Как составить каноническое уравнение прямой заданной общим уравнением

3.1. Канонические
уравнения прямой.

Пусть в системе
координат Oxyz
дана прямая, которая проходит через
точку

(см. рис.18).Обозначим через
вектор, параллельный данной прямой.
Векторназываетсянаправляющим
вектором прямой.
Возьмем на прямой точку и рассмотрим вектор
Векторыколлинеарны, следовательно, их
соответствующие координаты пропорциональны:

(3.3.1)

Эти уравнения
называются каноническими
уравнениями прямой.

Пример: Написать
уравнения прямой, проходящей через
точку M(1,
2, –1) параллельно вектору

Решение:
Вектор
является направляющим вектором искомой
прямой. Применяя формулы (3.1.1), получим:

Это канонические
уравнения прямой.

Замечание:
Обращение в нуль одного из знаменателей
означает обращение в нуль соответствующего
числителя, то есть y
– 2 = 0; y
= 2. Данная прямая лежит в плоскости y
= 2, параллельной плоскости Oxz.

3.2.
Параметрические
уравнения прямой.

Пусть прямая
задана каноническими уравнениями

Обозначим тогдаВеличина t
называется параметром и может принимать
любые значения:
.

Выразим x,
y
и z
через t
:

(3.2.1)

Полученные уравнения
называются параметрическими
уравнениями прямой.

Пример 1:
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(1, 2, –1) параллельно вектору

Решение:
Канонические уравнения этой прямой
получены в примере пункта 3.1:

Для нахождения
параметрических уравнений прямой
применим вывод формул (3.2.1):

Итак,
— параметрические уравнения данной
прямой.

Ответ:

Пример 2.
Составить
параметрические уравнения прямой,
проходящей через точку M
(–1, 0, 1) параллельно вектору
гдеA
(2, 1, –1), B
(–1, 3, 2).

Решение:
Вектор является направляющим
вектором искомой прямой.

Найдем вектор .

= (–3; 2; 3). По формулам
(3.2.1) запишем уравнения прямой:

— это искомые
параметрические уравнения прямой.

3.3. Уравнения
прямой, проходящей через две заданные
точки.

Через две заданные
точки в пространстве проходит единственная
прямая (см. рис.20). Пусть даны точки
Векторможно принять за направляющий вектор
данной прямой. Тогда уравнения прямой
находим
по формулам (3.1.1):).

(3.3.1)

Пример 1.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точки

Решение:

Применяем
формулу (3.3.1)

Получили канонические
уравнения прямой. Для получения
параметрических уравнений применим
вывод формул (3.2.1). Получим

— это параметрические
уравнения прямой.

Пример 2.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой, проходящей через
точки

Решение:

По формулам
(3.3.1) получим:

Это канонические
уравнения.

Переходим к
параметрическим уравнениям:

— параметрические
уравнения.

Полученная прямая
параллельна оси oz
(см. рис.21).

3.4. Прямая как
линия пересечения двух плоскостей.

Пусть в
пространстве даны две плоскости

и

Если эти плоскости
не совпадают и не параллельны, то они
пересекаются по прямой:

Эта система двух
линейных уравнений задает прямую как
линию пересечения двух плоскостей. От
уравнений (3.4.1) можно перейти к каноническим
уравнениям (3.1.1) или параметрическим
уравнениям (3.2.1). Для этого необходимо
найти точку
лежащую на прямой, и направляющий векторКоординаты точкиполучим из системы (3.4.1), придав одной
из координат произвольное значение
(например,z
= 0). За направляющий вектор
можно взять векторное произведение
векторовто есть

Пример 1.
Составить
канонические уравнения прямой

Решение: Пусть
z
= 0. Решим систему

Сложив эти уравнения,
получим: 3x
+ 6 = 0
x
= –2. Подставим найденное значение x
= –2 в первое уравнение системы и получим:
–2 + y
+ 1 = 0
y
= 1.

Итак, точка
лежит на искомой прямой.

Для нахождения
направляющего вектора прямой запишем
нормальные векторы плоскостей:
и найдем их векторное произведение:

Уравнения прямой
находим по формулам (3.1.1):

Ответ: .

Другой способ:
Канонические и параметрические
уравнения прямой (3.4.1) легко получить,
найдя две различные точки на прямой из
системы (3.4.1), а затем применив формулы
(3.3.1) и вывод формул (3.2.1).

Пример 2.
Составить канонические и параметрические
уравнения прямой

Решение:
Пусть y
= 0. Тогда система примет вид:

Сложив уравнения,
получим: 2x
+ 4 = 0; x
= –2. Подставим x
= –2 во второе уравнение системы и
получим: –2 –z
+1 = 0
z
= –1. Итак, нашли точку

Для нахождения
второй точки положим x
= 0. Будем иметь:

То есть

Далее применяем
формулы (3.3.1):

Получили канонические
уравнения прямой.

Составим
параметрические уравнения прямой:

Ответ:

; .

3.5. Взаимное
расположение двух прямых в пространстве.

Пусть прямые
заданы уравнениями:

:

;: .

Под углом между
этими прямыми понимают угол между их
направляющими векторами
(см. рис.22). Этот уголнаходим по формуле из векторной алгебры:

или

(3.5.1)

Если прямые перпендикулярны
(),то
Следовательно,

(3.5.2)

Это условие
перпендикулярности двух прямых в
пространстве.

Если прямые
параллельны (),то их направляющие
векторы коллинеарны (),
то есть

(3.5.3)

Это условие
параллельности двух прямых в пространстве.

Пример 1. Найти
угол между прямыми:

а).
и

б). и

Решение:
а). Запишем направляющий вектор прямой
Найдем направляющий векторвторой прямой. Для этого находим
нормальные векторыплоскостей, входящих в систему

Затем найдем их векторное произведение:

(см. пример 1
пункта 3.4).

По формуле (3.5.1)
получим:

Следовательно,

б). Запишем
направляющие векторы данных прямых:
Векторыколлинеарны, так как их соответствующие
координаты пропорциональны:

Значит прямые
параллельны (),
то есть

Ответ: а).
б).

Пример 2. Доказать
перпендикулярность прямых:

и

Решение:
Запишем направляющий вектор первой
прямой

Найдем направляющий
вектор
второй прямой. Для этого находим
нормальные векторыплоскостей, входящих в систему:

Вычислим их векторное произведение:

(См. пример 1пункта 3.4).

Применим условие
перпендикулярности прямых (3.5.2):

Условие выполнено;
следовательно, прямые перпендикулярны
().

Соседние файлы в предмете Математика

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

  03.03.20154.96 Кб8Содержание OneNote.onetoc2

• #

Понятие канонического уравнения прямой

Чтобы разобраться, что такое каноническое уравнение, нужно рассмотреть следующий пример. Дана прямоугольная система координат, в которой задана некая произвольная прямая. Известны координаты произвольной точки на отрезке [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и координаты направляющего вектора [bar{a}=left(a_{x^{prime}} a_{y}right)]. Используя все имеющиеся данные составим и запишем уравнение, которое будет описывать данную заданную прямую.

Рассмотрим точку [mathrm{M}(x, y)]. Вектор [overline{M_{1} M}] можно отнести к направляющим  исходной линии в координатной плоскости. Координатами вектора будут точки [left(x-x_{1}, y-y_{1}right)]. Чтобы правильно определить векторные координаты, необходимо вспомнить основное правило решения векторов.

Произвольные точки [M(x, y)] будут являться основой для необходимой прямой с направляющим вектором [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)], только тогда, когда вектора [overline{M_{1} M}] и [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)] будут являться коллинеарными по отношению друг к другу.

Исходя из этого можно составить формулу коллинеарности двух векторов.

 Где:

После преобразования данного равенства в координатную форму, можно получить следующее уравнение:

[begin{aligned}
&x-x_{1}=lambda cdot a_{x} \
&y-y_{1}=lambda cdot a_{y}
end{aligned}]

Однако, обязательно выполнение главных условий: [a_{x} neq 0] и [a_{y} neq 0].

При выполнении вышеперечисленных условий, получаем следующие равенства:

[begin{aligned}
&x-x_{1}=lambda cdot a_{x} Rightarrow lambda=frac{x-x_{1}}{a_{x}} \
&y-y_{1}=lambda cdot a_{y} Rightarrow lambda=frac{x-x_{1}}{a_{x}} \
&Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}
end{aligned}]

Все выполненные преобразования привели к тому, что мы получили окончательную формулу канонического уравнения на плоскости [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}].

Иначе такое равенство, еще называют уравнением прямой канонического вида.

Используя данную запись [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}], можно в прямоугольной системе координат задать прямую, которой будет характерен направляющий вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)]. Также данная линия будет проходить через заданную точку [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)].

Например: задано уравнение [frac{x-2}{sqrt{3}}=frac{y-3}{1}]. Задается линия, которая будет проходить через точки [M_{1}(2,3)]. Ее направляющий вектор имеет координатные точки: [bar{a}=(sqrt{3}, 1)].

Когда любая прямая в системе координат проходит через две любые точки [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и [M_{2}left(x_{2}, y_{2}right)] и имеет направляющий вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)], множество всех векторов можно записать как [mu cdot overline{mathrm{a}}=left(mu cdot mathrm{a}{x^{prime}} mu cdot a{y}right), mu in R, mu neq 0].

Таким образом, каждое уравнение прямой канонического вида [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}], будет соответствовать заданной прямой на плоскости.

Каноническое уравнение на плоскости с точками a_x и a_y равными нулевому значению

При условии, что одно из значений переменной является нулю, будет использоваться первоначальный вид уравнения. Две переменные нулевыми быть не могут, так как это невозможно по определению. Направляющий вектор не может быть нулевым.    

В такой ситуации выражение [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] считается условным, и его нужно понимать как равенство [a_{y}left(x-x_{1}right)=a_{x}left(y-y_{1}right)].

Если [frac{x-x_{1}}{0}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] при [a_{x}=0], а заданная прямая проходит через точки [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)]. В данном случае она является параллельной относительно оси ординат.  Если [x_{1}=0], то прямая будет совпадать с осью координат.

Утверждение необходимо доказать. Для заданной прямой вектор [bar{a}=left(a_{x}, a_{y}right)] является направляющим. Также данный вектор будет являться коллинеарным по отношению к координатному вектору [bar{j}=(0.1)].

Если второй параметр является нулевым значением, то [a_{y}=0] и мы получим равенство [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{0}]. Данное уравнение характеризует прямую, которая проходит через точку [M_{1}left(x_{1}, y_{1}right)] и располагается параллельно оси абсцисс. Это утверждение будет правдивым, так как [bar{a}=left(a_{x^{prime}} 0right)], и является для прямой направляющим вектором. А вектор, в свою очередь, коллинеарен по отношению к вектору координат [bar{j}=(0.1)].

Преобразование канонического уравнения прямой в уравнение другого вида

Стандартную форму канонического уравнения [frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}] можно поставить в систему параметрических уравнений для плоскости.

Для преобразования одного вида уравнения в другой необходимо одну часть уравнения приравнять к другой.

[begin{aligned}
&frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}} Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{x}}=frac{y-y_{1}}{a_{y}}=lambda Leftrightarrow frac{x-x_{1}}{a_{y}}=lambda Rightarrow \
&frac{y-y_{1}}{a_{y}}=lambda Leftrightarrow x=x_{1}+a_{x} cdot lambda Rightarrow y=y_{1}+a_{y} cdot lambda
end{aligned}]

Принцип решения задач на составление канонических уравнений

Первым делом канонические уравнения применяется для тех задач, где необходимо вычислить принадлежность точки к заданному отрезку на плоскости.

Рассмотрим несколько вариантов задач, и подробно опишем их решение.

(схема 27)

         Пусть задан
вектор , параллельный заданной прямой l (без учета направления) и точка M₀, лежащая на данной прямой. Таким образом, прямая l
однозначно определяется в пространстве точкой  M₀(x₀;y₀;z₀) и вектором , называемым для l направляющим.
Обозначим
  и определим его
с точностью до коллинеарности (рис. 2.21).

      Пусть точка M(x;y;z) – текущая точка прямой l,
тогда   текущий вектор прямой имеет координаты . Значит, векторы  и  коллинеарны. По
следствию из теоремы 2.5 данное  условие
можно записать в виде:

    –                                                 (2.43)

канонические уравнения прямой в
пространстве. Равенство нулю одного из знаменателей означает обращение
в нуль соответствующего числителя.

Пусть прямая l проходит через две точки,
одна из которых  – уже введенная в
рассмотрение точка M₀(x₀;y₀;z₀). Другую точку обозначим  M₁(x₁;y₁;z₁). Тогда в качестве направляющего вектора  прямой  можно взять вектор . При этом уравнения (2.43) принимают вид:  

   –                                                                                                                                                    (2.44) 

уравнения прямой в пространстве, проходящей
через две заданные точки.

Все
соотношения (2.43) равны между собой, следовательно, может быть введен
коэффициент пропорциональности t,
называемый параметром прямой:

    – параметрические уравнения прямой.                                                  (2.45) 

Можно записать
частный случай уравнений (2.45) для плоскости: . Они представляют собой параметрические уравнения
прямой линии на плоскости. Проводя аналогичные рассуждения, в качестве
направляющего вектора прямой на плоскости можно взять вектор , параллельный прямой (без учета направления), а точку
M₀(x₀;y₀) – в качестве произвольной точки
прямой. Заметим, что канонические уравнения (2.4) прямой на плоскости
представляют собой частный случай уравнений (2.44).

         Чтобы задать прямую l в пространстве в общем виде
надо рассмотреть её как линию пересечения  двух
плоскостей, которые обозначим через α
и β, и зададим уравнениями соответственно:        . Это
означает, что прямая задается системой, состоящей из уравнений плоскостей α и β:

                                                                                                                                                             (2.46)

–
общее уравнение прямой в пространстве.
Здесь  (в противном случае плоскости параллельны
или совпадают).             

Поставим
задачу – привести общее уравнение (2.46) прямой к  ее каноническим уравнениям (2.43). Решение
состоит из трех этапов.

1.   Отыскание точки  M₀(x₀;y₀;z₀), лежащей на данной прямой.

Координаты
точки  M₀ должны удовлетворять системе (2.46), так как
точка  принадлежит обеим плоскостям  α и β.

Ранг
системы (2.46) равен 2, сама система является совместной неопределенной.
Объявим  базисными  переменными, например, x и y,
тогда z – свободная переменная. Придадим ей конкретное
значение z=z₀. Система примет вид:  при условии, что главный  определитель .  Так как надо знать только одну точку прямой (одно решение системы (2.46)), то
достаточно найти одно ее частное решение. 
Для простоты вычислений можно придать свободной переменной  нулевое значение, то есть z₀=0.  После этого определенную систему уравнений  решают известными методами. Решение
системы  x=x₀; y=y₀
в совокупности со значением свободной переменной представляет собой координаты
искомой точки  M₀(x₀;y₀;z₀).

2.  Рассмотрим нахождение  направляющего вектора  прямой. Так как  перпендикулярен  нормальным векторам  и  плоскостей α и β,
то его можно найти по теореме 2.5 как векторное произведение указанных
векторов:  

.                                                                                                         (2.47)

3. Найденную точку M₀ и вектор  подставляем в
уравнение (2.43). Таким образом, задача о приведении общего уравнения прямой к
каноническому виду решена.

Пример 2.16.
Привести общее уравнение прямой в
пространстве     к
каноническому виду.

Решение. Найдем точку M₀(x₀;y₀;z₀), принадлежащую данной прямой. Достаточно найти одно
частное решение заданной системы, например, при  z₀=0. Решение будет представлять собой координаты точки M₀:  
 

. Используем  метод Крамера – вычислим главный и
вспомогательные определители системы:  .

По формулам (1.6):        

. Следовательно, точка   – искомая точка
заданной прямой.

Найдем направляющий вектор  прямой. Нормальные векторы плоскостей,
пересечением которых задана прямая, есть . Тогда по теореме
2.5: 

.

Подставляя координаты точки M и вектора
 в (2.43), получим искомое каноническое
уравнение прямой l:

Вопросы
для самопроверки