Как найти все значения комплексного корня онлайн - AvtoShod.ru

Извлечение корня из комплексных чисел

Чтобы извлечь корень n из комплексного числа необходимо:

Найти модуль комплексного числа |z|.
Найти аргумент комплексного числа φ.

Затем записать ответ в виде

Решение онлайн
Видеоинструкция

Например, для необходимо ввести 1+i и 3. Корень числа вводится как sqrt, например sqrt(3).

см. также Как решать уравнения с комплексными числами, Алгебраическая форма записи комплексного числа.

Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме с помощью калькулятора Web2.

Примечание:

abs — модуль комплексного числа |z|. Пример: abs(-5.5-6.6i)
arg — аргумент комплексного числа φ. Пример: arg(5.5+6.6i)

Пример №1. Найдите .

Решение:

Находим тригонометрическую форму комплексного числа z = 1 + i: x = Re(z) = 1, y = Im(z) = 1 > 0,

,

.

Таким образом, – тригонометрическая форма комплексного числа z = 1 + i.

Извлекаем (k = 0, 1, 2). Итак,

Пример №2. Найдем корень из комплексного числа. . Для этого перейдем в тригонометрическую форму x=-1, y=-1.

, .

Такой тангенс у двух углов и .

Так как х и у отрицательны, то угол находится в третьей четверти . n=3, m=0,1,2.

Подставим m=0

Подставим m=1

Подставим m=2

Источник

Онлайн калькулятор предназначен для вычисления корня
-ой степени из комплексного числа, с описанием подробного хода решения на русском языке. Для нахождения корня
-ой степени, сначала необходимо выбрать (алгебраическую, тригонометрческую или показательную)
форму представления комплексного числа. Далее приведены минимальные теоретические сведения, необходимые для понимания решения, выдаваемого калькулятором.

Согласно теории, корень
-ой степени из любого числа
()
имеет ровно

значений. Например:

Пример, по интереснее:

где

— мнимая единица. Можете попробовать возвести все значения в куб, и действительно получите
. Возникает вопрос: как найти все

значений корня
-ой степени из числа? Для этого необходимо использовать формулу Муавра, причем комплексное число должно быть записано в тригонометрической форме. Наш калькулятор автоматически осуществит перевод введенного числа в тригонометрическую форму, если потребуется.

Источник

Комплексные числа по-шагам

Примеры комплексных выражений

Деление комплексных чисел
```
(1-2i)/(1+4i)
```
Умножение комплексных чисел
```
(5+4i)*(8-2i)
```
Комплексные уравнения
```
z - |z| = 2 + i
```
```
(i + 5)*z - 2*i + 1 = 0
```
Возведение комплексного числа в степень
```
i^15
```
```
(1 - 2*i)^32
```
Квадратный корень из комплексного числа
```
sqrt(1-24*i)
```
Кубический корень
```
cbrt(1-24*i)
```
Корни четвертой и пятой степени
```
(1-11*i)^(1/4)
```
```
(1-11*i)^(1/5)
```
Мнимая и действительная часть
```
im(re(x) + y)
```
Комплексно-сопряженное число
```
conj(1 + 4j)
```
```
(3/2-3*sqrt(3)/2*i)/conj(-5/2-1/3*i)
```
Реальная часть комплексного числа
```
re(1+I)
```
Мнимая часть
```
im(1+I)
```
Модуль комплексного числа
```
absolute(1+I)
```
Аргумент
```
arg(1+I)
```
Комплексный знак числа
```
sign(1+I)
```

Что умеет?

Простые операции с комплексными числами
Выполнять деление с подробным решением
Находить разные формы комплексных чисел:
1. Алгебраическую
2. Тригонометрическую
3. Показательную
Модуль и аргумент комплексного числа
Комплексно-сопряжённое к данному
Геометрическую интерпретацию комплексного числа

Подробнее про Комплексное число.

Указанные выше примеры содержат также:

модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x)
тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
показательные функции и экспоненты exp(x)
обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
арккотангенс acot(x)
натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x)
гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
обратные гиперболические функции:
гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
другие тригонометрические и гиперболические функции:
секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
гиперболический арккосеканс acsch(x)
функции округления:
в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
знак числа:
sign(x)
для теории вероятности:
функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
функция Лапласа laplace(x)
Факториал от x:
x! или factorial(x)
Гамма-функция gamma(x)
Функция Ламберта LambertW(x)
Тригонометрические интегралы: Si(x),
Ci(x),
Shi(x),
Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x: — умножение
3/x: — деление
x^2: — возведение в квадрат
x^3: — возведение в куб
x^5: — возведение в степень
x + 7: — сложение
x — 6: — вычитание
Действительные числа: вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi: — число Пи
e: — основание натурального логарифма
i: — комплексное число
oo: — символ бесконечности

Источник

Комплексные корни

Решение уравнений

При решении многих задач в математике, физике, электротехнике часто возникает необходимость в решении уравнений с комплексными корнями, извлечении корней из комплексных чисел.

Пусть дано комплексное число z, из которого надо извлечь корень n. Для этого находим модуль |z| и аргумент (ф) комплексного числа.
Корень числа находим по формуле:
Результатом решения квадратных уравнений вида ах² + by + с = 0 с комплексными коэффициентами являются комплексные корни 2-го порядка.

Для решения квадратного трехчлена необходимо вычислить дискриминант (D):
D = b² — 4ac, затем найти корни, которые зависят от знака D. Квадратное уравнение имеет 2 корня.

если D больше 0, уравнение имеет 2 вещественных корня;
при D = 0 у уравнения 1 корень х = -b / 2а;
при D меньше 0 — 2 мнимых корня (вещественных корней нет).

Общая формула:

Любое уравнение вида имеет п комплексных корней. Часть из них, возможно и все, — действительные.

Существует универсальный способ извлечения корней из любого комплексного числа.
Пусть дано уравнение , где w — комплексное число. Найти все n корней уравнения (z₀, z₁, z₂, …z _n-1) можно по формуле:
|w| — модуль комплексного числа w, ф — его аргумент, k = 0, 1, 2, …n-1

С помощью онлайн калькулятора вы сможете быстро вычислять комплексные корни заданного многочлена.

Источник

Комплексные корни и степени чисел онлайн

Основание степени. Произвольное число

Значение степени. В том числе комплексное число

Точность вычисления. Количество знаков после запятой

Вы ввели следующее выражение

Результат вычисления степени

Результат выражения (альтернативный вывод) со всеми корнями

Этот онлайн калькулятор рассчитывает любые степени действительных или комплексных чисел.

Поможет Вам рассчитать корень комплексного числа, возвести в степень действительное или комплексное выражение.

Рассчитывает степень любого числа

$fleft( yright) =x^{k}$

Хотелось бы заметить, что возведение любого действительного числа в дробную степень, не так сложно как может показаться на первый взгляд.

$x^{k}= e^{kln left( xright) }$

то есть, если мы хотим возвести число 3 в степень

то решение такое

$e^{1.5537}=4.7288$

Итого

$(3^{ sqrt {2})}=4.7288$

Если речь идет о комплексных числах, то возведение степень и извлечени корня осуществляется по уравнению Муавра.

Формулы следующие:

Для возведения в степень

$x^{k}=r^{k}left( cos left( kfright) +isin left( kfright) right)$

— модуль комплексного числа

— аргумент комплексного числа

Для извлечения корня

$x^{left( dfrac {1} {k}right) }=r^{left( dfrac {1} {k}right) }cos left( dfrac{f+2ppi}{2}right) +ir^{left( dfrac {1} {k}right) }sin left(dfrac{f+2ppi}{2}right)$

где p = 0, 1, …, k—1.

Есть еще третий возможный вариант, когда не только основание является комплексным числом, но и степень этого числа также число комплексное.

Конечно возникает желание использовать формулу Муавра и преобразовать её, для наших нужд, но мы воспользуемся первым вариантом вычисления степеней.

то есть вот этой формулой $x^{k}= e^{kln left( xright) }$

Формула расчета логарифа комплексного числа известна

$ln(x+iy) = frac{1}{2} ln(x^2+y^2)+ i left( varphi + 2 pi k right)$

здесь k — может принимать любые целые значения, поэтому говорят, что логарифм комплексного числа многозначен.

Для практических целей используется главное значение(k=0)

Формула расчета экспоненты комплексного числа тоже

Таким образом у нас есть всё, что бы рассчитать на практике комплексную степень комплексного числа.

Синтаксис

Если используете XMPP клиент: step_i <запрос>

Если используете этот сайт: <запрос>

где запрос — состоит из двух чисел. Сначала идет основание потом в другом окне степень.

Основание может быть как действительным числом так и комплексным, положительным или отрицательным

Комплексное значение пишется как x:y где х- действительная часть числа, а y- мнимая часть, но можно написать и в нормальном виде через символ i

Степень может быть быть целым числом,как положительным так и отрицательным.

Степень может быть выражена также степенью двух целых чисел например 1/2 или -5/7. В таком случае альтернативный вывод покажет Вам, все 2 или все 7 корней соответственно.

Степень может быть комплексным числом записанным как в нормальной форме через символ i, так и через сокращенную запись x:y, где x- действительная часть числа, y — мнимая часть числа

Замечание: В поле можно вводить только числа и никак не выражение, если у Вас есть желание посчитать вот такое выражение $(frac{i}{sin(i+1)-2i})^{3i}$

то эта страница вам не поможет, Вам надо использовать универсальный калькулятор комплексных чисел

где x- это основание, а y-степень

$x^{frac{1}{2}} =sqrt{x}$

$x^{-frac{1}{2}} =frac{1}{sqrt{x}}$

$x^{-3} =frac{1}{x^3}$

$x^{frac{5}{2}} ={sqrt{x}}^5$

Примеры

Например: взять степень 2/5 от комплексного числа 1-2.5i

Пишем 1:-2.5 2/5 или если делаете запрос через Jabber step_i 1:-2.5 2/5

Ответ получим

Комплексное число 1:-2.5 в степени 2/5 равно

Действительная часть: 1.3209 Комплексная часть: -0.6812
Действительная часть: 1.0560 Комплексная часть: 1.0457
Действительная часть: -0.6682 Комплексная часть: 1.3275
Действительная часть: -1.4690 Комплексная часть: -0.2253
Действительная часть: -0.2396 Комплексная часть: -1.4667

Интересно, а чему будет равна мнимая единица в степени мнимой единицы?

пишем i i

и получаем что