Как найти значение функции с помощью графика - AvtoShod.ru

Покажите, как с помощью графика функции можно найти:
а) значение функции, соответствующее заданному значению аргумента;
б) значения аргумента, которым соответствует данное значение функции. Используйте для этого график функции, изображенный на рисунке 15.

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. § 5. Контрольные вопросы и задания. Номер №4

Решение а

Найдем значение функции при x = 5.
От точки 5 на оси x проведем перпендикуляр к оси x, а затем от точки пересечения данного перпендикуляра с графиком функции проведем перпендикуляр к оси y. Точка пересечения перпендикуляра с осью y и будет значением функции. При х = 5, y = 2.

Решение б

Найдем значение аргумента при y = 1.
От точки 1 на оси y проведем перпендикуляр к оси y, а затем от точки пересечения данного перпендикуляра с графиком функции проведем перпендикуляр к оси x. Точка пересечения перпендикуляра с осью x и будет значением аргумента. При y = 1, x = 3.

Источник

Обновлено: 28.05.2023

Основной признак функциональной зависимости между двумя переменными величинами — это наличие соответствия между значениями этих величин: каждому допустимому значению одной переменной соответствует строго определённое значение другой.

Функция считается заданной, как только установлено соответствие между двумя переменными. Это соответствие может быть установлено различными способами. Рассмотрим подробнее три из них: аналитический, табличный и графический.

Аналитический способ

Аналитический способ — это способ задания функции с помощью формулы.

Например, формула y = x — 2 показывает, как с помощью значения аргумента x вычислить соответствующее ему значение функции y.

Табличный способ

Табличный способ — это способ задания функции с помощью таблицы со значениями.

Например, если измерять температуру воздуха каждый час в течении суток, то каждому часу (t) будет соответствовать определённая температура (T). Такое соответствие можно записать в виде таблицы:

t (ч)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
T (°)	14	14	14,5	14,5	15	15	16	16	16	16,5	16,5	17
t (ч)	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
T (°)	18	20	22	24	24,5	24,5	24	23	21	20	18	16

Следовательно, T функция от t — T(t) , определённая с помощью множества целых чисел от 0 до 24 и заданная таблицей. Соответствие между величинами двух переменных задаётся в данном случае не формулой, а таблицей.

Графический способ

Графический способ — это способ задания функции с помощью графика. В этом случае аргумент является абсциссой точки, а значение функции, соответствующее данному аргументу, ординатой.

Графики позволяют быстро находить значение функции по значению аргумента и наоборот — значение аргумента по значению функции. Например, рассмотрим уже готовый график функции:

Чтобы узнать, какое значение функции будет соответствовать аргументу x = 1, надо провести из соответствующей точки оси абсцисс (оси x) перпендикуляр на график. Ордината точки пересечения перпендикуляра с графиком (точки M) и будет соответствующим значением функции. Поэтому, так как точка M имеет координаты (1; 2), то запись этих значений в виде функции будет выглядеть так: y(1) = 2.

После того, как вы действительно поймете, что такое функция (возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Запись решения выглядит следующим образом.

Запомните!

Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на противоположный .

Как проверить верно ли равенство для функции

Важно!

Не забывайте использовать правило знаков.

Неправильно

Правильно

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами (1; 2) .

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Запомните!

Если получится верное равенство , значит, точка принадлежит функции.

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами (1; 2) принадлежит заданной функции.

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат в формулу функции получается верное равенство.

При расчетах мы также получили y = −3 .

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Важно!

б) значение аргумента, которым соответствует данное значение функции.

А) на оси ОХ берёшь значение аргумента, Х = а проводишь прямую параллельную оси ОУ до пересечения с графиком и из точки пересечения опускаешь перпендикуляр на ось ОУ это и будет F(a) те значение функции для этого аргумента.

На оси ОУ отмечаешь значение функции, проводишь прямую параллельную оси ОХ до пересечения с графиком и из точки пересечения опускаешь перпендикуляр на ось ОХ.

Функция задана формулой y = одна четвертая в дробях x значение функции соответствующее значению аргумента равному 8?

Функция задана формулой y = одна четвертая в дробях x значение функции соответствующее значению аргумента равному 8.

Функция задана формулой у = 5 — 1 / 3х найдите значение функции соответствующее значению аргумента равному 6 и — 6?

Функция задана формулой у = 5 — 1 / 3х найдите значение функции соответствующее значению аргумента равному 6 и — 6.

1. Функция задана формулой у = х – 7?

1. Функция задана формулой у = х – 7.

Найдите : а) значение функции, соответствующее значению аргумента, равному 4 ; б) значение аргумента, при котором значение функции равно –8.

2. а) Постройте график функции у = 3х – 4.

Б) С помощью графика найдите значение функции, соответствующее значению аргумента 2, 5.

Постройте график линейной функции пропорциональности у = — 2х?

Постройте график линейной функции пропорциональности у = — 2х.

1)значение функции, соответствующее значению аргумента, равному — 3 ; 2 ; 4

2)значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 4 ; 2 ; — 2.

Постройте график прямой пропорциональности y = — 2x найдите : 1 значение функции соответствующий значению аргумента равному — 3 ; 2 ; 4 : 2 значение аргумента, которому соответствуют значение функции ?

Постройте график прямой пропорциональности y = — 2x найдите : 1 значение функции соответствующий значению аргумента равному — 3 ; 2 ; 4 : 2 значение аргумента, которому соответствуют значение функции равное 4 ; 2 ; — 2.

Функция задана формулой y = 1 / 2x — 7 найдите значение функции соответствующее значению аргумента равному 4?

Функция задана формулой y = 1 / 2x — 7 найдите значение функции соответствующее значению аргумента равному 4.

Функция задана формулой у = х + 4 найдите значение?

Функция задана формулой у = х + 4 найдите значение.

а) аргумента, при котором значение функции равна 4.

Б) функции, соответствующее значению аргумента : — 3, 5, 4.

Дана функция y = 3х — 5a) постройте график функцийб)найдите значение аргумента, соответствующего значению функции равному 4?

Дана функция y = 3х — 5

a) постройте график функций

б)найдите значение аргумента, соответствующего значению функции равному 4.

Дана функция : y = 4 — 2xa) Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента равному — 1б) найдите значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 10?

Дана функция : y = 4 — 2x

a) Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента равному — 1

б) найдите значение аргумента, которому соответствует значение функции, равное 10.

Функции задана графиком при каких значениях аргумента значение функции равно 2?

Функции задана графиком при каких значениях аргумента значение функции равно 2.

3х — у = 17 → у = 3х — 17 → значение у подставим во 2 — ое уравнение 2х + 3у = — 7→ 2х + 3(3х — 17) = — 7 → решаем 2 — ое уравнение : 2х + 9х — 51 = — 7 11х = 51 — 7 11х = 44 х = 4 → подставляем значение хв 1 — ое уравнение : 3х — у = 17 3 * 4 — у = ..

100% * 120% = 120% 120% * 115% = 138% выросла на 38%.

Надо найти НОК (наименьшее общее кратное) всех трех проходов 6, 5 и 10 НОК = 30. Встретятся через 30 дней. Всё пароходы встретятся через 30 дней.

42 415 702 1005 1110.

Если Р = 16, то сумма длин сторон = 16 / 2 = 8 см Длина и ширина могут быть : 7см и1 см, 6 см и 2см, 5 см и 3см, 4см и 4 см.

1, 52415787501е16 это можно посчитать на калькуляторе.

2 ст — 4см. 2 др 12 — 4 = 8.

1)12 : 2 = 6 — сумма двух разных сторон 2)6 — 2 = 4. Ответ : Вторая сторона равна 4 см.

На рисунке изображен график функции . Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:

область определения функции
область значений функции
нули функции
промежутки возрастания и убывания
точки максимума и минимума
наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Абсцисса — это координата точки по горизонтали.
Ордината — координата по вертикали.
Ось абсцисс — горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат — вертикальная ось, или ось .

Аргумент — независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .

Область определения функции — множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .

На нашем рисунке область определения функции — это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.

Область значений функции — это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок — от самого нижнего до самого верхнего значения .

Нули функции — точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .

Значения функции положительны там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .

Важнейшие понятия — возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.

Функция возрастает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.

Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .

Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.

На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .

Определим, что такое точки максимума и минимума функции.

На нашем рисунке — точка максимума.

На нашем рисунке — точка минимума.

Точка — граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.

Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции. В нашем случае это и .

А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции — это ее значение в точке минимума.

Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .

Можно сказать, что экстремумы функции равны и .

Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.

В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.

В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

Читайте также:

Надзор что это кратко

Что значит сметать по технологии кратко

Как сохранить в напитках больше витаминов кратко

Сталкер это кто такой простыми словами кратко и понятно

Что происходит у растений в период цветения ответ кратко

Источник

В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.

Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.

Рисунок 1

1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.

Решение:

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.

Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.

От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).

Следовательно, при x=1 y=2.

Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.

Получаем, что при x=3 y=4.

Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.

При x=-3 н=-2.

При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.

Записываем: при x=-1 y=0.

При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.

Рисунок 2

Решение:

Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.

При x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.

Пишем: при x=1 y=2.

При x равном -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.

При x= -1 y=4.

При x= -5 y=6.

При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.

При x=3 y= -3.

При x=5 y= -6.

При x=7 y= -3.

Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:

(при x=3 и x=7 y= -3).

Источник

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции (y=ax^2+bx+c) и нужно по этому графику определить коэффициенты (a), (b) и (c). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью (y) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент (a) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если (a>0), то ветви параболы направленных вверх, если (a 1), то график вытянут вверх в (a) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого (a=1)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: (y=ax^2+bx+c). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим (9a) вместо (b):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки (A) и (B) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение (a):

Получается квадратичная функция: (y=-x^2-9x-15).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что (c=4). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: (C(-1;8)), (D(1;2)) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Главный недостаток этого способа — вершина должна иметь целые координаты.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График (y=-x^2) симметричен относительно оси (x) графику (y=x^2).

– Если (a>1) график (y=ax^2) получается растяжением графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.
– Если (a∈(0;1)) график (y=ax^2) получается сжатием графика (y=x^2) вдоль оси (y) в (a) раз.

– График (y=a(x+d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) влево на (d) единиц.
— График (y=a(x-d)^2) получается сдвигом графика (y=ax^2) вправо на (d) единиц.

График (y=a(x+d)^2+e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вверх.
График (y=a(x+d)^2-e) получается переносом графика (y=a(x+d)^2) на (e) единиц вниз.

У вас наверно остался вопрос — как этим пользоваться? Предположим, мы видим такую параболу:

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому (a=1). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы (y=x^2).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на (4).

То есть наша функция выглядит так: (y=(x-5)^2-4).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти (f(6)), надо сначала узнать формулу функции (f(x)). Найдем её:

Парабола растянута на (2) и ветви направлены вниз, поэтому (a=-2). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция (y=-2x^2).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому (y=-2(x-2)^2).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому (y=-2(x-2)^2+4).

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Тип урока: Обобщение, закрепление пройденного материала и объяснение нового.

Цели и задачи урока:

повторение изученных графиков функций;
повторение и закрепление графического способа решения уравнений;
закрепление навыков записи и копирования формул, построения графиков функций в электронных таблицах Excel 2007;
формирование и первичное закрепление знаний о решении уравнений с использованием возможностей электронных таблиц Excel 2007;
формирование мышления, направленного на выбор оптимального решения;
формирование информационной культуры школьников.

Оборудование: персональные компьютеры, мультимедиапроектор, проекционный экран.

Материалы к уроку: презентация Power Point на компьютере учителя (Приложение 1).

Слайд 1 из Приложения1 ( далее ссылки на слайды идут без указания Приложения1).

Объявление темы урока.

1. Устная работа (актуализация знаний).

Слайд 2 — Соотнесите перечисленные ниже функции с графиками на чертеже (Рис. 1):

у = 6 — х; у = 2х + 3; у = (х + 3) 2 ; у = -(х — 4) 2 ; .

Слайд 3 Графический способ решения уравнений вида f(x)=0.

Корнями уравнения f(x)=0 являются значения х₁, х₂, … точек пересечения графика функции y=f(x) с осью абсцисс (Рис. 2).

Найдите корни уравнения х 2 -2х-3=0, используя графический способ решения уравнений (Рис.3).

Слайд 5 Графический способ решения уравнений вида f (x)=g (x).

Корнями уравнения f(x)=g(x) являются значения х₁, х₂, … точек пересечения графиков функций y=f(x) и у=g(x). (Рис. 4):

Слайд 6 Найдите корни уравнения , используя графический способ решения уравнений (Рис. 5).

2. Объяснение нового материала. Практическая работа.

Решение уравнений графическим способом требует больших временных затрат на построение графиков функций и в большинстве случаев дает грубо приближенные решения. При использовании электронных таблиц, в данном случае – Microsoft Excel 2007, существенно экономится время на построение графиков функций, и появляются дополнительные возможности нахождения корней уравнения с заданной точностью (метод Подбор параметра).

I. Графический способ решения уравнений вида f(x)=0 в Excel.

Дальнейшая работа выполняется учителем в Excel одновременно с учениками с подробными (при необходимости) инструкциями и выводом результатов на проекционный экран. Слайды Приложения 1 используются для формулировки задач и подведения промежуточных итогов.

Пример1: Используя средства построения диаграмм в Excel, решить графическим способом уравнение —х 2 +5х-4=0.

Для этого: построить график функции у=-х 2 +5х-4 на промежутке [ 0; 5 ] с шагом 0,25; найти значения х точек пересечения графика функции с осью абсцисс.

Выполнение задания можно разбить на этапы:

1 этап: Представление функции в табличной форме (рис. 6):

в ячейку А1 ввести текст Х, в ячейку A2 — Y;

в ячейку В1 ввести число 0, в ячейку С1 – число 0,25;

выделить ячейки В1:С1, подвести указатель мыши к маркеру выделения, и в тот момент, когда указатель мыши примет форму черного крестика, протянуть маркер выделения вправо до ячейки V1 (Рис. 7).

При вводе формулы можно вводить адрес ячейки с клавиатуры (не забыть переключиться на латиницу), а можно просто щелкнуть мышью на ячейке с нужным адресом.

После ввода формулы в ячейке окажется результат вычисления по формуле, а в поле ввода строки формул — сама формула (Рис. 8):

скопировать содержимое ячейки B2 в ячейки C2:V2 за маркер выделения. Весь ряд выделенных ячеек заполнится содержимым первой ячейки. При этом ссылки на ячейки в формулах изменятся относительно смещения самой формулы.

2 этап: Построение диаграммы типа График.

выделить диапазон ячеек B2:V2;

на вкладке Вставка|Диаграммы|График выбрать вид График;

на вкладке Конструктор|Выбрать данные (Рис. 9) в открывшемся окне «Выбор источника данных» щелкнуть по кнопке Изменить в поле Подписи горизонтальной оси — откроется окно «Подписи оси». Выделить в таблице диапазон ячеек B1:V1 (значения переменной х). В обоих окнах щелкнуть по кнопкам ОК;

на вкладке Макет|Оси|Основная горизонтальная ось|Дополнительные параметры основной горизонтальной оси выбрать:

Интервал между делениями: 4;

Интервал между подписями: Единица измерения интервала: 4;

Положение оси: по делениям;

Выбрать ширину и цвет линии (Вкладки Тип линии и Цвет линии);

самостоятельно изменить ширину и цвет линии для вертикальной оси;
на вкладке Макет|Сетка|Вертикальные линии сетки по основной оси выбрать Основные линии сетки.

Примерный результат работы приведен на рис. 10:

3 этап: Определение корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-4 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня: х₁=1; х₂=4.

II. Графический способ решения уравнений вида f(x)=g(x) в Excel.

Пример 2: Решить графическим способом уравнение .

Для этого: в одной системе координат построить графики функций у₁= и у₂=1-х на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25; найти значение х точки пересечения графиков функций.

1 этап: Представление функций в табличной форме (рис. 1):

Перейти на Лист2.

Аналогично Примеру 1, применив приемы копирования, заполнить таблицу. При табулировании функции у₁=воспользоваться встроенной функцией Корень (Рис. 11).

2 этап: Построение диаграммы типа График.

Выделить диапазон ячеек (А2:V3);

Аналогично Примеру 1 вставить и отформатировать диаграмму типа График, выбрав дополнительно в настройках горизонтальной оси: вертикальная ось пересекает в категории с номером 5.

Примерный результат работы приведен на Рис. 12:

3 этап: Определение корней уравнения.

Графики функций у₁= и у₂=1-х пересекаются в одной точке (0;1) и, следовательно, уравнение имеет один корень – абсцисса этой точки: х=0.

III. Метод Подбор параметра.

Графический способ решения уравнений красив, но далеко не всегда точки пересечения могут быть такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 1 и 2.

Возможности электронных таблиц позволяют находить приближенные значения коней уравнения с заданной точностью. Для этого используется метод Подбор параметра.

Пример 3: Разберем метод Подбор параметра на примере решения уравнения —х 2 +5х-3=0.

1 этап: Построение диаграммы типа График для приближенного определения корней уравнения.

Построить график функции у=—х 2 +5х-3, отредактировав полученные в Примере 1 формулы.

выполнить двойной щелчок по ячейке B2, внести необходимые изменения;

с помощью маркера выделения скопировать формулу во все ячейки диапазона C2:V2.

Все изменения сразу отобразятся на графике.

Примерный результат работы приведен на Рис. 13:

2 этап: Определение приближенных значений корней уравнения.

График функции у=-х 2 +5х-3 пересекает ось абсцисс в двух точках и, следовательно, уравнение -х 2 +5х-4=0 имеет два корня.

По графику приближенно можно определить, что х₁≈0,7; х₂≈4,3.

3 этап: Поиск приближенного решения уравнения с заданной точностью методом Подбор параметра.

1) Начать с поиска более точного значения меньшего корня.

По графику видно, что ближайший аргумент к точке пересечения графика с осью абсцисс равен 0,75. В таблице значений функции этот аргумент размещается в ячейке E1.

Выделить ячейку Е2;

перейти на вкладку Данные|Анализ «что-если»|Подбор параметра…;

В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 14) в поле Значение ввести требуемое значение функции: 0.

В поле Изменяя значение ячейки: ввести $E$1 (щелкнув по ячейке E1).

Щелкнуть по кнопке ОК.

В окне Результат подбора (Рис. 15) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции:

В ячейке E1 выводится подобранное значение аргумента 0,6972 с требуемой точностью (0,0001).

Установить точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел – числа знаков после запятой (Формат ячеек|Число|Числовой).

Итак, первый корень уравнения определен с заданной точностью: х₁≈0,6972.

2) Самостоятельно найти значение большего корня с той же точностью. (х₂≈4,3029).

IV. Метод Подбор параметра для решения уравнений вида f(x)=g(x).

При использовании метода Подбор параметров для решения уравнений вида f(x)=g(x) вводят вспомогательную функцию y(x)=f(x)-g(x) и находят с требуемой точностью значения х точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

3. Закрепление изученного материала. Самостоятельная работа.

Задание: Используя метода Подбор параметров, найти корни уравнения с точностью до 0,001.

ввести функцию у=и построить ее график на промежутке [ -1; 4 ] с шагом 0,25 (Рис. 16):

найти приближенное значение х точки пересечения графика функции с осью абсцисс (х≈1,4);

найти приближенное решение уравнения с точностью до 0,001 методом Подбор параметра (х≈1,438).

4. Итог урока.

Слайд 12 Проверка результатов самостоятельной работы.

Слайд 13 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=0.

Слайд 14 Повторение графического способа решения уравнения вида f(x)=g(x).

5. Домашнее задание.

Используя средства построения диаграмм в Excel и метод Подбор параметра, определите корни уравнения х 2 -5х+2=0 с точностью до 0,01.

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Графический способ — наглядно.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;

точки экстремума;

нули функции;

точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.

Найти область допустимых значений функции.

Проверить не является ли функция четной или нечетной.

Проверить не является ли функция периодической.

Найти нули функции.

Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.

Найти асимптоты графика функции.

Найти производную функции.

Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.

На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/564361

http://skysmart.ru/articles/mathematic/postroenie-grafikov-funkcij

Источник

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

Вычислить «y» при «x = 15»
Найти значение «x», при котором
значение «y» равно «−19».

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

Запомните!

Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на
противоположный.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18 | · (−1)
2x = −18

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18 | (: 2)
x = −9

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Важно!

Когда подставляете отрицательное число вместо «x», обязательно заключайте его в скобки.

Не забывайте использовать
правило знаков.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Запомните!

Чтобы определить, принадлежит ли точка функции,
достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси
«Ox» вместо
«x» и координату по оси «Oy»
вместо «y»).

Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Важно!

Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте
подстановкой значений «x» в функцию.

При подстановке числового значения «x» в функцию в результате должно получиться
то же значение «y», которое вы получили на графике.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

11 ноября 2018 в 15:46

Веточка Сакуры
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Веточка Сакуры
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Функция y=f(x) является нечётной и при x ⩽0 задаётся формулой y= — x² — 8x.Найдите значение фун. в т. минимума (y min).

0
Спасибо thanks
Ответить

12 ноября 2018 в 3:25
Ответ для Веточка Сакуры

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

y_min= y(4) = -16.

0
Спасибо thanks
Ответить

17 сентября 2018 в 13:28

Alesger Mammedov
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Alesger Mammedov
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Добрый день помогите пожалуйста с задачкой
f(x²-3x)=3x²+5x-4
f(3)=?

0
Спасибо thanks
Ответить

17 сентября 2018 в 23:01
Ответ для Alesger Mammedov

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

f(3) = 26 ± 7√21

0
Спасибо thanks
Ответить

13 ноября 2016 в 6:43

Роман Безбородов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Роман Безбородов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

определите вид графика

0
Спасибо thanks
Ответить

14 ноября 2016 в 17:30
Ответ для Роман Безбородов

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

y = a^x; a > 1.

0
Спасибо thanks
Ответить

7 сентября 2016 в 22:08

Иван Баранов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

(^-^)
Иван Баранов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

у=Х²+2Х-3 найдите значение функции, если значение аргумента равно -2
у=3х-5 при каком значении аргумента значение функции раво 10

0
Спасибо thanks
Ответить

8 сентября 2016 в 15:26
Ответ для Иван Баранов

Юлия Анарметова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 11

(^-^)
Юлия Анарметова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 11

аргумент это х значит у=(-2)²+2 · (-2)-3=4-4-3=-3
у=3х-5 значит 10=3х-5
10+5=3х
15=3х
х=15:3=5

0
Спасибо thanks
Ответить

Источник

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. § 5. Контрольные вопросы и задания. Номер №4

Решение а

Решение б

Аналитический способ

Табличный способ

Графический способ

Как получить значение функции

Как проверить верно ли равенство для функции

Неправильно

Правильно

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Как получить координаты точки функции

Функция задана формулой y = одна четвертая в дробях x значение функции соответствующее значению аргумента равному 8?

Функция задана формулой у = 5 — 1 / 3х найдите значение функции соответствующее значению аргумента равному 6 и — 6?

1. Функция задана формулой у = х – 7?

Постройте график линейной функции пропорциональности у = — 2х?

Функция задана формулой y = 1 / 2x — 7 найдите значение функции соответствующее значению аргумента равному 4?

Функция задана формулой у = х + 4 найдите значение?

Дана функция y = 3х — 5a) постройте график функцийб)найдите значение аргумента, соответствующего значению функции равному 4?

Функции задана графиком при каких значениях аргумента значение функции равно 2?

Как определить a, b и c по графику параболы

1 способ – ищем коэффициенты на графике

3 способ – используем преобразование графиков функций

Графический способ решения уравнений в среде Microsoft Excel 2007

Построение графиков функций

Понятие функции

Понятие графика функции

Исследование функции

Построение графика функции

Как получить значение функции

Как проверить верно ли равенство для функции

Неправильно

Правильно

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Как получить координаты точки функции

Ваши комментарии

Не пропустите также: