Как найти замечательный предел онлайн - AvtoShod.ru

Предел по-шагам

Примеры пределов

Пределы от рациональных дробей на бесконечности
```
(x - 1)/(x + 1)
```
```
(x^3 + 2*x - 1)/(-7*x^3 - 4*x^2)
```
Пределы от рациональных дробей в конечной точке
```
(x - 1)/(sqrt(x) - 1)
```
Пределы от дроби в нуле
```
log(x)/x
```
Первый замечательный предел
```
sin(7*x)/x
```
```
(1 - cos(x)^2)/x^2
```
Второй замечательный предел
```
(1 - 7/x)^x
```
```
(1 + x/2)^((5*x + 3)/x)
```
Пределы с квадратными корнями
```
sqrt(x + 5) - sqrt(x + 2)
```
```
x - sqrt(x^2 - 7)
```
Правило Лопиталя
```
(e^(x) - x^e)/(x - e)
```
```
log(1+2*x^2)/x
```

Что умеет калькулятор пределов?

Детальное решение для указанных методов:
- Правило Лопиталя
- Теорема о двух милиционерах
- Второй замечательный предел
- Разложение функции на множители
- Использование замены
- Первый замечательный предел
Типы пределов:
- От одной переменной
- На бесконечности
- Односторонние пределы
Строит график функции и её предела
Предлагает другие пределы

Подробнее про Предел функции.

Указанные выше примеры содержат также:

модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x)
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
показательные функции и экспоненты exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x)
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
знак числа:
sign(x)
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x)
Факториал от x:
x! или factorial(x)
Гамма-функция gamma(x)
Функция Ламберта LambertW(x)
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x: — умножение
3/x: — деление
x^2: — возведение в квадрат
x^3: — возведение в куб
x^5: — возведение в степень
x + 7: — сложение
x — 6: — вычитание
Действительные числа: вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi: — число Пи
e: — основание натурального логарифма
i: — комплексное число
oo: — символ бесконечности

Источник

Предел функции при ( x to x_0 )

Пусть функция ( f(x) ) определена на некотором множестве (X) и пусть точка ( x_0 in X ) или ( x_0 notin X )

Возьмем из (X) последовательность точек, отличных от (x_0) :
(x_1 ;, ; x_2 ;, ; x_3 ;, …, ; x_n ; , ; … tag{1} )
сходящуюся к (x^*).
Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
( f(x_1) ;, ; f(x_2) ;, ; f(x_3) ;, …, ; f(x_n) ; , ; … tag{2} )
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке ( x = x_0 ) (или при ( x to x_0 ) ), если для
любой сходящейся к (x_0) последовательности (1) значений аргумента (x), отличных от (x_0) соответствующая
последовательность (2) значений функции сходится к числу (A).

Символически это записывается так:
$$ lim_{xto x_0}{ f(x)} = A $$

Функция (f(x)) может иметь в точке (x_0) только один предел. Это следует из того, что последовательность ( left{ f(x_n) right} )
имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число (A) называется пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого числа ( varepsilon > 0 )
существует число ( delta > 0 ) такое, что для всех ( x in X, ; x neq x_0 ), удовлетворяющих неравенству ( |x-x_0| < delta ),
выполняется неравенство ( |f(x)-A| < varepsilon )

Используя логические символы, это определение можно записать в виде
( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x in X, ; x neq x_0, ; |x-x_0| < delta): |f(x)-A| < varepsilon )

Отметим, что неравенства ( x neq x_0, ; |x-x_0| < delta ) можно записать в виде ( 0 < |x-x_0| < delta )

<>Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением
«на языке последовательностей».
Второе определение называют определением «на языке ( varepsilon — delta )».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более
удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне,
а определение предела функции «на языке ( varepsilon — delta )» — определением предела функции по Коши.

Предел функции при ( x to x_{0-} ) и при ( x to x_{0+} )

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число (A) называется правым (левым) пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любой сходящейся
к (x_0) последовательности (1), элементы (x_n) которой больше (меньше) (x_0), соответствующая
последовательность (2) сходится к (A).

Символически это записывается так:
$$ lim_{x to x_{0+}} f(x) = A ; left( lim_{x to x_{0-}} f(x) = A right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке ( varepsilon — delta )»:

Определение число (A) называется правым (левым) пределом функции (f(x)) в точке (x_0), если для любого
( varepsilon > 0 ) существует ( delta > 0 ) такое, что для всех (x), удовлетворяющих неравенствам
( x_0 < x < x_0 + delta ; (x_0 -delta < x < x_0 ) ) , выполняется неравенство ( |f(x)-A| < varepsilon ).

Символические записи:

( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 < x < x_0 + delta ): |f(x)-A| < varepsilon )

( (forall varepsilon > 0) (exists delta > 0) (forall x, ; x_0 -delta < x < x_0 ): |f(x)-A| < varepsilon )

Связь между односторонними пределами и пределом функции устанавливает следующая теорема.

Теорема
Функция (f(x)) имеет в точке (x_0) предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы,
и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.

Предел функции при ( x to infty ), при ( x to -infty ) и при ( x to +infty )

Кроме рассмотренных понятий предела функции при ( x to x_0 ) и односторонних пределов существует также понятие предела функции
при стремлении аргумента к бесконечности.

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) при ( x to infty ), если для любой бесконечно большой
последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к (A).

Символическая запись:
$$ lim_{x to infty} f(x) = A $$

Определение. Число (A) называется пределом функции (f(x)) при ( x to +infty ; (x to -infty) ) , если для любой бесконечно
большой последовательности значений аргумента, элементы (x_n) которой положительны (отрицательны), соответствующая
последовательность значений функции сходится к (A).

Символическая запись:
$$ lim_{x to +infty} f(x) = A ; left( lim_{x to -infty} f(x) = A right) $$

Теоремы о пределах функций

Определение предела функции «на языке последовательностей» дает возможность перенести доказанные выше теоремы о пределах
последовательностей на функции. Покажем это на примере двух теорем.

Теорема. Пусть функции (f(x)) и (g(x)) имеют в точке (x_0) пределы (B) и (C). Тогда функции ( f(x) pm g(x) ; , ; f(x) cdot g(x) ) и
( frac{f(x)}{g(x)} ) (при ( C neq 0 ) ) имеют в точке (x_0) пределы, равные соответственно ( B pm C ; , ; B cdot C ), и ( frac{B}{C} ).

Теорема. Пусть функции ( f(x) ; , ; g(x) ) и ( h(x) ) определены в некоторой окрестности точки (x_0), за исключением, быть
может, самой точки (x_0), и функции ( f(x) ; , ; h(x) ) имеют в точке (x_0) предел, равный (A), т.е.
$$ lim_{x to x_0} f(x) = lim_{x to x_0} h(x) = A $$

Пусть, кроме того, выполняются неравенства ( f(x) leqslant g(x) leqslant h(x) ).
Тогда $$ lim_{x to x_0} g(x) = A $$

Теорема Лопиталя. Если $$ lim_{x to x_0} f(x) = lim_{x to x_0} g(x) = 0 $$ или (infty ), (f(x)) и (g(x))
дифференцируемы в окрестности (x_0) , и ( g'(x) neq 0 ) в окрестности (x_0) ,
и существует $$ lim_{x to x_0} frac{f'(x)}{g'(x)} $$ то существует $$ lim_{x to x_0} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to x_0} frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Т.е. теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Теорема Лопиталя позволяет раскрывать неопределённости вида ( frac{0}{0} ) и ( frac{infty}{infty} ).

Первый замечательный предел

$$ lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1 $$

Второй замечательный предел

$$ lim_{x to infty} left( 1+ frac{1}{x} right)^x = e $$

Источник

Пример 1. Используя свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, найти следующие пределы:

.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5.

.

Пример 6.

.

Пример 7.

.

Пример 8. . Первый замечательный предел применить нельзя, так как аргументы πx и 3πx у синусов не стремятся к нулю при x=1. Поэтому положим x-1=y, тогда при x→1 будет y→0. Тогда

.

Пример 9. . Обозначим x-π/6=y, тогда

.

Источник

Постоянная называется пределом функции

при , если для любого числа
существует число
такое, что при всех , удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Для того чтобы вычислить предел необходимо знать основные правила вычисления пределов или воспользоваться нашим онлайн калькулятором.

Наш онлайн калькулятор способен вычислить пределы для очень многих математических выражений, калькулятор также генерирует подробное решение задачи.

Источник

Данный калькулятор позволяет решать пределы любых функций онлайн.
Число b называется пределом функции f(x) при x→∞, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к b. Обозначается lim f(x)=b (x→∞).

|f(x)−b|<ε

Чтобы получить решение пределов, необходимо ввести, во первых, функцию, во вторых, число, к которому стремится x. В ответе показывается значение предела функции и график.
Калькулятор поможет найти пределы любых функций онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

Пожалуйста напишите с чем связна такая низкая оценка:

Для установки калькулятора на iPhone — просто добавьте страницу
«На главный экран»