Как найти все углы параллельных прямых

Свойства:     

• накрест лежащие углы равны:    3 = 5, 4 = 6.
• соответственные углы равны:    1 = 5,    4 = 8,     2 = 6,     3 = 7.
• сумма односторонних углов равна 180 градусов:   3 + 6 = 180 градусов,    4 + 5 = 180 градусов.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две параллельные линии пересекаются третьей (Секущей), тогда выполняется следующее:
ТеоремаТеорема    *      накрест лежащие углы равны   ;
ТеоремаТеорема    *      соответственные углы равны ;
ТеоремаТеорема    *      сумма односторонних углов 180 град. ;
ТеоремаТеорема    *      вертикальные равны ∠3 = ∠1, ∠8 = ∠6 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две прямые перпендикулярны (обе одновременно) к третьей, то они параллельны друг другу.

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если две прямые не параллельны друг другу, то равенства для сумм углов не выполняются:   3 + 6 < 180 ;     4 + 5 > 180 .

_____________________________________________________________________________________

Теорема    Если одна прямая параллельна   второй, а вторая параллельна   третьей, то первая прямая так же параллельна третьей.

_____________________________________________________________________________________

Задача 1:   На рисунке АС и МК параллельны, отрезки АВ = ВК равные. Дан угол ∠АКМ = 40°. Найти ∠КВС.

• Решение:        АС ║ МК параллельны, АК — секущая, $Rightarrow$   ∠АКМ и ∠КАВ накрест лежащие, $Rightarrow$   ∠КАВ = 40°.
• ∆АВК – равнобедренный, АВ = ВК       $Rightarrow$    углы у основания   ∠КАВ = ∠АКВ значит,   $Rightarrow$   ∠АКВ = 40°.
• Значит, углы   ∠АКВ = ∠АКМ равные. Угол ∠МКВ состоит из частей, аддитивность,      ∠МКВ = ∠АКВ + ∠АКМ = 80°.
• АС ║ МК параллельны, АК — секущая, $Rightarrow$   ∠ВКМ и ∠КВС накрест лежащие, $Rightarrow$ Ответ: ∠КВС = 80°.

Задача 2:   На рисунке, даны углы ∠ВАМ = 30°,   ∠АВК = 150°,   ∠ВКС = 110°. Найти ∠АМР.

• Решение:     Углы ∠ВАМ и ∠АВК — односторонные от секущей АВ. Их сумма ∠ВАМ + ∠АВК = 180°.
• Сумма односторонных 180°? … по теореме «о параллельных», прямые   АМ и ВК должны быть параллельными. АМ ║ ВК.
• Теперь:    АМ ║ ВК,      СР — секущая. Односторонные углы равные,   ∠ВКС = ∠АМК.       Значит,   ∠АМК = 110°.
• Наконец, углы    ∠АМК и ∠АМР — смежные. Значит,   ∠АМК + ∠АМР = 180°.     $Rightarrow$       ∠АМР = 180° — ∠АМК = 70°.
• Ответ:    ∠АМР = 70°.            Замечание: «надо видеть все секущие к параллельным, и углы к ним».

Задача 3:   На рисунке, АВ параллельно МК, угол ∠РМК составляет треть угла ∠САВ. Найти эти углы.

• Решение:     Дано: отношение углов ∠РМК : ∠САВ = 1 : 3. Выразим:   ∠САВ = 3∠РМК
• Как связаны искомые углы по рисунку?        ∠САВ и ∠МАВ — смежные, значит ∠МАВ = 180° — ∠САВ.
• Углы ∠МАВ и ∠РМК односторонные углы при параллельных АВ ║ МК и секущей РС. Значит, ∠МАВ = ∠РМК
• Из двух равенств получаем   ∠РМК = 180° — ∠САВ. Вспомним ∠САВ = 3∠РМК, подставим:   ∠РМК = 180° — 3∠РМК
• ∠РМК = 45°, значит ∠САВ = 3∠РМК = 135°.               Ответ:         45°,     135°

Задача 4:   На рисунке, АD параллельно ВС, угол ∠МВС = 65°, ∠ВСК = 80°. Найти четырехугольника АВСD.

• Трапеция АВСD:     Четырехугольник с двумя параллельными сторонами называется трапецией. АD ║ ВС.
• Решение:     Угол трапеции ∠АВС смежен с ∠МВС, значит ∠АВС = 180° — ∠МВС = 115°.
• Аналогично, угол трапеции ∠ВСD смежный к углу ∠ВСК, значит ∠ВСD = 180° — ∠ВСК = 100°.
• АМ секущая к АD ║ ВС    $Rightarrow$   ∠ВАD и ∠МВС соответственные, значит равные    ∠ВАD = ∠МВС = 65°.
• Аналогично, КD секущая к АD ║ ВС    $Rightarrow$   ∠АDС и ∠ВСК соответственные, значит равные    ∠АDС = ∠ВСК = 80°.
• Ответ:    Углы трапеции   ∠ВАD = 65° ∠АВС = 115°      ∠ВСD = 100°       ∠АDС= 80°

Задача 4, продолжение, «углы в трапеции»:         Пусть углы любые:     ∠МВС = х,    ∠ВСК = у.

• Такими же рассуждениями о смежных и односторонных, получим:    ∠А = х     ∠В = 180° — х    ∠С = 180° — у      ∠D = у
• Видно: ∠А + ∠В = 180°    ∠С + ∠D = 180°.          Сумма углов при боковой стороне трапеции 180° .    Односторонные!
• Видно: ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 180°.            Сумма всех углов трапеции равна 360°. .      Как у четырехугольника?

Факты, Следствия из теорем о углах при параллельных и секущей к ним:

• В параллелограмме и трапеции диагонали образуют со сторонами равные накрест лежащие углы.         Что секущая?
• В паралеллограмме сумма углов у одной стороны равен 180 град. — внутренные односторонные.     Что секущая?
• В трапеции сумма углов у боковых сторон равен 180 град. — внутренные односторонные. Что секущая?
• Еще о углах:          Диаметры в окружности при пересечении образуют равные вертикальные углы.
• Сумма углов треугольника 180 градусов .          Достроить параллельную, увидеть секущую!

Интерактивные Упражнения:

Задачи из сайта https://resh.edu.ru :

Задача 1:   Установите соответствие между углами и их градусными мерами, если ∠РМЕ = 50°, а ∠1 = ∠2 и РМ = РЕ.

Задача 2:    На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 50% угла 2. Найдите угол 1.

Задача 3:   По рисунку найдите градусную меру неизвестного угла х. Параллельные прямые а и b пересечены секущими МК и МF.

Задача 4:    Прямые а и m параллельны. АК и КР – секущие, ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 120°. Чему равен ∠2?

Задача 5: На рисунке прямые AB║CD, при этом AB = AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол 2   

Задача 6:   Прямые FP и EK параллельны, чему равна градусная мера угла x?

Задача 7: Через параллельные прямые а и b проведены секущие ВА и ВС, так что АВ = ВС, при этом ∠ВСА = 80°. Найдите градусную меру угла 1.   

Задача 8:    В треугольнике АВС BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 40°. Чему равен угол ADВ?

Задача 9:    Прямые KN и ME параллельны. По рисунку найдите угол ЕМР, если сумма углов треугольника равна 180°.

Задача 10:     На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 20 % угла 2. Найдите угол 1.

Задача 11: Прямые a и b параллельны. Основываясь на рисунке, определите, чему равна градусная мера угла y.

Задача 12:    ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 110°. Чему равен ∠2?

Задача 13:   На рисунке AB║CD, при этом AB=AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол BAC.   

Задача 14:   На рисунке прямые а║b, при этом MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ?

Задача 15:   Дан треугольник АВС. BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 50°. Чему равен угол ADE?

Задача 16:   Прямые а и b параллельны. Чему равна градусная мера суммы углов 1, 2, 3?

Задача 17: Проведена секущая к прямым BC и DE, при этом ВD = DC, BC || DE, ∠BDE = 40°. Чему равен ∠ADE?   

Задача 18:   Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 66º меньше другого. Найдите меньший из односторонних углов.

Задача 19: Сумма пары накрест лежащих углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 110°. Найдите, чему равен один накрест лежащий угол.

Задача 20:    «углы в параллелограмме и трапеции»:

1. один из углов параллелограмма 40. найти остальные

2. найти углы параллелограмма, если известно, что сумма двух 80.      (100, 160)

3. найти углы параллелограмма, если известно, что разность двух 70. (110, 130)

4. Диагональ параллелограмма состовляет с одной из сторон углы 25 и 35. найти все углы параллелограмма

5. Углы параллелограмма относятся как 2:3 найти все углы

6. Чему равны углы равнобедренной трапеции, если разность противолежащих 40

Углы при пересечении двух прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

• внутренние накрест лежащие углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
• соответственные углы равны;
• внешние накрест лежащие углы равны;
• сумма внешних односторонних углов равна 180°.

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.

Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.

Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .

Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.

Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .

Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть

2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .

3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .

Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

Геометрия. Урок 2. Углы

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

• Углы

Понятие угла

Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

Стороны угла – лучи, которые образуют угол.

Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.

Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.

Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .

Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .

Виды углов:

Биссектриса угла

Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.

∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2

Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .

Углы, образованные при пересечении двух прямых

Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.

Свойство: вертикальные углы равны.

Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.

Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .

( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )

называются вертикальными .

По свойству вертикальных углов:

∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C

( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )

называются смежными .

По свойству смежных углов:

∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.

Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.

( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )

называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).

( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )

называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).

( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )

называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).

( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )

называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).

( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )

называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).

Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:

• Соответственные углы равны.
• Внутренние накрест лежащие углы равны.
• Внешние накрест лежащие углы равны.
• Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
• Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .

Сумма углов многоугольника

Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:

S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )

где n – это количество углов в n -угольнике.

Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.

Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °

Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °

Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °

Так можно продолжать до бесконечности.

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.

На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:

Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.

α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с углами

Решение задач Параллельные прямые. Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Уроки 36-38. Решение задач по теме «Параллельные прямые». Самостоятельные работы с ответами и подсказками к решению.

Геометрия 7. Контрольные работы
   Геометрия 7. Самостоятельные работы

Геометрия 7 класс. Уроки 36-38.
Решение задач Параллельные прямые

Основная дидактическая цель урока: совершенствовать навыки решения задач

Задачи с решениями к уроку 36

№ 1. □ На рисунке 118 прямые а, b и с пересечены прямой d, ∠1 = 42°, ∠2 = 140°, ∠3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?
Решение:
1) ∠1, ∠2 – односторонние углы при прямых а и b и секущей d, ∠1 + ∠2 = 42° + 140° = 182° ≠ 180°, следовательно, прямые а и b не параллельны (рис. 3.80).
2) ∠2 и ∠3 – соответственные углы при прямых с и b и секущей d и ∠2 ≠ ∠3 (∠2 = 140°, ∠3 = 138°), т. е. прямые с и b не параллельны.
3) ∠1 и ∠3 – односторонние углы при прямых a и c и секущей d и ∠1 + ∠3 = 42° + 138° = 180°, следовательно, прямые а и с параллельны.
ОТВЕТ: а || с.

№ 2. □ Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с, если: а) один из углов равен 150°; б) один из углов на 70° больше другого.
Решение:
а) Пусть ∠1 = 150°, тогда ∠3 = 150°, ∠2 = 30°, ∠4 = 30°, ∠8 = 30°, ∠6 = 30°, ∠5 = 150°, ∠7 = 150° (рис. 3.81).
б) Пусть ∠1 на 70° больше, чем ∠2. Так как ∠1 + ∠2 = 180°, то ∠2 = 55°, ∠1 = 125°, тогда ∠3 = 125°, ∠4 = 55°. Так как а || b, то ∠8 = 55°, ∠5 = 125°, ∠6 = 55°, ∠7 = 125°.

№ 3. □ По данным рисунка 119 найдите ∠1.
Решение:
∠MPS = ∠APO как вертикальные, значит, ∠APO = 73°. ∠APO + ∠COP = 73° + 107° = 180°, a ∠APO и ∠COP – односторонние углы при прямых АВ и CD и секущей ME, значит, АВ || CD. Так как АВ || CD, то ∠NSB = ∠STD, следовательно, ∠NSB = 92° (т. е. ∠1 = 92°) (рис. 3.82).

№ 4. □ ∠ABC = 70°, a ∠BCD = 110°. Могут ли прямые АВ и CD быть: а) параллельными; б) пересекающимися?
Решение:
а) АВ может быть параллельна CD (рис. 3.83, а);
б) АВ и CD могут пересекаться (рис. 3.83, б).

№ 5. Доказать: АВ – биссектриса угла XAZ (рис. 3.85).
Доказательство:
1) ∠A + ∠B = 180°, следовательно ВС || AD. Так как ВС || AD, то ∠BCD + ∠CDA = 180°, тогда ∠C = 130°.
2) ∠BRZ + ∠RZA = 180°, следовательно, XR || AZ. ΔАХВ – равнобедренный, значит, ∠XAB = ∠XBA = 30°. XR || AZ, следовательно, ∠XBA = ∠BAZ= 30°.
Так как ∠XAB = 30° и ∠BAZ = 30°, то АВ – биссектриса ∠XAZ.

№ 6. Дано: АВ = CD, АК = DF, А = D = 60°, ∠AKB = ∠KBC = 90° (рис. 3.79).
Доказать: ВК || CF, ВС || AD.
Решение:
1) ∠KBC = ∠AKB = 90°, а так как это накрест лежащие углы при прямых ВС и AD и секущей КВ, то ВС || AD.
2) ΔАВК = ΔDCF по двум сторонам и углу между ними (АВ = CD, АК = DF, ∠A = ∠D), следовательно, ∠AKB = ∠CFD = 90°.
3) Так как ВС || AD, ∠CFD = 90°, то ∠KFC = 90°.
4) ∠AKB = ∠KFC = 90°, а так как эти углы соответственные при прямых ВК и CF и секущей AD, то ВК || CF.

Задачи по готовым чертежам с самопроверкой к уроку 37

Вариант 1

№ 1. Дано: а || b, ∠1 больше ∠2 в 2 раза (рис. 3.89).
Найти: ∠1, ∠2.
ОТВЕТ: ∠2 = 60°, ∠1 = 120°.

№ 2. Дано: а || b, ∠1 + ∠2 = 122° (рис. 3.90).
Найти: ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8.
ОТВЕТ: ∠4 = ∠7 = 61°, ∠3 = ∠5 = ∠6 = ∠8 = 119°.

№ 3. Дано: AD || ВС, ∠1 = 50°, ∠2 = 65° (рис. 3.91).
Найти: ∠ABC.
ОТВЕТ: ∠ABC= 115°.

Вариант 2

№ 1. Дано: m || n, ∠2 больше ∠1 на 30° (рис. 3.92).
Найти: ∠1, ∠2.
ОТВЕТ: ∠1 = 75°, ∠2 = 105°.

№ 2. Дано: а || b, ∠2 + ∠5 = 240° (рис. 3.93).
Найти: ∠1, ∠3, ∠4, ∠6, ∠7, ∠8.
ОТВЕТ: ∠4 = ∠7 = 120°, ∠1 = ∠3 = ∠6 = ∠8 = 60°.

№ 3. Дано: CD || АВ, ∠1 = 40°, ∠2 = 75° (рис. 3.94).
Найти: ∠ABC.
ОТВЕТ: ∠ABC = 115°.

Задачи с самопроверкой к уроку 37

I уровень сложности (легкий)

№ 1. Дано: ∠1 = 60°, ∠2 = 20°, а || b (рис. 3.96).
Найти: ∠3.
Указание: Через точку С провести прямую, параллельную прямой а, и доказать, что ∠3 = ∠1 + ∠2.
ОТВЕТ: ∠3 = 80°.

№ 2. Дано: ∠АОР = 80°, ∠OPS = 80°, ∠FSP = 40° (рис. 3.97).
Найти: ∠OFK, ∠KFB.
Решение: ∠AOP = ∠OPS, тогда АВ || CD, тогда ∠OFK = 40°, ∠KFB= 140°.
ОТВЕТ: ∠OFK = 40°, ∠KFB= 140°.

№ 3. Найти: х, у (рис. 3.98).
Решение: ∠E + ∠F = 180°, тогда ЕК || FP, поэтому х = 50°, у= 130°.
ОТВЕТ: х = 50°, у= 130°.

№ 4. Дано: АЕ – биссектриса ∠BAD (рис. 3.99).
Найти: ∠ABE, ∠BEA.
Решение: ∠C + ∠D = 180°, значит, ВС || AD, тогда ∠BEA = ∠EAD = 30°. АЕ – биссектриса ∠BAD, поэтому ∠BAE = ∠EAD = 30°, a ∠BAD = 60°. ВС || AD, значит, ∠ABE + ∠BAD = 180°, тогда ∠ABE = 120°.
ОТВЕТ: ∠ABE = 120°, ∠BAE = 30°.

II уровень сложности (средний)

№ 1. Найти: х, у (рис. 3.100).
Указание: Докажите, что РЕ || KF из равенства углов, градусные меры которых 70°.
ОТВЕТ: у = 52°, х = 128°.

№ 2. Найти: х, если ∠ABE = ∠CBE (рис. 3.101).
Решение: ∠C + ∠D = 180°, значит, ВС || AD, тогда ∠AEB = ∠EBC = 52°.
∠ABE = ∠CBE, поэтому ∠ABC = 104°. Так как BC || AD, a ∠ABC = 104°, то ∠BAE =76°, т. е. х = 76°.
ОТВЕТ: х = 76°.

№ 3. Дано: РТ – биссектриса ∠KPM (рис. 3.102).
Найти: х.
Решение: ∠M+ ∠N = 180°, значит, NK || МР, тогда ∠K = ∠KPM = 68°.
РТ – биссектриса ∠KPM, значит, ∠TPM = 34°.
NK || МР, тогда ∠TPM = ∠PTK = 34°, т. е. х = 34°.
ОТВЕТ: х = 34°.

№ 4. Дано: а || b (рис. 3.103).
Найти: ∠MOE.
Указание: Через точку О провести прямую, параллельную прямой МА, и доказать ∠MOE = ∠AMO + ∠OEB.
Так как а || b, то ∠AME + ∠MEB = 180°, но ∠AMO = 1/2 • ∠AME,
∠OEB = 1/2 • ∠MEB, тогда ∠AMO + ∠OEB = 1/2 • (∠AME + ∠MEB) = 90°, т. e. ∠MOE = 90°.
ОТВЕТ: ∠MOE = 90°.

Задачи с самопроверкой к уроку 38

№ 1. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны
Дано: а || b, с – секущая, ∠ABC и ∠BCD – накрест лежащие, BE – биссектриса ∠ABC, СК – биссектриса ∠BCD (рис. 3.104).
Доказать: BE || СК.
Доказательство: Так как ∠ABC и ∠BCD – накрест лежащие при параллельных а и b и секущей с, то ∠ABC = ∠BCD. Учитывая, что BE и КС – биссектрисы углов ∠ABC и ∠BCD, получаем ∠EBC = ∠BCK, т. е. накрест лежащие углы ЕВС и ВСК при прямых BE и КС и секущей ВС равны, значит, BE || КС. Итак, биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

№ 2. Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите, что биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Дано: АВ || CD, АС – секущая, АЕ – биссектриса ∠BAC, СЕ –биссектриса ∠ACD, ∠BAC и ∠ACD – односторонние (рис. 3.105).
Доказать: АЕ ⊥ СЕ.
Доказательство: Так как АВ || CD, то ∠BAC + ∠ACD = 180°. АЕ – биссектриса ∠BAC, СЕ – биссектриса ∠ACD, поэтому ∠CAE = 1/2 • ∠BAC, ∠ACE = 1/2 • ∠ACD, получаем ∠CAE + ∠ACE = 1/2 • (∠BAC + ∠ACD) = 90°, следовательно, ∠AEC = 90°. Итак, биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.

№ 3. Дано: ∠1 = ∠2 = 35°, ∠3 меньше ∠4 на 50° (рис. 3.109).
Найти: ∠3, ∠4.
Решение: ∠1 = ∠2 = 35°, значит, АВ || CD, тогда ∠3 = ∠BDC, но ∠BDC и ∠4 – смежные и ∠BDC + ∠4 = 180°.
∠BDC на 50° меньше ∠4, поэтому ∠BDC + 50° + ∠BDC = 180°, откуда ∠BDC = 65°, значит, ∠3 = 65°, ∠4 =115°.
ОТВЕТ: ∠3 = 65°, ∠4 = 115°.

№ 4. Дано: АВ || СЕ, ∠BAC = 20°; ∠BCE : ∠ECD = 4 : 1 (рис. 3.110).
Найти: ∠BCD.
Решение: АВ || СЕ, значит, ∠BAC = ∠ECD = 20°.
∠BCE : ∠ECD = 4 : 1, значит, ∠BCE = 80°.
∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 100°.
ОТВЕТ: ∠BCD = 100°.

№ 5. Дано: ∠A = ∠B, ∠ACD = ∠ECD (рис. 3.111).
Доказать: АВ || CD.
Доказательство: Пусть ∠A = ∠B = x, тогда ∠ACB = 180° – 2x, a ∠ACE = 180° – ∠ACB = 2x.
Так как ∠ACD = ∠ECD, a ∠ACE = 2x, тo ∠ACD = x.
Получили, что ∠A = ∠ACD = x, значит, AB || CD.

№ 6. Дано: ∠1 : ∠2 = 5 : 4 (рис. 3.130).
Найти: ∠1, ∠2, ∠3, ∠4.
Решение: 52° + 128° = 180°, следовательно, а||b.
Так как а||b, то ∠2 = ∠3 = ∠6, a ∠1 + ∠6 = 180°, тогда ∠1 + ∠2 = 180° (рис. 3.131).
Так как ∠1 : ∠2 = 5 : 4, то ∠1 = 5х, ∠2 = 4х, тогда 5х + 4х = 180°, х = 20°.
Значит, ∠1 = 100°, ∠4 = 100°, ∠2 = 80°, ∠3 = 80°.
Ответ: ∠1 = ∠4 = 100°, ∠2 = ∠3 = 80°.

№ 7. Дано: АС||BD, АВ = АС, ∠ACB = 25° (рис. 3.132).
Найти: ∠DBC.
Решение: АС||BD, поэтому ∠ACB = ∠CBD = 25°.
АВ = АС, тогда ΔАВС – равнобедренный, ∠ABC = ∠ACB = 25°, значит, ∠ABD = 50°, a ∠DBC = 130°.
Ответ: ∠DBC = 130°.

№ 8. Дано: АВ||DE, ∠BCD = 70°, ∠ABC : ∠EDC= 3 : 4 (рис. 3.133).
Найти: ∠ABC, ∠EDC.
Решение: СК||АВ, по условию АВ||DE, тогда СК||DE, значит, ∠ABC = ∠BCK, ∠KCD = ∠CDE, a ∠BCD = ∠BCK + ∠KCD = ∠ABC +∠CDE = 70° (рис. 3.134).
Так как ∠ABC : ∠EDC = 3 : 4, то ∠ABC = 3x, ∠EDC = 4x, тогда 3x + 4x = 70°, x = 10°.
∠ABC = 30°, ∠EDC = 40°.
Ответ: ∠ABC = 30°, ∠EDC = 40°.

№ 9. Дано: DC||BE, ∠CDB = 40°, ∠CBD на 20° больше ∠CBE (рис. 3.135).
Найти: ∠ABC.
Решение: DC||BE, ∠CDB = 40°, значит, ∠ABE = ∠CDB = 40°.
∠ABE = 40°, тогда ∠EBD = 140°, а так как ∠EBD = ∠EBC + ∠CBD и ∠CBD на 20° больше ∠EBC, то 2∠EBC + 20° = 140°, ∠EBC = 60°.
Так как ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC, ∠ABE = 40°, ∠EBC = 60°, то ∠ABC = 100°.
Ответ: ∠ABC = 100°.

Вы смотрели: Решение задач Параллельные прямые. Геометрия 7 класс (УМК Атанасян и др. — Просвещение). Уроки 36-38. Решение задач по теме «Параллельные прямые». Самостоятельные работы с ответами и решениями. Ориентировано на работу с базовым учебником: «Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия. 7—9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. М.: Просвещение».

Геометрия 7. Поурочные планы
  Геометрия 7. Самостоятельные работы

Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы

Углы при параллельных прямых и секущей

Пусть прямая пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.

Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть

Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.

Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .

Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.

Накрест лежащие углы равны.

,

,

,

.

Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть

,

.

Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и называются соответственными.

Соответственные углы равны, то есть

,

.

Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.

Накрест лежащие углы равны, то есть

,

,

,

.

Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.

В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».

Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.

Теорема 1.

Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.

Доказательство:

Дано два острых угла: и Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что

Пусть

Тогда как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.

как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.

Отсюда следует, что что и требовалось доказать.

Аналогично и для тупых углов.

Теорема 2.

Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют если один из них острый, а другой тупой.

Доказательство:

Дано: – острый, а – тупой. Известно, что их стороны параллельны: и

Докажем, что сумма углов и равна

Пусть Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.

Получили два острых угла, и с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е.

как смежные. Значит,

Теорема доказана.

Теорема 3.

Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей AB накрест лежащие углы равны:

Докажем, что Если углы 1 и 2 прямые, то прямые и перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.

Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.

Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой

На прямой от точки В отложим отрезок равный отрезку AH

по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Из равенства следует, что точка лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и лежат на одной прямой, а из равенства следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые и перпендикулярны к прямой поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема 4.

Если соответственные углы равны, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей соответственные углы равны, например

Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то Из этих двух равенств следует, что . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана.

Теорема 5.

Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.

Доказательство:

Пусть при пересечении прямых и секущей сумма односторонних углов равна например

Так как углы 3 и 4 – смежные, то Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана

И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.

Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей

Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.

Решение:

Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы и равны как накрест лежащие.

– равнобедренный треугольник.

Мы доказали важное утверждение.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

AB=BK=5.

Ответ: 48.

Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.

Найдите AB, если AF=24, BF=10.

Решение:

Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна

Мы получили, что

AF — биссектриса угла А,

BF — биссектриса угла В, поэтому

тогда

Из треугольника AFB получим, что

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AFB – прямоугольный.

По теореме Пифагора,

Ответ: 26.

Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.

Решение:

Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС,

Значит, как односторонние углы при параллельных прямых и и секущей АВ.

по двум углам.

Отсюда ;

Ответ: 21.

Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Решение:

ABCD – трапеция, – основания, AB – секущая.

Значит, и – внутренние односторонне углы.

Отсюда

Ответ:

Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.

Решение:

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна

Это значит, что

AК — биссектриса угла А,

BК — биссектриса угла В, поэтому

тогда

Из треугольника AKB получим, что

Мы доказали теорему:

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.

Значит, треугольник AKB – прямоугольный.

Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую АВ, т.е.

по гипотенузе и острому углу

Аналогично, по гипотенузе и острому углу

Получили:

Тогда ;

Ответ: 56.

Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что Найдите Ответ дайте в градусах.

Решение:

и – это внутренние односторонние углы,

Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е.

Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей d.

и – это односторонние углы, а значит, они равны:

Ответ:

Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите если Ответ дайте в градусах.

Решение:

как односторонние углы.

Сумма углов треугольника равна

Для треугольника на рисунке:

Ответ: 86.

Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 и 45 Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

и – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ, их сумма равна

Тогда

Это и есть наибольший угол параллелограмма.

Ответ: 105.

Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 Ответ дайте в градусах.

Решение:

AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD,

и – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей АВ. Их сумма равна значит,

Ответ: 150.

Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение: тогда – равнобедренный, в нем Значит,

Ответ: 5,5.

Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей

Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

Решение:

Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.

Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.

Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть

7x+7x+4x+4x=88.

Отсюда

Ответ: 28.

Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.

Давайте посмотрим на рисунок. По условию, то есть

Углы и – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,

по свойству односторонних углов.

Итак,

тогда

Ответ: 115.

Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.

Решение:

и – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых

и и секущей BC; их сумма равна

BE – биссектриса угла В, значит как накрест лежащие углы при и секущей BE. Тогда – равнобедренный,

Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит как накрест лежащие углы при и секущей CE. Тогда – равнобедренный и

Значит

Ответ : 10.

Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

и – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.

и секущей BC, их сумма равна

Значит,

– ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.

Тогда

Ответ: 29.

Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен Найдите острый угол ромба.

Решение:

Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен

Ответ: 72.

Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при и секущей BC. Их сумма равна

Тогда Построим высоту из вершины Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30

Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в и равный половине гипотенузы, т. е.

Отсюда

Ответ: 42.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.

Решение:

У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е.

По условию,

и прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
и и секущей BC. Их сумма равна

Получили:

Сложив два уравнения, получим: тогда

Ответ: 115.

Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.

Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол Найдите площадь трапеции.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол трапеции равен 30 Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е.

Отсюда

Ответ: 60.

Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен Найдите меньшую боковую сторону.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол равен

Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.

Отсюда

Ответ: 16,5.

Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, и Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол равен

Нам дана трапеция, в которой Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями и .

и параллельны, BD секущая, тогда

Ответ: 70.

Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.

Решение:

ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.

AK – биссектриса угла А, значит,

как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей AK.

Получили, что – равнобедренный и

значит

Ответ: 2.

Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите если Ответ дайте в градусах.

Решение:

(как накрест лежащие углы).

(развернутый угол).

Тогда

Ответ: 39.

Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е.

и параллельны, АС – секущая,

– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:

Ответ: 38.

Если вам понравился наш материал на тему «Углы при параллельных прямых и секущей» — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Углы при пересечении двух прямых

• Углы при пересечении параллельных прямых

Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.

При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.

На рисунке изображены две прямые  a  и  b,  пересекаемые прямой  c.  Прямая  c  по отношению к прямым  a  и  b  является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы  (∠1,  ∠2,  ∠7  и  ∠8), а красным — внутренние углы  (∠3,  ∠4,  ∠5  и  ∠6).

Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:

Углы при пересечении параллельных прямых

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

• внутренние накрест лежащие углы равны;
• сумма внутренних односторонних углов равна  180°;
• соответственные углы равны;
• внешние накрест лежащие углы равны;
• сумма внешних односторонних углов равна  180°.