Как найти значение логической формулы

В логике высказываний
– первом и основном разделе математической
логики – элементарные высказывания
рассматриваются как нерасчленяемые
«атомы», а составные высказывания –
как молекулы, образованные из «атомов»
применением к ним логических операций.
Логика высказываний интересуется
единственным свойством элементарных
высказываний – их значением истинности;
составные же высказывания изучаются
ею со стороны их логической структуры,
отражающей способ, которым они образованы.
Структура составных высказываний
определяет зависимость их значений
истинности от значений истинности
составляющих элементарных высказываний.

Так как смысл
высказываний математическую логику не
интересует, их вполне можно заменить
переменными.

Пусть
X,
Y,…,
Z,…,
X_i,
Y_i,…,
Z_i
– переменные, вместо которых можно
подставить любые элементарные высказывания
(или их значения истинности). Такие
переменные называют пропозициональными
или высказывательными
переменными.
С помощью высказывательных переменных
и символов логических операций любое
высказывание можно формализовать,
т.е. заменить формулой, отражающей его
логическую структуру.

Начнем
с того, что уточним понятие формулы
логики высказываний. Для этого зададим
алфавит,
т.е. набор символов, которые мы будем
употреблять в логике высказываний:

1. Х,
   Y,…,
   Z,…,
   X_i,
   Y_i,…,
   Z_i
   (i
   – натуральное число) – символы для
   обозначения высказывательных переменных;

2. И,
   Л, 1, 0 – символы,
   обозначающие логические константы
   «истина» и «ложь»;

3. –символы
   логических операций;

4. (, ), [, ] – скобки
   (вспомогательные символы, служащие для
   указания порядка выполнения операций).

Дадим теперь
строгое определение формулы логики
высказываний (будем говорить формула
ЛВ):

1. Всякая
   высказывательная переменная – формула
   ЛВ.

2. Символы
   И, Л, 1, 0 – формулы ЛВ.

3. Если
   F
   – формула ЛВ, то
   — формула ЛВ.

4. Если
   F₁
   и F₂
   – формулы ЛВ, то
   ,,и— формулы ЛВ.

5. Никаких
   других формул в логике высказываний
   нет.

Определение
такого вида называется индуктивным. В
п.п. 1 и 2 определены элементарные
формулы, в
п.п. 3 и 4 даны правила
образования новых формул из
любых двух данных формул.

Условимся для
упрощения записей не заключать в скобки
формулы, не являющиеся частями других
формул или стоящие под знаком отрицания.
Заметим, что в формуле число левых скобок
всегда должно быть равно числу правых
скобок.

Опишем процедуру
формализации высказываний:

1. Если
   высказывание – простое, то ему ставится
   в соответствие элементарная формула.

2. Если
   высказывание – составное, то для
   составления соответствующей формулы
   нужно: а) выделить все элементарные
   высказывания и логические связки,
   образующие данное составное высказывание;
   б) заменить их соответствующими
   символами; в) расставить скобки в
   соответствии со смыслом данного
   высказывания.

Пример
8. Определите
логическую структуру высказываний
(формализуйте высказывания):

1
Е = «Ваш приезд не является ни необходимым,
ни желательным».

Составляющие
простые высказывания: А
= Ваш приезд необходим;
В = Ваш приезд
желателен.
Они соединены между собой неявно
имеющимся в высказывании Е
союзом «и» и, кроме того, к каждому из
них относится частица «не». Таким
образом, форма сложного высказывания
имеет вид:
.

2 Е = «Поиски врага
длились уже три часа, но результатов не
было, притаившийся враг ничем себя не
выдал».

Переформулируем
высказывание таким образом, чтобы
выделить логические связки, неявно
соединяющие простые высказывания: «Если
притаившийся враг ничем себя не выдал,
то его поиски длились уже три часа и
результатов не было».
Теперь можно выделить простые высказывания:
А = Враг себя
выдал; В = Поиски врага длились уже три
часа и С
= Результат был.
Теперь можно формализовать сложное
высказывание:
.

Замечание:
Символ импликации ставится там, где
подразумевается вторая часть союза
«если…, то…», т.е. на месте «то». Таким
образом, формула, полученная во втором
примере, читается: «Если не А,
то В
и не С».

3 Е = «Если число
делится на 2 и на 3, то оно делится на 6».

В
этом высказывании можно выделить
следующие элементарные высказывания:
А = Число
делится на 2, В = Число делится на 3
и С = Число
делится на 6.
Тогда формула, соответствующая сложному
высказыванию, имеет вид:
.

Последний
пример наглядно показывает, почему
математическую логику интересует только
логическая структура высказываний.
Точно такую же логическую структуру,
как в третьем примере имеет большое
количество, например, математических
теорем: «Если
в четырехугольнике противоположные
стороны параллельны и
равны, то
этот четырехугольник — параллелограмм»
или «Если
две прямые параллельны третьей прямой,
то
они параллельны друг другу».

Пример
9. По форме
высказываний и выраженным на естественном
языке составляющим его простым
высказываниям получить фразу на
естественном языке.

1
.

Составляющие
простые высказывания:

А = Человек с
детства давал нервам властвовать над
собой.

В = Человек в
юности давал нервам властвовать над
собой.

С = Нервы привыкнут
раздражаться.

D
= Нервы будут послушны.

Для
начала прочитаем формулу с использованием
логических связок, не обращая внимания
на смысл составляющих простых высказываний:
«Если не А и
не В, то не С и D».
Теперь подставим вместо букв соответствующие
высказывания, не произнося повторяющиеся
части или заменяя их синонимами
(местоимениями). Получим следующую фразу
на естественном языке:

Е
= Если человек с детства и юности своей
не давал нервам властвовать над собой,
то они не привыкнут раздражаться и будут
ему послушны. (К.Д.
Ушинский)

2
.

Составляющие
простые высказывания:

А = Некто является
врачом.

В = Больной
поговорил с врачом.

С = Больному стало
легче.

Фраза на естественном
языке:

Е
= Если больному после разговора с врачом
не становится легче, то это не врач.
(В.М. Бехтерев)

Вычислить
значение логического выражения (формулы
ЛВ) – значит найти значение истинности
этого выражения при заданных значениях
истинности составляющих переменных.

При вычислении
значения формулы ЛВ логические операции
(если нет скобок) вычисляются в определенном
порядке:

1) негация (отрицание);
2) конъюнкция; 3) дизъюнкция; 4) импликация
и 5) эквиваленция.

Пример
10. Даны
формулы. Определить порядок вычисления
формул:

1
.
Порядок вычисления следующий:

1)
отрицание
;
2) конъюнкция;
3) дизъюнкция;
4) импликацияи, наконец, эквиваленция.

2
.
Порядок вычисления следующий:

1)
отрицание
;
2) импликация;
3) конъюнкция;
4) дизъюнкция;
и 5) эквиваленция.

Удобной
формой записи при нахождении значений
формулы, соответствующих всевозможным
наборам значений ее переменных, является
таблица, которую называют таблицей
истинности.

Для
начала научимся определять количество
строк в таблице. Если высказывание одно,
то оно может принимать только два
значения истинности – «истина» и «ложь»,
поэтому строк в такой таблице 3 (две
строки для значений переменной и строка
заголовка). Примером такой таблицы
служит таблица истинности в определении
негации. Если переменных в формуле две,
то они могут принимать одновременно
такие значения: оба высказывания истинны,
первое – истинно, а второе – ложно,
первое – ложно, а второе – истинно и,
наконец, оба они могут быть ложными.
Число строк в такой таблице равно 5 (плюс
строка заголовка). Вообще, число наборов
значений, которые могут принимать п
переменных, находится как 2^п.

Сформулируем
алгоритм
построения таблицы истинности сложного
высказывания:

1
Вычислить количество строк и столбцов
в таблице истинности.

Пусть
в формуле п
различных переменных и k
операций. Переменные считаем каждую
только один раз, а символы операций –
все, сколько есть. Тогда число строк в
таблице равно 2^п
+ 1 (число
наборов значений переменных плюс строка
заголовка), а число столбцов в таблице
равно n
+ k.

2 Начертить
таблицу.

3 Заполнить строку
заголовка.

В строке заголовка
записываем промежуточные формулы,
начиная с элементарных и учитывая
порядок выполнения операций. Вместо
промежуточных формул, если они большие,
можно записывать их порядковые номера
(из порядка выполнения операций).

4 Заполнить
оставшиеся строки таблицы, начиная с
первого столбца.

При вычислении
значений промежуточных формул, надо
помнить, что в каждой операции участвует
не более двух формул (может быть и не
элементарных).

Пример
11. Составить
таблицы истинности для формул: 1)
;
2).

1
.
Эта формула содержит 2 различные
переменные (К
и С)
и 4 символа логических операций, т.е. n
= 2 и k
= 4. Тогда
строк в таблице 2²
+ 1 = 4 + 1 = 5, а
столбцов – 2
+ 4 = 6. Рисуем
таблицу:

Определим
порядок выполнения операций: 1) отрицание
;
2) дизъюнкция;
3) конъюнкцияи 4) импликация.

Заполняем строку
заголовка, начиная с элементарных
формул:

По-другому строка
заголовка может выглядеть так:

Заполняем
первый столбик значениями истинности
переменной К,
для этого число пустых строк делим
пополам (4 : 2 = 2) и в половине пишем значение
«истина», а в оставшейся половине –
«ложь»:

Заполняем
второй столбик значениями истинности
переменной С.
Для этого число пустых строк делим на
4 (4 : 4 = 1) и попеременно записываем в
строки по одному значению «истина» и
«ложь» таким образом, чтобы каждому
значению истинности переменной К
соответствовали оба значения истинности
переменной С:

Начиная
с третьего столбика, заполняем строки
результатами выполнения операций. В
третьем столбике записываем результат
выполнения операции отрицания
.
При этом смотрим на соответствующие
значения переменнойС:

В
четвертом столбике записываем результаты
выполнения дизъюнкции
,
обращая внимание на значения истинности
переменныхК
и С
в соответствующей строке:

В
пятом столбике записываем результаты
выполнения операции конъюнкции
.
При этом используем значения истинности
соответствующих операций из третьего
и четвертого столбиков:

И,
наконец, в шестом столбике записываем
результаты выполнения итоговой операции
импликации
,
используя результаты предыдущей операции
конъюнкции и значения истинности
переменнойК:

Из итогового
результата мы можем сделать следующий
вывод: какие бы по смыслу элементарные
высказывания не составляли высказывание,
соответствующее данной логической
структуре, в итоге мы получим истинное
высказывание.

Формулы,
принимающие значение «истина» при всех
наборах значений входящих в нее
переменных, называются тождественно
истинными или тавтологиями.

Одна
из задач математической логики состоит
в поиске формул, являющихся тавтологиями
и противоречиями
(тождественно ложными, т.е. принимающими
при всех наборах значений переменных
значение «ложь»).
Способы рассуждений, формализующиеся
тавтологиями, затем применяются при
доказательстве утверждений.

2
.
Данная формула содержит 3 различные
переменные и 4 символа логических
операций. Число строк в таблице –2³
+ 1 = 8 + 1 = 9.
Число столбцов – 3
+ 4 = 7.

Определим
порядок выполнения операций: 1) отрицание
;
2) отрицание;
3) дизъюнкцияи 4) эквиваленция.
Нарисуем таблицу и заполним строку
заголовка, начиная с элементарных
формул:

Заполняем
первый столбик значениями истинности
переменной А,
для этого число пустых строк делим
пополам (8 : 2 = 4) и в половине пишем значение
«истина», а в оставшейся половине –
«ложь»:

Заполняем
второй столбик значениями истинности
переменной В.
Для этого число пустых строк делим на
4 (8 : 4 = 2) и попеременно записываем в
строки по одному значению «истина» и
«ложь» таким образом, чтобы каждому
значению истинности переменной А
соответствовали по два значения
истинности переменной В:

Заполняем
третий столбик значениями истинности
переменной С.
Для этого число пустых строк делим на
8 (8 : 8 = 1) и попеременно записываем в
строки по одному значению «истина» и
«ложь» таким образом, чтобы каждому
значению истинности переменной В
соответствовали оба значения истинности
переменной С:

Заполняем
четвертый столбик результатами выполнения
операции отрицания
.
При этом смотрим на значения истинности
переменнойВ
в соответствующих строках:

Аналогичным
образом заполняем пятый столбик
результатами операции отрицания
.
При этом смотрим на значения истинности
переменнойС
в соответствующих строках:

В
шестом столбике записываем результаты
выполнения операции дизъюнкции
.
При этом используем значения истинности
переменнойА
и результаты операции
(первый и четвертый столбцы):

И,
наконец, в седьмом столбике записываем
результат выполнения итоговой операции
эквиваленции
.
При этом используем результаты предыдущей
операции и операции(шестой и пятый столбики):

Вывод
следующий: истинность высказывания,
имеющего данную логическую структуру,
зависит от значений истинности
составляющих его элементарных
высказываний. Формулы такого вида
(принимающие
при некоторых наборах переменных
значение «истина», а при некоторых –
значение «ложь») называются выполнимыми
(опровержимыми).

С
помощью таблиц истинности можно
установить, при каких наборах значений
истинности входящих переменных формула
будет принимать истинное или ложное
значение (а также высказывание, имеющее
соответствующую логическую структуру),
какие формулы будут тавтологиями или
противоречиями, а также установить,
являются ли две данные формулы
равносильными.

В
логике говорят, что два предложения
равносильны, если они одновременно
истинны, либо одновременно ложны. Слово
«одновременно» в этой фразе неоднозначно.
Так, для предложений «Завтра будет
вторник» и «Вчера было воскресенье»
это слово имеет буквальный смысл: в
понедельник они оба истинны, а в остальные
дни недели – оба ложны. Для уравнений
«х = 2»
и «2х = 4»
«одновременно» означает «при одних и
тех же значениях переменной». Прогнозы
«Завтра будет дождь» и «Неверно, что
завтра не будет дождя» одновременно
подтвердятся (окажутся истинными) либо
не подтвердятся (окажутся ложными). В
сущности, это один и тот же прогноз,
выраженный в двух разных формах, которые
можно представить формулами Х
и
.
Эти формулы одновременно принимают
значение «истина» либо значение «ложь».
Для проверки достаточно составить
таблицу истинности:

Видим, что значения
истинности в первом и последнем столбцах
совпадают. Такие формулы, как и
соответствующие им предложения,
естественно считать равносильными.

Формулы
F₁
и F₂
называются равносильными, если их
эквиваленция
–
тавтология.

Равносильность
двух формул записывается так:
(читается: формулаF₁
равносильна формуле F₂).

Проверить,
равносильны ли формулы, можно двумя
способами: 1) составить их эквиваленцию
и с помощью таблицы истинности проверить,
не является ли она тавтологией; 2) для
каждой формулы составить таблицу
истинности и сравнить итоговые результаты;
если в итоговых столбцах при одинаковых
наборах значений переменных значения
истинности обеих формул будут равны,
то формулы являются равносильными.

Пример
12. Проверить,
являются ли формулы
иравносильными.

Решение.

1
Составим таблицу истинности для формулы
F:

Х	Y
1	1	1	0
1	0	1	0
0	0	1	0
0	0	0	1

2
Составим таблицу истинности для формулы
Н:

Х	Y
1	1	0	0	0
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

3
Так как итоговые столбцы в обеих таблицах
совпадают (совпадают значения формул
для одинаковых наборов значений
переменных), значит, формулы равносильны,
т.е.,
.

Равносильности
формул логики высказываний часто
называют законами
логики.
Перечислим наиболее важные из них:

I
1–
закон тождества (утверждает, что мысль,
заключенная в некотором высказывании,
остается (считается) неизменной на
протяжении всего рассуждения, в котором
это высказывание фигурирует).

II
– закон противоречия (никакое предложение
не может быть истинным одновременно со
своим отрицанием).

III
– закон исключенного третьего (закон
альтернативы).

IV
– закон двойного отрицания.

V
;– законы тождества (или идемпотентности
(на латинском языке «idem»
означает «то же», а «potentia»
— «сила»)).

VI
;– законы коммутативности (переместительности).

VI
;– законы ассоциативности (сочетательности).

VII

;
– законы дистрибутивности
(распределительности).

VIII
;– законы де Моргана (английский логик,
1806-1871).

Законы логики
используются для упрощения сложных
формул и для доказательства тождественной
истинности или ложности формул.

Контрольные
вопросы

1. Дайте определение
   высказывания и высказывательной формы.

2. Перечислите
   основные логические связки.

3. Дайте определение
   логической операции.

4. Дайте определение
   негации, конъюнкции, дизъюнкции,
   импликации и эквиваленции.

5. Какие переменные
   называются пропозициональными?

6. Сформулируйте
   определение формулы логики высказываний.

7. Опишите процедуру
   формализации высказываний.

8. Для чего нужна
   таблица истинности?

9. Опишите алгоритм
   составления таблицы истинности.

10. Какие формулы
    называются тавтологиями, противоречиями,
    выполнимыми (опровержимыми)?

11. Какие формулы
    называются равносильными?

12. Сформулируйте
    несколько основных законов логики.

13. Для чего нужны
    законы логики?

Формулы алгебры высказываний

Построение сложных высказываний

С помощью логических операций, рассмотренных в предыдущей лекции, из простейших высказываний можно строить высказывания более сложные. Например, из высказываний можно построить такое высказывание: «Если Саратов находится на берегу Невы и все люди смертны, то А.С. Пушкин — великий русский математик». Построенное высказывание символически записывается так: . Конечно, оно звучит несколько странно, поскольку соединяет в себе столь разнородные понятия, которые обычно существуют раздельно друг от друга. Но нас, еще раз подчеркиваем, интересует не содержание этого высказывания, а его логическое значение. Оно может быть определено, исходя из логических значений исходных высказываний и той схемы, по которой из исходных высказываний построено сложное высказывание. Так как , то, используя соотношения (1.4), (1.2) и определения 1.7, 1.3, находим:

Итак, высказывание истинно.

Для конструирования данного сложного высказывания из простейших высказываний и нужно применить операцию конъюнкции к первым двум высказываниям, а затем к полученному высказыванию и к третьему исходному высказыванию применить операцию импликации. Это словесное описание схемы конструирования данного сложного высказывания можно заменить описанием символическим: , где — некоторые символы (переменные), вместо которых можно подставить любые конкретные высказывания. Такая схема конструирования составного высказывания может быть применена к различным конкретным высказываниям, а не только к высказываниям . Например, по этой схеме» из высказываний построим высказывание «Если Сократ — человек и снег — белый, то «. Находим его логическое значение:

Таким образом, та же самая схема построения составного высказывания привела к ложному высказыванию. Однако ввиду разнородности понятий, которыми оперируют исходные высказывания , трудно на интуитивной основе судить об истинности высказывания .

По рассматриваемой схеме построено и следующее высказывание: «Если 100 делится на 5 и 100 делится на 2, то 100 делится на 10». Формальное вычисление логического значения данного высказывания показывает, что оно истинно, с чем вполне согласуются наши интуитивные представления об этом высказывании.

Итак, символическая запись является своего рода формулой. Конечно, более привычны формулы типа (формула площади круга), (формула потенциальной энергии тела) и им подобные. Тем не менее выражение также можно считать формулой — формулой схемы конструирования составных высказываний из более простых.

Понятие формулы алгебры высказываний

В формулу вместо переменных можно подставлять конкретные высказывания, после чего вся формула будет превращаться в некоторое составное высказывание. Переменные, вместо которых можно подставлять высказывания, т.е. переменные, пробегающие множество высказываний, называют пропозициональными переменными, или высказывательными переменными, или переменными высказываниями. Будем обозначать пропозициональные переменные заглавными буквами латинского алфавита или такими же буквами с индексами

Теперь дадим точное определение формулы алгебры высказываний.

Определение 2.1

1. Каждая отдельно взятая пропозициональная переменная есть формула алгебры высказываний.

2. Если и — формулы алгебры высказываний, то выражения также являются формулами алгебры высказываний:

3. Никаких других формул алгебры высказываний, кроме получающихся согласно пунктам 1 и 2, нет.

Определения такого типа называются индуктивными. В них имеются прямые пункты (в данном случае п. 1 и п. 2), где задаются объекты, которые в дальнейшем именуются определяемым термином (в данном случае — формулами алгебры высказываний), и косвенный пункт (в данном случае п. 3), в котором говорится, что такие объекты исчерпываются объектами, заданными в прямых пунктах. Среди прямых пунктов имеются базисные пункты (в данном случае п. 1), где указываются некоторые конкретные объекты, именуемые в дальнейшем определяемым термином, и индуктивные пункты (в данном случае п. 2), где даются правила получения определяемых объектов, в частности из объектов, перечисленных в базисных пунктах.

В данной лекции формулы алгебры высказываний будем называть просто формулами. Есть и другие названия для понятия формулы: правильно построенная формула или правильно построенное выражение, но они представляются менее предпочтительными. Само определение формулы, носящее индуктивный характер, на первых порах кажется непривычным. Определения такого типа вам ранее не встречались. Лучшее понимание этого определения наступит, когда вы научитесь применять его для определения того, является или не является формулой последовательность символов (слово), составленная из пропозициональных переменных, символов логических операций и скобок.

К этому полезно добавить следующее. Для каждой формулы должна существовать конечная последовательность всех ее подформул, т.е. такая конечная последовательность, которая начинается с входящих в данную формулу пропозициональных переменных, заканчивается самой этой формулой, и каждый член этой последовательности, не являющийся пропозициональной переменной, есть либо отрицание уже имеющегося члена этой последовательности, либо получается из двух уже имеющихся членов этой последовательности их соединением с помощью одного из знаков и заключением полученного выражения в скобки. Такую последовательность всех подформул данной формулы иногда называют порождающей последовательностью для данной формулы. Наличие такой последовательности у логического выражения служит критерием того, что выражение является формулой. Это свойство отличает формулы.

Приведем примеры формул. На основании п. 1 определения 2.1 формулами будут пропозициональные переменные:

Далее на основании п. 2 того же определения из этих формул построим следующие:

Из построенных формул также на основании п. 2 строим еще более сложные формулы:

Ясно, что процесс построения все более сложных формул может продолжаться безгранично.

Приведем примеры выражений, не являющихся формулами. Это в каком-то смысле нелепые выражения. К примеру, выражение было бы формулой на основании п. 2 определения 2.1, если бы формулами были выражения и . Выражение есть пропозициональная переменная и потому на основании п. 1 определения 2.1 является формулой. Рассмотрим выражение . Оно было бы формулой, если бы между формулами и стоял один из знаков логических связок. Но такого знака нет. Следовательно, выражение не формула, и исходное выражение формулой также не является.

Таким образом, индуктивный характер определения 2.1 дает возможность эффективно решать для каждого выражения, является оно формулой алгебры высказываний или нет.

Вот еще примеры выражений, не являющихся формулами (убедитесь в этом самостоятельно):

То, что последнее выражение не является формулой, может сначала вызвать недоумение. Но после сопоставления его с п. 2 определения 2.1 отмечаем, что в последнем выражении недостает внешних скобок для того, чтобы считать его формулой. Действительно, если бы мы сочли данное выражение формулой, то на основании п. 2 формулой было бы и выражение . Но оно бессмысленно, потому что неопределенно: неизвестно, какую операцию нужно выполнять первой, импликацию или эквивалентность. А от этого, как можно проверить (проверьте!), будет зависеть логическое значение составного высказывания (см. п. 3), получающегося из последнего выражения, если его превратить в формулу указанием последовательности действий и придать пропозициональным переменным и конкретные значения (высказывания). Если бы в исходном выражении стояли внешние скобки, т.е. если бы оно было формулой , то проделанное в предыдущем абзаце построение привело бы к формуле .

Итак, требование внешних скобок у формулы не является излишним формализмом. Тем не менее внешние скобки придают формуле громоздкость и, если данная формула не входит составной частью в более сложную формулу, не несут никакой информации и смысловой нагрузки. Поэтому внешние скобки в окончательно записанной формуле договариваются опускать. Например, формулу будем записывать в виде , а вместо формулы будем писать . Но если данная формула должна будет войти составной частью в более сложную формулу, то сначала заключаем ее во внешние скобки и только потом отправляем в процедуру построения новой формулы.

Логическое значение составного высказывания

Если в формулу алгебры высказываний вместо пропозициональных переменных подставить конкретные высказывания соответственно, то получится некоторое новое составное высказывание . Оно называется конкретизацией формулы на выборе высказываний . Как определить логическое значение полученного составного высказывания, если известны логические значения исходных высказываний ?

Прежде чем сформулировать в следующей теореме ответ на поставленный вопрос, введем одно понятие. Ранее отмечалось, что только логические значения высказываний, а не их содержание рассматриваются в алгебре высказываний. Это дает возможность несколько упростить обозначения и терминологию. Так, каждое ложное высказывание можно рассматривать как элемент 0, а каждое истинное — как элемент 1 двухэлементного множества , и писать вместо или лишь только или соответственно. Далее, если формула при подстановке вместо ее пропозициональных переменных высказываний с логическими значениями превращается в высказывание с логическим значением , то будем говорить, что формула принимает значение а, если ее переменные принимают значения соответственно, и писать и , где . Для нахождения значения нужно подставить в формулу вместо пропозициональных переменных значения соответственно и в полученном выражении последовательно проделать все действия с нулями и единицами, предписываемые правилами таблиц из определений 1.1, 1.3, 1.5, 1.7, 1.9. В результате получим 0 или 1. Полученное значение будем обозначать и называть значением данной формулы на данном наборе нулей и единиц . Например, вычислим значение формулы

на наборе

Теорема 2.2. Логическое значение составного высказывания равно значению формулы на наборе логических значений составляющих высказываний , т.е.

Доказательство. Докажем утверждение методом полной математической индукции по числу символов логических операций, входящих в формулу .

Если формула содержит 0 символов логических операций, то она представляет собой просто пропозициональную переменную, скажем, , т.е. (знак обозначает абсолютную тождественность двух формул, графическую одинаковость левой и правой частей). Тогда доказываемое соотношение сводится к тривиальному равенству: .

Если формула содержит лишь один символ логической операции, то она является одной из следующих формул:

В этих случаях доказываемое равенство есть одно из равенств (1.1)–(1.5).

Предположим теперь, что утверждающееся в теореме равенство верно для всех формул алгебры высказываний, содержащих не более к символов логических операций. Докажем, что оно верно для формулы , содержащей символов логических операций. На основании определения 2.1 формула имеет один из следующих видов:

где и — некоторые формулы, каждая из которых содержит уже не более к символов логических операций. Нужно провести доказательство для всех пяти случаев. Но в силу принципиальной идентичности этих доказательств проделаем его, например, для случая . Вычисляем:

В проделанных вычислениях второе равенство основано на определении 1.3 логической операции конъюнкции. Третье равенство основано на предположении индукции о том, что для формул и соотношение теоремы выполняется. Наконец четвертое равенство записано на основании того, что .

Аналогичным образом соотношение теоремы доказывается и во всех остальных случаях конструирования формулы из формул и .

Следовательно, утверждение теоремы верно для любой формулы алгебры высказываний.

Итак, здесь необходимо понять, что логическое значение составного высказывания по существу является значением некоторого (логического) выражения при некотором наборе конкретных значений всех входящих в него (пропозициональных) переменных. При этом пропозициональные переменные могут принимать значения 0 или 1, само выражение принимает значение 0 или 1, и вычисляется это значение (в силу теоремы 2.2) посредством применения к значениям 0 и 1 предписываемых данным выражением логических действий. Логические действия над величинами 0 и 1 выполняются по правилам, определяемым таблицами истинности этих действий (операций) — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентности. Таким образом, мы фактически начинаем иметь дело с некой новой (логической) алгеброй, или алгеброй логики, которая как бы «параллельна» привычной школьной алгебре. Сравним компоненты этих двух алгебр с помощью следующей таблицы:

Аналогия со школьной алгеброй будет продолжена при рассмотрении равносильных преобразований в алгебре логики.

Составление таблиц истинности для формул

На основании теоремы 2.2 можно для данной формулы алгебры высказываний найти логические значения всех тех высказываний, в которые формула превращается при подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных различных конкретных высказываний. При этом говорят о логическом значении самой формулы и о логических значениях ее пропозициональных переменных. При нахождении логических значений формулы, соответствующих всевозможным наборам значений ее пропозициональных переменных, удобной формой записи является табличная форма. Рассмотрим примеры.

Пример 2.3. Составим таблицу истинности для формулы . В первых двух столбцах таблицы выпишем всевозможные пары логических значений, которые могут принимать пропозициональные переменные и (точнее, те высказывания, которые могут быть подставлены в формулу вместо пропозициональных переменных и ). В последующих столбцах выписываем логические значения формул и , образующих так называемую порождающую последовательность для данной формулы. Руководствуемся при этом определениями логических операций импликации и дизъюнкции. В результате получаем таблицу:

Первые два столбца и последний столбец составленной таблицы задают соответствия между логическими значениями исходных высказываний и логическим значением составного высказывания, получаемого по данной формуле. Эти три столбца и образуют таблицу истинности данной формулы. Остальные два столбца (для логических значений и носят вспомогательный, промежуточный характер.

Пример 2.4. Составим таблицу истинности для формулы . Она содержит три пропозициональные переменные, для которых имеются точно восемь различных наборов значений истинности. Таблица истинности для рассматриваемой формулы вместе с промежуточными столбцами выглядит следующим образом:

Таблицу истинности формулы можно составлять в сокращенном виде.

Пример 2.5. Составим, например, такую таблицу для формулы: (внешние скобки у формулы, согласно договоренности, опущены). В первой строке таблицы выпишем данную формулу. Под переменными и выписываем всевозможные наборы их логических значений. Далее столбец под первым знаком заполним логическими значениями формулы , исходя из соответствующих значений переменной , а столбец под знаком — логическими значениями формулы , исходя из соответствующих логических значений формул и . Затем заполняем столбец под вторым знаком значениями формулы и столбец под знаком — значениями формулы . Наконец заполняем столбец под знаком логическими значениями данной формулы. В итоге получаем

Выделенные жирным шрифтом табулированные значения представляют собой столбец логических значений данной формулы.

Практика составления довольно большого числа таблиц истинности есть наилучший способ прочно запомнить определения логических связок (отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности) и довести до автоматизма выдачу значений любой из этих операций. Это знание необходимо для решения более содержательных задач алгебры высказываний.

Классификация формул алгебры высказываний

Формулы алгебры высказываний подразделяются на следующие типы: выполнимые, тавтологии, опровержимые и тождественно ложные.

Формула алгебры высказываний называется выполнимой, если некоторая ее конкретизация является истинным высказыванием, т.е. существуют такие конкретные высказывания , которые, будучи подставленными в эту формулу вместо переменных соответственно, превращают ее в истинное высказывание. Таким образом, выполнима, если существуют такие конкретные высказывания , что . Выполнимой формулой является, в частности, формула, рассмотренная в примере 2.4. Она превращается в истинное высказывание, если, например, вместо пропозициональных переменных подставить ложные высказывания. Выполнима также формула , конкретизация которой рассмотрена в начале этой лекции.

Формула называется тавтологией, или тождественно истинной, если она превращается в истинное высказывание при всякой подстановке вместо переменных конкретных высказываний , т.е. если для любых высказываний . Формула из примера 2.3 является тавтологией. Для обозначения тавтологии используется знак , который ставится перед формулой, являющейся тавтологией. Таким образом, запись означает, что формула является тавтологией. В частности, для указанного примера можем записать .

Формула называется опровержимой, если существуют такие конкретные высказывания , которые превращают данную формулу в ложное высказывание , т.е. . Другими словами, опровержимые формулы — это формулы, не являющиеся тавтологиями. Опровержимой является формула, рассмотренная в примере 2.4. Она обращается в ложное высказывание лишь тогда, когда вместо всех переменных подставлены истинные высказывания. Формула также опровержима.

Наконец, формула называется тождественно ложной, или противоречием, если для любых конкретных высказываний . Другими словами, тождественно ложные формулы — это такие формулы, которые не являются выполнимыми.

При решении задач на классификацию формул полезно отказаться от механического составления таблиц истинности и научиться решать их методом анализа структуры формулы и нахождения тех отдельных наборов значений переменных, в случае которых формула принимает определяющее значение.

Мышление и математическая логика

В заключение следует отметить, что мы приступили к фундаментальному процессу исследования математическими методами такой сферы, как область человеческого мышления. Начало процессу математизации логики положено математизацией языка. Фактически построена своеобразная знаковая система (символический язык логики высказываний), с помощью которой можно попытаться отразить человеческую мысль и проследить оформление мыслительного процесса. Этот язык основывается на алфавите, состоящем из следующих символов:

1) пропозициональных букв: ;
2) символов логических операций: ;
3) технических знаков: .

Словами построенного языка являются формулы логики высказываний. Предложения обычного (русского) языка могут быть «переведены» на символический язык логики высказываний, где они представляются формулами логики высказываний. Следует иметь в виду, что при таком переводе сохраняются логическое содержание, логическая структура предложения, но, конечно же, теряются его языковая красота и психологические оттенки. Формула представляет собой формальную последовательность знаков, составленную по строгим правилам, нарушение которых недопустимо. Такой перевод высказывания естественного языка на символический язык называется его формализацией. В частности, перевод высказывания на символический язык логики высказываний есть его формализация в рамках символической логики высказываний. Получаемая формула показывает способ соединения простых высказываний в составное при помощи логических союзов. Она представляет как бы в «чистом виде» логическую структуру составного высказывания.

Формула логики высказываний сама по себе не имеет никакого содержания. В частности, она не является ни истинной, ни ложной. Она превращается в высказывание, истинное или ложное, при всякой подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных любых конкретных высказываний. Такой процесс подстановки называется интерпретацией данной формулы алгебры высказываний.

Таким образом, имеются два взаимно-обратных процесса (две процедуры): формализация и интерпретация. Если имеется формула и высказывание есть результат ее интерпретации, то сама формула будет формализацией высказывания . Обратно, если имеется высказывание и формула есть его формализация, то высказывание будет одной из интерпретаций формулы . Итак, формализация — это переход от высказывания естественного языка к формуле логики высказываний, а интерпретация — переход от формулы логики высказываний к высказыванию естественного языка. Таблица истинности или таблица значений формулы логики высказываний — это таблица, которая указывает логическое значение формулы при любой ее интерпретации.

Осознание этих понятий исключительно важно на данном этапе, поскольку они являются ключевыми для изучения в дальнейшем более глубоких разделов математической логики. На данном этапе делается первый шаг на пути формализации — важнейшего метода математической логики.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Формулы логики высказываний

Формулами логики высказываний называются составные
высказывания, построенные из простых высказываний с помощью логических связок. 
Формулы состоят из:

—         
переменных: А, В, х₁, х₂, х_3, y,z,…

—         
знаков логических операций: Ø, &, Ú, ®, «, Å

—         
круглых скобок.

Выражение, составленное из обозначений высказываний, логических
связок и скобок, называется логической формулой, если оно удовлетворяет следующим условиям:

—         
любая переменная, обозначающая высказывание, является формулой;

—         
если А и В — формулы, то (А&В), (АÚВ), (ØА), (А®В), (А«В) — формулы;

—         
других формул нет.

Порядок выполнения логических операций в
сложном логическом выражении:

Ø, &, Ú, ®, «, Å.

Лишние скобки опускаются.

Порядок построения формул логики высказываний на основе
сложных высказываний:

1.      Разложить сложное высказывание на
простые высказывания.

2.      Каждому простому высказыванию
назначить соответствующую логическую переменную.

3.      Определить логические операции над
простыми высказываниями.

4.      Учитывая порядок следования
простых высказываний, из которых состоит сложное высказывание, записать формулу
алгебры высказываний.

Рассмотрим
примеры представления логическими формулами следующих высказываний.

Пример 1.

       Высказывание: «Идет
дождь или снег».

Это высказывание
включает два простых высказывания, соединенных логической связкой «или».
Это неразделимое
«или», «или» с включением союза «и» (осадки могут быть смешанными, например,
снег с дождем). Обозначим

А — «Идет дождь»;

В — «Идет снег».

Логической
операции, соответствующей логической связке «или», является дизъюнкция
(Ú). Логическая формула
примет вид:

АÚВ.

Пример 2.

       Высказывание: «Сегодня
суббота или воскресенье».

            Составное
высказывание «Сегодня суббота или воскресенье» состоит из двух
простых высказываний:

       А — «Сегодня
суббота»;

       В — «Сегодня
воскресенье».

Оба высказывания соединены связкой «или» в
разделительном смысле (одновременно не может наступить суббота и воскресенье).  Логической
операции, соответствующей этой логической связке «или», является сложение по
модулю 2, то есть Å.

Логическая формула примет вид:

АÅВ.

Пример 3.

       Высказывание: «Что с горы,
что под гору».

                Высказывание
«Что
с горы, что под гору», разобьем на два простых высказывания и введем
обозначения:

                А- «С горы»;

В — «Под гору»,

Два высказывания соединены операцией эквивалентности
(↔). Высказывание «Что с горы, что под гору» представимо
логической формулой:

А«В.

Рассмотрим
примеры представления логическими формулами
более сложных высказываний.

Пример 4.

            Высказывание:
«Если
идет дождь, то пикник отменяется. Дождя нет, но пикник отменяется».

       Сложное
высказывание включает два простых высказывания:

А — «Идет дождь»;

В — «Пикник
отменяется».

В первом
предложении («Если идет дождь, то пикник отменяется») высказывания А, В
соединены связкой «если…, то…», что соответствует логической операции
импликация (®):

А®В.

Во втором предложении
(«Дождя нет, но пикник отменяется») союз «но» имеет смысл связки «и»
(конъюнкция &).. Для фразы «нет дождя» к высказыванию А необходимо
применить операцию отрицания ():

.

Далее
объединим представленные выше два высказывания в одно связкой
&:

.

Пример 5.

            Высказывание: «Если в
научной работе используются цитаты других авторов и ссылки на научные источники,
то необходимо убедиться в точности их передачи или необходимости их применения
в проекте»

Составное
высказывание состоит из следующих простых высказываний:

А — «В научной
работе используются цитаты других авторов».

B — «В научной
работе используются ссылки на научные источники».

C — «Необходимо убедиться
в точности их передачи».

D — «Необходимо
убедиться в необходимости их применения в проекте».

Логическая
формула второго составного высказывания:

(A&D)®(CÚD).

Пример 6.

            Высказывание: «Если вы
решаете примеры по математике и при этом используете калькулятор, то это
приводит к постепенной утрате навыков устного счета или потере возможности
прогнозирования результатов своей деятельности».

Первое составное высказывание состоит из следующих
простых высказываний:

А — «Вы решаете примеры по математике».

В — «Вы
используете калькулятор».

С — «Постепенная утрата навыков устного счета».

D — «Потеря
возможности прогнозирования результатов своей деятельности».

С учетом
введенных обозначений и определенных логических связок сложное
высказывание будет представлено в виде следующей логи­ческой формулы:

(А&В)®(СÚD).

Пример 7.

Высказывание:
«Если фирма
продолжает выпуск определенного продукта и
ориентирована на определенный рынок, то для нее рациональной является стратегия «малого корабля» или экономии издержек. Такая стратегия достойна внимания,
если интенсивный маркетинг — стратегический хозяйственный фактор, но слабая сторона организации. Если интенсивный
маркетинг является стратегическим хозяйственным фактором и сильной стороной фирмы, то фирме следует придерживаться
стратегии захвата новых рынков для определенного продукта».

Первое предложение
содержит следующие простые высказывания:

А — «Фирма продолжает выпуск определенного
продукта».

В — «Фирма
ориентирована на определенный рынок».

С — «Для
фирмы рациональной является стратегия «малого корабля»«.

            D — «Для фирмы рациональной
является стратегия экономии издержек»

С учетом
введенных обозначений логическая формула для первого предложения
примет вид:

(А&В)®(С↔D).

Второе
предложение содержит другие простые высказывания:

К — «Интенсивный маркетинг
является стратегическим хозяйственным
фактором организации».

L — «Интенсивный
маркетинг является слабой стороной организации».

Логическая
формула, представляющая второе предложение:

(K&L)®(С↔D).

В третьем
предложении содержатся новые простые высказывания:

М — «Интенсивный
маркетинг является сильной стороной организации».

N — «Фирме следует придерживаться стратегии
захвата новых рынков для определенного продукта».

Логическая
формула для третьего предложения:

(K&M)®N.

Окончательно
составное
высказывание записывается следующей логической формулой:

((А&В)®(С↔D))&((К&L)®(С↔D))&((К&М)®N).

      Упражнения для самостоятельной работы.

      Представить
логическими формулами следующие высказывания:

      1. «Если параметр
цикла находится между начальным и конечным значением включительно, то
выполняется тело цикла».

         2. «Если темпы роста рынка продукта корпорации высокие
и размер контролируемой ею доли рынка также высок, то в соответствии с методами
анализа этот продукт относится к категории «звезда»; он дает большой доход, но
требует значительных вложений».