Как найти второй замечательный предел

Второй замечательный предел

Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

$ bigg[frac{infty}{infty}bigg]^infty $ и $ [1]^infty $.

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула и следствия

Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ lim_{x to infty} bigg (1+frac{1}{x}bigg)^x = e, text{ где } e approx 2.718 $$

Из формулы вытекают следствия, которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ lim_{x to infty} bigg (1 + frac{k}{x} bigg)^x = e^k, text{ где } k in mathbb{R} $$ $$ lim_{x to infty} bigg (1 + frac{1}{f(x)} bigg)^{f(x)} = e $$ $$ lim_{x to 0} bigg (1 + x bigg)^frac{1}{x} = e $$

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

$$
begin{equation}
lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{x}right)^x=e
end{equation}
$$

Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $eapprox{2{,}718281828459045}$. Если сделать замену $t=frac{1}{x}$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

$$
begin{equation}
lim_{tto{0}}biggl(1+tbiggr)^{frac{1}{t}}=e
end{equation}
$$

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $frac{1}{t}$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+infty$ или $-infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Пример №1

Вычислить предел $lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}$.

Решение

Сразу отметим, что основание степени (т.е. $frac{3x+1}{3x-5}$) стремится к единице:

$$
lim_{xtoinfty}frac{3x+1}{3x-5}=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{3+frac{1}{x}}{3-frac{5}{x}}
=frac{3+0}{3-0}
=1.
$$

При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $lim_{xtoinfty}(4x+7)=infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение $1+frac{1}{x}$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $frac{3x+1}{3x-5}$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $frac{3x+1}{3x-5}$ под вид $1+frac{1}{x}$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}
=|1^infty|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
$$

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

$$
frac{3x+1}{3x-5}-1
=frac{3x+1}{3x-5}-frac{3x-5}{3x-5}
=frac{3x+1-3x+5}{3x-5}
=frac{6}{3x-5}.
$$

Так как $frac{3x+1}{3x-5}-1=frac{6}{3x-5}$, то:

$$
lim_{xtoinfty}left(1+ frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right )^{4x+7}
$$

Продолжим «подгонку». В выражении $1+frac{1}{x}$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+frac{6}{3x-5}$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:

$$
1+frac{6}{3x-5}
=1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}
$$

Таким образом,

$$
lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right )^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{4x+7}
$$

Итак, основание степени, т.е. $1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}$, подогнано под вид $1+frac{1}{x}$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $frac{3x-5}{6}$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $frac{6}{3x-5}$. Итак, имеем:

$$
lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
$$

Отдельно рассмотрим предел дроби $frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}$, расположенной в степени:

$$
lim_{xtoinfty}frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}
=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{6cdotleft(4+frac{7}{x}right)}{3-frac{5}{x}}
=6cdotfrac{4}{3}
=8.
$$

Согласно формуле (1) имеем $lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}}=e$. Кроме того, $lim_{xtoinfty}frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}=8$, поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

$$
lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}=left|1^inftyright|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{4x+7}=\

=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right )^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что $frac{6}{3x-5}to{0}$ при $xtoinfty$, то применяя формулу (2), получим:

$$
lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right )^{4x+7}=left|1^inftyright|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{3x+1}{3x-5}-1right)^{4x+7}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{4x+7}=\

=lim_{xtoinfty}left(1+frac{6}{3x-5}right)^{frac{3x-5}{6}cdotfrac{6}{3x-5}cdot(4x+7)}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{6}{3x-5}right)^{frac{3x-5}{6}}right)^{frac{6cdot(4x+7)}{3x-5}}
=e^8.
$$

Ответ: $lim_{xtoinfty}left(frac{3x+1}{3x-5}right)^{4x+7}=e^8$.

Пример №2

Найти предел $lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}$.

Решение

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $xto{1}$, т.е. $lim_{xto{1}}(7-6x)=7-6cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $frac{x}{3x-3}$, получаем: $lim_{xto{1}}frac{x}{3x-3}=infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $xto{1}$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $xto{1}$, то ${x-1}to{0}$, т.е. $yto{0}$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $yto{0}$, получим:

$$
lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr )^{frac{x}{3x-3}}
=left|begin{aligned}&y=x-1;;x=y+1\&yto{0}end{aligned}right|=\
=lim_{yto{0}}biggl(7-6cdot(y+1)biggr)^{frac{y+1}{3cdot(y+1)-3}}
=lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}
=lim_{yto 0}biggl(1+(-6y)biggr)^frac{y+1}{3y}
$$

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $frac{1}{t}$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $frac{1}{-6y}$. Домножим показатель степени на выражение $frac{1}{-6y}$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $frac{-6y}{1}=-6y$:

$$
lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}=lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}cdot(-6y)cdotfrac{y+1}{3y}}
=lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
$$

Так как $lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}=e$ и $lim_{yto{0}}(-2(y+1))=-2$, то получим:

$$
lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
=e^{-2}
=frac{1}{e^2}.
$$

Полное решение без пояснений таково:

$$
lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}
=left|begin{aligned}&y=x-1;;x=y+1\&yto{0}end{aligned}right|
=lim_{yto{0}}biggl(7-6cdot(y+1)biggr)^{frac{y+1}{3cdot(y+1)-3}}=\

=lim_{yto{0}}biggl(1-6ybiggr)^frac{y+1}{3y}
=lim_{yto{0}}biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}cdot(-6y)cdotfrac{y+1}{3y}}
=lim_{yto{0}}left(biggl(1+(-6y)biggr)^{frac{1}{-6y}}right)^{-2(y+1)}
=e^{-2}
=frac{1}{e^2}.
$$

Ответ: $lim_{xto{1}}biggl(7-6xbiggr)^{frac{x}{3x-3}}=frac{1}{e^2}$.

Пример №3

Найти предел $lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}$.

Решение

Так как $lim_{xto{0}}(cos{2x})=1$ и $lim_{xto{0}}frac{1}{sin^2{3x}}=infty$ (напомню, что $sin{u}to{0}$ при $uto{0}$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

$$
lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
=|1^infty|
=lim_{xto{0}}biggl(1+cos{2x}-1biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
$$

Так как $sin^2x=frac{1-cos{2x}}{2}$, то $cos{2x}-1=-2sin^2x$, поэтому:

$$
lim_{xto{0}}biggl(1+cos{2x}-1biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}
=lim_{xto{0}}biggl(1+left(-2sin^2xright)biggr)^{frac{1}{-2sin^2x}cdot(-2sin^2x)cdotfrac{1}{sin^2 3x}}=\

=lim_{xto{0}}left(biggl(1+left(-2sin^2xright)biggr)^{frac{1}{-2sin^2x}}right)^{frac{-2sin^2{x}}{sin^2{3x}}}
=e^{-frac{2}{9}}.
$$

Здесь мы учли, что $lim_{xto{0}}frac{sin^2{x}}{sin^2{3x}}=frac{1}{9}$. Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.

Ответ: $lim_{xto{0}}biggl(cos{2x}biggr)^{frac{1}{sin^2{3x}}}=e^{-frac{2}{9}}$.

Пример №4

Найти предел $lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)$.

Решение

Так как при $x>0$ имеем $ln(x+1)-ln{x}=lnleft(frac{x+1}{x}right)$, то:

$$
lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)
=lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(frac{x+1}{x}right)right)
$$

Раскладывая дробь $frac{x+1}{x}$ на сумму дробей $frac{x+1}{x}=1+frac{1}{x}$ получим:

$$
lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(frac{x+1}{x}right)right)
=lim_{xto+infty}left(xcdotlnleft(1+frac{1}{x}right)right)
=lim_{xto+infty}left(lnleft(frac{x+1}{x}right)^xright)
=ln{e}
=1.
$$

Ответ: $lim_{xto+infty}xleft(ln(x+1)-ln{x}right)=1$.

Пример №5

Найти предел $lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}$.

Решение

Так как $lim_{xto{2}}(3x-5)=6-5=1$ и $lim_{xto{2}}frac{2x}{x^2-4}=infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

$$
lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}
=left|begin{aligned}&t=x-2;;x=t+2\&tto{0}end{aligned}right|
=lim_{tto{0}}biggl(1+3tbiggr)^{frac{2t+4}{t^2+4t}}=\

=lim_{tto{0}}biggl(1+3tbiggr)^{frac{1}{3t}cdot 3tcdotfrac{2t+4}{t^2+4t}}
=lim_{tto{0}}left(biggl(1+3tbiggr)^{frac{1}{3t}}right)^{frac{6cdot(t+2)}{t+4}}
=e^3.
$$

Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=frac{1}{x-2}$. Разумеется, ответ будет тем же:

$$
lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}
=left|begin{aligned}&t=frac{1}{x-2};;x=frac{2t+1}{t}\&ttoinftyend{aligned}right|
=lim_{ttoinfty}left(1+frac{3}{t}right)^{tcdotfrac{4t+2}{4t+1}}=\

=lim_{ttoinfty}left(1+frac{1}{frac{t}{3}}right)^{frac{t}{3}cdotfrac{3}{t}cdotfrac{tcdot(4t+2)}{4t+1}}
=lim_{ttoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{t}{3}}right)^{frac{t}{3}}right)^{frac{6cdot(2t+1)}{4t+1}}
=e^3.
$$

Ответ: $lim_{xto{2}}biggl(3x-5biggr)^{frac{2x}{x^2-4}}=e^3$.

Пример №6

Найти предел $lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x} $.

Решение

Выясним, к чему стремится выражение $frac{2x^2+3}{2x^2-4}$ при условии $xtoinfty$:

$$
lim_{xtoinfty}frac{2x^2+3}{2x^2-4}
=left|frac{infty}{infty}right|
=lim_{xtoinfty}frac{2+frac{3}{x^2}}{2-frac{4}{x^2}}
=frac{2+0}{2-0}=1.
$$

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

$$
lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x}
=|1^infty|
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{2x^2+3}{2x^2-4}-1right)^{3x}=\

=lim_{xtoinfty}left(1+frac{7}{2x^2-4}right)^{3x}
=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{3x}=\

=lim_{xtoinfty}left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{2x^2-4}{7}cdotfrac{7}{2x^2-4}cdot 3x}
=lim_{xtoinfty}left(left(1+frac{1}{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{2x^2-4}{7}}right)^{frac{21x}{2x^2-4}}
=e^0
=1.
$$

Ответ: $lim_{xtoinfty}left(frac{2x^2+3}{2x^2-4}right)^{3x}=1$.

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Второй замечательный предел

17 декабря 2021

Второй замечательный предел: основная формула, доказательство, следствия и примеры.

1. Основная формула

Второй замечательный предел:

[limlimits_{nto +infty } {{left( 1+frac{1}{n} right)}^{n}}=text{e}]

Число $text{e}$ иррациональное:

[text{e}=2,718 281 828 459…]

Второй замечательный предел можно рассматривать и как предел последовательности для $nin mathbb{N}$, и как предел функции — в этом случае $nin mathbb{R}$.

2. Доказательство

Сначала докажем существование предела для $nin mathbb{N}$.

1. Рассмотрим последовательность

[{{y}_{n}}={{left( 1+frac{1}{n} right)}^{n}}]

Запишем несколько её первых членов:

[begin{array}{l|c|c|c|c} n & 1 & 2 & 3 & 4  \ hline {{y}_{n}} & 2,00 & 2,25 & approx 2,37 & approx 2,44 \ end{array}]

Видим, что последовательность монотонно возрастает. Но кто сказал, что так будет всегда?

2. Докажем, что последовательность ${{y}_{n}}$ возрастает всегда. Для этого вспомним формулу Бинома Ньютона:

[begin{align} {{left( a+b right)}^{n}} & =sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{n-k}}{{b}^{k}}}= \ & =1cdot {{a}^{n}}+ncdot {{a}^{n-1}}b+frac{nleft( n-1 right)}{1cdot 2}{{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+ \ & +ldots +frac{nleft( n-1 right)cdot ldots cdot left( n-left( n-1 right) right)}{1cdot 2cdot 3cdot …cdot n}{{b}^{n}} end{align}]

Здесь мы переписали биноминальные коэффициенты $C_{n}^{k}$ в специальном виде:

[begin{align} C_{n}^{k} & =frac{n!}{k!left( n-k right)!}= \ & =frac{nleft( n-1 right)cdot ldots cdot left( n-k right)cdot ldots cdot 1}{1cdot 2cdot 3cdot ldots cdot kcdot left( n-k right)cdot ldots cdot 1}= \ & =frac{nleft( n-1 right)cdot ldots cdot left( n-left( k-1 right) right)}{1cdot 2cdot 3cdot ldots cdot k} end{align}]

Если вам не понятно, что такое формула Бинома Ньютона, биноминальные коэффициенты и какие у них свойства — обязательно повторите урок про Бином Ньютона.

Теперь положим $a=1$, $b={1}/{n};$:

[begin{align} {{left( 1+frac{1}{n} right)}^{n}} & =sumlimits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}cdot {{1}^{n-k}}cdot frac{1}{{{n}^{k}}}}= \ & =1+ncdot frac{1}{n}+frac{nleft( n-1 right)}{1cdot 2}cdot frac{1}{{{n}^{k}}}+ \ & +ldots +frac{nleft( n-1 right)cdot ldots cdot left( n-left( n-1 right) right)}{1cdot 2cdot 3cdot …cdot n}cdot frac{1}{{{n}^{n}}} end{align}]

Перепишем эту сумму так:

[{{left( 1+frac{1}{n} right)}^{n}}=1+1+{{S}_{2}}+ldots +{{S}_{n}}]

где слагаемые ${{S}_{k}}$ считаются по формуле

[begin{align} {{S}_{k}} & =frac{nleft( n-1 right)cdot ldots cdot left( n-left( k-1 right) right)}{1cdot 2cdot 3cdot ldots cdot k}cdot frac{1}{{{n}^{k}}}= \ & =frac{1}{k!}cdot frac{n-1}{n}cdot frac{n-2}{n}cdot ldots cdot frac{n-left( k-1 right)}{n}= \ & =frac{1}{k!}left( 1-frac{1}{n} right)left( 1-frac{2}{n} right)cdot ldots cdot left( 1-frac{k-1}{n} right) end{align}]

В последней строке мы видим дробь с факториалом и ровно $k-1$ множителей-скобок. С ростом $n$ каждая такая скобка растёт, поэтому растёт и ${{S}_{k}}$:

[begin{align} {{S}_{k}} & =frac{1}{k!}left( 1-frac{1}{n} right)left( 1-frac{2}{n} right)cdot ldots cdot left( 1-frac{k-1}{n} right) lt \ & lt frac{1}{k!}cdot left( 1-frac{1}{n+1} right)cdot left( 1-frac{2}{n+1} right)cdot ldots cdot left( 1-frac{k-1}{n+1} right) \ end{align}]

Кроме того, cростом $n$ в сумме появляются новые слагаемые: ${{S}_{n+1}}$, затем ${{S}_{n+2}}$ и т.д. Все они положительны, поэтому сумма тоже растёт:

[begin{align} {{left( 1+frac{1}{n} right)}^{n}} & =1+1+{{S}_{2}}+ldots +{{S}_{n}} lt \ & lt 1+1+{{S}_{2}}+ldots +{{S}_{n}}+{{S}_{n+1}}= \ & ={{left( 1+frac{1}{n+1} right)}^{n+1}} \ end{align}]

Итак, мы доказали, что последовательность $left{ {{y}_{n}} right}$ возрастает. Теперь докажем её ограниченность, чтобы применить теорему Вейерштрасса.

3. В самом деле, слагаемые ${{S}_{k}}$ составлены из множителей-скобок, каждая из которых меньше единицы:

[begin{align} {{S}_{k}} & =frac{1}{k!}left( 1-frac{1}{n} right)left( 1-frac{2}{n} right)cdot ldots cdot left( 1-frac{k-1}{n} right) lt \ & lt frac{1}{k!}cdot 1cdot 1cdot ldots cdot 1=frac{1}{k!} \ end{align}]

Кроме того, факториалы растут быстрее, чем степени двойки:

[begin{align} {{S}_{k}} & lt frac{1}{k!}=frac{1}{1cdot 2cdot 3cdot ldots cdot k} lt \ & lt frac{1}{1cdot 2cdot 2cdot ldots cdot 2}=frac{1}{{{2}^{k-1}}} \ end{align}]

Поэтому сумма таких слагаемых ${{S}_{k}}$ тоже ограничена:

[begin{align} {{left( 1+frac{1}{n} right)}^{n}} & =1+1+{{S}_{2}}+ldots +{{S}_{n}} lt \ & lt 1+1+frac{1}{2}+frac{1}{{{2}^{2}}}+ldots +frac{1}{{{2}^{n}}} \ end{align}]

Слагаемые, начиная со второго образуют убывающую геометрическую прогрессию $left{ {{b}_{n}} right}$, где ${{b}_{1}}=1$, $q={1}/{2};$. Её сумма ограничена:

[begin{align} & 1+frac{1}{2}+frac{1}{{{2}^{2}}}+ldots +frac{1}{{{2}^{n}}} lt \ lt & 1+frac{1}{2}+frac{1}{{{2}^{2}}}+ldots +frac{1}{{{2}^{n}}}+ldots = \ = & 1cdot frac{1-{{left( {1}/{2}; right)}^{n}}}{1-left( {1}/{2}; right)}=2 \ end{align}]

Поэтому и вся последовательность $left{ {{y}_{n}} right}$ тоже ограничена:

[begin{align} {{left( 1+frac{1}{n} right)}^{n}} & lt 1+1+frac{1}{2}+frac{1}{{{2}^{2}}}+ldots frac{1}{{{2}^{n}}} lt \ & lt 1+2=3 \ end{align}]

Мы доказали ограниченность. Теперь настало время теоремы Вейерштрасса.

4. Итак, последовательность $left{ {{y}_{n}} right}$ возрастает (доказано в п.2) и ограничена (доказано в п.3). Следовательно, по теореме Вейерштрасса у этой последовательности есть предел, который мы обозначим буквой $text{e}$:

[limlimits_{xto n} {{left( 1+frac{1}{n} right)}^{n}}=text{e}]

Формула второго замечательного предела доказана.

Обратите внимание. Число $text{e}$ равно второму замечательному пределу по определению.

Чтобы найти его приближённое значение и тем более доказать иррациональность, нужны совсем другие (и весьма объёмные) выкладки. Этому будет посвящён отдельный урок.

3. Следствия из второго замечательного предела

1. $limlimits_{xto 0} {{left( 1+x right)}^{frac{1}{x}}}=text{e}$
2. $limlimits_{nto +infty } {{left( 1+frac{k}{n} right)}^{frac{1}{n}}}={{text{e}}^{k}}$
3. $limlimits_{xto 0} frac{ln left( 1+x right)}{x}=1$
4. $limlimits_{xto 0} frac{{{e}^{x}}-1}{x}=1$
5. $limlimits_{xto 0} frac{{{a}^{x}}-1}{xln a}=1$ ($a gt 0$, $ane 1$)
6. $limlimits_{xto 0} frac{{{left( 1+x right)}^{alpha }}-1}{alpha x}=1$

Пункты 1—2 являются прямыми следствиями второго замечательного предела. Пункты 3—4 наверняка знакомы вам из лекции про эквивалентные бесконечно малые функции.

Смотрите также:

1. Что такое бесконечно малая функция
2. Первый замечательный предел
3. Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (легкий)
4. Метод коэффициентов, часть 1
5. Деление многочленов уголком
6. Случай четырехугольной пирамиды

Второй замечательный предел

 или 

Доказательство
второго замечательного предела:

Доказательство
для натуральных значений x  [показать]

  
Зная,
что второй замечательный предел верен
для натуральных значений x, докажем
второй замечательный предел для
вещественных x, то есть докажем, что 
.
Рассмотрим два случая:

1.
Пусть 
.
Каждое значение x заключено между двумя
положительными целыми числами: 
,
где 
 —
это целая часть x.

Отсюда
следует: 
,
поэтому

.

Если 
,
то 
.
Поэтому, согласно пределу 
,
имеем:

.

П
о
признаку (о пределе промежуточной
функции) существования пределов 
.

2.
Пусть 
.
Сделаем подстановку − x = t,
тогда

.

Из
двух этих случаев вытекает, что 
 для
вещественного x.    

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 
    для 
   , 

6. 

примеры

Билет
33 .

Бесконечно
малая (величина) —
числовая функция или последовательность,
которая стремится к нулю.

Бесконечно
большая (величина) —
числовая функция или последовательность,
которая стремится к бесконечности определённого
знака.

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление
бесконечно малых —
вычисления, производимые с бесконечно
малыми величинами, при которых производный
результат рассматривается как
бесконечная суммабесконечно
малых. Исчисление бесконечно малых
величин является общим понятием
для дифференциальных и интегральных
исчислений,
составляющих основу современной высшей
математики.
Понятие бесконечно малой величины тесно
связано с понятием предела.

[Править]Бесконечно малая величина

Последовательность a_n называется бесконечно
малой,
если 
.
Например, последовательность чисел 
 —
бесконечно малая.

Функция
называется бесконечно
малой в окрестности точки x₀,
если 
.

Функция
называется бесконечно
малой на бесконечности,
если 
 либо 
.

Также
бесконечно малой является функция,
представляющая собой разность функции
и её предела, то есть если 
,
то f(x)
− a =
α(x), 
.

[Править]Бесконечно большая величина

Во
всех приведённых ниже формулах
бесконечность справа от равенства
подразумевается определённого знака
(либо «плюс», либо «минус»). То есть,
например, функцияxsin x,
неограниченная с обеих сторон, не
является бесконечно большой при 
.

Последовательность a_n называется бесконечно
большой,
если 
.

Функция
называется бесконечно
большой в окрестности точки x₀,
если 
.

Функция
называется бесконечно
большой на бесконечности,
если 
 либо 
.

[Править]Свойства бесконечно малых

• Сумма
  конечного числа бесконечно малых —
  бесконечно малая.

• Произведение
  бесконечно малых — бесконечно малая.

• Произведение
  бесконечно малой последовательности
  на ограниченную — бесконечно малая.
  Как следствие, произведение бесконечно
  малой на константу — бесконечно
  малая.

• Если a_n —
  бесконечно малая последовательность,
  сохраняющая знак, то 
   — бесконечно
  большая последовательность.

[Править]Сравнение бесконечно малых

Отношение
бесконечно малых величин образует
так называемую неопределённость 
.

[Править]Определения

Допустим,
у нас есть бесконечно малые при одном
и том же 
 величины α(x) и β(x) (либо,
что не важно для определения, бесконечно
малые последовательности).

• Если 
  ,
  то β —
  бесконечно малая высшего
  порядка малости,
  чем α.
  Обозначают β
  = o(α).

• Если 
  ,
  то β —
  бесконечно малая низшего
  порядка малости,
  чем α.
  Соответственно α
  = o(β).

• Если 
   (предел
  конечен и не равен 0), то α и β являются
  бесконечно малыми величинами одного
  порядка малости.

Это
обозначается как β
= O(α) или α
= O(β) (в
силу симметричности данного отношения).

• Если 
   (предел
  конечен и не равен 0), то бесконечно
  малая величина β имеет m-й
  порядок малости относительно
  бесконечно малой α.

Для
вычисления подобных пределов удобно
использовать правило
Лопиталя.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #