Как найти высоту треугольника описанного вокруг окружности

Высота треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти высоту треугольника. Для нахождения высоты треугольника введите известные элементы треугольника и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

Далее, из теоремы синусов имеем:

Подставляя (6) в (7), получим:

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

(small max (b,c) ≤2R Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

(small max (7,3) ≤2 cdot 4 Ответ: ( small 2frac<5><8>. )

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

( small frac<large h_a><large sin angle B>=frac<large c><large sin 90°>, )

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Как найти высоту треугольника описанного около окружности

Задание 17. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 12. Найдите высоту этого треугольника.

Центр описанной около равностороннего треугольника окружности лежит на высоте BH и делит ее в отношении 2:1, считая от вершины B.

В задании нам дана величина радиуса BO=R=12, следовательно, OH=BO:2=6. И вся высота BH=12+6=18.

Определение

Треугольник, описанный около окружности — это треугольник,
который находится около окружности и соприкасается
с ней всеми тремя сторонами.

На рисунке ниже изображена окружность, вписанная в треугольник;
и треугольник, описанный около окружности.

△ABC — треугольник, описанный около окружности;
A, B, C — вершины треугольника, описанного около окружности;
F, D, E — точки касания треугольника, описанного около окружности;
O — центр окружности, вписанной в треугольник;
OD = OF = OE — радиусы треугольника, описанного около окружности;
AB, BC, CA — касательные;
FA = AE, EC = CD, FB = BD — отрезки касательных;
OF ⟂ AB, OD ⟂ BC, OE ⟂ AC;

Треугольник ABC имеет три точки, где соприкасаются
стороны и сама окружность, эти точки называют точками
касания. У данного треугольника их всего три.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем
только одну. Треугольник, в который вписана окружность
называется треугольником описанным около окружности.

Треугольники, описанные около окружности, обладают рядом
рядом отличительных свойств, характерных признаков, уникальными
терминами, а также формулам, по которым можно найти разные величины.

Формулы радиуса вписанной окружности, радиуса описанной окружности,
диаметра, средней линии, периметра, площади стороны позволяют выразить
одни величины через другие, рассчитать длину величины, узнать во сколько
раз одна величина отличается от другой, какая прослеживается взаимосвязь.

Длина любой величины произвольного
треугольника может измеряется в мм, см, м, км.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности треугольника, описанного около окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:
   

   [ r = frac{S}{(a+b+c)/2} ]

2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны площадь и периметр:
   

   [ r = frac{S}{frac{1}{2}P} ]

3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известны полупериметр и все стороны:
   

   [ r = sqrt{frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}} ]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности треугольника, описанного около окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
   

   [ R = frac{AC}{2 sin angle B} ]

2. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и площадь:
   

   [ R = frac{abc}{4S} ]

3. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известны все стороны и полупериметр:

   [ R = frac{abc}{4sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}} ]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника, описанного около окружности.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

   [ S = pr ]

2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр:

   [ S = sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} ]

3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен высота и основание:

   [ S = frac{1}2 ah ]

4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

   [ S = frac{a^2}{2cdot (sin(α)⋅sin(β)) : sin(180 — (α + β))} ]

5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и синус угла между ними:

   [ S = frac{1}{2}ab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника, описанного около окружности.

1.  Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

   [ P = a + b + c ]

2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и радиус вписанной окружности:
   

   [ P = frac{2S}{r} ]

3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и угол между ними:

   [ P = sqrt{ b2 + с2 — 2 * b * с * cosα} + (b + с) ]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника, описанного около окружности.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

   [ a = sqrt{b^2+c^2 -2bc cdot cos alpha} ]

2. Сторона треугольника вписанного в
   окружность, если известна сторона и два угла:
   

   [ a = frac{b · sin alpha }{sin β} ]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника, описанного около окружности.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

   [ l = frac{AB}{2} ]

2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны, ни одна из них не является
   основанием, и косинус угла между ними:
   

   [ l = frac{sqrt{b^2+c^2-2bc cdot cos alpha}}{2} ]

Высота треугольника

h — высота треугольника, описанного около окружности.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

   [ h = frac{2S}{a} ]

2. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен сторона и синус угла прилежащего
   к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

   [ h = b cdot sin alpha ]

3. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известен радиус описанной окружности и
   две стороны, ни одна из которых не является основанием:

   [ h = frac{bc}{2R} ]

Свойства

Свойства треугольника, описанного около окружности,
а также окружности, вписанной в треугольник, медиан,
высот, биссектрис, радиусов-перпендикуляров.

Свойство 1. Окружность, можно вписать
в любой треугольник, только один раз.

Свойство 2. Центр окружности, вписанной в треугольник —
точка пересечения биссектрис, центр окружности.

Свойство 3. Центр окружности, описанной около треугольника —
точка пересечения серединных перпендикуляров.

Свойство 4. Центры вписанной и описанной окружностей
равностороннего треугольника, описанного около
окружности совпадают, имеют одну общую точку.

Свойство 5. Отрезок, проведенный из центра треугольника,
описанного около окружности, к любой из сторон,
является радиусом.

Свойство 6. У любого треугольника центр
вписанной окружности находится только внутри.

Свойство 7.  Окружность находящаяся внутри
треугольника, описанного около окружности,
касается всех его сторон.

Свойство 8.  Вписанная окружность и треугольник,
описанный около окружности, имеют три общие точки,
которые лежат на трех сторонах треугольника.

Свойство 9. Формула радиуса вписанной окружности
у треугольника, описанного около окружности, и четырехугольника,
у которого суммы противоположных равны, совпадает.

Свойство 10. Радиус описанной около треугольника окружности,
можно выразить и рассчитать через Теорему Синусов.

Свойство 11. У треугольника, описанного около
окружности, радиус вписанной окружности, можно
рассчитать через площадь и полупериметр.

Свойство 12. Радиус в точку касания есть перпендикуляр.

Свойство 13. Окружность, вписанная в треугольник, разделяет
стороны треугольника на 3 пары равных отрезков.

Свойство 14. Стороны треугольника, описанного около
окружности, можно также называть касательными.

Свойство 15.  Отрезки, которые проведены из центра вписанной
окружности, к точкам касания, перпендикулярны сторонам.

Свойство 16. Сумма углов треугольника, описанного
около окружности, равна 180 градусам.

Свойство 17. Центр вписанной окружности
равноудален от всех сторон треугольника.

Свойство 18. Центр вписанной в треугольник окружности в научных
кругах называется замечательной точкой треугольника, либо инцентром.

Свойство 19. Правильный треугольник, описанный около
окружности, имеет точки касания с окружность, в серединах сторон.

Свойство 20. Равнобедренный, прямоугольный, равносторонний
треугольники, описанные около окружности, в точке пересечения
биссектрис и центре окружности, имеют одну общую точку.

Признаки существования

Признак 1. Центр вписанной окружности —
это точка пересечения биссектрис.

Признак 2. На сторонах треугольника лежат
три точки касания вписанной окружности.

Признак 3. Вписанная окружность делит смежные
стороны треугольника на равные отрезки касательных.

Признак 4.  У вписанной окружности три радиуса в точку касания быть перпендикулярами.

Исходя из вышеперечисленных признаков, исходных
данных, внешнего вида, можно определить является ли
треугольник описанным около окружности или же нет.

Признаки равенства

Признак 1. По двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника, описанного
около окружности, равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника, описанного
около окружности, равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, описанного около окружности, то такие треугольники равны.

Признак 3. По трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника, описанного
около окружности, равны трем сторонам другого
треугольника, описанного около окружности.

Виды

Как мы знаем, любой треугольник может быть описан около
окружности, исходя из этого можно сказать, что около
окружности, могут быть описаны следующие виды треугольников:

1.  Разносторонний треугольник
2.  Равносторонний / правильный треугольник
3.  Прямоугольный треугольник
4.  Равнобедренный треугольник
5.  Равнобедренный прямоугольный треугольник

• Прямоугольный треугольник, описанный около окружности

Характерные признаки: один из углов прямой,
длину сторон можно найти через Теорему
Пифагора, сумма острых углов 90 градусов.

Основные формулы:

[ r = frac{a+b-c}{2} ]

[ S = pr ]

[ BC^2 = BA^2 + AC^2 ]

• Равнобедренный треугольник, описанный около окружности
  

Характерные признаки: два угла равны,
две стороны равны, третий угол можно
найти зная два других.

Основные формулы:

[ S = frac{b}{4} cdot sqrt{4a^2-b^2} ]

[ P = 2a + b ]

[ h = frac{2S}{b} ]

• Равносторонний треугольник, описанный около треугольника

Основные формулы:

[ S = frac{a^2sqrt{3}}{4} ]

[ r = frac{a}{2 sqrt 3} ]

[ R = 2r ]

Термины

Точка касания — это точка, где соприкасается вписанная
окружность с треугольником; это общая точка, для окружности
и треугольника, которая лежит на любой из сторон треугольника.

Инцентр — это точка, где пересекаются три биссектрисы
треугольника; это центр вписанной окружности в треугольник;
это одна из замечательных точек в геометрии.

Касательная — это сторона треугольника, которая имеет с
вписанной окружностью одну общую точку — точку касания.

Ортоцентр — точка, где пересекаются высоты треугольника.

Ось симметрии — это прямая, которая делит
треугольник на равные половины.

Замечательная точка — это точка пересечения медиан,
высот, биссектрис, серединных перпендикуляров.

Отрезок касательной — это отрезок, который берет начало
у одной из вершин треугольника, и имеет конец в точке касания.

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.

Пример.  Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2

где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

h = a * sin α

где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚  sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

h = bc / 2R

где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:

h = √(C1 * C2)

где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC²,  BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

h = √(b² — a²/4)

где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:

h = ab / c

где a,b,c – стороны треугольника.

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

h = a√3 / 2

где a – сторона треугольника.

Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

1. Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
   треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
   примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
   при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.
2. В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
   понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.
3. В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
   внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.

Какими свойствами обладает высота равностороннего треугольника? Как найти высоту равностороннего треугольника через его сторону, радиусы вписанной или описанной окружностей?

Теорема 1

(свойство высоты равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике высота, проведённая к любой стороне, является также его медианой и биссектрисой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Так как AB=BC, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.

Проведём высоту BF.

По свойству равнобедренного треугольника, BF является также его медианой и биссектрисой

(то есть, AF=FC, ∠ABF=∠CBF).

Аналогично, рассмотрев треугольник ABC как равнобедренный с основанием BC и треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, доказываем, что высоты AK и CD являются также его медианами и биссектрисами

(то есть, BK=KC, ∠BAK=∠CAK; AD=BD, ∠ACD=∠BCD).

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство высот равностороннего треугольника)
Все три высоты равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

AK, BF и CD — его высоты.

В прямоугольных треугольниках ABF, BCD и CAK:

гипотенузы AB, BC и CA равны по условию,

∠BAF=∠CBD=∠ACK (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, треугольники ABF, BCD и CAK равны (по гипотенузе и острому углу).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BF=CD=AK.

Что и требовалось доказать.

Из теорем 1 и 2 следует, что в равностороннем треугольнике все высоты, медианы и биссектрисы равны между собой.

1) Найдём высоту равностороннего треугольника через его сторону.

В треугольнике ABC AB=BC=AC=a.

BF — высота, BF=h.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF.

По определению синуса,

Отсюда формула высоты равностороннего треугольника через его сторону:

(2-й способ: из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора

2) Выразим высоту равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Точка O — центр правильного треугольника — является также центром его вписанной и описанной окружностей. Как центр вписанной окружности O — точка пересечения биссектрис треугольника. В правильном треугольнике биссектрисы и медианы совпадают. Следовательно, также является O точкой пересечения медиан.

А так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины, то BO:OF=2:1, то есть

BO — радиус описанной окружности, OF — вписанной: BO=R, OF=r.

Следовательно, высота равностороннего треугольника равна трём радиусам вписанной окружности:

и в полтора раза больше радиуса описанной окружности: