Как найти высоту векторное произведение - AvtoShod.ru

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Нахождение высоты через вектора

Уравнение высоты треугольника

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Как найти высоту пирамиды по векторам

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x₂ – x₁; Y = y₂ – y₁; Z = z₂ – z₁
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) .
Длину вектора находим по формуле:

Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:

объем тетраэдра ABCD;
высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.

A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)

Ответ

Проверено экспертом

Даны вершины пирамиды A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1) .

Находим векторы АВ, АС и АД.

Вектор АВ = (-4; 2; -1 ), модуль равен √(16+4+1) = √21 ≈ 4,58258.

Определяем векторное произведение АВ х АС.

-6 3 -4 | -6 3 = -8i + 6j – 12k – 16j + 3i + 12k = -5i – 10j = (-5; -10; 0).

Далее находим смешанное произведение (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) = (-5; -10; 0),

(АВ х АС) х АД = 30 + 10 + 0 = 40.

Объем пирамиды равен (1/6) этого произведения:

V = (1/6)*40 = (20/3) куб.ед.

Высота h пирамиды ABCD, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна: h = 3V/S(ABC).

Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.

S(ABC) = (1/2)*√((-5)² + (-10)² + 0²) = (1/2)√(25 + 100) = (5/2)√5 кв.ед.

h = (3*20/3)/((5/2)√5) = 8/√5 = 8√5/5 ≈ 3,5777.

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Нахождение высоты через вектора

Прежде чем задать вопрос, просмотрите список уже существующих. Возможно, что аналогичные проблемы уже решались. Воспользуйтесь поиском по дневнику или по списку @тем. Если по-прежнему не получилось решить, то:
0) Делаем информативный заголовок.
1) Пишем тематику задания.
2) Указываем: уровень сложности(школа-№класса/вуз), название работы(контрольная/домашняя), источник, крайний срок получения ответа (по московскому времени)
3) Выкладываем само задание или ссылку на него (рисунки ОБЯЗАТЕЛЬНО прячем под кат — вставляем рисунок, выделяем его и нажимаем кнопку MORE). Поскольку в сообществе ведется индексация и создается задачная база, то задание (кроме сопутствующих рисунков) обязательно приводить в текстовом формате. Это необходимо также во избежание исчезновения заданий при удалении картинок с хостинга. Используйте для набора формул формат Пользовательский скрипт для отображения формул (Подробный Help и Справочник по набору формул).
4 )Проставляем @темы.
5) ОБЯЗАТЕЛЬНО указываем свои попытки решения. Если не понятна только часть решения или есть идеи как решать, пишите о них. К геометрическим задачам желательно приложить чертежи, чтобы обсуждение не было голословным.
6) Не забывайте говорить волшебные слова «спасибо» и «пожалуйста»
7) Если вы выкладываете аналогичную просьбу на другом ресурсе, своевременно ставьте в известность о решении проблемы.
Категорически запрещено удалять выложенные задания или отдельные их позиции. Они могут пригодиться другим в качестве образца. Кроме того, в них вложен труд Решателей. Наказание — исключение из сообщества.
9) Просим помнить, что полные решения мы не даем, контрольные работы и типовые расчеты не решаем.
10)Не допускаются обращения к экспертам (Решателям) в приват (u-mail, ICQ, e-mail, Skype и проч.) с просьбами о помощи : вся помощь осуществляется исключительно на территории сообщества.
11) Категорически (вплоть до исключения из сообщества) запрещается выкладывать для решения задачи действующих олимпиад.
12) Запрещается использовать ненормативную лексику в текстах сообщений, подписях, никах и аватарах, оскорблять членов и гостей сообщества. Наказание — исключение из сообщества. Использование излишне откровенных аватаров (картинок) будет иметь аналогичные последствия.
13) Запрещается использование тегов, мешающих индексированию записей в поисковых системах. Наказание — исключение из сообщества.
14) Если решение задачи представлено в виде картинки или видео, то по просьбе решателя посетитель сообщества должен предоставить решение и в виде текста.
15) При оформлении информации о книжных новинках рекомендуется следовать советам, изложенным в этом топике.

Как найти высоту через вектора

И в итоге: x+2y+z-9=0
это вы написали уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно АВ.

Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости

I. «Теперь нужно найти точку пересечения прямой АВ с этой плоскостью (пусть это точка Н),
тогда расстояние от С до Н и будет равно длине высоты.
Т.е.:
1) составляйте уравнение АВ (лучше параметрическое)
2) ищите точку пересечения прямой и плоскости»

Нужно найти не длину, а уравнение CH.

II. «Можно воспользоваться двойным векторным произведением. и найти направляющий вектор высоты. »
То есть:
AC<2,2,2>
AB

Нужно найти не длину, а уравнение CH. — Если найдёте `H`, то сможете написать уравнение по двум точкам.

Так? — Да. только вычисления не проверял. а в том, что получили, можно сократить на 36.

источники:

http://b4.cooksy.ru/articles/nahozhdenie-vysoty-cherez-vektora

http://diary.ru/~eek/p183898406_uravnenie-vysoty-treugolnika-v-prostranstve.htm

Источник

Содержание:

Векторное и смешанное произведения векторов в векторной алгебре

Векторное произведение

Определение: Тройка векторов

Пример:

Рис. 13. Правая (а) и левая (б) тройки векторов.

Определение: Векторным произведением векторов называется вектор который:

Замечание: Из определения векторного произведения следует, что направление вектора определяется по правилу правого винта: при вращении вектора к вектору правый винт движется в направлении вектора Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах (Рис. 14):

Рис. 14. Площадь параллелограмма, определяющего длину вектора из треугольника АВС высота тогда следовательно, длина вектора равна где -угол между векторами

Векторное произведение векторов обладает следующими свойствами:

Замечание: Свойство 4. определяет второе условие коллинеарности векторов.

Формула для векторного произведения векторов через проекции перемножаемых векторов

Теорема: Пусть и . Тогда

Доказательство: Запишем вектора в декартовом базисе: и Для доказательства формулы теоремы составим таблицу векторных произведений ортов осей:

Используя эту таблицу, вычислим векторное произведение векторов

Отсюда следует, что Для запоминания этих формул существует мнемоническое правило: надо запомнить переход проекций от одной к другой (Рис. 15):

Рис. 15. Циклический переход от одной координаты к другой.

Для нахождения, например проекции надо взять компонент у первого вектора и умножить на компоненту z второго вектора, а затем вычесть их произведение, обменяв местами обозначение компонент. Аналогично поступают при нахождении двух других проекций вектора С другой стороны, полученную формулу можно записать в виде

Полученное выражение представляет собой раскрытие определителя III порядка по элементам первой строки, то есть окончательно можно записать, что

Пример:

Найти, при каком значении параметра m вектор коллинеарен вектору

Решение:

Согласно свойству 4. для векторного произведения (пункт 1 Лекция № 6) найдем векторное произведение заданных векторов

Так как вектор должен быть нулевым, то все его проекции должны быть равными нулю, следовательно, m = 2.

Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Найти векторное произведение векторов

Решение:

Пример:

Найти векторное произведение векторов

Решение:

Приложения векторного произведения

1. Физика. Пусть точка начала вектора закреплена, а к его концу приложена сила тогда момент этой силы будет равен (Рис. 16). Рис. 16. Момент силы

2. Геометрия. Пусть даны три разные точки и Требуется вычислить площадь треугольника

Введем в рассмотрение вектора (Рис. 17).

Рис. 17. Площадь треугольника

Проекции этих векторов равны:

Так как площадь треугольника составляет половину от площади параллелограмма, площадь которого равна модулю векторного произведения векторов то

Пример:

Даны три точки Вычислить площадь треугольника

Решение:

Введем в рассмотрение вектора вычислим их векторное произведение Следовательно, площадь треугольника равна

3. Тригонометрия. Выведем формулу для

Пусть в плоской декартовой системе координат даны векторы которые образуют с положительным направлением оси Ох углы соответственно (Рис. 18):

Рис. 18. Синус суммы двух углов.

Проекции векторов равны Используя формулу для векторного произведения векторов и свойство 4. для определителей (см. Лекция № 7), получим Раскрыв этот определитель по элементам третьего столбца, имеем

Длина этого вектора равна По определению векторного произведения его длина равна Сравнивая две полученные формулы, получаем формулу для синуса суммы двух углов. В частности, при получаем, что синус удвоенного угла равен

Смешанное произведение векторов

Определение: Смешанным произведением векторов называется число равное векторному произведению умноженному скалярно на вектор т.е.

Получим формулу для вычисления смешанного произведения

Обменяв местами первую строку со второй, а затем и с третьей, получим окончательную формулу

Таким образом, смешанное произведение векторов представляет собой определитель III порядка, откуда следуют его свойства:

1. , т.е. вектора, входящие в смешанное произведение, можно циклически перестав.!ять местами, поэтому зачастую смешанное произведение пишут без знаков abc.

2. Смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком «+», если тройка векторов правая, и со знаком «-», если тройка векторов левая (Рис. 19):

Рис. 19. Объем параллелепипеда, построенного на векторах

Так как

3. Если вектора , и компланарны (лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях), то их смешанное произведение равно нулю, т.е. .

Замечание: Свойство 3. определяет условие компланарности трех векторов, т.е. если то вектора и лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Пример:

Доказать, что вектора компланарны.

Решение:

Согласно формуле, определяющей смешанное произведение векторов, имеем

Пример:

Даны 4 точки Вычислить объем параллелепипеда.

Решение:

Составим векторы Вычислим объем параллелепипеда Положительность вычисленного объема указывает на то, что вектора и образуют правую тройку.

Пример:

Чему равен объём пирамиды с вершинами А, В, С и D (координаты точек А, В, С и D взять из VIII.). Найти длину высоту, которая опущена из точки А на основание BCD.

Решение:

Объём пирамиды равен Используя векторы из VIII., которые имеют координаты вычислим объём параллелепипеда Следовательно, объём пирамиды с вершинами А, В, С и D равен

С другой стороны, её объём по формуле из средней школы равен

Вычислим площадь треугольника BCD, лежащего в основании пирамиды: Вычислим векторное произведение этих векторов Найдём длину этого вектора Следовательно, площадь треугольника BCD равна Тогда длина высоты, опущенной из точки А на основание BCD, равна

Преобразования декартовой системы координат
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Замечательные пределы
Непрерывность функций и точки разрыва
Матричный метод
Экстремум функции
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Скалярное произведение и его свойства

Источник

Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий
определенную длину и определенное направление. Пусть точка А – начало вектора, а точка B – его конец, тогда вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным
вектору и может быть
обозначен .

Сформулируем ряд базовых определений.

Длиной
или модулем
вектора  называется
длина отрезка и обозначается . Вектор нулевой длины (его суть — точка) называется нулевым  и направления
не имеет. Вектор единичной длины, называется единичным. Единичный вектор,
направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора  .

Векторы
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых, записывают. Коллинеарные векторы могут иметь совпадающие или
противоположные направления. Нулевой вектор считают коллинеарным любому
вектору.

Векторы
называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют
одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди
трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы
компланарны.

Рассмотрим в
пространстве прямоугольную систему координат 0xyz. Выделим на осях координат 0x, 0y, 0z единичные векторы (орты) и
обозначим их через соответственно.
Выберем произвольный вектор

пространства и совместим его начало с началом
координат. Спроектируем вектор
на координатные
оси и обозначим проекции через a_x, a_y, a_z
соответственно. Тогда нетрудно показать, что

. (2.25)

Эта
формула является основной в векторном исчислении и называется разложением
вектора по ортам координатных осей. Числа a_x, a_y, a_z называются координатами вектора . Таким образом, координаты вектора являются его
проекциями на оси координат. Векторное равенство (2.25) часто записывают в
виде

. Мы будем использовать обозначение вектора в фигурных
скобках, чтобы визуально легче различать координаты вектора и координаты точки.
С использованием формулы длины отрезка, известной из школьной геометрии, можно
найти выражение для вычисления модуля вектора

:

, (2.26)

то
есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором
и осями
координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются
для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение:Верность данного равенства можно показать с помощью
свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем
пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими
координатами. Имеют место следующие
операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и
проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные
произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то
есть если

Данная
формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.

Геометрически
два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника –
результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с
концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого
вектора; для суммы векторов –
результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего
вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с
концом предыдущего;

б)
правило
параллелограмма (для двух
векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах,
приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой
векторов.

2. Вычитание двух векторов производится
покоординатно, аналогично сложению, то есть если , то

Геометрически два
вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов
является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор
направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

Важным следствием
вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и
конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координат его конца
вычесть координаты его начала. Действительно, любой вектор пространства может быть
представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат: . Координаты векторов и совпадают с
координатами точек А и В, так как начало координат О(0;0;0). Таким образом, по правилу
вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки А из координат точки В.

3. Умножение вектора на число λ покоординатно:.

При λ>0
– вектор сонаправлен ; λ<0 – вектор противоположно направлен ; |λ|>1 – длина вектора увеличивается в λ раз; |λ|<1 – длина вектора уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана
направленная прямая (ось l), вектор задан
координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l
соответственно через A’ и B’.

Проекцией вектора на ось l называется длина вектора , взятая со
знаком «+», если вектор и ось l сонаправлены, и со
знаком «–», если и l противоположно направлены.

Если
в качестве оси l взять некоторый другой вектор , то получим проекцию вектора на вектор .

Рассмотрим некоторые
основные свойства проекций:

1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля
вектора на косинус угла
между вектором и осью, то есть ;

2.) проекция вектора на ось
положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и
равна нулю, если этот угол – прямой;

3) проекция суммы нескольких
векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и
теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над
векторами.

5. Скалярным произведением векторов и называется
число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между
ними, то есть

. (2.27)

Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол , поэтому его косинус (в 2.27) равен 1.

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием
перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного
произведения

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть

Теорема 2.3. Скалярное произведение двух векторов ,
заданных своими координатами, равно сумме произведений их одноименных координат, то есть

(2.28)

С помощью скалярного произведения векторов можно
вычислить угол между ними.
Если заданы два ненулевых вектора
своими координатами , то косинус угла φ между ними:

(2.29)

Отсюда
следует условие перпендикулярности ненулевых векторов
и :

(2.30)

Нахождение проекции вектора на направление,
заданное вектором , может осуществляться по формуле

(2.31)

С помощью скалярного произведения векторов находят
работу постоянной силы на
прямолинейном участке пути.

Предположим, что под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из
положения А в положение B. Вектор силы образует угол φ с вектором перемещения (рис. 2.14). Физика утверждает, что работа силы при перемещении
равна .

Следовательно, работа постоянной силы
при прямолинейном перемещении точки ее приложения равна скалярному произведению
вектора силы на вектор перемещения.

Пример
2.9. С
помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине A параллелограмма ABCD, построенного на векторах

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение
по теореме (2.3):

Отсюда согласно формуле (2.29) получим косинус
искомого угла

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых
на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной
тонны творога?

Таблица 2.2

Решение. Введем в рассмотрение два вектора: вектор затрат
ресурсов на тонну продукции и вектор цены единицы
соответствующего ресурса .

Тогда . Общая цена
ресурсов , что представляет собой скалярное произведение
векторов . Вычислим его по формуле (2.28) согласно теореме 2.3:

Таким образом, общая цена затрат на производство одной
тонны творога составляет 279 541,5 рублей

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10,
можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного
произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве
аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений
которых необходимо найти. В MathCAD
скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего
оператора панели инструментов Matrix

Пример 2.11. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно
из положения A(2;4;6) в положение A(4;2;7). Под каким углом к AB направлена сила ?

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты
начала

. По формуле (2.28) (единиц работы).

Угол φ между и
находим по
формуле (2.29), то есть

6. Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую
тройку, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший
поворот от первого вектора ко второму
вектору совершается против часовой стрелки, и левую,
если по часовой стрелке.

Векторным
произведением вектора на вектор называется
вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

– перпендикулярен векторам и ;

– имеет длину, равную , где φ – угол, образованный векторами
и ;

– векторы образуют правую
тройку (рис. 2.15).

Теорема 2.4. Необходимым и достаточным
условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного
произведения

Теорема 2.5. Векторное произведение векторов , заданных своими координатами, равно определителю
третьего порядка вида

(2.32)

Примечание. Определитель (2.25)
раскладывается по свойству 7 определителей

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух
векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны

Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю

Геометрическая
интерпретация векторного произведения состоит в том, что длина результирующего
вектора численно равна площади S
параллелограмма, построенного на векторах–сомножителях как на сторонах,
приведенных к одному началу. Действительно, согласно определению, модуль
векторного произведения векторов равен . С другой стороны, площадь параллелограмма,
построенного на векторах и , также равна

. Следовательно,

. (2.33)

Также с помощью векторного произведения можно
определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.

Пусть в точке A приложена
сила  и пусть O –
некоторая точка пространства (рис. 2.16). Из курса физики известно, что моментом
силы  относительно
точки O называется вектор , который проходит через точку O и удовлетворяет следующим условиям:

— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B;

— его модуль численно равен произведению силы на плечо .

— образует правую тройку с векторами и .

Следовательно,
момент силы относительно
точки O представляет собой векторное произведение

. (2.34)

Линейная скорость точки М твердого тела, вращающегося с
угловой скоростью вокруг
неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , O – некоторая неподвижная

точка оси (рис. 2.17).

Пример 2.12. С помощью
векторного произведения найти площадь треугольника ABC, построенного на векторах
, приведенных к одному началу.

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по
формуле (2.32).

. Согласно формуле (2.33) модуль векторного
произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади
параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах, приведенных к
общему началу, то есть . Тогда площадь треугольника
. Следовательно, искомая площадь равна (единиц
площади)

7. Рассмотрим произведение трех векторов , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а
результирующий вектор – скалярно на третий. Такое произведение называется смешанным
произведением трех векторов
(векторно–скалярным произведением).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения

Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное
произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из
координат векторов- сомножителей соответственно, то есть

(2.35)

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда,
построенного на векторах как на
сторонах, приведенных к общему началу, численно равен модулю смешенного
произведения этих векторов .

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же
векторах, равен

(2.36)

Пример 2.13. Вершинами пирамиды служат точки . Вычислить объем пирамиды.

Решение. Найдем
координаты векторов

. Вычислим смешанное произведение этих векторов:

По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на
векторах равен
(единиц объема)

Рассмотрим очень важный вопрос о
разложении вектора по базису. Приведем
следующие определения.

Система векторов называется
линейно зависимой, если существуют такие числа , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет
место равенство

(2.37)

Отсюда всегда можно один из линейно
зависимых векторов выразить через линейную комбинацию остальных. Действительно,
допустим для определенности, что . Тогда на это число разделим равенство (2.37), имеем:

получим выражение вектора через
остальные векторы

Линейно независимыми называют векторы, если равенство
(2.37) выполняется только тогда, когда
все

В системе векторов число линейно
независимых векторов равняется рангу матрицы, которая составлена из координат
этих векторов (смотри раздел I.5).

Базисом n – мерного
пространства E_n называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.

Произвольный вектор n
– мерного пространства можно представить
в виде линейной комбинации векторов базиса

таким образом:

Числа
называются координатами
вектора в базисе
векторов .

Линейное пространство называется
конечномерным и имеет размерность n, если в этом
пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая,
что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.

Например, в трехмерном пространстве
существует базис единичных орт  такой, что любое расширение этой системы
линейно независимых векторов, то есть каждый вектор  трехмерного
пространства, приводит к линейной зависимости векторов (является линейной
комбинацией орт ): Коэффициенты {x₁, x₂, x₃} такого разложения вектора
по ортам  являются координатами вектора  в трехмерном
пространстве.

Вопросы для самопроверки

Источник

Высота, проведенная к стороне АС, перпендикулярна к стороне АС по определению. Значит вектор высоты, обозначим его Х (х1,х2), должен быть перпендикулярным к вектору АС.

В качестве вектора высоты Х можно взять вектор
Х (с2-а2, -с1+а1). Чтобы проверить, что этот вектор перпендикулярен к вектору АС, надо посчитать скалярное произведение.
Получаем:
(с1-а1)*(с2-а2) + (с2-а2)*(-с1+а1) = 0
Раз скалярное произведение равно нулю, значит векторы перпендикулярны, что нам и нужно.

вектор a(2, -1, 1) вектор b (0, 4, 1)

задан 27 Янв ’14 18:40

Длины векторов легко находятся. Далее через скалярное произведение выражаем косинус угла. Зная косинус, находим синус. Через синус и длины выражаем площадь. Длина разности векторов — это противолежащая сторона. Поделив на неё удвоенную площадь, находим длину высоты.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

И в итоге: x+2y+z-9=0
это вы написали уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно АВ.

Нужно найти не длину, а уравнение CH.

Нужно найти не длину, а уравнение CH. — Если найдёте `H`, то сможете написать уравнение по двум точкам.

Так? — Да. только вычисления не проверял. а в том, что получили, можно сократить на 36.

Источник

Свойства векторного произведения
Выражение векторного произведения через координаты
Некоторые приложения векторного произведения Установление коллинеарности векторов
- Нахождение площади параллелограмма и треугольника
- Определение момента силы относительно точки
- Нахождение линейной скорости вращения
Векторное произведение

Определение векторного произведения:

Три некомпланарных вектора, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который:

перпендикулярен векторам
имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах как на сторонах (см. рис. 17), т. е.
векторы образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается или . Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k (см. рис. 18):

Докажем, например, что .

векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

Свойства векторного произведения

1.При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т. е. (см. рис. 19).

Векторы коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки противоположной ориентации). Стало быть, .

2.Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е.

Пусть . Вектор перпендикулярен векторам . Вектор также перпендикулярен векторам (векторы лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому Аналогично доказывается при

3. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е.

Если , то угол между ними равен 0° или 180°. Но тогда Значит,

Если же , то . Но тогда , т. е. .

В частности,

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Примем без доказательства.

Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, j и k:

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

т.е.

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки. Равенство (7.2) легко запоминается.

Некоторые приложения векторного произведения
Установление коллинеарности векторов

Если , то (и наоборот), т. е.

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов И, значит,

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом силы относительно точки О называется вектор , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами . Стало быть,

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , где , где О — некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).