Нет ничего занятнее и интереснее, чем парадоксы, которые дарит нам наука.
Что может заставить ребенка, который «не дружит» с точными науками, полюбить математику? Конечно же, математические фокусы! Нет ничего занятнее и интереснее, чем парадоксы, которые дарит нам наука. Они могут быть таинственными и забавными. А, главное, математические фокусы и загадки всегда хочется разгадать. Мы собрали для вас коллекцию математических фокусов, которые будут интересны детям и взрослым.
Угадывание чисел
Математика позволяет нам угадать любое случайное число, которое задумал другой человек? Не верите? Вам помогут лишь несколько простых формул, которые легко запомнить. Этот математический фокус всегда производит впечатление на окружающих.
Что нужно сделать?
- Попросите человека задумать любое простое число и не говорить его вам.
- Пусть ваш напарник умножит число на 2, не сообщая вам результат.
- Теперь к числу надо мысленно прибавить 8.
- Разделите результат на 2, а первоначальное задуманное число надо отнять.
Результатом будет число 4!
Вы точно не ошибетесь.
Вот, как выглядит этот фокус в формулах:
- x*2
- x*2+8
- (x*2+8)/2
- (x*2+8)/2-X=X+4-X=4
Определяем день недели
Вам не нужен календарь, чтобы определить день недели 1 января любого года в XXI веке. Как это сделать?
Давайте представим, что каждому дню недели соответствует определенное число.
3) КАК ОПРЕДЕЛИТЬ ДЕНЬ НЕДЕЛИ 1 ЯНВАРЯ ЛЮБОГО ГОДА В XXI ВЕКЕ
Сначала ознакомьтесь с представленной таблицей.
- Понедельник — 1
- Вторник – 2
- Среда – 3
- Четверг – 4
- Пятница – 5
- Суббота – 6
- Воскресенье – 7 или 0
Теперь выберите две последние цифры года из XXI века, который вас интересует. Вычислите 25% от этой цифры. Всё, что окажется за запятой нас не интересует. Из 9,45 нам важна только цифра 9. Теперь прибавьте это число к последним двум цифрам года. Самое сложное: из этого числа надо вычесть наиболее близкое к нему (но не превышающее его значение) произведение числа 7 (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42…).
Таким образом, вы вычислите номер дня и, сверившись со списком, узнаете, на какой день недели выпадет 1 января нужного года. Исключение составляют лишь високосные года. Тогда от 25% нужно отнимать 1 и дальше действовать по той же схеме.
Угадываем результат вычислений
Напишите на листке бумаге любое число от 1 до 50. Попросите других участников фокуса написать на своих листочках другое число, которое будет больше 50, но меньше 100 и не показывать вам.
- Попросите участников прибавить к их числу числу 99 – х, где х – число, написанное вами на бумаги.
- Пусть они зачеркнут в получившейся сумме крайнюю левую цифру и эту же цифру прибавят к оставшемуся числу.
- Полученное число надо будет вычесть из числа, первоначально ими придуманного.
В результате у всех участников математического фокуса получится именно то число, которое задумали вы!
Разгадкой выступает простая формула:
у – (у + 99 – х – 100 + 1) = у – у – 99 + х + 100 – 1 = х
Угадываем сложение
В этом математическом фокусе важна быстрота реакции.
- Напишите на бумажке цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Попросите напарника сложить три любые цифры, которые идут по очереди и назвать вам результат.
- Быстро разделите найденное число на 3 в уме. То, что у вас получилась в результате — средняя цифра. Например, если у вас получилось 4, то человек складывал цифры 3, 4, 5.
Скорее всего, зрители сами догадаются о секрете фокуса, но первый раз он производит незабываемое впечатление!
Тайна задуманного числа
- Попросите участников фокуса задумать двузначное число.
- Теперь надо умножить число его десятков на 2.
- К получившемуся произведению надо прибавить 5.
- Новое число надо умножить на 5.
- К этому произведению надо прибавить 10 и число единиц задуманного числа.
- Результат надо назвать вслух. Вы мысленно отнимите от этого числа 35 и получите изначально задуманное число!
Как работает математический фокус?
Предположим, что зритель задумал число 38: 3 десятка и 8 единиц.
- Умножаем 3 на 2, получается 6.
- Прибавляем к 6 число 5, получаем 11,
- умножаем эту сумму на 5, получаем 55,
- прибавляем 10 и получаем 65,
- прибавляем число единиц (8) задуманного числа. Получаем 73, вычитаем 35.
- В итоге задуманное число — 38.
Угадываем день рождения
Объявите участников математического фокуса, что вы можете угадать дату дня рождения любого из них.
Пусть доброволец умножит на 2 число дня своего рождения.
К получившемуся числу надо прибавить 5.
Результат надо умножить на 50.
Теперь к получившемуся числу прибавляют месяц рождения и назвать результат вслух.
Ведущий мысленно отнимает от названного числа число 250. Получается трехзначное или четырехзначное число. Первая и вторая цифры — день рождения, две последние — месяц.
Всё это укладывается в ряд формул:
- x*2
- x*2+5
- (x*2+5)*50
- (x*2+5)*50+y=z
- z-250=(x*2+5)*50+y-250=x*100+250+y-250=X*100+y=w
Читайте также:
- ЕГЭ-Математика. Узнай свой результат!
- «Вычисляю квадратный корень, покрываясь холодным потом». Почему мы боимся математики
Поскольку вы здесь…
У нас есть небольшая просьба. Эту историю удалось рассказать благодаря поддержке читателей. Даже самое небольшое ежемесячное пожертвование помогает работать редакции и создавать важные материалы для людей.
Сейчас ваша помощь нужна как никогда.
Скачать материал
Скачать материал
- Сейчас обучается 30 человек из 12 регионов
- Сейчас обучается 184 человека из 50 регионов
- Сейчас обучается 969 человек из 80 регионов
Описание презентации по отдельным слайдам:
-
1 слайд
Средняя Общеобразовательная Школа При Посольстве Российской Федерации в Республике Индия
Научно-исследовательская работа по математике
на тему: «Занимательные числа »Исполнили учащиеся 10 класса:
Богданова Дарья
Мокрова Дарья
Емикова Валерияг. Дели – 2015 г.
-
2 слайд
ПЛАН РАБОТЫ:
1) Понятие числа
2) Простые числа
3) Числа Близнецы
4) Имя Гольдбаха в математике и его проблема
5) Фигурные числа
6) Компанейские числа
7) Интересные факты о числах
Заключение
9) Литература -
3 слайд
Цель исследовательской работы:
Найти новые факты, связанные с натуральными числами и глубже раскрыть значение простых чисел в жизни общества.
-
4 слайд
Число является одним из основных понятий математики. Понятие числа развивалось в тесной связи с изучением величин, данная связь сохраняется и теперь.
Существует много определений понятию «число». Первый, кто начал рассуждать про числа – это Пифагор. Именно от него мы узнали высказывание «Всё прекрасно благодаря числу». По его учению число 2 означало гармонию,
5 – цвет, 6 –холод, 7 – разум, здоровье,
8 –любовь и дружбу. А число 10 называли «священной четверицей», так как 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Оно считалось священным числом и олицетворяла всю Вселенную. -
5 слайд
Понятие числа возникло в глубокой древности из практической потребности людей и развивалось в процессе развития человечества.
Область человеческой деятельности расширялась и, соответственно, возрастала потребность в количественном описании и исследовании. Древнему человеку было далеко до абстрактного мышления, хватило того, что он придумал числа: «один» и «два». Остальные количества для него оставались неопределенными и объединялись в понятии «много». Позже число становится основным понятием математики, и потребности этой науки определяют дальнейшее развитие этого понятия. -
6 слайд
Просто́е число́ — это натуральное число, большее единицы, имеющее ровно два натуральных делителя: 1 и само себя.
Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. Евклидом было выполнено доказательство бесконечности ряда простых чисел, а основная теорема арифметики делает простые числа незаменимыми в определении делимости чисел.
Согласно теореме, каждое натуральное число N > 1 можно представить в виде N = p1 ∙ … ∙ pk , где p1, …,
pk — простые числа, причем такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.
Такое представление числа N называется его каноническим разложением на простые сомножители, или факторизацией числа, например,
588 000 = 2∙2∙2∙2∙2∙2∙3∙5∙5∙5∙7∙7 = 25∙3∙53∙72. -
7 слайд
Числа – близнецы:
Простые числа – близнецы это пара простых чисел, отличающихся на 2.
Все пары простых-близнецов, кроме
(3, 5) имеют вид .
Первые простые числа-близнецы:
(5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).
Как много таких скоплений пока неизвестно. -
8 слайд
Имя Гольдбаха в математике
и его проблемаВ 1742 году прусский математик Кристиан Гольдбах послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение:
“Каждое нечётное число большее 5 можно представить в виде суммы трёх простых чисел.
Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу: «Каждое чётное число большее двух можно представить в виде суммы двух простых чисел.»
Первое утверждение называется слабой проблемой Гольдбаха, второе — сильной проблемой Гольдбаха (или проблемой Гольдбаха в формулировке Эйлера).
Из справедливости утверждения сильной проблемы Гольдбаха автоматически следует справедливость слабой проблемы Гольдбаха: если каждое чётное число > 4 есть сумма двух простых чисел, то добавляя 3 к каждому чётному числу, можно получить все нечётные числа > 7.
Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал.
12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;
162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31. -
9 слайд
Фигурные числа:
Треугольные числа имею такой вид как
1 = 1
3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
. . .
Эта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел:
Тn = 1 + 2 + 3 + … + n.
На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в следующем виде:
Кроме треугольных чисел существуют также числа квадратные, пятиугольные, шестиугольные и т. п. Они связаны соответственно с квадратом, правильным пятиугольником, правильным шестиугольником и т. д. -
10 слайд
Можно найти выражение для квадратных
Kn=n2
и пятиугольных чисел:Общая формула для вычисления многоугольных чисел имеет вид:
Если подставить в этой формуле k = 3, 4, 5, получим соответственно формулы для Тn, Кn, Пn.
-
11 слайд
Древнегреческий ученый Диофант нашел простую связь между треугольными числами Т и квадратными К: 8Т+1=К.
Можно наглядно представить эту формулу Диофанта на примере числа 10.
На рисунке изображены 81 клетка, размещенные в квадрате. Они образуют квадратное число К.
Одна клеточка занимает центр квадрата, а остальные 80 сгруппированы в 8 треугольных чисел Т в форме восьми «прямоугольных треугольников».
Получается: 8Т+1=К.Кроме плоских фигурных чисел, существуют еще пространственные фигурные числа.
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде — треугольное число. Наверху один камушек, под ним — 3, под теми — 6 и т.д.:
1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, … -
12 слайд
Кубические числа:
Очень интересны кубические числа, возникающие при складывании кубиков: 1, 2·2·2=8, 3·3·3=27, 4·4·4=64, 5х5х5=125… и так далее.
Существуют также фигурные числа и более высоких порядков.
Древние греки при умножении рисовали прямоугольники, например, результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять.
Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучении чертежей.
И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался геометрический способ. -
13 слайд
Многоугольные числа были известны еще в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в VI веке до н.э. в школе Пифагора. В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем.
Пьер Ферма обнаружил, например, что
а) всякое натуральное число есть треугольное или сумма двух или трех треугольных чисел;
б) всякое натуральное число есть или квадрат, или сумма двух, трех или четырех квадратных чисел;
в) всякое натуральное число есть или пятиугольное, или сумма двух, трех, четырех или пяти пятиугольных чисел;
г) вообще всякое натуральное число может быть представлено в виде суммы не более чем k k-угольных чисел. -
14 слайд
Компанейские числа:
Компанейскими называется такая группа из k чисел, в которых сумма собственных делителей первого числа равна второму, сумма собственных делителей второго – третьему и т.д. А первое число равно сумме собственных делителей k-го числа.
Почему-то в группы по трое числа не собираются (или по крайней мере, о таких не известно), зато есть компании по 4, 5, 6, 8, 9 и даже 28 участников!
Пример пятёрки (пока единственной известной): 12496, 14288, 15472, 14536, 14264.
Сумма собственных делителей числа 12496:
1+2+4+8+11+16+22+44+71+88+142+176+284+568+781+1136+1562+3124+6248=14288
Для числа 14288:
1+2+4+8+16+19+38+47+76+94+152+188+304+376+752+893+1786+3572+7144=15472
Для 15472:
1+2+4+8+16+967+1934+3868+7736=14536
Для числа 14536:
1+2+4+8+23+46+79+92+158+184+316+632+1817+3634+7268=14264
И для числа 14264: 1+2+4+8+1783+3566+7132=12496 -
15 слайд
И возвращаемся к первому из чисел компании.
В связи с этим возникает вопрос. Возьмём натуральное число, затем заменим его на сумму собственных делителей. Так будем поступать и далее. Получаемая последовательность называется аликвотной. Как она может развиваться?
Понятно, что если в этой последовательности встретится простое число, то следующим членом будет единица и последовательность остановится. Если в ней попадётся совершенное или одно из дружественных или компанейских чисел, возникнет цикл длины 1, 2 или более. Но существует ли число, для которого последовательность сумм собственных делителей будет бесконечно расти – неизвестно. Ситуация аналогична с задачей 3x+1.
Одним из кандидатов на безграничный рост является число 276.
276, 396, 696, 1104, 1872, 3770, 3790, 3050, 2716, 2772, 5964, 10164, 19628, 19684, 22876, 26404, 30044, 33796, 38780, 54628, 54684, 111300, 263676, …
На настоящий момент вычислено более 1000 членов и числа становятся всё больше и больше. Но математического доказательства бесконечности роста всё ещё нет. -
16 слайд
Интересные факты о числах:
Число 666В «Войне и мире» Л.Н. Толстого есть эпизод, когда Пьер счёл «цифирный вес» Наполеона равным числу зверя- 666, подогнал написание своего имени под такой же, увидел в том знамени и решился идти убивать Бонапарта. Не поленитесь перепроверить арифметику Пьера — возможно, это подскажет причину его неудачи.
Число́ зве́ря — особое число, упоминаемое в Библии, под которым скрыто имя зверя Апокалипсиса — персонажа последней книги Библии
Число же и в самом деле необычное. Вот лишь некоторые из его удивительных арифметических свойств:
— число зверя есть сумма квадратов первых семи простых:
666=22+32+52+72+112+132+172;
— число зверя есть сумма первых 36 натуральных: 666=
— число зверя есть разность и сумма шестых степеней первых трёх натуральных: 666=16 — 26+36;
-число зверя можно записать девятью цифрами двумя способами в их возрастающем порядке и лишь одним — в убывающем порядке:
666=1+2+3+4+567+89=123+456+78+9,
666=9+87+6+543+21 -
17 слайд
Число Шихиризады
Число Шахиризады — число 1001, которое фигурирует в заглавии бессмертных сказок «Тысяча и одна ночь». С точки зрения математики число 1001 обладает целым рядом интереснейших свойств:
1)это самое маленькое натуральное четырёхзначное число, которое можно представить в виде суммы кубов двух натуральных чисел:1001=103+13;
2)число 1001 состоит из 77 злополучных чертовых дюжин (1001=13. 77); или из 91 числа 11, или из 143 семёрок (вспомним, что число 7 считалось магическим числом); далее, если будем считать, что год равняется 52 неделям, то 1001 — количество ночей в течение 1+ 1+ + года или по- другому: 1001= 52 . 7 +26 . 7+13 . 7. Частичная сумма 1+ + является частью довольно часто встречаемого в арифметике бесконечного ряда 1+ + +…+ ; таким образом мы видим, как в числе Шахерезады литература переплетается с математикой. -
18 слайд
Число 2520
Археолог. В одной из египетских пирамид учёные обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. Трудно сказать, за что выпала такая честь этому числу. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством.
Приписывание числам таких свойств не избежал даже древнегреческий математик Никомах, живший в конце I века
н.э., автор знаменитой книги «Введение в арифметику». Он полагал, что «… единица есть разум, добро, гармония, счастье и в то же время материя, тьма, хаос; она соединяет в себе чётное с нечётным и женское с мужским. Два есть начало неравенства, противоречия; оно есть мнение, ибо во мнении встречаются истина с ложью. Три есть первое настоящее число, так как оно имеет начало, середину и конец и потому есть число совершенное.» -
19 слайд
Всем известен панический страх перед числом тринадцать («чёртовой дюжины»). Истоки этого поверья относятся к древним временам, когда у некоторых народов основанием системы счисления было число 12 (отсюда деление года на 12 месяцев, счёт дюжины и т.д.). Оно замыкало для них натуральный ряд, поэтому за числом 12 шло неизвестное, непостижимое число , а значит, опасное для «простых смертных». По их представлению, это число могло приносить только несчастье. В христианской религии тринадцать — несчастливое число — исходит от мифического Иуды — предателя. В связи с этим во многих гостиницах некоторых стран (Англия, США и др.) отсутствуют номера с числом 13, лифт не останавливается на тринадцатом этаже; нет маршрутов городского транспорта с номером 13 и т.д.
Но эти суеверия, относящиеся к числу 13, у славян не имели места. В качестве примера можно привести такой факт. В древней Руси были возведены храмы с тринадцатью куполами — Первый Софийский в Новгороде, Полоцкая и Киевская София, однако несчастливыми они не считались. -
20 слайд
Заключение
1) Цель научной работы достигнута.
2) В ходе исследования обобщены данные о простых числах, их месте и роли в жизни современного общества.
3) Определены основные направления изучения основ математики и прикладных наук в целях совершенствования приобретенных раннее знаний и расширения собственного кругозора по фундаментальным предметам школьной программы. -
21 слайд
Литература
1. http://numbers.kalan.cc/perfect.php
http://ru.math.wikia.com
http://ru.math.wikia.com
http://mirurokov.ru
http://ru.math.wikia.com
https://ru.wikipedia.org
УЧЕБНО — МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ ИНФОРМАТИКИ №13. Издание основано 1995 г. Простые и совершенные, ведущие в бесконечность. Издательский дом первое сентября. РЕДАКЦИЯ:гл. редактор С.Л. Островский редакторы Е.В. Андреева,Д.М. Златопольский(редактор вкладки“В мир информатики”)
Заключение 
![Интересные факты о числах:
Число 666
В "Войне и мире" Л.Н. Толстого есть эп...](https://documents.infourok.ru/af197754-32aa-4736-9d81-871449dcabaf/0/slide_16.jpg "Интересные факты о числах:
Число 666
В "Войне и мире" Л.Н. Толстого есть эп...")
![Всем известен панический страх перед числом тринадцать ("чёртовой дюжины"). И...](https://documents.infourok.ru/af197754-32aa-4736-9d81-871449dcabaf/0/slide_19.jpg "Всем известен панический страх перед числом тринадцать ("чёртовой дюжины"). И...")
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
6 263 816 материалов в базе
- Выберите категорию:
- Выберите учебник и тему
- Выберите класс:
-
Тип материала:
-
Все материалы
-
Статьи
-
Научные работы
-
Видеоуроки
-
Презентации
-
Конспекты
-
Тесты
-
Рабочие программы
-
Другие методич. материалы
-
Найти материалы
Другие материалы
- 07.09.2015
- 1242
- 1
- 07.09.2015
- 614
- 2
- 07.09.2015
- 759
- 0
Рейтинг:
5 из 5
- 07.09.2015
- 618
- 4
- 07.09.2015
- 630
- 0
Вам будут интересны эти курсы:
-
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
-
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
-
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
-
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
-
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
-
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
-
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
-
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
-
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Будем называть четырёхзначное число интересным, если среди четырёх цифр в его десятичной записи нет нулей, а одна из этих цифр равна сумме трёх других из них. Например, интересным является число (3111).
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна (17).
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна (109)?
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
а) Приведите пример двух интересных четырёхзначных чисел, разность между которыми равна (17).
Рассуждения:
1) Интересное:
— без нулей
— четырехзначное
— одна цифра сумма трёх других
— пример: (3111) т.к. (3=1+1+1).
2) Разность равна (17) (→) если к меньшему прибавить (17) получится большее.
3) Пробуем перебор:
Комментарий: существует (5) пар подходящих чисел и около (100) интересных чисел. Поэтому это только вопрос времени найти нужную пару.
Пункт а) в 19 задаче часто решается простым перебором, поэтому советую его не боятся и решать всем, кто осилил первую часть на ЕГЭ.
В бланк ответов:
(1438-17=1421).
Ответ: (1438) и (1421).
б) Найдутся ли два интересных четырёхзначных числа, разность между которыми равна (109)?
Рассуждения:
1) Разность равна (109) (→) если к меньшему прибавить (109) получится большее.
2) Какие есть закономерности?
Очевидно, что (1) не может быть последней цифрой у первого «интересного» — тогда второе получается с нулём на конце, а значит точно не будет «интересным».
Вторая закономерность: последняя цифра будет уменьшаться на (1), а третья и четвертая цифра — увеличиваться на (1). Как это оформить на языке математике?
3) Обозначим цифры в меньшем числе как (a), (b), (c), (d), значит само число записывается как: (overline{abcd}).
4) Если к (overline{abcd}) прибавить (109), то получится число (overline{a(b+1)(c+1)(d-1)}).
5) Сумма цифр первого: (a+b+c+d).
Сумма цифр второго: (a+(b+1)+(c+1)+(d-1)=a+b+c+d+1).
6) А чему в принципе равны суммы цифр интересных чисел?
(1+7+3+3=14) ( (7 cdot 2) тоже равно (14))
(4+8+2+2=16 ) ( (8 cdot 2) равно (16))
(5+2+2+1=10) ((5 cdot 2=10))
(3+1+1+1=6) ((3 cdot 2=6))
Хм… Получается, что сумма цифр любого интересного числа всегда равна наибольшей цифре этого числа, умноженной на два. И это логично, ведь сумма трех других цифр равна наибольшему, значит все вместе они дадут два наибольших.
Тогда получается, что для любого интересного числа сумма (a+b+c+d) – четная, но тогда (a+b+c+d+1) – нечетное (→) (a+b+c+d+1) – не может быть «интересным».
В бланк ответов:
Обозначим меньшее «интересное» число, как (overline{abcd}), если к нему прибавить (109), то получится:
Значит сумма цифр второго числа равна (a+(b+1)+(c+1)+(d-1)=a+b+c+d+1).
Сумма цифр (a+b+c+d) – четная, т.к. одна цифра является суммой трех остальных, а значит их сумма равна двум наибольшим.
Следственно сумма (a+b+c+d+1) – не четная, значит и «интересным» оно быть не может. Пришли к противоречию, получается 2 «интересных» с разницей (109) быть не может.
в) Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему интересного четырёхзначного числа.
Рассуждения:
1) Что тут написано? Что имеется в виду?
Расшифровываем:
Простое число – целое число, которое делится только само на себя и на единицу.
Кратное число – число, которое делится на данное целое без остатка, т.е. при делении интересного на кратное будет получаться некоторое целое. Можно даже нарисовать схемку:
Или если немного преобразовать:
Попробуем найти нужное нам наименьшее простое число перебором – будем брать их по очереди, начиная с самого маленького и проверять есть ли кратные им интересные числа. Если есть – такое простое число нам не подходит, и надо искать дальше.
2) Наименьшее из всех простых – число (2). Проверяем есть ли кратное ему интересное. Признак деления на (2) – число должно оканчиваться на четное, т.е. любое интересное оканчивающееся на (2),(4),(6) или (8) будет кратно (2). Таким является, например, интересное число (1124 → 2) не подходит.
3) Следующей проверяем (3). Признак деления на (3) – сумма цифр делится на (3). Из пункта б) становится ясно, что наибольшая цифра в таком интересном числе должна быть либо (3), либо (6), либо (9). Например, (3111:3 = 1037 → 3) также не подходит.
4) (4) – не простое число (оно делится на (2)), а вот (5) – простое. Проверяем его. Чтоб число делилось на (5) оно должно заканчиваться на (5) или (0). На ноль интересные числа заканчиваться не могут по условию (→) оканчиваются на (5). Например, (2185:5 = 437 →) и (5) мимо.
5) (6) – не простое, (7) -простое. У (7) нету признака деления, поэтому пробуем найти среди интересных чисел то, что делится на (7).
Долго искать не пришлось. (1113:7=159).
6) (8), (9), (10) – составные. (11) – простое. Признак деления на (11): если число делится на (11), то суммы цифр на четных и нечетных местах равны или отличаются на число, кратное (11) (подробности смотрите в предыдущей задаче).
Сумма цифр на четных местах и сумма цифр на нечетных местах в четырёхзначном числе не может отличаться больше чем на (18) (крайний случай (9090)) (→) в искомом суммы цифр на четных и нечетных местах равны (случай 1) или отличаются на (11) (случай 2). Рассмотрим их подробнее.
Случай 1: пусть (a) наибольшая цифра в интересном числе (overline{abcd}) (если наибольшим будет (b), (c) или (d) все рассуждения будут аналогичны).
Т.к. суммы равны, то (a+c=b+d);
Иными словами, (a=b+d-c).
С другой стороны, (a=b+d+c) (ведь (a) – наибольшее и значит равно сумме трех других). Т.к. (c) не ноль, то возникает противоречие (→ a+c≠b+d) в интересном числе. Первый случай – невозможен.
Случай 2: вновь полагаем (a) наибольшей цифрой числа.
Если суммы отличаются на (11), то (a+c=b+d+11).
С другой стороны, (a=b+d+c).
Подставляем (a) в первое равенство и получаем:
(b+d+c+c=b+d+11)
(2c=b+d+11-b-d)
(2c=11)
(c=frac{11}{2}).
Но (c) не может быть дробным, ведь это цифра числа! Опять противоречие (→) второй случай также невозможен.
Получается интересных чисел кратных (11) не бывает.
В бланк ответов:
Интересное число кратное (2) – (1124).
Интересное кратное (3) – (3111).
Интересное кратное (5) – (2185).
Интересное кратное (7) – (1113).
Докажем, что (11) — наименьшее простое, для которого нет кратного интересного. Для этого докажем, что нет интересного числа, которое делится на (11).
Признак деления на (11): разница между суммами цифр, стоящими на четных и нечетных местах, равна (0) или кратна (11). Так как мы рассматриваем четырехзначные числа, то максимальная разница между суммами цифр на четных и на нечетных местах, кратная (11), равна (11) ((22), (33) и т.д. получится не может, т.к. из четырехзначных максимальную разницу между такими суммами имеет число (9090), и эта разница равна (18)).
Таким образом, имеем два возможных случая:
— суммы цифр равны (разница между ними – ноль)
— суммы цифр отличаются на (11).
Пусть (k) – наибольшая из цифр интересного числа, (m) – находится через цифру от (k) (то есть является ее парой при подсчете сумм на четных и нечетных местах). (f) и (e) – другие две цифры интересного числа.
Случай 1 – суммы равны. Тогда (k+m=f+e). С другой стороны, в интересном числе: (k=m+f+e). Получается:
(m+f+e+m=f+e)
(2m=0)
(m=0)
Но по условию в интересном числе нет нулей, следовательно, суммы цифр на четных и нечетных местах равны быть не могут.
Случай 2 – разница равна (11). Тогда (k+m=f+e+11)
С другой стороны, (k=m+f+e). Получается:
(m+f+e+m=f+e+11)
(2m=11)
(m=frac{11}{2})
Но (m) не может быть дробным, ведь это цифра числа.
Таким образом, оба варианта невозможны, а значит нет интересного числа, кратного (11).
Ответ: (11)
Фокусы развивают креативность, артистические способности, способствуют концентрации внимания. Математические фокусы не исключение.
Математические фокусы можно сравнить с гимнастикой для ума, которая полезна в любом возрасте. Действия с числами тренируют память, навыки счёта, обостряют сообразительность, вырабатывают настойчивость, способность логически мыслить, анализировать и сопоставлять.
Фокусов очень много, но особого внимания заслуживает искусство отгадывать числа.
Математические фокусы с числами и их секреты
Математические фокусы с числами и их секреты- Загадайте любое число.
- Прибавьте к этому числу следующее по порядку число.
- Увеличьте результат на 9..
- Уменьшите результат в 2 раза.
- Отнимите загаданное число.
- Задумайте число от 1 до 9
- К результату прибавьте 1.
- Полученное число увеличьте в 5 раз.
- Отбросьте все цифры, кроме последней.
- Оставшееся число умножьте само на себя.
- Сложите цифры результата.
- Задумайте любое число.
- Увеличьте его в 2 раза.
- Добавьте шесть.
- Уменьшите в 2 раза.
- Отнимите число, которое задумали.
- Задумайте любое число.
- Увеличьте его на 3.
- Умножьте результат на 2.
- Уменьшите получившийся результат на 5.
- Отнимите задуманное число.
- И еще раз отнимите задуманное число.
- Задумайте число от 1 до 9.
- Увеличьте его на 3.
- К результату прибавьте 2.
- Умножьте результат на 3.
- Прибавьте задуманное число.
- Отбросьте первую цифру полученного числа.
- К оставшемуся числу прибавьте 2.
- Полученное число уменьшите в 4 раза.
- К результату прибавьте 19.
- Загадайте число менее 10.
- Загаданное число умножьте на 2.
- Увеличьте результат на 6.
- Уменьшите в 2 раза.
- Отнимите задуманное число.
- Загадайте число от 1 до 9.
- Увеличьте его в 5 раз.
- Результат удвойте.
- К полученному числу прибавьте 14.
- Сумму уменьшите на 8.
- Первую цифру результата отбросьте.
- Оставшееся число уменьшите в 3 раза.
- К результату прибавьте 10.
- Загадайте любое число.
- Вычтите из загаданного числа 1.
- Увеличьте в 3 раза.
- Прибавьте 12.
- Разделите результат на 3.
- Увеличьте на 5.
- Отнимите загаданное число.
- Задумайте число меньше 100.
- Прибавьте к нему 20.
- Полученный результат отнимите от 170.
- Остаток уменьшите на 6.
- Прибавьте задуманное число.
- В полученном числе сложите цифры.
- Сумму цифр умножьте на это же число.
- Результат уменьшите на 1.
- Полученное число разделите пополам.
- Прибавьте 8.
- Загадайте трёхзначное число.
- Припишите к нему справа такое же число.
- Полученное число уменьшите в 7 раз.
- Результат разделите на задуманное число.
- Полученное число разделите на 11.
- Удвойте результат.
- В полученном числе сложите все цифры.
- Загадайте любое число.
- Умножьте число, которое вы загадали на 3.
- Увеличьте на 45.
- Удвойте то, что получилось.
- Уменьшите в 6 раз.
- Отнимите задуманное число.
- Загадайте любое трехзначное число, цифры в котором должны быть одинаковыми (например: 555).
- Сложите между собой цифры, из которых состоит загаданное число.
- Разделите загаданное число на результат предыдущего шага.
- Загадайте трехзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (например, 754 или 931).
- Запишите число в обратном порядке.
- Вычтите полученное число из исходного.
- К полученному ответу добавьте его же, только в обратном порядке.
Фокус с отгадыванием дня недели
- Загадайте свой любимый день недели.
- Дни недели имеют свои порядковые номера. Понедельник – первый, вторник – второй и т.д.
- Умножьте номер дня недели на 2.
- Прибавьте к результату 5.
- Умножьте результат на 5.
- Умножьте результат на 10.
- Скажите свой результат.
Ответ:
из результата вычесть 250 и число сотен будет номером дня недели.
Разгадка фокуса: допустим, задуман четверг, то есть 4 день. Выполним действия: ((4×2+5)х5)х10=650, 650 – 250=400.
Фокус с отгадыванием даты дня рождения
- День своего рождения умножьте на 2.
- К результату прибавьте 5.
- Полученный результат умножьте на 50.
- Прибавьте порядковый номер месяца, в котором вы родились.
- Скажите полученное число.
Ответ:
отнимите от названного числа 250. Первые две цифры будут указывать на день, а две последние — на месяц рождения.
Разгадка фокуса: допустим, задуман 16.02. Выполним действия:
((16×2+5)х50+2=1852, 1852 – 250=1602
Фокус с угадыванием возраста
- Умножьте свой возраст на пять.
- К полученному числу прибавьте 8.
- Результат умножьте на 2.
- Из этого числа нужно вычесть 6.
- Полученный результат умножить на 10.
- Скажите полученное число.
Ответ:
из названного числа нужно вычесть 100, а затем то, что получилось, разделить на 100.
Разгадка фокуса: допустим, задуман возраст 10 лет. Выполним действия:
((10×5+8)х2-6)х10=1100, 1100 – 100=1000, 1000:100=10
Математические фокусы – прекрасный способ заинтересовать детей такой интереснейшей наукой, как математика. Математические фокусы способствуют развитию концентрации внимания, прекрасно тренируют навыки устного счета, что очень поможет при написании математических диктантов и решении задач.
Любой фокус с отгадыванием чисел можно легко разгадать. Ребятам постарше очень полезно будет это сделать самим, опираясь на образец уже разгаданных фокусов.
Искусство отгадывать числа может пригодиться на любом празднике, дне рождения или просто на прогулке или перемене. Позвольте своему ребёнку побыть немного волшебником.
Если ваш ребёнок уже увлечён математикой, то вам будет интересна статья математические игры для детей.
С уважением, Ольга Наумова
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НЕЙРОТРЕНАЖЕРЫ
Авторская методика!
Ольга Наумова НЕЙРОСЧЕТ Сложение и вычитание до 10
Ольга Наумова НЕЙРОСЧЕТ Сложение и вычитание до 10Уникальный прогрессивный нейротренажер, в котором отработка навыков устного счета объединена с упражнениями для мозга в единую гармоничную систему. Результат не заставит себя ждать!
Эффективный фитнес для мозга и тела не только для дошкольников и младших школьников, но и для взрослых.
Дети с удовольствием включаются в эту подвижную, но непростую игру!
Кому необходим этот тренажер?
- Любому ребенку, испытывающему какие-либо затруднения в учебе;
- Ребенку, у которого проблемы с устным счетом;
- Ребенку, который отстает в развитии;
- Ребенку, который не хочет учиться;
- Человеку, который хочет улучшить внимание и память;
- Любому ребенку, который хочет развить свои способности;
- Любому взрослому, который хочет стать более энергичным и успешным.
В тренажере вы найдете:
- 60 различных таблиц устных вычислений для занятий;
- 9 уровней сложности + усложнения внутри каждого уровня;
- Четкие и удобные инструкции;
- Авторскую методику, разработанную и усовершенствованную во время практических занятий с детьми.
Регулярные занятия позволят:
- научиться быстро и правильно считать в пределах 10;
- улучшить навыки устного счета;
- развить мышление и память;
- сделать работу полушарий более слаженной;
- развить внимание;
- развить математические способности;
- развить скорость реакции;
- облегчить процесс чтения и письма;
- повысить работоспособность;
- выработать устойчивость к отвлекающим факторам;
- улучшить показания в учебе.
Регулярные занятия очень быстро дадут видимый результат!
Рекомендуемый возраст от 4 лет.
Максимальная польза для тела и интеллекта!
Ольга Наумова НЕЙРОСЧЕТ Сложение и вычитание до 20
В тренажере вы найдете:
- 60 различных таблиц устных вычислений для занятий;
- 9 уровней сложности + усложнения внутри каждого уровня;
- Четкие и удобные инструкции;
- Авторскую методику, разработанную и усовершенствованную во время практических занятий с детьми.
Регулярные занятия позволят:
- научиться быстро и правильно считать в пределах 20;
- улучшить навыки устного счета;
- развить мышление и память;
- сделать работу полушарий более слаженной;
- развить внимание;
- развить математические способности;
- развить скорость реакции;
- облегчить процесс чтения и письма;
- повысить работоспособность;
- выработать устойчивость к отвлекающим факторам;
- улучшить показания в учебе.
Регулярные занятия очень быстро дадут видимый результат!
Рекомендуемый возраст от 6 лет.
Ольга Наумова НЕЙРОСЧЕТ Табличное умножение и деление
Это непросто, но дети с удовольствием включаются в эту подвижную игру!
Кому необходим этот тренажер?
- Любому ребенку, испытывающему какие-либо затруднения в учебе;
- Ребенку, у которого проблемы с устным счетом;
- Ребенку, который не может или не хочет запоминать таблицу умножения;
- Ребенку, который не хочет учиться;
- Человеку, который хочет улучшить внимание и память;
- Любому ребенку, который хочет развить свои способности;
- Любому взрослому, который хочет стать более энергичным и успешным.
В тренажере вы найдете:
- 60 различных таблиц устных вычислений для занятий;
- 9 уровней сложности + усложнения внутри каждого уровня;
- Четкие и удобные инструкции;
- Авторскую методику, разработанную и усовершенствованную во время практических занятий с детьми.
Регулярные занятия позволят:
- быстро запомнить таблицу умножения;
- улучшить навыки устного счета;
- развить мышление и память;
- сделать работу полушарий более слаженной;
- развить внимание;
- развить математические способности;
- развить скорость реакции;
- облегчить процесс чтения и письма;
- повысить работоспособность;
- выработать устойчивость к отвлекающим факторам;
- улучшить показания в учебе.
Регулярные занятия очень быстро дадут видимый результат!
Рекомендуемый возраст от 8 лет.
Максимальная польза для тела и интеллекта!
Ольга Наумова НЕЙРОСЧЕТ Сложение и вычитание до 100
В тренажере вы найдете:
- 60 различных таблиц устных вычислений для занятий;
- 9 уровней сложности + усложнения внутри каждого уровня;
- Четкие и удобные инструкции;
- Авторскую методику, разработанную и усовершенствованную во время практических занятий с детьми.
Регулярные занятия позволят:
- научиться быстро и правильно считать в пределах 100;
- улучшить навыки устного счета;
- развить мышление и память;
- сделать работу полушарий более слаженной;
- развить внимание;
- развить математические способности;
- развить скорость реакции;
- облегчить процесс чтения и письма;
- повысить работоспособность;
- выработать устойчивость к отвлекающим факторам;
- улучшить показания в учебе.
Методика прекрасно зарекомендовала себя во время практических занятий с детьми!
О. Наумова НЕЙРОТРЕНИНГ Безударные гласные
Большой полноценный ТРЕНИНГ с выстроенной системой упражнений.
НЕЙРОТРЕНИНГ позволит продуктивно отработать самую распространенную и трудную орфограмму в русском языке — безударные гласные в корне слова, проверяемые ударением.
Что даст прохождение ТРЕНИНГА:
- повышение уровня грамотности;
- развитие внимания;
- активацию работы мозга;
- умение применять полученные знания на практике;
- увеличение скорости обработки информации;
- развитие речи;
- развитие памяти;
- улучшение успеваемости в школе и т.д.
Кому нужен этот ТРЕНИНГ?
- Ребенку, который делает ошибки на письме;
- Родителям, которые хотят разобраться в теме и помочь своему ребенку;
- Учителю, который использует нестандартные и действенные приёмы в обучении;
- Репетитору желающему в разы увеличить результативность своих занятий.
Что найдете в ТРЕНИНГЕ:
- Продуманную и проверенную на практике систему упражнений;
- 200 страниц результативных заданий;
- 9 уровней сложности нейроупражнений;
- Нестандартные и наиболее эффективные задания по основной теме;
- Упражнения для развития речи;
- Дополнительные задания к упражнениям на отработку знаний частей речи, состава слова, деления на слоги, умения составлять предложения и др.
В результате прохождения ТРЕНИНГА ребенок получит:
- умение видеть в текстах и слышать слова с безударными гласными;
- умение быстро и без ошибок подбирать проверочные слова;
- повышение грамотности в целом;
- развитие «орфографического чутья»;
- уменьшение количества ошибок;
- активацию работы мозга;
- развитие мышления;
- увеличение скорости мысли;
- улучшение показателей в учёбе.
ПОДХОДИТ ДЛЯ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ И ГРУППОВОЙ РАБОТЫ.
Заходите также в Книжную лавку за полезными книгами!
Благодарю, что поделились статьей в социальных сетях!
Яков Исидорович Перельман (1882-1942), российский и советский математик, физик и мировед, журналист и педагог, популяризатор точных наук, основоположник жанра занимательной науки. Кстати, распространено заблуждение, что Яков Перельман является отцом известного математика Григория Перельмана, это не так — первый умер более чем за 20 лет до рождения второго.
Честно говоря, зачиталась и очень советую любителям математики её прочитать. Одна из глав этой книги называется «Галерея числовых диковинок», в ней собраны числа, обладающие исключительными особенностями. Очень интересно автор говорит, что эти числа можно было бы собрать в музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». Вот некоторые:
Число 365
- Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году;
- 365 = 10×10 + 11×11+12×12, т. е. число 365 равно сумме квадратов трёх последовательных чисел, начиная с 10:
Но это ещё не всё,
- На этом свойстве числа 365 основана задача С.А. Рачинского, изображённая на известной картине «Трудная задача» Богданова-Бельского:
Число 999
Наибольшее из всех трёхзначных чисел.
Любопытная особенность числа 999 проявляется при умножении на него всякого другого трёхзначного числа: получается шестизначное число, первые три цифры его есть умножаемое число, уменьшенное на единицу, а остальные три цифры (кроме последней) — «дополнения» первых до 9. Например:
358 × 999 = 357 642
826 ×999 = 825 174
453 ×999 = 452 547
751 ×999 = 750 249 (надеюсь, вы догадались. как получить последнюю цифру у числа?).
Происхождение этой особенности числа 999 легко понять, стоит лишь взглянуть на следующую строчку:
Перельман, кстати, предлагает свойства этих чисел использовать в качестве «фокусов» перед непосвящёнными. И на примере следующей диковинки я это покажу.
Число 1001 — число Шехерезады
Чем же оно замечательно? С виду вполне обыкновенное, и даже не является простым числом. Оно делится без остатка и на 7, и на 11, и на 13 — на три последовательных простых числа, причём 1001 = 7 ×11×13. Но диковинка не в этом.
Замечательно оно тем, что при умножении на него трёхзначного числа получается результат, состоящий из самого умножаемого числа, записанного дважды:
243×1001 = 243 243
528×1001 = 528 528
Это понятно, так как 243×1001 = 243×1000 + 243.
Автор предлагает это свойство использовать как ФОКУС, в компании друзей:
- Предложите кому-нибудь записать на бумажке (втайне от вас) любое трёхзначное число;
- Затем пусть он (или его сосед) припишет к нему ещё раз то же самое число. Получится шестизначное число из трёх повторяющихся цифр.
- Предложите разделить это число на 7 (подсказывая, что число разделится без остатка);
- Результат передаётся новому соседу, которому предлагается разделить полученное число на 11;
- Полученное число передаёте другому, которого просите разделить это число на 13;
- Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому, загадавшему число со словами:
— Вот число, которое вы задумали!
А вы поняли, в чём разгадка фокуса???