Как найти все матрицы коммутирующие с данной - AvtoShod.ru

I know this should be really simple, but for some reason I can;t figure it out.
I need to find all matrices which commute with the following 2×2 matrix A:

$$ B=begin{bmatrix} 1 & -1\ 5 & -4 end{bmatrix} $$

I’ve tried using the definition of two commuting matrices, AB=BA and a generic matrix A where $ A=begin{bmatrix} a & b\ c & d end{bmatrix} $ to generate a system of linear equations which I then solve to obtain a, b, c, and d such that A and B commute as follows:

$$ AB = begin{bmatrix} a+5b & -a-4b\ c+5d & -c-4d end{bmatrix}=BA=begin{bmatrix} a-c & b-d\ 5a-4c & 5b-4d end{bmatrix}$$
This gives the equations:
$$ c+ 5b=0 $$
$$ 5b-d+a=0 $$
$$ 5c-5a+5d=0 $$
$$5b+c=0 $$

This can then be converted to a matrix and reduced to row echelon form:

$$ begin{bmatrix}
1 & 5 & 0 & -1 & 0 \
0 & 5 & 1 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \
0 & 0 & 0 & 0 & 0
end{bmatrix} $$

Introducing a parameter s for the variable c and a parameter t for the variable d, it seems this system can be solved to give:
$ a=s+t $, $b =frac {-s} {5} $, $ c=s $, and $ d=t $.

Substituting these values into AB or BA yields the following matrix which, by rights should represent all matrices which commute with c:
$$ begin{bmatrix} t & frac {-s} {5} -t \ s+5t & -s-4t end{bmatrix} $$

However, the given solution is:
$$ begin{bmatrix} a & b \ -5b & 5b+a end{bmatrix} $$

Our solutions seem quite similar (except of course for different variable names), but I jsut can;t for the life of me figure out where I’ve gone wrong, any help would be greatly appreciated!

Источник

Это близко к полному решению, но у Вас ещё не учтены два уравнения. Из того, что уже найдено, можно сделать вывод, что матрицы $$
begin{pmatrix}
x_1 & 0 & x_3 \
x_4 & x_5 & x_6 \
0 & 0 & x_1
end{pmatrix}begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\
1 & -1 & 1 \
0 & 0 & 1
end{pmatrix}=begin{pmatrix}
x_1 & 0 & x_1+x_3 \
x_4+x_5 & -x_5 & x_4+x_5+x_6 \
0 & 0 & x_1
end{pmatrix}$$ и $$begin{pmatrix}
1 & 0 & 1\
1 & -1 & 1 \
0 & 0 & 1
end{pmatrix}
begin{pmatrix}
x_1 & 0 & x_3 \
x_4 & x_5 & x_6 \
0 & 0 & x_1
end{pmatrix}=begin{pmatrix}
x_1 & 0 & x_1+x_3 \
x_1-x_4 & -x_5 & x_1+x_3-x_6 \
0 & 0 & x_1
end{pmatrix}$$ равны. Здесь всё совпадает кроме 4-го и 6-го элементов, поэтому надо рассмотреть ещё два уравнения. Одно из них даёт $%x_4+x_5=x_1-x_4$%, откуда $%x_1=2x_4+x_5$%, а второе выражает $%x_3=-x_1+x_4+x_5+2x_6=-x_4+2x_6$%. Таким образом, элементы второй строки задаются свободно, а все остальные элементы через них однозначно выражаются, то есть $$X=begin{pmatrix}
2x_4+x_5 & 0 & -x_4+2x_6\
x_4 & x_5 & x_6 \
0 & 0 & 2x_4+x_5
end{pmatrix}.$$ Такую форму записи можно уже считать ответом, так как она описывает в точности все матрицы, перестановочные с $%A$%. Но можно пойти чуть дальше, разложив матрицу $%X$% по трём числовым матрицам с коэффициентами. Получится выражение вида $%X=x_4P+x_5Q+x_6R$%. Нетрудно при этом заметить, что $%Q=E$%. Поскольку с матрицей $%A$% заведомо перестановочна матрица $%A^2$%, можно её вычислить и прийти к выводу, что все три матрицы могут быть выражены через $%E$%, $%A$% и $%A^2$%. Таким образом, все матрицы, перестановочные с $%A$%, описываются формулой $%lambda E+mu A+nu A^2$%, где $%lambda,mu,nuinmathbb R$% — произвольные числа.

Спасибо большое, оказалось достаточно просто. Почему-то я не попытался вывести х1 и х3 из остальных элементов, думал, что не получится. А ещё странно то, что в инете почти нет подобных примеров, буквально 3-4 страницы.

Здесь всё сводится к решению систем линейных уравнений, и множество решений получается бесконечным, потому что как минимум матрицы вида $%lambda E+mu A$% всегда войдут. То есть надо понять, какие переменные можно выбирать свободно, а какие через них выражаются. Примеры такого типа в задачниках по линейной алгебре встречаются достаточно часто. Какие-то из них, наверное, где-то должны разбираться. Но здесь специальных знаний не требуется: вопрос решается при помощи расследования. Надо только заранее знать, какого результата можно ожидать в итоге.

Источник

Mathcad: найти коммутативную матрицу для заданной

Матрицы A и B перестановочны (коммутативны), если A*B = B*A.

Например, нам нужно по заданной матрице

`
    | a   b |
A = |       |
    | c   d |

найти элементы матрицы B той же размерности

`
    | e   f |
B = |       |
    | g   h |

то есть, подобрать такие e, f, g, h, что A*B = B*A.

Так как эта система уравнений имеет бесконечно много решений (соответственно, перестановочная с данной матрица определена с точностью до постоянного множителя), один элемент искомой матрицы надо зафиксировать, например, положив e=1. В остальном всё решится в символьном виде обычным блоком Given-Find:

поиск перестановочной матрицы в символьном виде (Mathcad)

А вот с дополнительными ограничениями вида «a,b,…,h не равны 0», или «определители A и B не равны 0», ничего не выйдет. Mathcad просто возьмёт «ближайшее» решение, состоящее из всех нулей.

Сказанное не значит, что Mathcad найдёт «наиболее короткое» или ещё в каком-то смысле «лучшее» решение задачи, имеющей бесконечное множество вариантов ответа. Например, такую простую перестановочную матрицу как

`
    | a-d   b |
B = |         |
    |  c    0 |

он не найдёт, если поставить до Given оператор h:=0 и искать значения e, f, g. Будут выданы всё те же нули, как «ближайшее подходящее» решение.

Если же матрица A задана не символьно, а в числах, всё ещё тривиальней (для удобства использован «дробный» формат при выводе матриц):

поиск перестановочной матрицы в аналитическом виде (Mathcad)

Скачать этот пример в архиве .zip с документом Mathcad 15 .xmcd (21 Кб)

23.12.2015, 01:00 [13212 просмотров]

К этой статье пока нет комментариев, Ваш будет первым

Источник

Да ну какая тут хитрость. Решается в лоб.

Не скажите. Исходная матрица всё-таки не зря представляет из себя одну жорданову клетку.

Первое, что можно заметить: у неё есть единственный (с точностью до умножения на ненулевую константу) собственный вектор (записывать его, конечно, надо в столбец, но в строчку меньше места занимает). Если $B$ коммутирует с $A$ , то , откуда $Bv$ — собственный вектор матрицы $A$ (или нулевой вектор). Значит, для некоторого скаляра и $(B)_{21} = (B)_{31} = 0$ , $(B)_{11} = lambda$ . Далее рассуждаем в том же духе…

— Вт ноя 03, 2009 22:56:57 —

Вообще, (здесь $E$ — единичная матрица). А у матрицы $A-3E$ совсем много ноликов

Источник

суббота, 08 января 2011

Найти матрицы, коммутирующие с матрицей `A = ((1 2 ),(3 4 ))`
Я начал решать. ` AX = XA` пусть `X = ((x y ),(z t ))` тогда можно получить следующую систему:
`{(x+2z=x+3y),(y+2t=2x+4y),(3x+4z=z+3t),(3y+4t=2z+4t):}` Я попробовал решить её методом Гаусса. Получилось что две строчки вычеркнулись…и тут собственно загвоздка, я ошибся или нет общих решений ? и тогда нет таких матриц кроме единичной?

@темы:

Матрицы,
Высшая алгебра

← Предыдущая запись
Следующая запись →

Комментарии

Я одна, но всё же я есть. Я не могу сделать всё, но всё же могу сделать что-то. И я не откажусь сделать то немногое, что могу (c)

Наоборот
У вас в системе осталось два главных неизвестных, а два являются свободными, могут принимать любое значение.
Поэтому матриц будет бесконечно много
Главные неизвестные надо выразить через свободные.

Примного благодарен^___^ тогда получилось что `X = ((t-z (2z)/3),(z t))` надеюсь что правильный ответ

Да, правильный
(вы, кстати, можете проверить, подставив в равенство АХ=ХА)

Огромное спасибо, я наверное достал вас тем листочком, так стыдно >.<»

пожалуйста
даже и не помню, о чем вы))

Я не понял как нашли X могли бы объяснить?)

могли бы объяснить?

Главные неизвестные надо выразить через свободные.

Если судить по результату, то были выбраны z и t

я не знаю где написать новую задачу поэтому пишу здесь)

1) Найти все матрицы B размера 2х2 которые коммутируют с любой матрицей А размера 2х2.
2) верно ли что если AB=AC то B=C? расмтореть к примеру матрицы A=((2 3 ),(6 9 ))` B=((1 1 ),(1 2 ))`

Источник

Mathcad: найти коммутативную матрицу для заданной

Не пропустите также: