Как найти знаменатель дроби в пропорции - AvtoShod.ru

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах.

Решить уравнения с пропорцией:

1) 25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

$[x = frac{{mathop {25}limits^5 cdot mathop {18}limits^9 }}{{mathop {10}limits_{mathop 2limits_1 } }}]$

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

Ответ: 45.

$[2)frac{y}{{21}} = frac{9}{{14}}]$

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

$[y = frac{{mathop {21}limits^3 cdot 9}}{{mathop {14}limits_2 }}]$

$[y = frac{{27}}{2}]$

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

$[z = frac{{4,5 cdot 2,4}}{{0,6}}]$

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один. Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100, мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10:

$[z = frac{{4,5 cdot 10 cdot 2,4 cdot 10}}{{0,6 cdot 100}}]$

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

$[z = frac{{mathop {45}limits^9 cdot mathop {24}limits^4 }}{{mathop 6limits_1 cdot mathop {10}limits_2 }}]$

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

$[z = frac{{9 cdot mathop 4limits^2 }}{{mathop 2limits_1 }}]$

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

$[4)k:2frac{3}{{23}} = 3frac{2}{7}:frac{1}{4}]$

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

$[k = 2frac{3}{{23}} cdot 3frac{2}{7}:frac{1}{4}]$

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

$[k = frac{{49}}{{23}} cdot frac{{23}}{7} cdot 4]$

$[k = frac{{mathop {49}limits^7 cdot mathop {23}limits^1 cdot 4}}{{mathop {23}limits_1 cdot mathop 7limits_1 }}]$

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

$[5)frac{{2x - 3}}{{15}} = frac{6}{5}]$

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

Ответ: 10,5.

$[6)frac{{2x - 3,2}}{{1,2}} = frac{{5x - 6}}{{0,5}}]$

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

$[1,2(5x - 6) = 0,5(2x - 3,2)___left| { cdot 10} right.]$

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

Ответ: 1,12.

Источник

Каким методом решается пропорция?

Вот примеры решения пропорций: x/2=3, x=3*2=6; 110/x=11, x=110/11=10; x/7=490/10, x=490*7/10=343; 100/5=500/x, x=500*5/100=25. Если есть пропорция с неизвестным в числителе и число, то нужно числитель умножить на знаменатель. Если есть пропорция с неизвестным в знаменателе и число, то нужно числитель разделить на второе число. Если есть две дроби, и неизвестное в числителе одной из них, то нужно умножить числитель первой дроби и знаменатель второй дроби, и всё это разделить на знаменатель первой дроби. Если есть две дроби, и неизвестное в знаменателе одной из них, то нужно умножить числитель второй дроби и знаменатель первой дроби, и всё это разделить на знаменатель первой дроби. Если есть две дроби, нужно умножить на два известных числа, расположенных по диагонали, и разделить это на оставшееся число.

автор вопроса выбрал этот ответ лучшим

Ладлен
[266K]

6 лет назад

Пропорции это можно сказать один из главных способов решения задач по химии. Именно там по условию составляют пропорции, в потом их решают. Честно говоря основательно освоение этого способа ко мне пришло после того, когда я реально понял за чем это надо. К сожалению все проблемы обучения в нашей стране связаны именно с тем, что нас часто учат не объясняя , а зачем это надо. Ну так уж было заведено еще в СССР. Ведь объяснить зачем нужна всем история партии или научный коммунизм было просто невозможно, вот и перешло это и ы другие науки. И так их и преподавали. Гу а теперь вернемся к пропорциям. Чтобы раз и навсегда запомнить как надо решать пропорции и не путаться нужно запомнить правило , которое химики называли правилом креста. Так члены пропорции перемножаются крест на крест. Вот пример.

10/2 = 5/Х

перемножаем по правилу креста и получаем.

10Х=10 А отсюда и находим Х

Х=1

Пропорция — это:

На самом деле это понять довольно таки просто и вот это понимание позволит решить большинство задач, вычислять проценты и тд. Я не педагог и как объяснить не знаю, покажу на примере задачи и походу попытаюсь объяснить.

Наипростейшая задача, где одно из чисел в пропорции неизвестно (это то нам и нужно):

100 процентов — это 200 книг. Сколько будет книг в 50 процентах?

И смотрите что делаем далее:

чертим дробь и под процентами пишем проценты — 100/50, а под книгами книги 200/x. Получается своеобразное уравнение 100:50=200:x. Решаются пропорции крест накрест, т.е. 50*200:100 = 100 книг.

Глупое объяснение, но своими словами.

Nelli4ka
[114K]

6 лет назад

Как решать пропорции? Для начала неплохо было знать кое-что из теории:

А теперь разберем какой-нибудь простенький пример, опираясь на первый пункт нашей подсказки:

35/7 = 10/х;

35х = 7*10;

х = 70/35;

х = 2.

Таким образом, мы выяснили, что х равен двум.

МарияСС
[47.3K]

5 лет назад

Пропорция решается довольно просто. И помогает при этом справиться со многими практическими задачами. Это наверно то немногое из курса школьной математики (не считая арифметики конечно), что активно используется и после школы.

Решается пропорция по правилу креста. Рассмотрим на примере. В 1 литре — 200 грамм вещества. Сколько вещества в 0,5 литрах.

Записываем условие:

1 литр — 200 грамм

0,5 литра — Х грамм

Х = 0,5*200/1=100 грамм

То есть мы перемножаем два члена по диагонали и делим на член, который находится на одной диагонали с Х.

KillNUR
[9.4K]

5 лет назад

Чтобы понять как решать пропорцию лучше привести наглядный пример.

Например, мы знаем, что в сплаве какого-то металла массой 20т содержится 4 тонны олова. Нам нужно найти массу олова в одной тонне сплава.

Можно найти процентное содержание олова в сплаве(20%) и на основе этого посчитать количество олова во втором куске металла(1т*0,2=200кг).

А можно просто составить пропорцию и решить в один прием.

20т — 4т.

1т — ?

Умножаем число слева внизу на число сверху справа и делим произведение на число слева наверху.

?=(1т * 4т)/20т = 200кг

danilaups
[4.9K]

5 лет назад

Пропорция решается довольно просто и не смотря на это очень здорово выручает в некоторых ситуациях. Чтобы ее решить надо просто перемножить крест накрест значения и приравнять их. Например, получили такую пропорцию: х/2=5/6. Соответственно умножаем крест на крест, х на 6, 2 на 5, затем приравниваем: 6*х=10, и решаем то что получилось, х=1,67. Как то так, это конечно в самом простом виде, но тут главное понять сам принцип.

Знаете ответ?

Источник

Download Article

You’ve already met fractions like ${frac {1}{2}}$ . A proportion is a pair of fractions that are equal to each other, like ${displaystyle {frac {1}{2}}={frac {2}{4}}}$ . There are many different ways to solve proportion problems that ask you to find the missing number , and you don’t need to learn all of them today. If you’re learning pre-algebra and are just starting to use proportions, read from the top until you find a method that makes sense to you. If you’re taking algebra and are working on more advanced proportions problems, you might need to skip down to later methods.

Use the relationship between the top and bottom number of the fraction. If you can multiply or divide the top number to get the bottom number, this method is the easiest.^[1]

Use the relationship between the two numbers across the proportion. You can also look from left to right, across the two fractions:

1
Draw two diagonal lines in an «X» across the proportion. For example, write down this proportion, then draw one line between the purple terms, and another line between the green terms:
- ${displaystyle {frac {color {purple}{14}}{color {green}{x}}}={frac {color {green}{4}}{color {purple}{6}}}}$
2
Multiply the two numbers connected by a line. One of the lines will connect two numbers (instead of a number and a variable like ). Find the product of these two numbers:
3

Divide by the last number in the proportion. Take the answer to your multiplication problem and divide it by the number you haven’t used yet. (This is the green number in the example.) The result is the value of , the missing number in your proportion.

1
Draw a table with two rows. Put the top numbers in your proportion in the top row, and the bottom numbers in the second row. Keep numbers in the same fraction in the same column, and leave a few empty columns between them and to either side.^[2] Here’s an example for the problem ${displaystyle {bf {{frac {48}{x}}={frac {128}{8}}}}}$ :
- 48 128
  
  x 8
- Each column in this table represents a fraction. All of the fractions in this table are equal to each other.
2

Add equivalent fractions to your table. Start with the fraction where you know both numbers, then multiply or divide each number in that column by the same amount. Write the new fraction into your table, putting it in a column so that the numbers are in order:
3

Repeat until you notice the pattern. As you find new fractions, make sure to put them in the table so that the numbers are in order. This will help you narrow down options for the value of x.
4

Check your work. Always check your work with this method. Sometimes the answer won’t be a whole number, and you’ll have to add fractions to your table or use a different method.

1

Rewrite the problem as a proportion. You can write any percentage as a fraction of 100. Use this fact to set up a problem as a proportion (two equal fractions):
2

Solve by cross-multiplying or any other method. Now that it’s set up as a proportion, you can solve the problem by any method. One of the most common methods is cross-multiplication:

1
Treat the proportion as an algebraic equation. Proportions are usually introduced in a pre-algebra class. But as you move on to algebra, you’ll learn that a proportion is just one kind of algebraic equation. For any algebraic equation, there’s one big rule:
- You can change the left hand side of the equation, as long as you do the same math to the right hand side.
2
3

Multiply each side by the other denominator. This will get rid of the other fraction. You can do this even if the denominator is the , as shown here:
4
5

Simplify your answer or leave as-is. You can now plug your result into a calculator (or calculate by hand) and find the value of . Sometimes, the answer won’t simplify to a whole number or even an easy decimal. In that case, it’s best to leave your answer as a fraction.

1

Realize your goal is to get the variable on one side. More difficult proportion problems have an on both sides of the equal sign. This works just like any proportion, but you’ll have to use algebra to handle the variable . Your goal is to get every in the equation onto one side, so you can simplify it into one and find the answer.
2
3

Otherwise, multiply by the entire denominator with . Multiplying by only part of the denominator will not help you get rid of the fraction. Always multiply by the entire denominator:

Proportions Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

What are the properties of proportions?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

There are many properties of proportion, but here are the first 3: 1) If two ratios are equal, this is called a proportion. In other words, in a proportion, a/b = c/d. 2) The quantities a, b, c, and d are the “terms” of the proportion. The first and fourth terms (a and d) are the “extremes.” The second and third (b and c) are the “means.” 3) In a proportion, the product of the extremes equals the product of the means. In other words, if a/b = c/d, then a x d = b x c. This is the “cross product rule.”
Question

What is the formula of a proportion?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

There are many formulae that can apply to proportions, but the basic starting point is a/b = c/d. Going from there, you can get a variety of other formulae, such as a x d = b x c and b^2 = a x c.
Question

What is a proportion example?

This answer was written by one of our trained team of researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness.

wikiHow Staff Editor

Staff Answer

Any 2 fractions with different terms that are equal is a proportion. For example, 1/2 = 3/6 or 2/3 = 6/9 are both examples of proportions.

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

It’s perfectly fine for your answer to be a fraction or a decimal. Sometimes equals ${frac {3}{5}}$ or 6.17 instead of a nice whole number.^[4]
The algebraic method above works with any proportion. But for a specific proportion, there is often a faster way to use algebra to find the answer. As you learn more algebra, this will get easier.

Thanks for submitting a tip for review!

Video

References

About This Article

Article SummaryX

To solve proportions, start by taking the numerator, or top number, of the fraction you know and multiplying it with the denominator, or bottom number, of the fraction you don’t know. Next, take that number and divide it by the denominator of the fraction you know. Now you can replace x with this final number. For example, to figure out “x” in the problem 3/4 = x/8, multiply 3 x 8 to get 24, then divide 24 / 4 to get 6, or the value of x. To learn how to use proportions to determine percentages, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 60,003 times.

Did this article help you?

Источник

Составление и решение пропорций в математике

Пропорции — что это в математике

Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?

Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 1 5 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 3 5 всех яблок.

Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.

Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.

Другой вариант записи ответа отмечают в виде десятичной дроби и процентов: 3 5 = 0 , 6 или 60%.

Отношением двух чисел называют частное этих чисел.

Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.

Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.

Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.

В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.

Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.

Пропорцией называют равенство двух отношений.

Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.

Можно ли составить из этих выражений пропорцию?

Найдем значения каждого из отношений:

3 , 8 : 2 = 1 , 9 ; 5 , 7 : 3 = 1 , 9 .

Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.

Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.

Такое равенство называется пропорцией.

Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.

С помощью буквенных символов пропорцию можно записать так: a : b = c : d или a b = c d .

Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».

Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.

Числа b и c — средними членами пропорции.

Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.

Крайние члены пропорции — 42 и 7.

Средние члены пропорции — 6 и 49.

Определите средние члены пропорции 25 5 = 35 7 .

Средние члены пропорции — 5 и 35.

Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.

Основное свойство пропорции, правило

Основное свойство пропорции

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:

Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.

В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Произведение крайних членов равно произведению 6 и 3. Получим 6 * 3 = 18 .

Произведение средних членов равно произведению 2 и 9. Получим 2 * 9 = 18 .

Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.

Обратное утверждение тоже верно:

Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.

Пропорция 60:12=10:2 верна, потому что 60 * 2 = 12 * 10 = 120 .

Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.

Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.

Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.

Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.

По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.

Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.

Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.

Получим 4 , 8 * 2 , 5 = b * 8 .

b = 4 , 8 * 2 , 5 : 8 ;

Составление и решение пропорций

Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.

Слово «относится» заменяем на знак деления.

Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.

Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.

6 : 18 = 9 : 27 ; 1 3 = 1 3 , получили верную пропорцию.

Запишите пропорцию и проверьте ее: отношение 2 к 1 4 равно отношению 3 к 1 15 .

Записываем отношения: 2 1 4 и 3 1 15 .

Составляем пропорцию: 2 1 4 = 3 1 15 .

Проверяем, верна ли пропорция.

Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.

2 * 1 15 ≠ 1 4 * 3 ; 2 15 ≠ 3 4 . Условие равенства произведений не выполнилось, значит, пропорция не верна.

Определите, верна ли пропорция: 1 , 4 0 , 7 = 3 , 4 1 , 7 .

Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.

Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:

1 , 4 * 1 , 7 = 2 , 38 ; 0 , 7 * 3 , 4 = 2 , 38 .

Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.

1 , 4 * 1 , 7 = 0 , 7 * 3 , 4 ; 2 , 38 = 2 , 38 .

Вывод: пропорция верна.

Примеры уравнений с решением для 6 класса

Решите уравнение: 8 , 8 4 2 5 = n 0 , 12 .

Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.

8 , 8 4 2 5 = n 0 , 12 ; 8 , 8 * 0 , 12 = 4 2 5 * n . Из равенства выражаем n : n = 8 , 8 * 0 , 12 4 2 5 Представим смешанное число 4 2 5 в виде десятичной дроби. Для этого приведем дробную часть смешанного числа к дроби со знаменателем 10 : домножим числитель и знаменатель 2 . 4 2 5 = 4 2 * 2 н а 5 * 2 = 4 4 10 . Такое смешанное число записываем в виде десятичной дроби, отделяя целую часть запятой: 4 4 10 = 4 , 4 . Тогда n = 8 , 8 * 0 , 12 4 , 4 . Сокращаем получившуюся дробь: 0 , 12 и 4 , 4 делятся на 4 . n = 8 , 8 * 0 , 03 1 , 1 ; 8 , 8 и 1 , 1 делятся на 1 , 1 . n = 8 * 0 , 03 1 ; n = 0 , 24 .

Найдите неизвестный член пропорции: 1 1 2 : 2 1 4 = 6 : m .

Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.

1 1 2 * m = 2 1 4 * 6 . И выражаем m : m = 2 1 4 * 6 : 1 1 2 . Переводим смешанные числа в неправильные дроби: m = 2 * 4 + 1 4 * 6 : 1 * 2 + 1 2 ; m = 9 4 * 6 : 3 2 . Натуральное число переводим в обыкновенную дробь со знаменателем 1 и умножаем на первую дробь: m = 9 4 * 6 1 : 3 2 ; m = 9 * 6 4 * 1 : 3 2 . Чтобы разделить обыкновенные дроби, нужно домножить дробь на взаимно обратную данной: m = 9 * 6 4 * 1 * 2 3 ; m = 9 * 6 * 2 4 * 1 * 3 . Сокращаем получившееся выражение. 4 и 2 делятся нацело на 2 . 9 и 3 делятся нацело на 3 . m = 3 * 6 * 1 2 * 1 * 1 . Для чисел 6 и 2 общий делитель 2 : m = 3 * 3 * 1 1 * 1 * 1 ; m = 9 .

Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.

По основному свойству пропорции получим: 0 , 25 * 3 = x * 3 , 75 .

x = 0 , 25 * 3 : 3 , 75 ; x = 0 , 75 : 3 , 75 . Делить на десятичную дробь нельзя. Преобразуем ее в натуральное число.

После запятой в дроби 3 , 75 два знака, значит, нужно домножить ее на единицу с таким оличеством нулей. Это сто.

Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.

x = 0 , 75 * 100 : 3 , 75 * 100 ; x = 75 : 375 ; x = 0 , 2 .

Найдите неизвестное: k : 3 1 2 = 0 , 4 : 2 4 5

Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.

По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Получим: k * 2 4 5 = 3 1 2 * 0 , 4 .

Выразим k : k = 3 1 2 * 0 , 4 : 2 4 5 .

Переведем 0,4 в обыкновенную дробь: 0 , 4 = 4 10 . Эта дробь сократима: числитель и знаменатель делятся на 2 нацело: 4 10 = 4 : 2 10 : 2 = 2 5 .

Записываем полученное выражение:

k = 3 1 2 * 2 5 : 2 4 5 .

1 действие — умножение.

Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

3 1 2 * 2 5 = 3 * 2 + 1 2 * 2 5 = 7 2 * 2 5 = 7 * 2 2 * 5 .

Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.

2 действие — деление.

Теперь делим полученное число на 2 4 5 .

Смешанное число переводим в неправильную дробь.

Умножаем 7 5 на взаимно обратную дробь.

7 5 : 2 4 5 = 7 5 : 2 * 5 + 4 5 = 7 5 : 14 5 = 7 5 * 5 14 = 7 * 5 5 * 14 = 7 * 5 5 * 14 = 7 14 = 1 2 = 0 , 5 .

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

обыкновенный вид — ½ или a/b,
десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа. Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а; если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней; если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Линейное уравнение выглядит так

ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;
если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Квадратное уравнение выглядит так:

ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

Область допустимых значений: х ≠ −2.
Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Разделы: Математика

Класс: 8

Цели урока:

формирование понятия дробных рационального уравнения;
рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;
проверка уровня усвоения темы путем проведения тестовой работы.

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;
развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
развитие критического мышления;
развитие навыков исследовательской работы.

воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока: урок – объяснение нового материала.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)
Как называется уравнение №1? (Линейное.) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).
Как называется уравнение №3? (Квадратное.) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия.)
Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов.)
Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)
Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

3. Объяснение нового материала.

Решить в тетрадях и на доске уравнение №2.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5).

х 2 -4х-2х+8 = х 2 +3х+2х+6

х 2 -6х-х 2 -5х = 6-8

Решить в тетрадях и на доске уравнение №4.

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Теперь попытайтесь решить уравнение №7 одним из способов.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/reshenie-uravnenij-s-drobyami

http://urok.1sept.ru/articles/559882

Источник

На чтение 3 мин. Просмотров 17.4k.

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Тема: «Отношение» рассмотрена на предыдущем занятии («6.1. Отношение»).

a:b=c:d. Это пропорция. Читают: а так относится к b, как c относится к d. Числа a и d называют крайними членами пропорции, а числа b и c – средними членами пропорции.

Пример пропорции: 12 : 3 = 16 : 4. Это равенство двух отношений: 12:3=4 и 16:4=4. Читают: двенадцать так относится к трем, как шестнадцать относится к четырем. Здесь 12 и 4 -крайние члены пропорции, а 3 и 16 — средние члены пропорции.

Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Для пропорции a:b=c:d или a/b=c/d основное свойство записывается так: a·d=b·c.

Для нашей пропорции 12 : 3 = 16 : 4 основное свойство запишется так: 12·4=3·16. Получается верное равенство: 48=48.

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, нужно произведение средних членов пропорции разделить на известный крайний член.

Примеры. Найти неизвестный крайний член пропорции.

1) х : 20 = 2 : 5. У нас х и 5 — крайние члены пропорции, а 20 и 2 — средние.

Решение.

х = (20·2):5 — нужно перемножить средние члены (20 и 2) и результат разделить на известный крайний член (число 5);

х = 40 : 5 — произведение средних членов (40) разделим на известный крайний член (5);

х = 8. Получили искомый крайний член пропорции.

Удобнее записывать нахождение неизвестного члена пропорции с помощью обыкновенной дроби. Вот как тогда запишется рассмотренный нами пример:

Искомый крайний член пропорции (х) будет равен произведению средних членов (20 и 2), деленному на известный крайний член (5).

Сокращаем дробь на 5 (делим на 5 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х.

Если забыли, как сокращать обыкновенные дроби, то повторите тему: «5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей»

Еще такие примеры на нахождение неизвестного крайнего члена пропорции.

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, нужно произведение крайних членов пропорции разделить на известный средний член.

Примеры. Найти неизвестный средний член пропорции.

5) 9 : х = 3 : 14. Число 3 — известный средний член данной пропорции, числа 9 и 14 — крайние члены пропорции.

Решение.

х = (9·14):3 — перемножим крайние члены пропорции и результат разделим на известный средний член пропорции;

х= 136:3;

х=42.

Решение этого примера можно записать иначе:

Искомый средний член пропорции (х) будет равен произведению крайних членов (9 и 14), деленному на известный средний член (3).

Сокращаем дробь на 3 (делим на 3 и числитель и знаменатель дроби). Находим значение х.

Еще такие примеры на нахождение неизвестного среднего члена пропорции.

Источник

	48			128
	x			8

Proportions Calculator, Practice Problems, and Answers

Video

References

About This Article

Did this article help you?

Составление и решение пропорций в математике

Пропорции — что это в математике

Основное свойство пропорции, правило

Составление и решение пропорций

Примеры уравнений с решением для 6 класса

Решение уравнений с дробями

Понятие дроби

Основные свойства дробей

Понятие уравнения

Понятие дробного уравнения

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

2. Метод избавления от дробей

Что еще важно учитывать при решении

Универсальный алгоритм решения

Примеры решения дробных уравнений

Урок по теме «Решение дробных рациональных уравнений». 8-й класс

Основное свойство пропорции

Не пропустите также: