Как найти высоту цилиндра с вписанным конусом - AvtoShod.ru

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Найти высоту цилиндра

NeBotan	Найти высоту цилиндра 18.04.2010, 10:18
22/12/08 155 Москва	Такая задачка: Чему равна высота цилиндра максимального объема, вписанного в конус высотой H? Тупняк в том, что никак не могу понять, как записать уравнение связи для радиуса-высоты цилиндра? У меня получилось только система неравенств: $left{begin{matrix} V=pi r^2h\ hleq H end{matrix}right.$ Знаю, что ответ равен , но хотелось бы разбораться, как ее найти.

vvvv

Re: Найти высоту цилиндра

18.04.2010, 12:09

Заблокирован

19/09/08
∞
754

Задайтесь радиусом основания конуса- R (пусть это будет буква R или, вообще, единица).
За переменную выберите высоту h , искомого цилиндра.
Выразите объем вписанного в конус цилиндра через H,h,R.
Найдите производную от объема вписанного цилиндра по h.
Приравняйте найденную производную нулю и решите, полученное уравнение.
Получите два решения: h=H/3 и h=H. т.е. максимум и минимум объема :-)

ewert

Re: Найти высоту цилиндра

18.04.2010, 12:16

Заслуженный участник

11/05/08
32162

Тупняк в том, что никак не могу понять, как записать уравнение связи для радиуса-высоты цилиндра?

Нарисуйте осевое сечение и разберитесь с получившимися подобными треугольниками.

vvvv

Re: Найти высоту цилиндра

18.04.2010, 13:01

Заблокирован

19/09/08
∞
754

Картинка такая :-)

NeBotan	Re: Найти высоту цилиндра 18.04.2010, 23:01
22/12/08 155 Москва	спасибо большое! особенно за формулу на картинке. Почти моментально дошло! с меня пиво!)

vvvv

Re: Найти высоту цилиндра

19.04.2010, 11:08

Заблокирован

19/09/08
∞
754

Пожалуйста, только от Москвы до Одессы далековато :-)

NeBotan	Re: Найти высоту цилиндра 20.04.2010, 10:10
22/12/08 155 Москва	ну, если буду проездом, то отпишусь!

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

мохинсан

Равносторонний, это случайно не квадрат, осевое сечение?
если так тогда
D-диаметр конуса
H-высота конуса
d-диаметр цилиндра
h-высота цилиндра
d=h
цилиндр вписаный,
имеем два подобных конуса(их осевые сечения подобные по трям углам, один альфа- общий, а по два остальных как при основе конусов)
у второго конуса высота H-h, а диаметр d -основа цилиндра
$D=2R;\ R=Htg frac{alpha}{2}\ D=2Htgfrac{alpha}{2}\d=h\ frac{d}{D}= frac{H-h}{H} ==> frac{h}{2Htgfrac{alpha}{2}} = frac{H-h}{H}==> h=2Hcdot tgfrac{alpha}{2}- 2hcdot tgfrac{alpha}{2}==>\ =>h= Hfrac{2tg frac{alpha}{2} }{1+2tg frac{alpha}{2} } =2H frac{1}{2+ctg frac{alpha}{2} }$

5 votes
Thanks 11

Источник

Конус вписан в цилиндр, если основание конуса совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина лежит в центре другого основания.

Оси цилиндра и вписанного в него конуса совпадают. Цилиндр и вписанный конус имеют равные высоты и радиусы.

Соответственно, в этом случае цилиндр описан около конуса.

Рассмотрим осевое сечение комбинации тел. Оно представляет собой прямоугольник с вписанным в него равнобедренным треугольником.

Здесь SO=H — высота цилиндра и вписанного конуса, OA=OB=R — радиус цилиндра и радиус конуса, SB=SA= l — образующая конуса, AD — образующая цилиндра.

Найдем отношение объема конуса к объему описанного около него цилиндра:

$[frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = frac{{frac{1}{3}pi {R^2}H}}{{pi {R^2}H}} = frac{1}{3}.]$

Из прямоугольного треугольника SOA по теореме Пифагора

$[A{S^2} = A{O^2} + S{O^2}, Rightarrow l = sqrt {{R^2} + {H^2}} .]$

Теперь найдем отношение площади боковой поверхности конуса к площади боковой поверхности описанного цилиндра:

$[frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = frac{{pi Rl}}{{2pi RH}} = frac{l}{{2H}} = frac{{sqrt {{R^2} + {H^2}} }}{{2H}}.]$

Источник

Найдите наименьший возможный объём конуса, в который вписан цилиндр объёма V.

Спрятать решение

Решение.

Обозначим высоту цилиндра за h, а радиус основания за r, тогда его объем равен поэтому Обозначим радиус основания конуса за R, а его высоту за p, тогда его объем Пусть S  — вершина конуса, O  — центр его основания, AB  — диаметр основания.

Рассмотрим сечение конуса плоскостью SAB. Получим равносторонний треугольник, в который вписан прямоугольник. Назовем его вершины M, N, P, Q, при этом Прямоугольные треугольники SOA и QMA подобны, поэтому

Значит, объем конуса равен

Определим наименьшее значение этой функции при R > r. Возьмем производную по R:

что положительно при и отрицательно при Значит, функция возрастает при убывает при и достигает наименьшего значения при Вычислим ее значение:

Ответ:

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданий	Баллы
За задание (или за каждый из четырех пунктов сюжета из четырех заданий) выставляется одна из следующих оценок: + (3 балла), ± (2 балла), ∓ (1 балл), − (0 баллов) При этом необходимо руководствоваться следующим.
Верное и полное выполнение задания	3
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущен один недочет	2
Ход решения верный, решение доведено до ответа, но допущено два недочета или одна грубая ошибка	1
Остальные случаи	0
К недочетам относятся, например: описки, неточности в использовании математической символики; погрешности на рисунках, недостаточно полные обоснования; неточности в логике рассуждений при сравнении чисел, доказательстве тождеств или неравенств; вычислительные ошибки, не повлиявшие принципиально на ход решения и не упростившие задачу, если задача не являлась вычислительной; замена строго знака неравенства нестрогим или наоборот; неверное присоединение либо исключение граничной точки из промежутка монотонности и аналогичные. Грубыми ошибками являются, например: потеря или приобретение постороннего корня; неверный отбор решения на промежутке при правильном решении в общем виде; вычислительная ошибка в задаче на вычисление; неверное изменение знака неравенства при умножении на отрицательное число, логарифмировании или потенцировании и т. п.

Задание парного варианта: 2236

Сложность: 9 из 10

Источник

ckacram882

Вопрос по геометрии:

В конус вписан равносторонний цилиндр.найдите высоту цилиндра,если высота конуса равна Н и угол при вершине осевого сечения равен альфа.

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

kedledi852

Знаете ответ? Поделитесь им!

Гость

Гость ?

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Источник

Правила форума

Найти высоту цилиндра

Кто сейчас на конференции

Ответы и объяснения 1

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Есть сомнения?

Не пропустите также: