Как найти все целые корни многочлена - AvtoShod.ru

10.5. НАХОЖДЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ КОРНЕЙ МНОГОЧЛЕНА С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Теорема 4. Если многочлен с целыми коэффициентами f (x) = a_nxⁿ + a_n_-1xⁿ^-1 + … + a₁x+a₀ имеет рациональный корень x=p/q (q ≠ 0, дробь p/q несократимая), то р является делителем свободного члена (a₀), а q — делителем коэффициента при старшем члене а_n.

Если p/q является корнем многочлена f (х), то f(p/q) = 0. Подставляем p/q вместо х в f(x) и из последнего равенства имеем

a_n* pⁿ/qⁿ+ a_n-1 * p^n-1/q^n-1 + … + a₁ * p/q + a₀= 0.

(1)

Умножим обе части равенства (1) на (q ≠ 0). Получаем

а_nрⁿ + a_n-1p^n-1q + … + a₁pq^n-1 + a₀qⁿ= 0.

(2)

В равенстве (2) все слагаемые, кроме последнего, делятся на р. Поэтому

a₀qⁿ= -(а_nрⁿ + a_n-1p^n-1q + … + a₁pqⁿ^-1) делится на р.

Но когда мы записываем рациональное число в виде p/q, то эта дробь считается несократимой, то есть р и q не имеют общих делителей. Произведение a₀qⁿ может делиться на р (если р и q — взаимно простые числа) только тогда, когда a₀ делится на р. Таким образом, р — делитель свободного члена a₀.

Аналогично все слагаемые равенства (2), кроме первого, делятся на q. Тогда

a_npⁿ = -(a_n_-1pⁿ^-1q + … + a₁pq^-1 + a₀qⁿ) делится на q. Поскольку р и q — взаимно простые числа, то a_n делится на q, следовательно, q — делитель коэффициента при старшем члене.

Отметим два следствия из этой теоремы. Если взять q = 1, то корнем многочлена будет целое число р — делитель a₀. Таким образом, имеет место:

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Если в заданном многочлене f (х) коэффициент а_n = 1, то делителями а_n могут быть только числа ±1, то есть q =±1, и имеет место:

Следствие 2. Если коэффициент при старшем члене уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения (если они существуют) — целые числа.

Задача 1 Найдите рациональные корни многочлена 2х³ – х² + 12х – 6.

Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена. Тогда р необходимо искать среди делителей свободного члена, то есть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, а q — среди делителей старшего коэффициента: ±1, ±2.

Таким образом, рациональные корни многочлена необходимо искать среди чисел ±1/2, ±1, +±3/2, ±2, ±3, ±6. Проверять, является ли данное число корнем многочлена, целесообразно с помощью схемы Горнера. При x = 1/2 имеем следующую таблицу.

Кроме того, по схеме Горнера можно записать, что

2х³ – х² + 12х – 6 = (x – 1/2) (2x² + 12).

Многочлен 2х² + 12 не имеет действительных корней (а тем более рациональных), поэтому заданный многочлен имеет единственный рациональный корень x =1/2.

Задача 2 Разложите многочлен Р (х) = 2х⁴ + 3х³ – 2х² – х – 2 на множители.

Ищем целые корни многочлена среди делителей свободного члена: ±1, ±2. Подходит 1. Делим Р (х) на х – 1 с помощью схемы Горнера.

Тогда Р (х) = (х – 1)(2х3 + 5х² + 3х + 2). Ищем целые корни кубического многочлена 2х³ + 5х² + 3х + 2 среди делителей его свободного члена: ±1, ±2. Подходит (–2). Делим на х + 2

Имеем Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Квадратный трехчлен 2х² + х +1 не имеет действительных корней и на линейные множители не раскладывается.

Ответ: Р (х) = (х – 1)(х + 2)(2х² + х +1).

Отметим, что во множестве действительных чисел не всегда можно найти все корни многочлена (например, квадратный трехчлен х² + х + 1 не имеет действительных корней). Таким образом, многочлен n-й степени не всегда можно разложить на линейные множители. В курсах высшей алгебры доказывается, что многочлен нечетной степени всегда можно разложить на линейные и квадратные множители, а многочлен четной степени представить в виде произведения квадратных трехчленов.

Например, многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов. Для нахождения коэффициентов этого разложения иногда можно применить метод неопределенных коэффициентов.

Задача 3 Разложите на множители многочлен х⁴ + х³ + 3х² + х + 6.

Попытка найти рациональные корни ничего не дает: многочлен не имеет рациональных (целых) корней.

Попытаемся разложить этот многочлен в произведение двух квадратных трехчленов. Поскольку старший коэффициент многочлена равен 1, то и у квадратных трехчленов возьмем старшие коэффициенты равными 1. То есть будем искать разложение нашего многочлена в виде:

х⁴ + х³ + 3х² + х + 6 = (х² + ах + b)(х² + сх + d),

(3)

где а, b, с и d — неопределенные (пока что) коэффициенты. Многочлены, стоящие в левой и правой частях этого равенства, тождественно равны, поэтому и коэффициенты при одинаковых степенях х у них равны. Раскроем скобки в правой части равенства и приравняем соответствующие коэффициенты. Это удобно записать так:

х⁴ + х³ + 3х² + х + 6 = x⁴ + cx³ + dx² +

+ ax³ + acx² + adx +

+ bx² + bcx + bd.

Получаем систему

(4)

Попытка решить эту систему методом подстановки приводит к уравнению 4-й степени, поэтому попробуем решить систему (4) в целых числах. Из последнего равенства системы (4) получаем, что b и d могут быть только делителями числа 6. Все возможные варианты запишем в таблицу.

Коэффициенты b и d в равенстве (3) равноправны, поэтому мы не рассматриваем случаи b = 6 и d = 1 или b = –6 и d = –1 и т. д.

Для каждой пары значений b и d из третьего равенства системы (4) найдем ас = 3 – (b + d), а из второго равенства имеем а + с = 1.

Зная а + с и ас, по теореме, обратной теореме Виета, находим а и с как корни квадратного уравнения. Найденные таким образом значения а, b, с, d подставим в четвертое равенство системы (4) bс + ad = 1, чтобы выбрать те числа, которые являются решениями системы (4). Удобно эти рассуждения оформить в виде таблицы:

Как видим, системе (4) удовлетворяет набор целых чисел а = –1, b = 2, с = 2, d = 3. Тогда равенство (3) имеет вид

x⁴ + х³ + 3х² + х + 6 = (х² – х + 2)(х² + 2х + 3).

(5)

Поскольку квадратные трехчлены х² – х + 2 и х² + 2х + 3 не имеют не только рациональных, но и действительных корней, то равенство (5) дает окончательный ответ.

Упражнения

Найдите целые корни многочлена:

1) х³ – 5х + 4;

2) 2x³ + x² – 13x + 6;

3) 5х³ + 18х² – 10х – 8;

4) 4х⁴ – 11х² + 9х – 2.

Найдите рациональные корни уравнения:

1) х³ – 3х² + 2 = 0;

2) 2х³ – 5х² – х + 1 = 0;

3) 3х⁴ + 5х³ – х² – 5х – 2 = 0;

4) 3х⁴– 8х³ – 2х² + 7х – 2 = 0.

Разложите многочлен на множители:

1) 2х³ – х² – 5х – 2;

2) х³ + 9х²+ 23х +15;

3) х⁴ – 2х³ + 2х – 1;

4) х⁴ – 2х³ – 24х² + 50х – 25.

Найдите действительные корни уравнения:

1) х³ + х² – 4х + 2 = 0;

2) х³ – 7х – 6 = 0;

3) 2х⁴ – 5х³ + 5х² – 2 = 0;

4) 2х³ – 5х² + 1 = 0.

5*. Разложите многочлен на множители методом неопределенных коэффициентов:

1) х⁴ + х³ – 5х² + 13х – 6;

2) х⁴ – 4х³ – 20х² + 13х – 2.

6*. Разложите многочлен на множители, заранее записав его с помощью метода неопределенных коэффициентов в виде (х² + bх + с)² – (mх + n)²: :

1) х⁴+ 4х – 1;

2) х⁴ – 4х³ – 1;

3) х⁴ + 4а³х – а⁴.

Источник

Теорема Безу и следствия из неё

19 июля 2022

Теорема Безу позволяет решать уравнения высших степеней, которые на первый взгляд не решаются, и раскладывать на множители многочлены, которые не раскладываются.:)

Формулировка теоремы довольно проста:

Терема Безу. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $x- color{red}{a}$ равен значению этого многочлена в точке $x= color{red}{a}$:

[r=Pleft( color{red}{a} right)]

На практике нас интересует не сама теорема Безу, а некоторые следствия из неё — именно они помогают решать уравнения и раскладывать многочлены на множители. В этом уроке мы рассмотрим все такие следствия и станем настоящими мастерами в работе с многочленами.

Содержание

Деление с остатком
Разложение на множители
Целые корни многочленов
Рациональные корни многочленов
Доказательства

В разных учебниках теорему Безу проходят то в 9-м классе, то в 10-м. Этот урок построен так, что вы поймёте его вне зависимости от школы, класса и учебника.

1. Деление с остатком

Итак, есть многочлен $Pleft( x right)$ и двучлен $x- color{red}{a}$. Разделим $Pleft( x right)$ на $x- color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x- color{red}{a} right)+r]

Теперь найдём значение многочлена $Pleft( x right)$ в точке $x= color{red}{a}$:

[Pleft( color{red}{a} right)=Qleft( color{red}{a} right)cdot left( color{red}{a}- color{red}{a} right)+r=r]

Собственно, мы только что доказали теорему Безу. А заодно подготовили основу для первого важного следствия.

Следствие 1. Деление на произвольный двучлен

Теорема Безу прекрасно работает не только для двучлена $x-color{red}{a}$, но и для любого линейного выражения вида $color{blue}{k}x+color{red}{b}$.

Следствие 1. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $color{blue}{k}x+color{red}{b}$ равен значению этого многочлена в точке $x=-color{red}{b}/ color{blue}{k};$:

[r=Pleft( -frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} right)]

На практике для большей надёжности рекомендуется приравнять двучлен $color{blue}{k}x+color{red}{b}$ к нулю:

[begin{align} color{blue}{k}x+color{red}{b} &=0 \ x &=-frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} \ end{align}]

Затем подставить найденное значение $x=-{color{red}{b}}/{color{blue}{k}};$ в многочлен $Pleft( x right)$ и таким образом найти $Pleft( -{color{red}{b}}/{color{blue}{k}}; right)$:

[r=Pleft( -frac{color{red}{b}}{color{blue}{k}} right)]

Пример 1. Стандартный многочлен

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5x-6]

на двучлен $Tleft( x right)=x-2$.

Решение. Это стандартный двучлен вида $x-color{red}{a}$, поэтому решаем по стандартной теореме Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{2}$ равен $Pleft( color{red}{2} right)$:

[begin{align}r &=Pleft( color{red}{2} right)= \ &=4cdot {color{red}{2}^{3}}-3cdot {color{red}{2}^{2}}+5cdotcolor{red}{2}-6 \ &=32-12+10-6=24 end{align}]

Ответ: 24.

Пример 2. Более сложный многочлен

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{left( {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+5 right)}^{3}}{{left( 2x+1 right)}^{5}}]

на двучлен $Tleft( x right)=x+1$.

Решение. Многочлен $Pleft( x right)$ представлен в виде произведения двух других многочленов, которые ещё и возведены в степени. Если раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, получится обычный многочлен вида

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

По свойствам степеней найдём степень такого многочлена:

[deg Pleft( x right)=3cdot 3+1cdot 5=14]

Раскрывать скобки и приводить подобные в многочлене 14-й степени долго и трудно, а главное — в этом нет никакой необходимости. Ведь по теореме Безу остаток от деления $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ всегда равен $Pleft( color{red}{a} right)$ — и не важно, как записан исходный многочлен $Pleft( x right)$.

Для надёжности, чтобы найти $color{red}{a}$, приравняем к нулю двучлен $Tleft( x right)=x+1$:

[begin{align}x+1 &=0 \ x &=color{red}{-1} \ end{align}]

Теперь подставим $x=color{red}{-1}$ в многочлен $Pleft( x right)$ и найдём остаток:

[begin{align}r &=Pleft( color{red}{-1} right)= \ &={{left( {{left( color{red}{-1} right)}^{3}}-2cdot {{left( color{red}{-1} right)}^{2}}+5 right)}^{3}}cdot {{left( 2cdot left( color{red}{-1} right)+1 right)}^{5}}= \ &={{left( -1-2+5 right)}^{3}}cdot {{left( -2+1 right)}^{5}}=-8 end{align}]

Ответ: −8.

Пример 3. Рациональные коэффициенты

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)=3{{x}^{20}}+{{x}^{19}}-7x+1]

на двучлен $Tleft( x right)=3x+1$.

Решение. Воспользуемся Следствием 1 из теоремы Безу. Для надёжности приравняем к нулю двучлен $Tleft( x right)$ и найдём $color{red}{a}$:

[begin{align}3x+1 &=0 \ x &=color{red}{-{1}/{3};} end{align}]

Подставим найденное $x=color{red}{-{1}/{3};}$ в многочлен $Pleft( x right)$ и найдём остаток:

[begin{align} Pleft( color{red}{-frac{1}{3}} right) &=3cdot {{left( color{red}{-frac{1}{3}} right)}^{20}}+{{left( color{red}{-frac{1}{3}} right)}^{19}}-7cdot left( color{red}{-frac{1}{3}} right)+1= \ &=frac{1}{{{3}^{19}}}-frac{1}{{{3}^{19}}}+frac{7}{3}+1=frac{10}{3} end{align}]

Ответ: ${10}/{3};$.

Пример 4. Иррациональные коэффициенты

Не выполняя деления, найдите остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{x}^{6}}-12{{x}^{4}}+48{{x}^{2}}+64]

на двучлен $Tleft( x right)=left( 1-sqrt{3} right)x+2$.

Решение. Вновь воспользуемся Следствием 1 из теоремы Безу. Приравняем двучлен $Tleft( x right)$ к нулю и найдём $color{red}{a}$:

[left( 1-sqrt{3} right)x+2=0]

Это линейное уравнение с иррациональными коэффициентами. Такое уравнение решается стандартно (см. урок «Линейные уравнения»):

[x=-frac{2}{1-sqrt{3}}=frac{2}{sqrt{3}-1}]

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряжённое:

[x=frac{2color{blue}{left( sqrt{3}+1 right)}}{left( sqrt{3}-1 right) color{blue}{left( sqrt{3}+1 right)}}=frac{2left( sqrt{3}+1 right)}{2}= color{red}{sqrt{3}+1}]

Степень исходного многочлена: $deg Pleft( x right)=6$. Если подставить в такой многочлен иррациональное число, то это число придётся возводить в шестую степень. Это слишком долго и трудно, поэтому перепишем многочлен $Pleft( x right)$ так:

[begin{align} Pleft( x right) &=left( {{x}^{6}}-12{{x}^{4}}+48{{x}^{2}}-64 right)+128= \ &={{left( {{x}^{2}}-4 right)}^{3}}+128 end{align}]

Мы выделили точный куб разности — классическую формулу сокращённого умножения. Как это работает — см. уроки «Формулы сокращённого умножения» и «Куб суммы и разности».

В такую формулу намного проще подставить $x=color{red}{sqrt{3}+1}$:

[begin{align}Pleft( color{red}{sqrt{3}+1} right) &={{left( {{left( color{red}{sqrt{3}+1} right)}^{2}}-4 right)}^{3}}+128= \ &={{left( {{left( sqrt{3} right)}^{2}}+2sqrt{3}+{{1}^{2}}-4 right)}^{3}}+128= \ &={{left( 2sqrt{3} right)}^{3}}+128= \ &=24sqrt{3}+128 end{align}]

Ответ получился некрасивым, но это и есть искомый остаток от деления.

Ответ: $24sqrt{3}+128$.

2. Разложение на множители

Сейчас будет немного теории, которая может показаться непонятной, но далее на примерах всё встанет на свои места.

Рассмотрим ещё раз деление многочлена $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)+r]

По теореме Безу мы легко найдём остаток $r=Pleft( color{red}{a} right)$. В частности, при $Pleft( color{red}{a} right)=0$ многочлен примет вид

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

А это значит, что многочлен $Pleft( x right)$ разделился на двучлен $x-color{red}{a}$ без остатка, и мы получили разложение на множители.

Кроме того, равенство $Pleft( color{red}{a} right)=0$ означает, что число $x=color{red}{a}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$. И это ещё одно замечательное следствие теоремы Безу.

Следствие 2. Корни многочлена и деление

Следствие 2. Число $x=color{red}{a}$ является корнем многочлена $Pleft( x right)$ тогда и только тогда, когда $Pleft( x right)$ делится без остатка на $left( x-color{red}{a} right)$.

На практике это означает, что для разложения многочлена на множители мы просто перебираем разные числа $x=color{red}{a}$ до тех пор, пока не окажется, что $Pleft( color{red}{a} right)=0$. В этот момент многочлен перепишется в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

Такой перебор особенно эффективен в сочетании со схемой Горнера (см. урок «Схема Горнера»). Потому что параллельно с вычислением $Pleft( color{red}{a} right)$ мы получаем ещё и коэффициенты нового многочлена $Qleft( x right)$.

Пример 10. Обычный многочлен

Разложите на множители многочлен

[Pleft( x right)={{x}^{4}}+3{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-11x-6]

Решение. Для наглядности отметим синим цветом коэффициенты многочлена $Pleft( x right)$:

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{4}}+color{blue}{3}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-3} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-11} right)cdot x+left( color{blue}{-6} right)]

Составим из них таблицу для схемы Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r} {} & color{blue}{1} & color{blue}{3} & color{blue}{-3} & color{blue}{-11} & color{blue}{-6}\ hline{} & {} & {} & {} & {} & {}\ end{array}]

Все коэффициенты целые, поэтому логично проверять целые $x=color{red}{a}$, начиная с самых простых и маленьких чисел:

[x=pm 1; pm 2; pm 3; ldots ]

Проверим $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-1}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{3} & color{blue}{-3} & color{blue}{-11} & color{blue}{-6}\ hline color{red}{1} & 1 & 4 & 1 & -10 & color{red}{-16}\ hline color{red}{-1} & 1 & 2 & -5 & -6 & color{green}{0}\ end{array}]

Проверка числа $x=color{red}{1}$ окончилась неудачей: остаток $r=color{red}{-16}$. Зато проверка $x=color{red}{-1}$ дала остаток $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{-1}$ является корнем многочлена $Pleft( x right)$, и сам многочлен можно переписать так:

[begin{align}Pleft( x right) &=Qleft( x right)cdot left( x-left( color{red}{-1} right) right) \ &=left( {{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-5x-6 right)left( x+1 right) end{align}]

Теперь разложим многочлен $Qleft( x right)$ по схеме Горнера. Проверим ещё раз число $x=color{red}{-1}$:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & 1 & 3 & -3 & -11 & -6\ hline color{red}{-1} & color{blue}{1} & color{blue}{2} & color{blue}{-5} & color{blue}{-6} & color{green}{0}\ hline color{red}{-1} & 1 & 1 & -6 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

И вновь получили $r=color{green}{0}$. Исходный многочлен примет вид

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}+x-6 right){{left( x-1 right)}^{2}}]

В первой скобке стоит квадратный трёхчлен. Разложим его на множители по теореме Виета:

[{{x}^{2}}+x-6=left( x+3 right)left( x-2 right)]

Итого окончательное разложение многочлена $Pleft( x right)$:

[left( x+3 right)left( x-2 right){{left( x-1 right)}^{2}}]

Однако это было довольно простое задание: теорема Безу использовалась лишь в качестве обоснования, почему вместо $Pleft( x right)$ мы пишем $Qleft( x right)left( x-color{red}{a} right)$.

Следующее задание будет намного интереснее.:)

Пример 11. Многочлен с двумя переменными

Разложите на множители многочлен

[Pleft( x,y right)=y{{x}^{2}}+3yx+x-4y-1]

Решение. Это многочлен от двух переменных. Он квадратный относительно переменной $x$ и линейный относительно $y$. Чтобы разложить такой многочлен на множители, сгруппируем его слагаемые относительно переменной $x$:

[Pleft( x,y right)= color{blue}{y}cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{3y+1} right)cdot x+left( color{blue}{-4y-1} right)]

Составляем таблицу:

[begin{array}{c|c|c|c}{} & color{blue}{y} & color{blue}{3y+1} & color{blue}{-4y-1}\ hline {} & {} & {} & {}\ end{array}]

Чтобы воспользоваться теоремой Безу, нужно найти такое $x=color{red}{a}$, чтобы $r=Pleft( color{red}{a} right)= color{green}{0}$. Поскольку в роли коэффициентов выступают выражения, содержащие переменную $y$, вновь рассмотрим самые простые варианты, которые приходят в голову:

[x=pm 1; pm y]

Проверим, например, $x=color{red}{1}$:

[begin{array}{c|c|c|c}{} & color{blue}{y} & color{blue}{3y+1} & color{blue}{-4y-1}\ hline color{red}{1} & y & 4y+1 & color{green}{0}\ end{array}]

Первая же попытка привела к успеху: $r=color{green}{0}$, поэтому $x=color{red}{1}$ — крень многочлена $Pleft( x,y right)$. Разложим этот многочлен на множители согласно Следствию 2 теоремы Безу:

[Pleft( x,y right)=left( ycdot x+4y+1 right)cdot left( x-color{red}{1} right)]

В первой скобке стоит новый многочлен, линейный по $x$ и по $y$. Его уже нельзя разложить на множители, поэтому ответ окончательный:

[Pleft( x,y right)=left( xy+4y+1 right)left( x-1 right)]

Важное замечание. Строго говоря, линейность многочлена по каждой переменной ещё не означает, что его нельзя разложить на множители. Простой контрпример:

[xy-x+y-1=left( x+1 right)left( y-1 right)]

Однако в нашем случае дальнейшее применение теоремы Безу и проверки по схеме Горнера не даст никаких новых множителей.

3. Целые корни многочленов

До сих пор мы подставляли числа наугад. И если удавалось найти число $x=color{red}{a}$ такое, что $Pleft( color{red}{a} right)=0$, мы объявляли его корнем, а многочлен $Pleft( x right)$ переписывали в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)]

Однако с помощью теоремы Безу можно значительно ускорить отыскание корней, отбросив заведомо неподходящие варианты. В этом нам поможет следующее утверждение.

Следствие 3. Целочисленные корни

Пусть $Pleft( x right)$ — приведённый многочлен с целыми коэффициентами:

[Pleft( x right)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

Тогда свободный член ${{a}_{0}}$ делится на любой целый корень многочлена $Pleft( x right)$.

Обратите внимание: старший коэффициент при ${{x}^{n}}$ равен единице. Именно поэтому многочлен $Pleft( x right)$ называется приведённым. Кроме того, все коэффициенты ${{a}_{n-1}},ldots ,{{a}_{0}}$ должны быть целыми числами.

И вот тогда целые корни следует искать среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}$.

Пример 5. Простое уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-x+2=0]

Решение. Это приведённое кубическое уравнение с целыми коэффициентами. Рассмотрим многочлен

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-2} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-1} right)cdot x+color{blue}{2}]

Если у него есть целые корни, то по Следствию 3 теоремы Безу все они находятся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=2$. Таких делителей всего четыре:

[x=pm 1; pm 2]

Подставим эти числа в схему Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-2} & color{blue}{-1} & color{blue}{2}\ hline color{red}{1} & 1 & -1 & -2 & color{green}{0}\ hline color{red}{-1} & 1 & -2 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Уже на первом шаге мы получили $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{1}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$, и сам многочлен можно переписать так:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-x-2 right)left( x-color{red}{1} right)]

Впрочем, если учесть третью строку таблицы, то можно вообще записать

[Pleft( x right)=left( x-2 right)left( x-left( color{red}{-1} right) right)left( x-color{red}{1} right)]

В любом случае, корни многочлена, как и корни уравнения — это числа 2, 1 и −1.

Ответ: $x=1$, $x=-1$, $x=2$.

Формула понижения степени

Итак, с помощью теоремы Безу мы можем:

Найти целый корень многочлена;
Разложить исходный многочлен на множители;
Далее искать корни многочлена степени на единицу меньше.

В самом деле, если $Pleft( color{red}{a} right)=0$, тогда по Следствию 2 теоремы Безу мы переписываем многочлен $Pleft( x right)$ в виде

[Pleft( x right)=Qleft( x right)left( x-color{red}{a} right)]

Далее мы ищем корни многочлена $Qleft( x right)$, степень которого на единицу меньше $Pleft( x right)$.

Этот приём называется понижением степени. Он помогает свести исходный многочлен к квадратному, корни которого легко считаются, например, через дискриминант.

Пример 6. Среднее уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-4x+12=0]

Решение. Это уравнение третьей степени. Достаточно найти один корень — далее останется решить квадратное уравнение. Заметим, что многочлен

[Pleft( x right)= color{blue}{1}cdot {{x}^{3}}+left( color{blue}{-3} right)cdot {{x}^{2}}+left( color{blue}{-4} right)cdot x+color{blue}{12}]

является приведённым с целочисленными коэффициентами. По Следствию 3 теоремы Безу все целые корни этого многочлена содержатся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=12$. Таких делителей довольно много:

[x=pm 1; pm 2; pm 3; pm 4; pm 6; pm 12]

Впрочем, нам достаточно найти всего один корень. Воспользуемся схемой Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-3} & color{blue}{-4} & color{blue}{12}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & -2 & -7 & color{red}{5}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & -4 & 0 & color{red}{12}\ hlinecolor{red}{2} & 1 & -1 & -6 & color{green}{0}\ end{array}]

Проверка закончилась неудачей для $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-1}$. Но для $x=color{red}{2}$ мы нашли то, что искали: остаток $r=color{green}{0}$. Следовательно, $x=color{red}{2}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$.

Разложим многочлен на множители согласно теореме Безу:

[Pleft( x right)=left( {{x}^{2}}-x-6 right)left( x-color{red}{2} right)]

В первой скобке стоит квадратный трёхчлен. Его корни легко найти по теореме Виета:

[Pleft( x right)=left( x-3 right)left( x+2 right)left( x-2 right)]

Приравниваем полученное произведение к нулю и решаем уравнение: $x=3$, $x=-2$, $x=2$.

Ответ: $x=2$, $x=-2$, $x=3$.

Пример 7. Сложное уравнение

Решите уравнение

[{{x}^{4}}-{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+3x+2=0]

Решение. Слева приведённый многочлен с целочисленными коэффициентами, поэтому все целые корни находятся среди делителей свободного члена ${{a}_{0}}=2$:

[x=pm 1; pm 2]

Достаточно подобрать два корня — далее уравнение сведётся к квадратному. Воспользуемся схемой Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{1} & color{blue}{-1} & color{blue}{-5} & color{blue}{3} & color{blue}{2}\ hlinecolor{red}{-1} & 1 & -2 & -3 & 6 & color{red}{-4}\ hlinecolor{red}{1} & 1 & 0 & -5 & -2 & color{green}{0}\ hlinecolor{red}{-2} & 1 & -2 & -1 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Получили корни $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-2}$. Разложим многочлен на множители:

[left( {{x}^{2}}-2x-1 right)left( x-color{red}{1} right)left( x-left( color{red}{-2} right) right)=0]

Решим квадратного уравнение из первой скобки:

[{{x}^{2}}-2x-1=0]

Дискриминант положителен:

[begin{align} D &={{left( -2 right)}^{2}}-4cdot 1cdot left( -1 right)= \ &=4+4=8 end{align}]

Следовательно, уравнение имеет два корня:

[x=frac{2pm 2sqrt{2}}{2}=1pm sqrt{2}]

Ответ: $x=1$, $x=-2$, $x=1pm sqrt{2}$.

4. Рациональные корни

До сих пор мы работали лишь с приведёнными многочленами, где старший коэффициент равен единице. Однако теорема Безу прекрасно работает и для неприведённых многочленов — при условии что все коэффициенты остаются целыми.

Рассмотрим уравнение

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

где ${{a}_{n}},ldots ,{{a}_{0}}$ — целые числа, причём ${{a}_{n}}ne 0$.

Следствие 4. Если рациональное число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}in mathbb{Z}$, $color{blue}{q}in mathbb{N}$ и дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима, является корнем уравнения

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

то свободный член ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$, а старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$.

Это утверждение будет доказано в конце урока. Сейчас важен практический смысл, который состоит в том, что все рациональные корни уравнения

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

имеют вид $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}$ следует искать среди делителей ${{a}_{0}}$, а $color{blue}{q}$ — среди положительных делителей ${{a}_{n}}$.

Пример 8. Простой многочлен

Найдите рациональные корни многочлена

[Pleft( x right)=2{{x}^{5}}-{{x}^{4}}+4x-2]

Решение. Делители свободного члена ${{a}_{0}}=-2$:

[p=pm 1; pm 2]

Положительные делители старшего коэффициента ${{a}_{4}}=2$:

[q=1; 2]

Возможные рациональные корни многочлена $Pleft( x right)$ по Следствию 4 теоремы Безу:

[x=pm 1; pm 2; pm {1}/{2};]

Проверять числа $x=color{red}{pm 1}$ нет смысла, поскольку все коэффициенты многочлена $Pleft( x right)$, за исключением одного, чётные. Следовательно, при подстановке нечётных чисел многочлен принимает нечётные значения, которые точно не равны нулю.

Остальные числа проверим по схеме Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|r|r}{} & color{blue}{2} & color{blue}{-1} & color{blue}{0} & color{blue}{0} & color{blue}{4} & color{blue}{-2}\ hlinecolor{red}{2} & 2 & 3 & 6 & 12 & 28 & color{red}{54}\ hlinecolor{red}{-2} & 2 & -5 & 10 & -20 & 44 & color{red}{-90}\ hline color{red}{{1}/{2};} & 2 & 0 & 0 & 0 & 4 & color{green}{0}\ hline color{red}{-{1}/{2};} & 2 & -2 & 1 & -{1}/{2}; & {17}/{4}; & color{red}{-{33}/{8};}\ end{array}]

Подошло лишь одно число: $x=color{red}{{1}/{2};}$. Следовательно, многочлен имеет лишь один рациональный корень.

Ответ: $x={1}/{2};$.

Обратите внимание: проверку дробных чисел можно прекращать, как только в строке таблицы появилась дробь. Потому что дальше это число будет лишь умножаться на новые дроби и складываться с другими целыми числами. При таких обстоятельствах получить $r=color{green}{0}$ уже невозможно.

Пример 9. Сложный многочлен

Найдите рациональные корни многочлена

[Pleft( x right)=3{{x}^{7}}+2{{x}^{6}}-5{{x}^{5}}+3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-7x+5]

Решение. Это многочлен с целыми коэффициентами. Делители свободного члена ${{a}_{0}}=5$:

[p=pm 1; pm 5]

Положительные делители старшего коэффициента ${{a}_{7}}=3$:

[q=1; 3]

Кандидаты в корни согласно Следствию 4 теоремы Безу:

[x=pm 1; pm 5; pm {1}/{3};; pm {1}/{5};]

Всего восемь кандидатов. Проверим их все по схеме Горнера:

[begin{array}{r|r|r|r|r|c|c|c|c}{} & color{blue}{3} & color{blue}{2} & color{blue}{-5} & color{blue}{0} & color{blue}{3} & color{blue}{-1} & color{blue}{-7} & color{blue}{5}\ hlinecolor{red}{1} & 3 & 5 & 0 & 0 & 3 & 2 & -5 & color{green}{0}\ hlinecolor{red}{-1} & 3 & 2 & -2 & 2 & 1 & 1 & color{red}{-6} & {}\ hlinecolor{red}{5} & 3 & 20 & 100 & color{red}{500} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-5} & 3 & -10 & 50 & color{red}{-250} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{{1}/{3};} & 3 & 6 & 2 & color{red}{{2}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-{1}/{3};} & 3 & 4 & color{red}{-{4}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{{5}/{3};} & 3 & 10 & color{red}{{50}/{3};} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & color{red}{-} & {}\ hlinecolor{red}{-{5}/{3};} & 3 & 0 & 0 & 0 & 3 & -3 & color{green}{0} & {}\ end{array}]

Обратите внимание: для чисел $x=color{red}{5}$ и $x=color{red}{-5}$ мы прекратили вычисления досрочно, поскольку получили явно неадекватные числа, которые дальше будут только расти.

При проверке $x=color{red}{{1}/{3};}$, $x=color{red}{-{1}/{3};}$ и $x=color{red}{{5}/{3};}$ мы в какой-то момент возникли дроби, после чего дальнейшие вычисления теряют смысл.

Итого найдены два рациональных корня: $x=color{red}{1}$ и $x=color{red}{-{5}/{3};}$. Пожалуй, это одно из самых утомительных заданий на применение теоремы Безу, которые я когда-либо решал.:)

5. Доказательства

Рассмотрим доказательства всех ключевых утверждений сегодняшнего урока.

5.1. Теорема Безу

Мы сформулировали эту теорему в самом начале урока:

Терема Безу. Остаток от деления многочлена

[Pleft( x right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

на двучлен $x-color{red}{a}$ равен значению этого многочлена в точке $x=color{red}{a}$:

[r=Pleft( color{red}{a} right)]

Доказательство. Разделим многочлен $Pleft( x right)$ на двучлен $x-color{red}{a}$ с остатком:

[Pleft( x right)=Qleft( x right)cdot left( x-color{red}{a} right)+r]

Такое представление всегда однозначно (см. урок «Деление многочленов с остатком»). Здесь многочлен $Qleft( x right)$ — неполное частное, $r$ — остаток, причём

[begin{align}deg r lt deg left( x-color{red}{a} right) &=1 \ deg r &=0 \ end{align}]

Другими словами, остаток $r$ — это просто число.

Теперь найдём значение $Pleft( x right)$ в точке $x=color{red}{a}$:

[Pleft( color{red}{a} right)=Qleft( color{red}{a} right)cdot left( color{red}{a}-color{red}{a} right)+r=r]

Теорема Безу доказана. Однако её доказательство опирается на единственность деления с остатком.

5.2. Целочисленные корни

Целочисленные корни приведённого многочлена с целыми коэффициентами следует искать среди делителей свободного члена.

Следствие 3. Пусть $Pleft( x right)$ — приведённый многочлен с целыми коэффициентами:

[Pleft( x right)={{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}]

Тогда свободный член ${{a}_{0}}$ делится на любой целый корень многочлена $Pleft( x right)$.

Доказательство. Пусть $color{red}{b}in mathbb{Z}$ — корень многочлена $Pleft( x right)$, т.е. $Pleft( color{red}{b} right)=0$. Подставим число $x=color{red}{b}$ в формулу многочлена и получим уравнение:

[{color{red}{b}^{n}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{b}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}color{red}{b}+{{a}_{0}}=0]

Перенесём последнее слагаемое вправо, а слева из оставшихся слагаемых вынесем множитель $color{red}{b}$ за скобку:

[color{red}{b}cdot left( {color{red}{b}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{b}^{n-2}}+ldots +{{a}_{1}} right)=-{{a}_{0}}]

Поскольку $-{{a}_{0}}in mathbb{Z}$, а слева стоят два целочисленных множителя, получаем, что число $-{{a}_{0}}$ делится на $color{red}{b}$. Следовательно, свободный член ${{a}_{0}}$ тоже делится на $color{red}{b}$, что и требовалось доказать.

5.3. Рациональные корни

Рассмотрим уравнение

[{{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}=0]

где ${{a}_{n}},ldots ,{{a}_{0}}$ — целые числа, причём ${{a}_{n}}ne 0$.

Утверждение. Если рациональное число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$, где $color{red}{p}in mathbb{Z}$, $color{blue}{q}in mathbb{N}$ и дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима, является корнем уравнения $Pleft( x right)=0$, то свободный член ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$, а старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$.

Доказательство. Подставим число $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$ в исходное уравнение. Поскольку $x=color{red}{p}/color{blue}{q};$ — корень, уравнение обратится в верное числовое равенство:

[{{a}_{n}}cdot {{left( frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}} right)}^{n}}+{{a}_{n-1}}cdot {{left( frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}} right)}^{n-1}}+ldots +{{a}_{1}}cdot frac{color{red}{p}}{color{blue}{q}}+{{a}_{0}}=0]

Домножим обе части на ${color{blue}{q}^{n}}$. Получим

[{{a}_{n}}{color{red}{p}^{n}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{p}^{n-1}}color{blue}{q}+ldots +{{a}_{1}}color{red}{p}{color{blue}{q}^{n-1}}+{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}=0]

Перенесём последнее слагаемое ${{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}$ вправо, а в левой части из оставшихся слагаемых вынесем множитель $color{red}{p}$ за скобку:

[color{red}{p}left( {{a}_{n}}{color{red}{p}^{n-1}}+{{a}_{n-1}}{color{red}{p}^{n-2}}color{blue}{q}+ldots +{{a}_{1}}{color{blue}{q}^{n-1}} right)=-{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}}]

Слева и справа от знака равенства стоят целые числа, поскольку все слагаемые и множители являются целыми. Мы видим, что левая часть делится на $color{red}{p}$. Следовательно, правая часть тоже делится на $color{red}{p}$:

[-{{a}_{0}}{color{blue}{q}^{n}} vdots color{red}{p}]

По условию теоремы дробь $color{red}{p}/color{blue}{q};$ несократима. Следовательно, числа $color{blue}{q}$ и $color{red}{p}$ не имеют общих делителей, и единственный возможный вариант — это когда ${{a}_{0}}$ делится на $color{red}{p}$.

Аналогично доказывается, что старший коэффициент ${{a}_{n}}$ делится на $color{blue}{q}$. Теорема доказана.

Вот и всё.:)

Смотрите также:

Схема Горнера
Деление многочленов уголком
Теорема Виета
Задача B3 — работа с графиками
Метод коэффициентов, часть 2
Нестандартная задача B2: студенты, гонорары и налоги

Источник

§ 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений

Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени? Оказывается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

Решите уравнение: `x^3 +4x^2 — 2x-3=0`.

Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:

`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`

$$ iff left[begin{array}{l}x-1=0,\ {x}^{2}+5x+3=0,end{array}right.iff left[begin{array}{l}x=1,\ x={displaystyle frac{-5pm sqrt{13}}{2}}.end{array}right.$$

`x=1`; `x=(-5+- sqrt13)/2`.

Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравнения? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

Если несократимая дробь `p//q` (`p` — целое, `q` — натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член делится на `p`, а старший коэффициент делится на `q`.

Пусть несократимая дробь `p//q` — корень многочлена (8). Это означает, что

`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ …«+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.

Умножим обе части на `q^n`, получаем:

`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + … + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.

Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

`p(a_np^(n-1)+a_(n-1)p^(n-2)q+a_(n-2)p^(n-3)q^2+…+a_2pq^(n-2)+a_1q^(n-1))=-a_0q^n`. (14)

Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Решите уравнение

а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)

б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)

а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` — корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:

`539=7^2*11`.

Поэтому `p` может принимать значения:

`+-1,+-7,+-11,+-49,+-77,+-539`.

Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

`(x+1)(x^3+3x^2-105x-539)=0`.

Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

`(x+1)(x+7)(x+7)(x-11)=0`.

`x=-7`; `x=-1`; `x=11`.

1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in{+-1;+-2;+-5;+-10}`; `qin{1;2;3;6}`.Возможные варианты для `x_0`:

`+-1,+-2,+-5,+-10,+-1/2,+-5/2,+-1/3,+-2/3,+-5/3,+-10/3,+-1/6,«+-5/6`.

Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

`(2x-5)(3x^2-10x^2-11x-2)=0`.

Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` — корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

`(2x-5)(3x+2)(x^2-4x-1)=0`.

Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.

`x=5/2`; `x=-2/3`; `x=2+-sqrt5`.

К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.

Разложите на множители:

а) `x^4+4`;

б)* `x^3-3x^2-3x-1`;

в) `x^4-x^3+2x^2-2x+4`;

г)* `x^4-4x^3-20x^2+13x-2`.

а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

`=(x^2+2-2x)(x^2+2+2x)`.

Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

`a^4+b^4=(a^2+b^2)^2-2a^2b^2=`

`=(a^2-sqrt2ab+b^2)(a^2+sqrt2ab+b^2)`.

б)* `x^3-3x^2-3x-1=2x^3-(x^3+3x^2+3x+1)`$$ ={left(sqrt[3]{2}xright)}^{3}-{left(x+1right)}^{3}=$$

$$ =left(sqrt[3]{2}x-x-1right)left(sqrt[3]{4}{x}^{2}+sqrt[3]{2}xleft(x+1right)+{left(x+1right)}^{2}right)$$.

в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

`x^4-x^3+2x^2-2x+4=x^2(x^2-x+2-2/x+4/x^2)=``x^2((x^2+4/x^2)-(x+2/x)+2)`.

Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:

`t^2-4-t+2=t^2-t-2=(t+1)(t-2)=(x+2/x+1)(x+2/x-2)`.

В итоге получаем:

`x^2(x+2/x+1)(x+2/x-2)=(x^2+2+x)(x^2+2-2x)=(x^2+x+2)(x^2-2x+2)`.

Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

`x^2(x^2-2/x^2_(4x-13/x)-20)`.

Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

`x^4-4x^3-20x^2+13x-2=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)`. (17)

Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

`x^4-4x^3-20x^2+13x-2=`

`=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(ad+bc)x+bd`. (18)

Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

$$ left{begin{array}{l}a+c=-4,\ b+ac+d=-20,\ ad+bc=13,\ bd=-2.end{array}right.$$ (19)

Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

1) `b=1` и `d=-2`;

2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

1) $$ left{begin{array}{l}a+c=-4,\ ac=-19,\ -2a+c=13.end{array}right.$$

Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

2) $$ left{begin{array}{l}a+c=-4,\ ac=-21,\ -a+2c=13.end{array}right.$$

Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

`x^4-4x^3-20+13x-2=(x^2-7x+2)(x^2+3x-1)`.

Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

Решите уравнение:

а) `(x-4)^2+|x-4|-2=0`;

б) `(x-7)^4+(x+1)^4=706`;

в) `1/(x^2+2x-3)+18/(x^2+2x+2)=18/((x+1)^2)`;

г) `(x-2)(x-4)(x+5)(x+7)=360`;

д) `(4x)/(4x^2-8x+7)+(3x)/(4x^2-10x+7)=1`;

е) `25x^4-150x^3+94x^2+150x+25=0`.

а) Обозначим `|x-4|=t`. Тогда `(x-4)^2=t^2` и получаем `t^2+t-2=0`, откуда $$ left[begin{array}{l}t=1,\ t=-2.end{array}right.$$

Если `t=-2`, то решений нет.

Если `t=1`, то `|x-4|=1 iff`$$ left[begin{array}{l}x=3,\ x=5.end{array}right.$$

`x=3`; `x=5`.

б) Обозначим `x-3=t`. Тогда получим

`(t-4)^4+(t+4)^4=706 iff(t^4-16t^3+96t^2-256t+256)+`

`+(t^4+16t^3+96t^2+256+256)=706 iff2t^4+192t^2-194=0iff`

`ifft^4+96t^2-97=0 iff(t^2-1)(t^2+97)=0 ifft=+-1`.

Значит, `x_1=4`, `x_2=2`.

`x=2`, `x=4`.

Уравнения вида `(x-a)^4+(x-b)^4=c` с помощью замены `x-((a+b))/2=t` сводятся к биквадратным.

в) Обозначим `x^2+2x+1=t`. Тогда `1/(t-4)+18/(t+1)=18/tiff`

$$ iff left{begin{array}{l}{t}^{2}+t+18left({t}^{2}-4tright)=18left({t}^{2}-3t-4right)\ tleft(t+1right)left(t-4right)ne 0end{array}right.iff $$

$$ iff left{begin{array}{l}{t}^{2}-17t+72=0,\ tleft(t+1right)left(t-4right)ne 0end{array}right.iff left[begin{array}{l}t=8,\ t=9.end{array}right.$$

Теперь найдём `x:`

$$ left[begin{array}{l}{left(x+1right)}^{2}=8,\ {left(x+1right)}^{2}=9end{array}right.iff left[begin{array}{l}x+1=pm 2sqrt{2},\ x+1=pm 3end{array}right.iff $$

$$ iff left[begin{array}{l}x=-1-2sqrt{2},\ x=-1+2sqrt{2},\ x=2,\ x=-4.end{array}right.$$

`x=-1+-2sqrt2`; `x=2`; `x=-4`.

г) Перемножим первую скобку с третьей, а вторую с четвёртой (убедитесь сами, что только такая группировка сомножителей помогает свести уравнение к квадратному).

`((x-2)(x+5))*((x-4)(x+7))=360iff`

`iff(x^2+3x-10)(x^2+3x-28)=360`.

Обозначим `x^2+3x-19=t`. Тогда уравнение принимает вид:

`(t+9)(t-9)=360ifft^2=441ifft=+-21`,

откуда

$$ left[begin{array}{l}{x}^{2}+3x-19=21,\ {x}^{2}+3x-19=-21end{array}right.iff left[begin{array}{l}{x}^{2}+3x-40=0,\ {x}^{2}+3x+2=0end{array}right.iff left[begin{array}{l}x=5,\ x=-8,\ x=-1,\ x=-2.end{array}right.$$

`x=-8`; `x=-2`; `x=-1`; `x=5`.

д) Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на `x` (`x=0` не является решением уравнения):

`4/(4x-8+7/x)+3/(4x-10+7/x)=1`. Обозначим `4x+7/x-8=t`. Тогда

$$ {displaystyle frac{4}{t}}+{displaystyle frac{3}{t-2}}=1iff left{begin{array}{l}4left(t-2right)+3t={t}^{2}-2t,\ tleft(t-2right)ne 0end{array}right.iff $$

$$ iff left{begin{array}{l}{t}^{2}-9t+8=0,\ tleft(t-2right)ne 0end{array}right.iff left[begin{array}{l}t=1,\ t=8.end{array}right.$$

Теперь найдём `x:` $$ left[begin{array}{l}4x+{displaystyle frac{7}{x}}-8=1,\ 4x+{displaystyle frac{7}{x}}-8=8end{array}right.iff left[begin{array}{l}4{x}^{2}-9x+7=0,\ 4{x}^{2}-16x+7=0.end{array}right.$$

Уравнение `4x^2-9x+7=0` не имеет решений, а у уравнения `4x^2-16x+7=0` корнями являются числа `x=7/2` и `x=1/2`.

`x=1/2`; `x=7/2`.

е) `x!=0` (убеждаемся подстановкой), поэтому при делении обеих частей уравнения на `x^2` получим уравнение, равносильное исходному:

`25x^2-150x+94+150*1/x+25*1/x^2=0iff`

`iff(25x^2+25*1/x^2)-(150x-150*1/x)+94=0iff`

`iff25(x^2+1/x^2)-150(x-1/x)+94=0`.

Обозначим `x-1/x=t`. Тогда `t^2=(x-1/x)^2=x^2-2+1/x^2`, откуда `x^2+1/x^2=t^2+2`. Подставляем и решаем уравнение относительно `t:`

`25(t^2+2)-150t+94=0iff25t^2-150t+144=0iff5t^2-30t+144/5=0`.

Коэффициент при `t` чётный; по формуле четверти дискриминанта:

`D/4=15^2-5*(144)/5=225-144=81`; `t_1=(15+9)/5=24/5`; `t_2+(15-9)/5=6/5`.

Теперь найдём `x:`

$$ left[begin{array}{l}x-{displaystyle frac{1}{x}}={displaystyle frac{24}{5}},\ x-{displaystyle frac{1}{x}}={displaystyle frac{6}{5}}end{array}right.iff left[begin{array}{l}5{x}^{2}-24x-5=0,\ 5{x}^{2}-6x-5=0end{array}right.iff left[begin{array}{l}x=-{displaystyle frac{1}{5}};\ x=5;\ x={displaystyle frac{3pm sqrt{34}}{5}}.end{array}right.$$

`5`; `-1/5`; `(3+-sqrt(34))/5`.

1) Уравнения вида `ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0` называются возвратными. Для их решения делят обе части уравнения на `x^2` и вводят замену `x+-1/x=t`.

2) Некоторые другие уравнения четвёртой степени решаются с помощью замены `ax+b/x=t`. (См. пример 11в).

Источник

Содержание:

Формулировка теоремы Безу
Следствия из теоремы Безу
Примеры решения задач

Формулировка теоремы Безу

Теорема

Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x-a)$ равен $P(a)$ .

Следствия из теоремы Безу

Число $a$ — корень многочлена $P(x)$ тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится без остатка на двучлен $x-a$ .

Отсюда, в частности, следует, что множество корней многочлена $P(x)$ тождественно множеству корней соответствующего уравнения $P(x)=0$ .
Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами
(если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми).
Пусть $a$ — целый корень приведенного многочлена
$P(x)$ с целыми коэффициентами. Тогда для любого целого $k$ число $P(k)$ делится на $a-k$ .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать далее корни многочлена, степень которого уже на
единицу меньше: если $P(a)=0$, то заданный многочлен $P(x)$ можно представить в виде:

$$P(x)=(x-a) Q(x)$$

Таким образом, один корень найден и далее находятся уже корни многочлена $Q(x)$, степень которого на единицу меньше степени исходного
многочлена. Иногда этим приемом — он называется понижением степени — можно найти все корни заданного многочлена.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Найти остаток от деления многочлена $f(x)=3 x^{2}-4 x+6$ на двучлен $(x-1)$

Решение. Согласно теореме Безу искомый остаток равен значению многочлена в точке
$a=1$ . Найдем тогда $f(1)$, для этого значение $a=1$ подставим в выражение для многочлена $f(x)$ вместо $x$ . Будем иметь:

$$f(1)=3 cdot 1^{2}-4 cdot 1+6=3-4+6=5$$

Ответ. Остаток равен 5

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. С помощью теоремы Безу доказать, что многочлен
$f(x)=17 x^{3}-13 x^{2}-4$ делится на двучлен $x=1$ без остатка.

Решение. Указанный многочлен делится на заданный двучлен без остатка, если число
$x=1$ — корень данного многочлена, то есть имеет место равенство: $f(1)=0$ . Найдем значение многочлена в точке $x=1$ :

$$f(1)=17 cdot 1^{3}-13 cdot 1^{2}-4=17-13-4=0$$

Что и требовалось доказать

Источник

Одночленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде произведения чисел и переменных величин.

Например, , $LaTeX formula: y^{8}$ и $LaTeX formula: 1,9a^{2}b^{13}ca$ – одночлены. Действительное число, например, число 5 также одночлен, так как его можно записать в виде $LaTeX formula: 5x^{0}$ или, например, в виде $LaTeX formula: 5x^{0}y^{0}z^{0}$ .

Одночлен имеет стандартный вид, если он имеет только один числовой множитель, а каждая из переменных встречается в его записи только один раз. Числовой множитель называют коэффициентом одночлена.

Если коэффициент одночлена равен 0, то его называют нулевым одночленом. Например, $LaTeX formula: 0xy^{5}$ – нулевой одночлен.

Одночлены, которые имеют одинаковую переменную часть, называются подобными.

Чтобы сложить подобные одночлены, необходимо сложить их коэффициенты, а переменную часть переписать.

Например, одночлены и подобные, а их сумма равна .

Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех входящих в него переменных.

Например: степень одночлена равна 1; степень одночлена $LaTeX formula: 91x^{2}y^{3}$ равна 5.

Если одночлен представлен отличным от нуля числом, то его степень равна 0.

Например, числа –260 и 0,5 – одночлены, степень которых равна 0.

Нулевым одночленам не приписывают никакую степень.

Многочленом называют алгебраическое выражение, представленное в виде суммы нескольких одночленов.

Например, $LaTeX formula: x^{2}-4y^{2}$ и $LaTeX formula: 3a+5b^{2}-1,2c^{2}$ – многочлены.

Многочлен имеет стандартный вид, если все одночлены имеют стандартный вид, и среди них нет подобных.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней, входящих в него одночленов.

Например, степень многочлена $LaTeX formula: 5^{9}y+2,5xy^{3}$ равна 4.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Например, $LaTeX formula: 2acdot left ( -5ab+0,5 right )=2acdot (-5)ab+2acdot 0,5=-10a^{2}b+a$ .

При умножении многочлена на число 1, многочлен не изменится, а при умножении многочлена на число –1, получим многочлен, каждый член которого будет иметь противоположный коэффициент.

Например, ;.

Это утверждение часто формулируют, как правило раскрытия скобок. Говорят, что если перед скобкой стоит знак «+» (этот знак не ставят), то скобки опускают, а выражение, стоящее в скобках, переписывают без изменений. Если перед скобкой стоит знак «–», то скобки опускают, а выражение, стоящее в скобках, умножают на число –1.

Например, .

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.

Например: $LaTeX formula: (a-b)(b-3a)=ab-3a^{2}-b^{2}+3ab=4ab-3a^{2}-b^{2}$ .

Многочленом степени от одной переменной называют выражение вида $LaTeX formula: P_{n}left ( x right )=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+cdots +a_{1}x+a_{0}$ при $LaTeX formula: a_{n}neq 0$ и .

Числа $LaTeX formula: a_{n},a_{n-1},cdots,a_{1},a_{0}$ называют коэффициентами многочлена, при этом число $LaTeX formula: a_{n}$ называют старшим коэффициентом многочлена, а число $LaTeX formula: a_{0}$ – свободным членом. Коэффициенты многочлена за исключением его старшего коэффициента, могут быть равны нулю.

Например: – многочлен первой степени, а $LaTeX formula: P(x)=4x^{3}-3x+9$ – многочлен третьей степени.

Многочлен вида $LaTeX formula: P_{0}left ( x right )=a_{0}x^{0}=a_{0}$ называют многочленом нулевой степени, а если $LaTeX formula: a_{0}=0$ , то имеем нулевой многочлен.

Например, $LaTeX formula: Pleft ( x right )=4x^{0}=4$ – многочлен нулевой степени, а – нулевой многочлен.

Корнем многочлена $LaTeX formula: P_{n}left ( x right )$ называют такое число $LaTeX formula: x_{0}$ , что $LaTeX formula: P_{n}left (x_{0} right )=0$ .

Например, число является корнем многочлена $LaTeX formula: P_{4}left (x right )=2x^{3}+3x-5$ , так как $LaTeX formula: P_{3}left (1 right )=2cdot 1^{3}+3cdot 1-5=0$ .

Число называют корнем кратности многочлена $LaTeX formula: f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ , если справедливо равенство $LaTeX formula: fleft ( x right )=(x-c)^{k}g(x)$ , где – многочлен степени , и – натуральные числа и .

Деление многочленов. Деление многочленов выполняют аналогично делению целых чисел: делят старший член многочлена-делимого на старший член многочлена-делителя, затем частное умножают на многочлен-делитель и полученное произведение вычитают из многочлена-делимого. Многочлен-первый остаток аналогичным образом делят на многочлен-делитель. Деление продолжают до тех пор пока не получат остаток нуль или степень многочлена-остатка не будет меньше степени многочлена-делителя.

Например,

Результат деления записывают так: $LaTeX formula: x^{4}-3x^{3}+5x^{2}+2=left ( x^{2}+x-2 right )left ( x^{2}-4x+11 right )+left ( -19x+24 right )$ .

Теорема Безу. Остатокот деления многочлена $LaTeX formula: P_{n}(x)$ на двучлен равен значению многочлена при , то есть $LaTeX formula: r=P_{n}(c)$ .

Следствие 1. Для делимости многочлена $LaTeX formula: P_{n}(x)$ на двучлен необходимо и достаточно, чтобы число было корнем многочлена $LaTeX formula: P_{n}(x)$ .

Следствие 2. Если $LaTeX formula: c_{1},c_{2},cdots ,c_{n}$ – все корни многочлена $LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ , то этот многочлен можно разложить на множители следующим образом: $LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}(x-c_{1})(x-c_{2})cdots (x-c_{n})$ .

Если $LaTeX formula: c_{1}$ – корень кратности многочлена $LaTeX formula: P_{n}(x)$ , то разложение этого многочлена на множители примет вид: $LaTeX formula: P_{n}(x)=a_{n}(x-c_{1})^{k}(x-c_{2})cdots (x-c_{n-k+1})$ .

Теорема о целых корнях. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

Следствие. При отыскании целых корней многочлена с целыми коэффициентами достаточно рассмотреть делители свободного члена.

Пример 1. Приведем одночлен $LaTeX formula: -30ab^{3}c^{7}left ( -1,5 right )abc^{2}$ к стандартному виду: $LaTeX formula: left ( 1,5cdot 30 right )cdot left ( acdot a right )cdot left ( b^{3}cdot b right )cdot left ( c^{7}cdot c^{2} right )=45a^{2}b^{4}c^{9}$ .

Пример 2. Приведем многочлен $LaTeX formula: 5xy+15-0,5xyx^{2}-3y^{3}x+0,5yx^{3}+0,5xy^{3}-5xy-10$ к стандартному виду: $LaTeX formula: (5xy-5xy)+(-0,5x^{3}y+0,5x^{3}y)+(-3xy^{3}+0,5xy^{3})+$ $LaTeX formula: +left ( 15-10 right)=5-2,5xy^{3}$ .

Пример 3. Найдите корни многочлена $LaTeX formula: fleft ( x right )=6x^{3}-11x^{2}+6x-1$ .

Решение. Найдем целые корни многочлена. Согласно теореме о целых корнях многочлена, ими могут быть только делители свободного члена, то есть числа –1 и 1.

$LaTeX formula: P_{3}left ( -1 right )=6cdot left ( -1 right )^{3}-11cdot left ( -1 right )^{2}+6cdot left ( -1 right )-1=-6-11-6-1$ , $LaTeX formula: P_{3}left ( 1 right )=6cdot 1-11cdot 1+6cdot 1-1=0$ .

Так как $LaTeX formula: P_{3}left ( -1 right )$ , то число –1 не является корнем многочлена, а так как $LaTeX formula: P_{3}(1)=0$ , то число 1 – целый корень многочлена.

Тогда, согласно следствию из теоремы Безу, многочлен $LaTeX formula: 6x^{3}-11x^{2}+6x-1$ делится на двучлен .

Выполним деление многочленов:

Запишем результат деления: $LaTeX formula: 6x^{3}-11x^{2}+6x-1=(x-1)(6x^{2}-5x+1)$ .

Найдем корни квадратного трехчлена $LaTeX formula: 6x^{2}-5x+1=0$ . Получим: , $LaTeX formula: x_{1}=frac{1}{2}$ , $LaTeX formula: x_{2}=frac{1}{3}$ .

Следовательно, многочлен $LaTeX formula: 6x^{3}-11x^{2}+6x-1$ имеет три корня: $LaTeX formula: 1,frac{1}{2},frac{1}{3}$ .

Ответ: $LaTeX formula: 1,frac{1}{2},frac{1}{3}$ .

Пример 4. Найдем остаток от деления многочлена $LaTeX formula: 6x^{3}-11x^{2}+6x-1$ на двучлен .

Решение. Вычислим значение многочлена при :

$LaTeX formula: P_{3}left ( -1 right )=6cdot left ( -1 right )^{3}-11cdot left ( -1 right )^{2}+6left ( -1 right )-1=$ .

Ответ: .

Пример 5. Найдите все целые значения , при которых дробь $LaTeX formula: -frac{30k^{2}+5k+240}{5-15k}$ является целым числом.

Решение. Упростим дробь: $LaTeX formula: -frac{30k^{2}+5k+240}{5-15k}=-frac{5left ( 6k^{2}+k+48 right )}{-5left ( 3k-1 right )}=frac{6k^{2}+k+48 }{3k-1}$ .

Разделим числитель дроби на ее знаменатель:

Запишем результат деления: $LaTeX formula: frac{6k^{2}+k+48 }{3k-1}=2k+1+frac{49}{3k-1}$ . Очевидно, что дробь $LaTeX formula: frac{6k^{2}+k+48 }{3k-1}$ будет целым числом, если 49 разделится без остатка на , то есть если число будет делителем числа 49.

Запишем делители числа 49: . Решим уравнения:

1) , $LaTeX formula: k=frac{2}{3}$ ;

2) ;

3) $LaTeX formula: 3k-1=7,k=frac{8}{3}$ ;

4) ;

5) $LaTeX formula: 3k-1=49,k=frac{50}{3}$ ;

6) .

Поскольку, согласно условию задачи, – целое число, то $LaTeX formula: k_{1}=0$ , $LaTeX formula: k_{2}=-2$ и $LaTeX formula: k_{3}=-16$ .

Ответ: .

1. Если коэффициент одночлена равен 1 или –1, то цифру 1, как правило, не записывают, а пишут только его переменную часть. Например: $LaTeX formula: 1xy^{3}=xy^{3}$ ; $LaTeX formula: -1a^{3}b=-a^{3}b$ .

2. Одночлены также являются многочленами.

Источник

Теорема Безу и следствия из неё

1. Деление с остатком

Следствие 1. Деление на произвольный двучлен

Пример 1. Стандартный многочлен

Пример 2. Более сложный многочлен

Пример 3. Рациональные коэффициенты

Пример 4. Иррациональные коэффициенты

2. Разложение на множители

Следствие 2. Корни многочлена и деление

Пример 10. Обычный многочлен

Пример 11. Многочлен с двумя переменными

3. Целые корни многочленов

Следствие 3. Целочисленные корни

Пример 5. Простое уравнение

Формула понижения степени

Пример 6. Среднее уравнение

Пример 7. Сложное уравнение

4. Рациональные корни

Пример 8. Простой многочлен

Пример 9. Сложный многочлен

5. Доказательства

5.1. Теорема Безу

5.2. Целочисленные корни

5.3. Рациональные корни

§ 4. Некоторые приёмы решения алгебраических уравнений

Формулировка теоремы Безу

Следствия из теоремы Безу

Примеры решения задач

Не пропустите также: