Как найти внутренние углы трапеции

Какими могут быть углы трапеции?

uglyi trapetsii

рисунок 1

Как и все другие четырехугольники и многоугольники, которые изучаются в школьном курсе, трапеция — выпуклый четырехугольник. Поэтому сумма углов трапеции равна 360º (речь идет о внутренних углах).

То есть для трапеции ABCD ∠A+∠B+∠C+∠D=360º.

Поскольку основания трапеции лежат на параллельных прямых, сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.

Для трапеции ABCD (рисунок 1)

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),

∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).

Следовательно, если один из углов, прилежащих к одной боковой стороне, острый, то другой — тупой. Если один из этих углов прямой, другой — тоже прямой.

Суммы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны:

∠A+∠B=∠C+∠D

Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться как

1) 7:3:5:2?

Нет, поскольку 7k+3k≠5k+2k и 7K+2k≠3k+5k.

2) 5:4:6:3?

5k+4k=6k+3k, следовательно, углы трапеции могут быть пропорциональны этим числам.

На рисунке 1 углы прилежащие к основанию AD, оба острые, углы, прилежащие к основанию BC, оба тупые. В паре противолежащих углов ∠A и ∠С, ∠B и ∠D один — острый, другой — тупой.

Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла обо тупые или оба острые?

uglyi v trapetsii

рисунок 2

Да, такая трапеция существует.

Например, трапеция, изображенная на рисунке 2.

Существует ли трапеция, у которой два противоположных угла оба прямые? Противоположные углы равны?

Нет, такой трапеции не существует (противоположные углы равны у параллелограмма).

Источник

Трапеция —  геометрическая фигура представляет собой выпуклый четырехугольник с параллельными
противоположными сторонами. Они называются основаниями. Две другие стороны — боковые.
Трапеция, у которой они одинакового размера, называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон
образует у основания угол в 90 градусов-прямоугольной.

Прямая линия, проведенная от одного основания
к другому, именуется высотой трапеции. Величина ее высчитывается делением суммы оснований на 2.
Диагонали — это отрезки, соединяющие противоположные углы фигуры. У равнобедренной трапеции
они равны по длине. Средняя линия-прямая, делящая пополам боковые стороны.

  • Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую
    боковую сторону
  • Угол трапеции через нижнее основание, боковую сторону и
    диагональ
  • Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание,
    среднию линию и боковую сторону
  • Угол равнобедренной трапеции через среднию линию, верхнее
    основание и боковую сторону
  • Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
    через высоту и два основания
  • Острый угол при нижнем основании прямоугольной трапеции
    через два основания и боковую сторону

Угол трапеции при основании через высоту и прилегающую боковую сторону

Рис 1

Введем обозначения: h-высота, с — боковая сторона. Угол трапеции α при основании вычисляется с
помощью формулы

sin α = h/с

где: h — высота трапеции, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Заменим буквенные обозначения условными цифрами. Пример: если высота равна
9см, боковая сторона-11см, получим: sin α = 9 / 11 = 0,818 , отсюда α =
55º. Указанное значение находим в таблице синусов. Данный показатель синуса угла соответствует
величине 55 градусов.

Через нижнее основание, среднию линию и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Рис 3

Угол равнобедренной трапеции через нижнее основание, среднюю линию и боковую сторону находится по
формуле:

cos α = (2a-2m) / 2c

где а — нижнее основание, m — средняя линия, с — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример.Заменим буквы условными цифровыми значениями. Если нижнее основание равно 8
см, средняя линия-6, а боковая сторона-4,8 см, то косинус угла равен 0,41666, что соответствует 65
градусам. cos α = (2 * 8 — 2 * 6) / 2 * 4,8 = 0, 41666, отсюда α =
65º. Равнобедренная трапеция — геометрическая фигура с нижними острыми углами. Это ее
особенность.

Угол трапеции, зная размер нижнего основания, боковой стороны и диагонали

Рис 2

Если известны эти величины, воспользуемся формулой:

cos α= (a²+c²-d²) / 2ac

где а-нижнее основание, d-диагональ, с-боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. При условной величине нижнего основания 4 см, диагонали — 5.7 см,
боковой стороны — 4,4 см косинус равняется 0,081534, что соответствует углу 85 градусов по
таблице функций. cos α= (4² + 4,4² — 5,7²) / 2*4*4,4 = 0,081534,
отсюда α = 85º.

Через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону в равнобедренной трапеции

Рис 4

Нахождение угла равнобедренной трапеции через среднюю линию, верхнее основание и боковую сторону
выполняется по предложенной формуле:

cos α = (2m-2b) / 2c

где m — средняя линия, b — верхнее основание, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Введем условные цифровые значения. Допустим, что у равнобедренной трапеции
верхнее основание равно 4 см, средняя линия-6, боковая сторона-4 см. Косинус составляет 0,5.
Значение соответствует 60 градусам по таблице Брадиса. cos α = (2 * 6 — 2 * 4) / 2 * 4 = 0,5,
отсюда α = 60º

Вычисление острого угла при нижнем основании, если известны величины обоих оснований и боковой
стороны в прямоугольной трапеции

Рис 6

Находится по формуле

cos α = (a — b) / c

где a,b — основания, c — боковая сторона.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Если буквенные выражения заменить условными цифровыми, получится наглядный
пример вычисления. Допустим, длина нижнего основания а 8 см, верхнего b-5,8 см, размер боковой
стороны с-4,8. Подставив в формулу цифровые значения, получим итог: косинус равен 0,45833.
Сравниваем показатель с таблицей вычисления Брадиса: он соответствует углу 63 градуса. cos α=(8 — 5,8) / 4,8 = 0,45833, отсюда α = 63º

Острый угол при нижнем основании, зная высоту и размеры двух оснований прямоугольной трапеции

Рис 5

При известных указанных величинах воспользуемся следующей формулой:

tg(α) = h / (a-b)

где h — высота, a,b — верхнее и нижнее основания.

Цифр после
запятой:

Результат в:

Пример. Введя условные цифровые значения h = 15, a = 11, b = 10 получим tg(α) = 15 / (11-10) = 15. При вычислении получим значение тангенса: 15.
По таблице функций показатель соответствует 86 градусам.

Следует знать несколько закономерностей данной геометрической конструкции. У трапеции четыре угла,
общая сумма которых составляет 360 градусов.

Равнобедренная отличается двумя равными острыми, прилегающими к нижнему основанию, и тупыми
одинаковой величины-к верхнему. У прямоугольной трапеции два угла по 90 градусов, другие —
острый и тупой. Если он прилегает к нижнему основанию, величина такого угла определяется делением
высоты на разность между нижним и верхним основаниями. Угол трапеции при основании равен отношению
высоты к боковой стороне.

Источник

Как найти угол в трапеции

Трапеция — это плоский четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. Они называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами трапеции.

Как найти угол в трапеции

Инструкция

Задача нахождения произвольного угла в трапеции требует достаточного количества дополнительных данных. Рассмотрим пример, в котором известны два угла при основании трапеции. Пусть известны углы ∠BAD и ∠CDA, найдем углы ∠ABC и ∠BCD. Трапеция обладает таким свойством, что сумма углов при каждой боковой стороне равна 180°. Тогда ∠ABC = 180°-∠BAD, а ∠BCD = 180°-∠CDA.

Как найти угол в <b>трапеции</b>

В другой задаче может быть указано равенство сторон трапеции и какие-нибудь дополнительные углы. Например, как на рисунке, может быть известно, что стороны AB, BC и CD равны, а диагональ составляет с нижним основанием угол ∠CAD = α.Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, так как AB = BC. Тогда ∠BAC = ∠BCA. Обозначим его x для краткости, а ∠ABC — y. Сумма углов любого треугольника равна 180°, из этого следует, что 2x + y = 180°, тогда y = 180° — 2x. В то же время из свойств трапеции: y + x + α = 180° и следовательно 180° — 2x + x + α = 180°. Таким образом, x = α. Мы нашли два угла трапеции: ∠BAC = 2x = 2α и ∠ABC = y = 180° — 2α.Так как AB = CD по условию, то трапеция равнобокая или равнобедренная. Значит, диагонали равны и равны углы при основаниях. Таким образом, ∠CDA = 2α, а ∠BCD = 180° — 2α.

Как найти угол в <b>трапеции</b>

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Содержание:

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

На рисунке 66 изображена трапеция Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Свойства трапеции

Рассмотрим некоторые свойства трапеции.

1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.

Поскольку Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияАналогично Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияСледовательно, трапеция — выпуклый четырехугольник. 

Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.

Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — высота трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапецию называют прямоугольной, если один из ее углов -прямой. На рисунке 68 — прямоугольная трапеция Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияОчевидно, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения является меньшей боковой стороной прямоугольной трапеции и ее высотой.

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапецию называют равнобокой, если ее боковые стороны равны. На рисунке 69 — равнобокая трапеция Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Свойства равнобокой трапеции

Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.

1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

1) Пусть в трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПроведем высоты трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения из вершин ее тупых углов Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (рис. 70). Получили прямоугольник Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПоэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2) Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по катету и гипотенузе). Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

3) Также Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияНо Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияпоэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияи Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияСледовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2. Диагонали равнобокой трапеции равны.

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 71. Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как углы при основании равнобокой трапеции), Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — общая сторона треугольников Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПоэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Пример:

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения с основаниями Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (рис. 71). Докажите, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Доказательство:

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (доказано выше). Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПо признаку равнобедренного треугольника Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — равнобедренный. Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПоскольку Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решениято Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения). 

Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.

Доказательство:

1) Пусть в Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения углы при большем основании Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения равны (рис. 70), то есть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПроведем высоты Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияони равны.

2) Тогда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по катету и противолежащему углу). Следовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияТаким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать. 

А еще раньше…

Термин «трапеция» греческого происхождения (по-гречески «трапед-зион» означает «столик», в частности столик для обеда; слова «трапеция» и «трапеза» — однокоренные).

В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.

Трапеция в современной трактовке впервые встречается у древнегреческого математика Посидония (I в.), но начиная только с XVIII в. этот термин стал общепринятым для четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие — не параллельны.

Свойство средней линии трапеции

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Рассмотрим свойство средней линии трапеции.

Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — данная трапеция, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

1) Проведем луч Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения до его пересечения с лучом Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияПусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — точка их пересечения. Тогда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и секущей Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как вертикальные), Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по условию). Следовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по стороне и двум прилежащим углам), откуда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как соответственные стороны равных треугольников).

2) Поскольку Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — средняя линия треугольника Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Тогда, по свойству средней линии треугольника, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения а значит, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Но так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

3) Кроме того, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Пример:

Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.

Доказательство:

Пусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — средняя линия трапеции Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — точка пересечения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — точка пересечения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (рис. 110). Пусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Докажем, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

1) Так как Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения то, по теореме Фалеса, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения -середина Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — середина Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — средняя линия треугольника Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения— средняя линия треугольника Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Тогда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2) Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — средняя линия трапеции, поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

3) Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Пример:

В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам. Найдите среднюю линию трапеции, если ее основания относятся как 3 : 7, а периметр трапеции — 48 см.

Решение:

Пусть Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — данная трапеция, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — ее средняя линия, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (рис. 111).

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

1) Обозначим Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияТогда

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

2) Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по условию). Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения и секущей Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Поэтому Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения Следовательно, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения — равнобедренный, у которого Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по признаку равнобедренного треугольника). Но Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения (по условию), значит, Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

3) Учитывая, что Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения получим уравнение: Трапеция и ее свойства с определением и примерами решенияоткуда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

4)    Тогда Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Ответ. 15 см.

А еще раньше…

То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).

О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).

  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
Источник

Трапеция 1.png

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями. 

(AD) и (BC) — основания.

Стороны, которые не параллельны, называются боковыми сторонами трапеции.

(AB) и (CD) — боковые стороны трапеции.

Есть несколько видов трапеций. Чаще всего рассматриваются прямоугольные и равнобедренные трапеции.

Трапеция 2.png

Трапеция, у которой одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, называется прямоугольной трапецией.

Трапеция 3.png

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной.

Сумма внутренних углов трапеции (и любого другого четырёхугольника) равна

360°

.

Свойство, которое присуще трапеции любого вида:

сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна

180°

.

Трапеция 4.png

Источники:

Рис. 1-4. Трапеция, © ЯКласс.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:

Не пропустите также:

  • Как исправить переперченный плов красным перцем
  • Как исправить содержание в ворде 2007
  • Как найти среднее арифметическое координат точек
  • Как на aliexpress найти копии брендов
  • Как исправить геометрию на фото

    • 0 0 голоса
    Рейтинг статьи
    Подписаться
    Уведомить о
    guest

    0 комментариев
    Старые
    Новые Популярные
    Межтекстовые Отзывы
    Посмотреть все комментарии