Знаки тригонометрических функций
5 ноября 2011
- Знаки триг. функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
Синус угла α — это ордината (координата
y
) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
Косинус угла α — это абсцисса (координата
x
) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
Тангенс угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты
y
к координате
x
.
Обозначение: sin α =
y
; cos α =
x
; tg α =
y
:
x
.
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси
OY
(ось ординат), красным — положительное направление оси
OX
(ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в
I
или
II
координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата
y
). А координата
y
будет положительной именно в
I
и
II
координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в
I
или
IV
координатной четверти. Потому что только там координата
x
(она же — абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в
I
или
III
координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α =
y
:
x
, поэтому он положителен лишь там, где знаки
x
и
y
совпадают. Это происходит в
I
координатной четверти (здесь
x
> 0,
y
> 0) и
III
координатной четверти (
x
< 0,
y
< 0).
Для наглядности отметим знаки каждой тригонометрической функции — синуса, косинуса и тангенса — на отдельных «радарах». Получим следующую картинку:
Заметьте: в своих рассуждениях я ни разу не говорил о четвертой тригонометрической функции — котангенсе. Дело в том, что знаки котангенса совпадают со знаками тангенса — никаких специальных правил там нет.
Теперь предлагаю рассмотреть примеры, похожие на задачи B11 из пробного ЕГЭ по математике, который проходил 27 сентября 2011. Ведь лучший способ понять теорию — это практика. Желательно — много практики. Разумеется, условия задач были немного изменены.
Задача. Определите знаки тригонометрических функций и выражений (значения самих функций считать не надо):
- sin (3π/4);
- cos (7π/6);
- tg (5π/3);
- sin (3π/4) · cos (5π/6);
- cos (2π/3) · tg (π/4);
- sin (5π/6) · cos (7π/4);
- tg (3π/4) · cos (5π/3);
- ctg (4π/3) · tg (π/6).
План действий такой: сначала переводим все углы из радианной меры в градусную (π → 180°), а затем смотрим в какой координатной четверти лежит полученное число. Зная четверти, мы легко найдем знаки — по только что описанным правилам. Имеем:
- sin (3π/4) = sin (3 · 180°/4) = sin 135°. Поскольку 135° ∈ [90°; 180°], это угол из
II
координатной четверти. Но синус во
II
четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из
III
координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) < 0;
- tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Поскольку 300° ∈ [270°; 360°], мы находимся в
IV
четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) < 0;
- sin (3π/4) · cos (5π/6) = sin (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/6) = sin 135° · cos 150°. Разберемся с синусом: т.к. 135° ∈ [90°; 180°], это
II
четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова
II
четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) < 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
- cos (2π/3) · tg (π/4) = cos (2 · 180°/3) · tg (180°/4) = cos 120° · tg 45°. Смотрим на косинус: 120° ∈ [90°; 180°] — это
II
координатная четверть, поэтому cos (2π/3) < 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ [0°; 90°] — это
I
четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) < 0;
- sin (5π/6) · cos (7π/4) = sin (5 · 180°/6) · cos (7 · 180°/4) = sin 150° · cos 315°. Работаем с синусом: поскольку 150° ∈ [90°; 180°], речь идет о
II
координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это
IV
координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это
II
четверть, т.е. tg (3π/4) < 0. Аналогично, угол 300° ∈ [270°; 360°] — это
IV
четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) < 0;
- ctg (4π/3) · tg (π/6) = ctg (4 · 180°/3) · tg (180°/6) = ctg 240° · tg 30°. Смотрим на аргумент котангенса: 240° ∈ [180°; 270°] — это
III
координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это
I
координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это
II
координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о
III
координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].
Имеем: sin2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это
IV
координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].
Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это
I
координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Смотрите также:
- Радианная мера угла
- Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
- Тест к параграфу «Что такое логарифм» (легкий)
- Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)
- Изюм и виноград (смеси и сплавы)
- Задача B4: транзит нефти
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Урок №31. Знаки синуса, косинуса и тангенса
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
1) Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
2)Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;
3) Знаки тригонометрического выражения.
Глоссарий по теме
Число 
(пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
Открытые электронные ресурсы:
Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Какие знаки имеюткоординаты точки в зависимости от их положения в системе координат?
У точек первой четверти 
у точек второй четверти 
у точек третьей четверти 
у точек четвёртой четверти 
Пример.
В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами
Ответ:
|
A |
B |
C |
D |
E |
F |
|
2 |
4 |
2 |
3 |
1 |
4 |
А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?
Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.
1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.
Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол 
переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.
Синусом угла
является ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол 
.
Косинусом угла
является абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол 
.
Если угол 
то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь 
, значит
, .
Если угол 
, то точка Рₐ находится во второй четверти, здесь 
, 
, значит , 
.
Если угол 
, то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь 
, 
, значит
, 
.
Если угол 
, то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь 
, 
, значит 
, 
На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла
.
Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол 
.
во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.
Ответ: 
Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла 
.
Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен 
.
а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.
Ответ: 
Пример 3.
Определить знаки синуса и косинуса угла 
.
Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.
в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.
Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.
Пример 4.
Определить знаки 
.
Решение: Знаем, что
, а 
. Значит, 
. Точка во второй четверти.
Ответ: 
2.Знаки тангенса и котангенса.
Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу: 
Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу: 
.
Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.
Пример 5.
Определить знак тангенса угла 
Решение 
, угол второй четверти
Ответ:
Пример 6.
Определить знак тангенса угла 
.
Решение: Угол 
в третьей четверти, тангенс положительный.
Ответ: 
Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:
- выяснить в какой координатной четверти находится угол;
- знак синусов такой же, как ордината точки (у).
- знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).
- тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки(1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.).
Чаще всего единичная окружность используется для определения знака тригонометрической функции, числовые значения находятся в таблицах или вычисляются с помощью калькулятора.
Важно уметь считывать с единичной окружности следующие значения тангенса и котангенса:
|
(tg) (0^{circ}=0); (tg) (90^{circ}) не существует; (tg) (180 ^{circ}=0); (tg) (270^{circ}) не существует; (tg) (360^{circ}=0) |
(ctg) (0 ^{circ}) не существует; (ctg) (90^{circ}=0); (ctg) (180^{circ}) не существует; (ctg) (270^{circ}=0); (ctg) (360 ^{circ}) не существует |
Знаки тригонометрических функций
Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.
угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.
угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .
Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .
Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:
Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:
- sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
- cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
- tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x y II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
- cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
- tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.
В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.
Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].
Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.
Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].
Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.
Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].
Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.
Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].
Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!
Тригонометрия: определение тригонометрических функций
В этой статье мы рассмотрим тригонометрический круг и введем определения тригонометрических функций с помощью тригонометрического круга .
Впервые с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса школьники встречаются в восьмом классе в курсе геометрии. Напомню эти определения. Рассмотрим прямоугольный треугольник: Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:
sin A=a/b; sin C=c/b
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:
cos A=c/b; cos C= a/b
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg A=a/c; tg C=c/a.
Эти определения тригонометрических функций удобно использовать при решении геометрических задач, связанных с нахождением сторон и углов в прямоугольном треугольнике, однако они не улучшают понимания того, что из себя представляют тригонометрические функции именно как функции.
Часто во время занятий со школьниками я сталкиваюсь с тем, что они не понимают, откуда «взялись» тригонометрические функции, что они из себя представляют, и как их «готовить», чтобы легко решать уравнения и неравенства, содержащие тригонометрические функции.
Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, чтобы понять, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс, как они между собой связаны, и как легко определять знаки тригонометрических функций без использования таблиц.
Косинусом угла α называется абсцисса (то есть координата по оси OX) точки на единичной окружности, соответствующей данному углу α.
Синусом угла α называется ордината (то есть координата по оси OY ) точки на единичной окружности, соответствующеий данному углу α.
Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности, соответствующей данному углу. Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y).
Поскольку радиус окружности равен 1, для любого угла и синус, и косинус находятся в пределах от −1 до 1:
−1 ≤ cos α ≤ 1, −1 ≤ sin α ≤ 1.
Основное тригонометрическое тождество является следствием теоремы Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):
sin 2 α+ cos 2 α = 1
Чтобы узнать знаки синуса и косинуса какого-либо угла, находим на нашей окружности точку, соответствующую данному углу α, смотрим, положительны или отрицательны её координаты по x (это косинус угла α) и по y (это синус угла α).
Купить видеокурс «ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и 13»
Знаки тригонометрических функций по четвертям — примеры определения
Общая информация
Раздел математики, который занимается изучением тригонометрических функций, называется тригонометрией. К функциям относятся следующие: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg). Существуют также и обратные им функции: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg) и арккотангенс (arcctg).
Для нахождения знаков тригонометрических функций по четвертям рекомендуется применять специальный «инструмент». Он называется окружностью синусов и косинусов. Однако по ней можно находить не только функции, которые соответствуют ее названию, но и другие. Делается это с помощью тригонометрических тождеств.
Специалисты рекомендуют для понимания материала получить базовые знания об углах и основных тригонометрических функциях. Следует применять принцип «от простого к сложному», поскольку нужно учитывать физиологические особенности головного мозга.
Виды углов
Важной «ступенью» в освоении тригонометрии является идентификация углов. Они делятся на 7 видов. Кроме того, существует еще два типа классификации по знаку: положительные и отрицательные.
Для составления критериев, по которым математики классифицируют углы, необходимо ввести некоторую переменную. Пусть существует некоторый угол a, градусная мера которого составляет x градусов. Необходимо рассмотреть 7 случаев, в которых он измеряется только в градусной размерности:
Последний случай встречается очень часто в различных задачах, в которых следует вычислить определенное значение, упростить тригонометрическое выражение или использовать формулы приведения, а также найти разность между функциями.
Градус — это не единственная единица измерения размерности угла. Существует также и радиан, который пользуется большей популярностью, чем предыдущая единица. Согласно статистике, которая составлена математиками, при решении задач с тригонометрическим уклоном многие используют радиан (около 95,88%). Это объясняется удобством, поскольку в основном применяется тригонометрическая окружность для быстрого нахождения значений функций. Перевод одной единицы в другую осуществляется с помощью двух простых соотношений:
- В радианы: P = (a * ПИ) / 180.
- В градусы: а = (P * 180) / ПИ.
Существует 2 метода перевода: автоматизированный и ручной. В первом случае следует применять специальные радианные таблицы, программы и тригонометрическую окружность. Во втором — пользоваться формулами для преобразований. Если очень часто приходится решать задачи подобного типа, то можно создать свой инструмент. Для этого потребуется табличный процессор EXCEL. Необходимо вбить в ячейки две формулы, и тогда ручной метод «превратится» в автоматизированный.
Смысл функций
Тригонометрические функции используются не только в математике, но и в других дисциплинах (физике, электронике, микросхемотехнике, акустике и так далее). С их помощью можно описывать законы изменения различных периодических величин.
Для определения функции необходимо представить прямоугольный треугольник. Его стороны называются катетами и гипотенузой. Угол между двумя катетами является прямым, то есть он равен 90 градусам.
Синус угла — значение, которое вычисляется отношением линейного размера противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. Если выразить величину через отношение прилежащего катета к гипотенузе, то она называется косинусом угла. Величина, полученная при отношении двух катетов — противолежащего к прилежащему, называется тангенсом. В случае с котангенсом, необходимо поменять числитель и знаменатель местами, то есть отношение прилежащего к противолежащему. Следует также напомнить, что все четыре функции обладают периодичностью. Для sin и cos период соответствует 2 ПИ, а для tg и ctg — ПИ.
Обратными тригонометрическими функциями являются arcsin, arccos, arctg и arcctg. Их необходимо использовать в том случае, когда нужно найти угол по заданному значению. Для этих целей применяются таблицы Брадиса, тригонометрический калькулятор и программное обеспечение, а также круг синусов и косинусов.
Определение знака
Достоверность результата зависит от правильного решения. Неверный знак функции способен кардинально его изменить. Для безошибочного определения значений потребуются еще кое-какие знания. К ним относятся следующие: понятие о системе координат и теорема Пифагора, а также умение чертить окружность с определенным радиусом.
Системы координат, которые применяются при решении задач бывают полярными и декартовыми. Последние используются чаще, чем первые. Полярные применяются для решения задач из области высшей математики, а также в других сложных дисциплинах с физико-математическим уклоном.
Дополнительные сведения
Для определения знака применяется обыкновенная система координат с двумя осями. Одна из них (ОХ) является осью абсцисс, а другая (ОУ) — ординат. Ее центром, который совпадает с центром тригонометрической окружности, является точка «О». Очень часто для работы необходимо знание теоремы Пифагора. Ее формулировка имеет следующий вид: в любом прямоугольном треугольнике выполняется равенство квадрата гипотенузы и суммы квадратов катетов. Вторая формулировка записывается в виде формулы: с^2 = a^2 + b^2 (c, a и b — гипотенуза и два катета соответственно).
Необходимо обратить внимание на следующий факт: сумма всех углов треугольника составляет 180 градусов, то есть является развернутым углом. Математически утверждение можно записать следующим образом через углы а, b и c: а + b + c = 180. Кроме того, существуют и другие соотношения между острыми углами прямоугольного треугольника: cos (a) = sin (b), cos (b) = sin (a), tg (a) = ctg (b), и tg (b) = ctg (a).
Чтобы найти знаки тангенса и котангенса по четвертям, используются такие соотношения: tg (a) = sin (a) / cos (a) и ctg (a) = cos (a) / sin (a).
Построение окружности
Сделать «инструмент», который значительно ускорит процесс решения задач довольно просто. Для этого нужно построить декартовую систему координат и единичную окружность с центром в точке О (точка пересечения осей абсцисс и ординат). Горизонтальная ось обозначается «х», а вертикальная — «у».
Рекомендуется чертить произвольную окружность. Чертеж должен быть простым и понятным. Это называется масштабирование, при котором изображение не соответствует действительному размеру объекта. Его примером является обыкновенная географическая карта. Кроме того, при проектировании очень мелких деталей применяются чертежи, которые в несколько десятков или сотен раз превышают натуральные размеры. Обозначение точки на плоскости выполняется следующим образом:
- Координаты заключаются в круглые скобки и разделяются «;».
- На первом месте стоит значение, соответствующее оси абсцисс, а на втором — ординат: (x;y).
Окружность пересекает оси в четырех точках: (1;0), (0;1), (-1;0) и (0;-1). Четвертями называются области, которые делят систему координат на четыре равные части. Отсчет выполняется от первой четверти (x>0 и y>0) против часовой стрелки:
- Значения по x и y больше 0 соответствуют первой четверти (I).
- II: x 0.
- III: x 0 и y 0 и ctg>0.
- -sin(ПИ + ПИ/4) = -sin(ПИ/4) = -cos(ПИ/4) = -sqrt(2)/2.
- tg(ПИ/4) = ctg(ПИ/4) = -sin(ПИ/4) / -cos(ПИ/4) = 1.
После расчетов нужно выполнить проверку знаков. В III четверти больше нуля только тангенс и котангенс. Однако бывают случаи, когда значение градусной меры угла превышает 360.
Свыше 2ПИ
Существует определенный тип задач, в которых величина градусной меры угла свыше 360 градусов. Например, следует вычислить значения тригонометрических функций угла -26ПИ/6. Решается она следующим образом:
- Следует выделить целую часть из -26ПИ/6 и привести к удобному виду: 26/6 = 4 + 2/6 = 4 + 1/3. Угол находится в IV четверти (движение по часовой стрелке).
- -sin(4ПИ + ПИ/3) = -sin(ПИ/3) = — sqrt(3)/2.
- cos(ПИ/3) = 1/2.
- -tg(ПИ/3) = — sqrt(3).
- -сtg(ПИ/3) = — 1/sqrt(3).
Во втором, четвертом и пятом пунктах функции являются нечетными. Если посмотреть на график, то движение осуществляется по часовой стрелке, поскольку угол является отрицательным числом. Функция косинуса является четной. Ее числовое значение — положительная величина. Последним этапом считается проверка знаков. Угол находится в IV четверти. Значения функций совпадают.
Таким образом, при решении задач по тригонометрии следует применять тригонометрическую окружность, с помощью которой можно безошибочно определять знак функции.
http://ege-ok.ru/2011/12/29/trigonometriya-opredelenie-trigonom
http://nauka.club/matematika/znaki-trigonometricheskikh-funktsiy.html
Примеры:
(tg:30^° =frac{1}{sqrt{3}})
(tg:(frac{π}{3})=sqrt{3})
(tg:2=-2,185…)
Содержание:
- Аргумент и значение
Тангенс острого угла
Тангенс числа или любого угла
Знаки по четвертям
Связь с другими функциями
Аргумент и значение тангенса
Аргументом тангенса может быть:
— как число или выражение с Пи: (1,3), (frac{π}{4}), (π), (-frac{π}{3}) и т.п.
— так и угол в градусах: (45^°), (360^°),(-800^°), (1^° ) и т.п.
Для обоих случаев тангенс вычисляется одинаковым способом – либо через значения синуса и косинуса, либо через тригонометрический круг (см. ниже).
Значение тангенса – всегда действительное число (возможно, иррациональное): (1), (sqrt{3}), (-frac{1}{sqrt{3}}), (-0,1543…)
Тангенс острого угла
Тангенс можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Пример:
1) Пусть дан угол и нужно определить тагенс этого угла.
2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.
3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить тангенс.
Вычисление тангенса числа или любого угла
Для чисел, а также для тупых, развернутых углов и углов больших (360°) тангенс чаще всего определяют с помощью синуса и косинуса, через их отношение:
(tg: t=)(frac{sin:t}{cos:t})
Пример. Вычислите (tg:0).
Решение: Чтобы найти тангенс нуля нужно найти сначала синус и косинус (0). И то, и другое найдем с помощью тригонометрического круга:
Точка (0) на числовой окружности совпадает с (1) на оси косинусов, значит (cos:0=1). Если из точки (0) на числовой окружности провести перпендикуляр к оси синусов, то мы попадем в точку (0), значит (sin:0=0). Получается: (tg:0=)(frac{sin:0}{cos:0}) (=)(frac{0}{1})(=0).
Ответ: (0).
Пример. Вычислите (tg:(-765^circ)).
Решение: (tg: (-765^circ)=)(frac{sin:(-765^circ)}{cos:(-765^circ)})
Что бы вычислить синус и косинус (-765^°). Отложим (-765^°) на тригонометрическом круге. Для этого надо повернуть в отрицательную сторону на (720^°) , а потом еще на (45^°).
(sin(-765^°)=-frac{sqrt{2}}{2});
(cos(-765^°)=frac{sqrt{2}}{2}) ;
получается (tg(-765^°)= -frac{sqrt{2}}{2} ∶ frac{sqrt{2}}{2}=-1).
Ответ: (-1).
Пример. Вычислите (tg:frac{π}{3}).
Решение: (tg: frac{π}{3}=)(frac{sin:frac{π}{3}}{cos:frac{π}{3}}). Опять находим синус пи на 3 и косинус пи на 3 (хоть с помощью тригонометрического круга, хоть по таблице):
(sin(frac{π}{3})=frac{sqrt{3}}{2});
(cos(frac{π}{3})=frac{1}{2}) ;
получается (tg(frac{π}{3})= frac{sqrt{3}}{2} ∶ frac{1}{2}= frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{2}{1}=sqrt{3}).
Ответ: (sqrt{3}).
Однако можно определять тангенс и напрямую через тригонометрический круг — для этого надо на нем построить дополнительную ось:
Прямая проходящая через начало отсчета на числовой окружности и параллельная оси ординат (синусов) называется осью тангенсов. Направление оси тангенсов и оси синусов совпадает.
Ось тангенсов – это фактически копия оси синусов, только сдвинутая. Поэтому все числа на ней расставляются так же как на оси синусов.
Чтобы определить тангенс с помощью числовой окружности, нужно:
1) Отметить соответствующую аргументу тангенса точку на числовой окружности.
2) Провести прямую через эту точку и начало координат и продлить её до оси тангенсов.
3) Найти координату пересечения этой прямой и оси тангенсов.
Пример. Вычислите (tg:frac{π}{4}).
Решение:
1)Отмечаем (frac{π}{4}) на окружности.
2) Проводим через данную точку и начало координат прямую.
3) В данном случае координату долго искать не придется – она равняется (1).
Ответ: (1).
Пример. Вычислите (tg: 45°) и (tg: (-240°)).
Решение:
Для угла (45°) ((∠KOA)) тангенс будет равен (1), потому что именно в таком значении сторона угла, проходящая через начало координат и точку (A), пересекает ось тангесов. А для угла (-240°) ((∠KOB)) тангенс равен (-sqrt{3}) (приблизительно (-1,73)).
Значения для других часто встречающихся в практике углов смотри в тригонометрической таблице.
В отличие от синуса и косинуса значение тангенса не ограничено и лежит в пределах от (-∞) до (+∞), то есть может быть любым.
При этом тангенс не определен для:
1) всех точек (A) (значение в Пи: …(-)(frac{7π}{2}),(-)(frac{3π}{2}),(frac{π}{2}), (frac{5π}{2}), (frac{9π}{2}) …; и значение в градусах: …(-630°),(-270°),(90°),(450°),(810°)…)
2) всех точек (B) (значение в Пи: …(-)(frac{9π}{2}),(-)(frac{5π}{2}),(-)(frac{π}{2}), (frac{3π}{2}), (frac{7π}{2}) …; и значение в градусах: …(-810°),(-450°),(-90°),(270°)…) .
Так происходит потому, что прямая проходящая через начало координат и любую из этих точек никогда не пересечет ось тангенсов, т.к. будет идти параллельно ей. Поэтому в этих точках тангенс – НЕ СУЩЕСТВУЕТ (для всех остальных значений тангенс может быть найден).
Из-за этого при решении тригонометрических уравнений и неравенств с тангенсом необходимо учитывать ограничения на ОДЗ.
Знаки по четвертям
С помощью оси тангенсов легко определить знаки по четвертям тригонометрической окружности. Для этого надо взять любую точку на четверти и определить знак тангенса для нее описанным выше способом. У всей четверти знак будет такой же.
Для примера на рисунке нанесены две зеленые точки в I и III четвертях. Для них значение тангенса положительно (зеленые пунктирные прямые приходят в положительную часть оси), значит и для любой точки из I и III четверти значение тангенса будет положительно (знак плюс).
С двумя фиолетовыми точками в II и IV четвертях – аналогично, но с минусом.
Связь с другими тригонометрическими функциями:
— косинусом того же угла: формулой (1+tg^2x=)(frac{1}{cos^2x})
— синусом и косинусом того же угла: (tg:x=)(frac{sin:x}{cos:x})
— котангенсом того же угла: формулой (ctg:x=)(frac{1}{tg:x})
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь.
Смотрите также:
Формулы приведения