) является периодической с периодом 4.

Пример 14. (МИЭТ, 1999, № 9 из 11.) Функция f(x), определенная при всех значениях x и не равная 1 ни при каком значении x, удовлетворяет условию

Пусть u = x – 2, тогда x + 2 = u + 4, и соотношение

примет вид:

Пусть v = x + 4, тогда x = v – 4, и соотношение

Подставим последнее выражение для f(x) в уравнение
и выполним преобразования:

Пусть w = x – 4, тогда x + 4 = w + 8, и уравнение f(x + 4) = f(x – 4) примет вид:
f(w + = f(w) ⇔ (переобозначение: w ↔ x)
⇔ f(x + = f(x).
Таким образом, функция f(x) является периодической с периодом 8. Отсюда следует, что значение функции f(x) при x = 2000 будет равно значению f(x) при x = 8,
так как 2000 = 8∙249 + 8.
Найдем:

Следовательно, f(2000) = f(8) = 0,5.
Ответ: 0,5.

Пример 15. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству
f(x + 3) = x + 5 – f(x),
а при x ∈ [0; 3) задается формулой
f(x) = 1 + 6,5x – x².
Найти f(100).
Решение. В функциональном уравнении
f(x + 3) = x + 5 – f(x)
сделаем замену t = x + 3. Тогда x = t – 3, и соотношение
f(x + 3) = x + 5 – f(x)
примет вид:
f(t) = t + 2 – f(t – 3) ⇔ (переобозначение: t ↔ x)
⇔ f(x) = x + 2 – f(x – 3).
Подставим последнее выражение для f(x) в уравнение f(x + 3) = x + 5 – f(x) и выполним преобразования:
f(x + 3) = x + 5 – (x + 2 – f(x – 3))
⇔ f(x + 3) = 3 + f(x – 3).
Пусть w = x – 3, тогда x + 3 = w + 6, и уравнение f(x + 3) = 3 + f(x – 3) примет вид:
f(w + 6) = 3 + f(w) ⇔ (переобозначение w ↔ x)
⇔ f(x + 6) = 3 + f(x).
Значит, функция f(x) является «почти периодической» с периодом 6. Причем при любом x значение функции f в точке x + 6 увеличивается на 3 по сравнению с ее значением в точке x. Поскольку 100 = 6∙16 + 4, то f(100) = 3∙16 + f(4) ⇔ f(100) = 48 + f(4).
Осталось вычислить f(4). Для этого воспользуемся соотношением f(x + 3) = x + 5 – f(x).
При x = 1 получим:
f(4) = 1 + 5 – f(1) ⇔ f(4) = 6 – f(1).
Найдем теперь f(1). Поскольку 1 ∈ [0; 3), то функция f(x) при x = 1 задается формулой
f(x) = 1 + 6,5x – x².
Тогда
f(1) = 1 + 6,5∙1 – 1² = 6,5.
Таким образом,
f(100) = 48 + f(4) ⇔ f(100) = 48 + 6 – f(1) ⇔ f(100) = 54 – 6,5 ⇔ f(100) = 47,5.
Ответ: 47,5.

Функция f(x) называется решением данного функционального уравнения, если при подстановке ее в уравнение последнее превращается в тождество при всех значениях аргумента в области ее определения. Решить функциональное уравнение означает установить, имеет ли оно решения, и найти их, если таковые имеются.

Пример 16. (LXVIV Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2006, № 3.) Найти все такие функции f(x), что
f(2x + 1) = 4x2 + 14x + 7.
Решение. Пусть t = 2x + 1, тогда

В последнем соотношении для функции f(t) вместо переменной (буквы) t может выступать любая другая переменная (буква). Поэтому, заменив букву t на букву x, получим:
f(x) = x2 + 5x + 1.
Ответ: f(x) = x2 + 5x + 1.

Пример 17. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найти f(x), если для всех x ≠ 0 имеет место соотношение

Из первого уравнения системы выразим

Подставим
во второе уравнение системы. Получим:

По условию x ≠ 0. Поэтому, умножив обе части последнего уравнения на 2x и приведя подобные члены, получим соотношение:
f(x)∙(x – 1)2 = (x – 1)2.
Отсюда следует, что f(x) = 1 при x ≠ 1. При x = 1
из исходного уравнения

получаем f(1) = 1.
Проверкой убеждаемся, что функция f(x) = 1 при всех x ≠ 0 удовлетворяет условию задачи.
Замечание. В условии данной задачи не было указано, что функция f(x), удовлетворяющая функциональному уравнению

Пример 18. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению
f(x + 1) + f(2x) = (x + 1)2?
Решение. Функция f(x) является линейной тогда и только тогда, когда она может быть задана формулой f(x) = kx + b. Тогда
f(x + 1) = k(x + 1) + b,
f(2x) = k∙2x + b.
Следовательно, должны существовать такие единственные k и b, что для всех значений x будет выполняться равенство:
k(x + 1) + b + 2kx + b = (x + 1)2 ⇔
⇔ 3kx + (k + 2b) = x2 + 2x + 1.
Полученное равенство не может выполняться при любых значениях x (многочлен первой степени 3kx + (k + 2b) не при всех x может равняться многочлену второй степени x2 + 2x + 1). Это означает, что линейной функции, удовлетворяющей данным условиям, не существует.
Ответ: не существует.

Пример 19. (МГУ, экономический факультет, 1997, № 6.) Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ≤ x ≤ 2 ее значения вычисляются по правилу
f(x) = 1 – | x – 1 |.
Решить уравнение
2f(x)∙f(x – + 5f(x + 12) + 2 = 0.
Решение. Раскроем модуль в выражении для функции f(x) на отрезке [0; 2]:

Так как функция f(x) — нечетная, то

По условию, функция f(x) — периодическая с периодом 4. Значит, f(x – = f(x), f(x + 12) = f(x). Значит, исходное уравнение примет вид:

Найдем вначале решения последней совокупности на отрезке [–2; 2] (то есть на одном из полных периодов функции f(x)).
Если f(x) = –2, то:
при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 =
= –2, решением которого является x = 0, не удовлетворяющее условию x ∈ [–2; –1];
при x ∈ (–1; 1) получим x = –2, что не удовлетворяет условию x ∈ (–1; 1);
при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –2, решением которого является x = 4, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].
Если f(x) = –0,5, то:
при x ∈ [–2; –1] получим уравнение –x – 2 = –0,5, решением которого является
x = –1,5, –1,5 ∈ [–2; –1];
при x ∈ (–1; 1) получим x = –0,5, –0,5 ∈ (–1; 1);
при x ∈ [1; 2] получим уравнение –x + 2 = –0,5, решением которого является x = 2,5, не удовлетворяющее условию x ∈ [1; 2].
Поскольку функция f(x) является периодической с периодом 4, то окончательно получим две серии решений уравнения
2f(x)∙f(x – + 5f(x + 12) + 2 = 0:
x = –1,5 + 4k, k ∈ Z;
x = –0,5 + 4n, n ∈ Z.
Ответ: –1,5 + 4k, k ∈ Z; –0,5 + 4n, n ∈ Z.

Ответ: –1.
Пример 21. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство f(x + y) = f(x) + f(y). Известно, что f(10) = –π. Найти

Решение. По условию f(0 + 0) = f(0) + f(0), или f(0) = f(0) + f(0). Значит, f(0) = 0. Кроме того,
f(0) = f(x – x), или 0 = f(x + (–x)). Отсюда получим:
f(x + (–x)) = f(x) + f(–x) ⇔ 0 = f(x) + f(–x).
Следовательно, f(–x) = –f(x). Значит,

Далее,

Таким образом,
Отсюда искомое значение

Ответ:

Пример 22. (LXXI Московская математическая олимпиада, окружной тур, 11-й класс, 2008, № 4.) Непрерывная функция f(x) такова, что для всех действительных x выполняется неравенство
Верно ли, что функция f(x) обязательно имеет точки экстремума?
Решение. При x = 0 получим:

Аналогично, при x = 1:

Так как непрерывная функция принимает одинаковые значения на концах отрезка [0; 1], то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка максимума или точка минимума.
Замечание. Если
для всех x ∈ [0; 1], то любая точка этого отрезка является точкой экстремума.
Ответ: да, верно.

В заключение статьи рассмотрим задачу C5 одного из вариантов ЕГЭ по математике 2009 года.

Пример 23. Решить уравнение
87cos x2 + (8 – 6x)4 = x8 + 87cos (8 – 6x).
Решение. Приведем исходное уравнение к виду
x8 – 87cos x2 = (8 – 6x)4 – 87cos (8 – 6x).
Введем непрерывную четную функцию
f(t) = t4 – 87cos t.
Найдем ее производную:
f ‘(t) = 4t3 + 87sin t.
При t ∈ (0; π)
f ‘(t) = 4t3 + 87sin t > 0 + 0 = 0,
при t ∈ [π; +∞)
f ‘(t) = 4t3 + 87sin t > 4π3 – 87 > 4∙33 – 87 =  4∙27 – 87 > 0.
Таким образом, f'(t) > 0 при t ∈ (0; +∞), следовательно, f(t) возрастает на промежутке [0; +∞). Значит, каждое свое значение функция принимает в точности в двух симметричных относительно
t = 0 точках (если t = 0, то исходное уравнение не имеет решений, так как при x2 = 0 не выполняется 8 – 6x = 0), а стало быть, исходное уравнение равносильно совокупности:

Ответ:

В заключение читателю предлагается подборка заданий для самостоятельного решения с ответами. Авторы не сомневаются, что решение этих задач поможет учащимся при подготовке к различным творческим и аттестационным испытаниям.

Задачи для самостоятельного решения

1. (МИЭТ, 2004, № 8 из 11.) Функция f(x) нечетная и периодическая с периодом T = 40. Найдите значение f(2004), если f(–4) = –4,5.

2. (МИЭТ, 2004, № 9 из 11.) Найдите значение f(f(1)), если

4. (МИЭТ, 2002, № 10 из 11.) Постройте график функции y = 2∙| f(f(x)) | – 1, где

5. (МИЭТ, 1999, № 7 из 11.) Изобразите на плоскости Oxy множество точек, координаты которых удовлетворяют условию

где f(x) = x – 2.
6. (МИЭТ, 1998, № 10 из 11.) Постройте график функции y = f(f(x)), где

7. (МИЭТ, 2003, № 10 из 11.) Функция f(x) для каждого x равна наибольшему значению многочлена g(t) = –t2 – 8t – 15 на отрезке [x – 3; x + 1]. Постройте график функции f(x).

8. Найдите f(x), если:

9. (МИЭТ, 1994, № 6 из 11.) Известно, что равенство

имеет место для всех действительных x. Докажите, что функция f(x) является периодической с периодом 2.

11. (МИЭТ, 2005, № 10 из 11.) Известно, что f(x) нечетная периодическая функция с периодом 6 и f(x) = 3x – x2 при x ∈ [0; 3]. Вычислите сумму
f(1) + f(2) + … + f(100).

12. (МИЭТ, 1995, № 11 из 11.) Найдите f(x), если для всех x имеет место соотношение
xf(x) + f(2 – x) = 2(x + 1).

13. (МИЭТ, 2005, № 8 из 11.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет равенству
f(x + 4) = 2x – 1 – f(x),
а при x ∈ [0; 4) задается формулой f(x) = x2 – 3x.
Найдите f(135).

14. (МГУ, ВМК, устный экзамен, 1997.) Существует ли линейная функция f(x), удовлетворяющая для всех x соотношению
2f(x + 2) + f(4 – x) = 2x + 5?

15. (МГУ, химический факультет, 2001, № 7.) Функция f(x) для всех x удовлетворяет уравнению f(x + 1) = f(x) + 2x + 1. Найдите f(2001), если f(0) = 0.

16. (МГУ, биологический факультет, 2005, № 7.) Функция f(x) такова, что для всех рациональных чисел x и y выполнено равенство
f(x + y) = f(x)∙f(y). Известно, что f(4) = 16. Найдите f(–1,5).

17. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение
x⁶ – | 7 – 6x |3 = 26cos x2 – 26cos (7 – 6x).

18. (ЕГЭ-2009, задача С5.) Решите уравнение
x⁶ – | 4x + 3 |3 = 25cos x2 – 25cos (4x + 3).

Ответы: 1. 4,5.  2. 9.  3. [8,5; 13) c (13; +∞).  
4. 
 

5.   

6.   

7.  
8. а) f(x) = x2 – 5x + 6;
б) f(x) = x2 – 14;
в) f(x) = x2 – 2, x ≠ 0;
г) f(x) = 12 – x2;
д)  
е)  
10. 0,8.  11. 2.  12. f(x) = 2.
13. 133.  14. Существует (и единственная!)  
15. 2001².
Указание. Достаточно доказать, что функция f(x) удовлетворяет функциональному уравнению f(x + a) = f(x – a) + 4ax при любом натуральном a. Это можно сделать, например, с помощью метода математической индукции. Тогда, положив x = a, из уравнения
f(2a) = f(0) + 4a2 можно вычислить f(2000): f(2000) =
= 20002. Тогда получим f(2000 + 1) = f(2000) +
+ 2∙2000 + 1, или f(2001) = 20012. Замечание. Можно также доказать, что общее решение исходного функционального уравнения имеет вид f(x) = x2 + g(x), где g(x) — произвольная периодическая функция с периодом T = 1, определенная на всей числовой прямой.  16. 
Указание. Установите вначале, что f(0) = 1. Затем, показав, что f(x) ≠ 0, докажите равенство
Выведите для всех натуральных n соотношение f(nx) = nⁿ(x). Поскольку f(4) = f(8∙0,5) или 16 = f⁸(0,5), то
(Подумайте, почему f(x) > 0.) Тогда f(1,5) = f(3∙0,5). Замечание. Можно также доказать, что f(x) = 2^x для рациональных x.  
17.  

Бардушин В. , Белов А., Прокофьев А. , Фадеичева Т.

Определение 1. Пусть функцииfиg заданы на
множестве.Суммой функцийfиg называется
функция,
значение которой в точкеопределяется как сумма значений функцийfиg
в этой точке, то есть

.

Аналогично определяется разность

,

произведение

,

частное функций, если,

.

Определение 2. Пусть действительная
функцияf задана
на множествеХ, а действительная
функцияg – на
множестве.
Тогда существует композиция отображений,
которая является действительной
функцией, заданной на множествеХ и
называемой композицией действительных
функцийfиg
илисложной функцией.

Заметим, что сложную функцию
можно записать в виде цепочки функций.
Переменнуюу в этом случае обычно
называютпромежуточной переменной.
Заметим также, что термин «сложная
функция» характеризует не сложность
функции, а способ ее задания. Например,
функцияили— сложная функция, а тождественная ей
функцияуже не является сложной.

Пример 1. Если,
то,.

Может получиться так, что множество
не является подмножеством множестваY. В этом случае сложная
функция определена лишь для техх,
для которых.

Пример 2. Пусть.
Тогда.
Здесьзадана на множествезадана наи.
Сложная функциярассматривается
длях таких, что,
то есть.

Пример 3. Функцииине определяют функции,
так какопределена для,
адля всех.

Пример 4. (Решить самостоятельно).
Пустьи.
Найти следующие функции и указать их
области определения:.

§ 10. Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции

Определение 1. Функция,
заданная на множествеХ, называетсяограниченной сверху на этом
множестве, если существует числоМ,
такое, что.
Функция,
заданная на множествеХ, называетсяограниченной снизу на этом
множестве, если существует числоМ,
такое, что.
Функция,
заданная на множествеХ, называетсяограниченной на этом множестве,
если существуют числаи,
такие, что.

Иными словами, функция
ограничена
на множествеХ, если на этом множестве
она ограничена и сверху, и снизу.

Например, функция
ограничена сверху на множествеR,
так как,
функцияограничена снизу наR,
так как,
функцияограничена наR, так
как.
Ограниченными являются также функциии,
так как.

Свойства ограниченных функций:

1) если функции fиgограничены на множествеХ, то и
функцииитоже ограничены на множествеХ;

2) если функция
ограничена сверху, то функцияограничена снизу;

3) если функция
положительна
на множествеХи ограничена на нем
снизу положительным числом, то функцияограничена наХ.

Доказательство. 1) В силу ограниченности
функцийfиgна множествеХ найдутся числаи,и,
такие, чтои.
А тогдаи— ограниченные наХ функции. Чтобы
доказать ограниченность функции,
положим.
Тогда имеют место неравенстваи,
из которых следует, что,
а это и означает ограниченность функции.

2) В силу ограниченности функции f
сверху найдется числоМ, такое,
что.
Тогда,
что и означает ограниченность функцииснизу.

3) По условию
,
поэтомуограниченность функции.

Например, функция
ограничена на множествеR
действительных чисел, так как.

Чтобы дать определение неограниченной
сверху или снизу функции, нужно
сформулировать отрицание соответствующей
части определения 1.

Определение 2. Функцияназываетсянеограниченной сверху
на множествеХ, если не существует
числаМ, такого, чтодля любого,
то есть для любого числаМнайдется
число,
такое, что.

Функция
называетсянеограниченной снизу на
множествеХ, если для любого числаМнайдется число,
такое, что.

Докажем, например, что функция
неограниченна на множествесверху. Возьмем произвольное числои покажем, что,
такое, что.

Для этого, очевидно, достаточно взять
,
например,.

Если функция
ограничена на множествеХ, то
множествоограничено, поэтому имеет точную верхнюю
и точную нижнюю границы. Их обозначаютисоответственно и называют точной
верхней границей и точной нижней границей
функциина множествеХ.

Определение 3. а) Функцияназываетсявозрастающей на
множествеХ, если большему значению
аргумента соответствует большее значение
функции, т.е.,
таких, что,
имеем.

б) Функция
называетсяубывающей на множествеХ, если.

в) Функция
называетсянеубывающей на
множествеХ, если.

г) Функция
называетсяневозрастающей на
множествеХ, если.

Возрастающие, убывающие, неубывающие,
невозрастающие функции называются
монотонными, возрастающие и
убывающие –строго монотонными
функциями.

При исследовании функций на монотонность
полезны следующие утверждения.

Теорема.а) Если функцииf
иg возрастают
(убывают) на множествеХ, то и функцияf+g
возрастает (убывает) наХ.

б) Если
на множествеХ, тонаХ.

в) Если функции fиg неотрицательны
на множествеХи возрастают (убывают)
на этом множестве, то их произведениенаХ.

г) Если функция fположительна на множествеХи
возрастает (убывает), тонаХ.

д) Если функция
на множествеХ, а функцияна множестве,
то функцияна множествеХ.

Доказательство. Докажем, например,
а) и д).

а) Пусть функции f иg возрастают
на множествеХ и,
причем.
Тогдаи поскольку неравенства одинакового
смысла можно складывать, то,
т.е. функцияf+g
возрастает.

д) Пусть функция
убывает на множествеХ, а функцияубывает на множестве,,
причем.
Тогдаи, так как,
т.е. функциявозрастает на множествеХ.

Остальные утверждения теоремы доказать
самостоятельно.

Теорема доказана.

Отметим, что прибавление постоянной
величины к функции и умножение функции
на положительную постоянную величину
не меняет характера монотонности.

Пример. Докажем, что функцииивозрастают на промежутке.

Доказательство. Функциявозрастает
на промежутке.
Тогда по свойству в)ина,и,
поэтому по свойству а) возрастает и
функция.

Для функции
доказательство проведем методом от
противного. Пусть.
Предположим противное, т.е. что.
Тогда, в силу возрастания функции,,
т.е.,
что противоречит неравенству.
Из полученного противоречия следует,
что,
т.е. функциявозрастает на промежутке.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Функции и их свойства. Обратная функция. Композиция функций.

Соответствие f, которое каждому элементу х из множества Х сопоставляет один и только один элемент у из множества Y, называется функцией.

Множество Х называется областью определения функции f. Обозначение: D(f).

Множество всех элементов у из множества Y называется множеством значений функции f. Обозначение: E(f).

Способы задания функции: аналитический, графический, табличный.

Свойства функции:

1) Если f(x)=f(-x), то функция четная. Если f(x)=-f(x), то функция нечетная.

2) Если f(x₁)<f(x₂), то функция возрастающая. Если f(x₁)>f(x₂), то функция убывающая.

3) Функцию называют ограниченной, если существует такое положительное М, что для любых х выполняется |f(x)|≤M.

4) Функция называется периодической, если существует такое положительное Т, что f(x+T)=f(x).

Пусть задана функция y=f(x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому значению у из множества Е соответствует единственное значение х из множества D, то определена функция x=φ(y) с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция x=φ(y) называется обратной к функции f(x).

x=φ(y)=f^-1(y).

Пример: y=2x, x=½y

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Пусть функция y=f(u)  определена на  D, а функция u=φ(x) на D₁, причем для любого х из D₁ соответствующее u=φ(x) принадлежит D. Тогда на множестве D₁ определена функция u=f(φ(x)), которая называется сложной функцией от х (суперпозицией, композицией или функцией от функции).

Пример: y=sin2x – композиция двух функций y=sinu и u=2x.

При подготовке к экзамену ориентируйтесь на лекции преподавателя.

С уважением, Васильева Анна.

Конспект урока по теме: «Композиция функций»

Тип: урок ознакомления с новым материалом;

Тема: «Композиция функций».

Цели: формирование знаний о композиции функций; развитие умений распознавать сложную функцию, представлять сложные функции в виде композиций элементарных функций, составлять сложную функцию из набора элементарных; воспитание добросовестного отношения к учебе, самостоятельности при работе с учебной литературой.

Оборудование: опорный конспект по теме: «Композиция функций», набор матрешек, плакат с изображением схемы композиции функций, мел, доска.

Структура урока:

1. Постановка темы и целей урока (3 мин.);

2. Подготовка к изучению нового материала (5 мин.);

3. Ознакомление с новым материалом (20 мин);

4. Первичное осмысление и применение изученного материала (10 мин);

5. Подведение итогов урока (4 мин.);

6. Постановка домашнего задания (3 мин.);

7. Резерв.

Ход урока

Записывать тему урока

2. Подготовка к изучению нового материала

Задание: Найдите значение функции при

Просит обучающихся вспомнить какие функции относятся к элементарным.

Предлагает устно выполнить задание.

Поясняет, что выполнение этих заданий поможет для осознанного усвоения нового материала.

Обучающиеся говорят, что к элементарным относятся: линейная , квадратичная , обратная пропорциональность (), степенная , все тригонометрические и обратные им.

Выполняют задание:

Ципрун К.:

Зубарева И.:

3. Ознакомление с новым материалом

Определение: Пусть функция определена на множестве и – область ее значений. Пусть далее, функция определена на множестве . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

Обозначается:

=

Предлагает рассмотреть расположение двух матрешек, вложенных одна в другую. Таким образом, одна матрешки – имеет простую структуру, две матрешки, когда, одна находится внутри другой, имеет более сложную структуру и т. д. Чем больше матрешек внутри, тем сложнее получается и структура. То же самое можно сказать и о функции.

Давайте рассмотрим следующую функцию:

Мы, вспомнили основные элементарные функции и их свойства, какие из них мы можем увидеть в составе данной формулы? (вопрос для Никифорова В.)

Учитель соглашается с ответом Никифорова и говорит, что одна функция как бы «вложена» в другую: в , в , т.е. образовалась композиция.

Предлагает записать определение композиции функций.

То есть, осмыслив определение, сделать вывод, что мы повсеместно встречаемся с композицией функций (сложной функцией). Но, можно составлять композицию не только из двух функций, но и более.

Предлагает рассмотреть 2 функции:

Просит Рожкову Н. назвать отличия и сходства данных функций.

Просит Матушкина А. ответить на вопрос: Как найти значение этой функции в фиксированной точке х? (фиксирует на доске)

Делает вывод: Иными словами, сначала нужно найти значение функции g(х)=х-2, а потом найти значение функции f= , которая сама по себе является функцией. В подобных случаях говорят, что задана сложная функция f (g(х)).

В нашем примере (записывает на доске) f(u)= где и= g(х)=х-

-2. Переменную и называют внутренней переменной или промежуточной (соответственно, внутренней или промежуточной функцией), а f(и) называют внешней функцией. Таким образом:

Слушают объяснения учителя, внимательно смотрят на модели

Никифоров В.: в состав данной функции входят следующие элементарные функции:

Строит диаграмму для предложенной задачи:

Записывают определение в тетради, осмысливают его.

Рожкова Н.: сходство состоит в том, что эти функции обе степенные, а различие состоит в том, что подкоренные выражения различны.

Матушкин А.: для нахождения значения данной функции в фиксированной точке х нужно: 1) вычислить значение выражения в этой точке; 2) найти значение корня из полученного числа.

Записывают в тетради то, что учитель пишет на доске.

Изображают схему в тетради

4. Первичное осмысление и применение изученного материала

Задание 1: Даны функции:

Составьте следующие композиции:

Ответы:

Задание 2:

Даны функции: Соотнесите формулу функции с композицией функций, ответ объясните:

Формула функции:

1)

2)

3)

Композиция:

а)

б)

в)

г)

Кодопозитив:

1) – г;

2) – а;

3) – б.

Задание 3:

Пусть Найдите выражение для:

Ответ:

Предлагает ученикам выполнить задание на составление композиции функции. Предлагает, для лучшего запоминания, обозначать для себя, что будет являться внешней функцией, внутренней переменной, основной переменной.

Просит выполнить у доски задания Акишину П., Фильцину П., Рубанюка П..

Давайте сравним 1 и 2 пример, заметим, что в общем случае

Управляет работой обучающихся, просит не торопиться и быть внимательными, следит за дисциплиной в классе.

Отмечает, какие ошибки были сделаны и почему. Анализирует, еще раз обращает внимание на ключевые моменты.

Предлагает Ушакову Д. выполнить задание у доски, предварительно, просит указывать внешнюю функцию, внутреннюю переменную.

Следит за выполнением задания. Ходит по классу, дает необходимые пояснения отстающим.

Слушают пояснения учителя

Акишина П. выходит к доске и выполняет задание:

отсюда, внешняя функция, внутренняя функция, получаем:

Фильцина П. выходит к доске и выполняет задание:

отсюда, внешняя функция, внутренняя функция, получаем:

Рубанюк П. выходит к доске и выполняет задание:

это композиция трех функций, замечаем, что внешняя функция, внутренняя функция, мы уже знаем, получаем:

=

Выполняют задания на местах, сверяют ответы, с доской, дают устные пояснения, почему был выбран тот или иной вариант.

Ушаков Д. решает пример, делая все необходимые пояснения:

отсюда, внешняя функция, промежуточная переменная, т.е., необходимо вместо подставить , получаем:

5. Подведение итогов урока

Фронтальным опросом вместе с обучающимися подводит итоги урока:

1) Мамай Я., чем мы занимались сегодня на уроке?

2) Теплова В., как по-другому можно назвать композицию функций?

3) Ципрун К., как ты понял, что такое композиция функций?

4) Хачатрян В., как обозначается композиция функций?

5) Зубарева И., приведи пример композиции двух функций.

С учетом работы во время урока комментируются и оцениваются ответы учащихся Никифорова В., Рожковой Н., Матушкина А., Акишиной П., Фильциной П., Рубанюка П., Ушакова Д..

1) Мамай Я.: сегодня на уроке мы рассматривали тему: «Композиция функций»

2) Теплова В.: композицию функций еще называют сложной функцией.

3) Ципрун К.: под композицией функций он понимает функцию от функции, т.е. функция выступает в качестве переменной.

4) Хачатрян В.: композиция функций обозначается или , где внешняя функция, а внутренняя (промежуточная переменная)

5) Зубарева И. приводит пример:

6. Постановка домашнего задания

Задания:

1) Пусть . Найдите выражение для:

а) ;

б)

в)

2) Функция задана на отрезке Найдите область задания функции:

Дает пояснение по выполнению домашнего задания, просит обучающихся внимательно просмотреть записи в тетради.

Записывают домашнее задание, слушают пояснения учителя.

Решение домашнего задания:

1. а) внутренняя функция, внешняя функция.

Т. о. .

б) внешняя функция, внутренняя функция.

Т. о.

в)

2. Пусть тогда

Т.о.

Ответ:

7. Резерв

Задание:

Пусть Найдите выражение для:

На случай досрочного выполнения всем классом или отдельными учениками заданий и обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся планируется использовать дополнительные задания.