Как найти внутреннее сопротивление эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора:

Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока (напряжения, мощностн и др.) только одной ветви сложной электрической цепи.

Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части — на сопротивление R, ток которого

Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС

Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома 

Таким образом, определение тока сводится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления .

Величина ЭДС определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек А а В при разомкну-клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС о измерить вольтметром, подключенным к клеммам А и В холостом ходе.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора выявляется относительно точек А и В после предварительной смены всех источников сложной схемы эквивалентного генера-а их внутренними сопротивлениями.

Практически для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора измеряют амперметром ток между точки А и В работающего двухполюсника при коротком замыкании так как сопротивление амперметра настолько мало, что им можно пренебречь. Тогда

где  — напряжение холостого хода, — ток короткого замыкания.

Такой метод практического определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора называется методом хо-ого хода и короткого замыкания. Расчет параметров эквивалентного генератора, его ЭДС и внутреннего сопротивления , рассматриваются в примерах 4.12 4.13.

Пример 4.12

Определить ток в сопротивлении , подключенном к точкам А В электрической цепи (рис. 4.8а) примера 4.6 методом эквивалентного генератора.

Решение

Для определения тока в сопротивлении определим ЭДС эквивалентного генератора (рис. 4.16а) и его внутреннее сопротивление (рис. 4.166) при холостом ходе, т. е. разомкнутой цепи (между точками А и В).

Знак «минус» обусловлен тем, что источники в схеме включены встречно и потенциал в точке А больше потенциала в точке В, так как (см. пример 4.6).

Напряжение

Напряжение

Следовательно, Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора

Искомый ток

Такой же ток получен в примере 4.6 на сопротивлении 

Пример 4.13

В схеме рис. 4.17а сопротивления плеч моста равны

Сопротивление гальванометра R_r = 98,33 Ом, ЭДС источника . Методом эквивалентного генератора определить в ветви гальванометра (между точками А и В).

Решение

Для определения тока в цепи гальванометра методом эквивалентного генератора необходимо вычислить ЭДС эквивалентного генератора между точками А и В (рис. 4.176) и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В при присутствии гальванометра, заменив в схеме (рис. 4.17в) источник ЭДС его внутренним сопротивлением ( = 0) равным нулю.

Для определения ЭДС эквивалентного генератора принимают потенциал точки С схемы (рис. 4.176) равным нулю, т. е. ф_с=о.

Тогда

При замене источника ЭДС его внутренним сопротивлением, равным нулю, замыкаются накоротко точки С и D схемы (рис. 4.17в). При этом (рис. 4.17г) сопротивления соединены между собой параллельно. Также параллельно соединены между собой сопротивления . Между точками А и В сопротивления соединены последовательно. Следовательно, сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В будет равно

Тогда ток в ветви с гальванометром, который направлен из точки В в точку А, т. е. из точки с большим потенциалом в точку с наименьшим потенциалом (рис. 4.17а), будет равен

Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)

Все методы, рассмотренные ранее, предполагали расчет токов одновременно во всех ветвях цепи. Однако в ряде случаев бывает необходимым контролировать ток в одной отдельно взятой ветви. В этом случае применяют для расчета метод эквивалентного генератора.

Пусть дана некоторая электрическая цепь, которую заменим активным двухполюсником (рис. 3.10), оставив только ветвь в которой необходимо рассчитать ток.

Сначала, введем в ветвь  два источника ЭДС  и  одинаковые по величине и противоположно направленные:

Затем, используя принцип наложения, данную цепь представим суммой двух цепей. В первой оставим все источники активного двухполюсника и источник ЭДС Вторая цепь представляет собой пассивный двухполюсник, имеющий входное сопротивление  и источник ЭДС

Рис. 3.10. Преобразование исходного двухполюсника в сумму двух цепей

На основании принципа наложения ток ветви 

Поскольку и они могут быть любые по величине, то подберем их значения такими, чтобы ток был равен нулю. Для этого выберем 

Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равно его ЭДС. Тогда активный двухполюсник с источником может быть представлен в виде, представленном на рис. 3.11:

Рис. 3.11. Схема замещения активного двухполюсника

В этой схеме ЭДС  численно равна активного двухполюсника, и, следовательно, ток:

Таким образом, ток в ветви

Пусть дана цепь (рис. 3.12), в которой необходимо рассчитать ток методом эквивалентного генератора.

Рис. 3.12. Исходная цепь

Последовательность расчета:

1. Разомкнем ветвь с сопротивлением или примем 

2. Зададим положительное направление и для произвольно выбранных положительных направлений токов. Например, для первого контура запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

3. Токи и в преобразованной схеме по рис. 3.13 рассчитываем любым известным методом, например, методом контурных токов

Тогда 

4. Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого мысленно закоротим все источники ЭДС исходной цепи, оставляя в схеме для реальных источников их внутренние сопротивления.

В образовавшейся схеме пассивного двухполюсника невозможно определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов так как нет последовательно-параллельного соединения приемников, поэтому необходимо выполнить преобразование какого-либо участка цепи из «треугольника» в «звезду» или выполнить обратное преобразование.

Преобразуем, например, «треугольник» сопротивлений в «звезду» При этом получится схема с последовательно-параллельным соединением приемников (рис. 3.14).

Рис. 3.14. Схема пассивного двухполюсника

Сопротивления этой схемы будут:

Входное сопротивление цепи относительно зажимов и запишем в виде:

Окончательно имеем:

Главная
→
Примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях
→
1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

Методы и примеры решения задач ТОЭ
→
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ТОЭ — МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ, ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ
→
1 Методы расчета электрических цепей при постоянных токах и напряжениях

1.5 Метод эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

Метод эквивалентного генератора основан на теореме об эквивалентном источнике (теорема Тевенена) — активном двухполюснике.

Теорема Тевенена для линейных электрических цепей утверждает, что любая электрическая цепь, имеющая два вывода и состоящая из комбинации источников напряжения, источников тока и резисторов (сопротивлений), с электрической точки зрения эквивалентна цепи с одним источником напряжения E и одним резистором R, соединенными последовательно.

В методе эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС) сложную разветвленную схему рассматривают как активный двухполюсник по отношению к ветви R с искомым током I, который определяют по выражению

I = E_ЭГ/ (R_ЭГ + R),

где

E_ЭГ = U_хх — ЭДС эквивалентного генератора равная напряжению холостого хода между зажимами подключенного пассивного элемента R в ветви с искомым током;

R_ЭГ = R_вх — сопротивление эквивалентного генератора равное входному сопротивлению пассивного двухполюсника относительно разомкнутых зажимов.

Алгоритм метода эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС)

1. Определяют напряжение холостого хода U_хх. Для этого ветвь с искомым током разрывают, удаляя сопротивление, и оставляют ЭДС в этой ветви, если она имеется.

2. Задаются направлением токов в ветвях оставшейся схемы после размыкания ветви. Записывают выражение для напряжения U_хх между разомкнутыми зажимами по второму закону Кирхгофа. В это уравнение войдет ЭДС разомкнутой ветви.

3. Рациональным методом рассчитываются токи в схеме, вошедшие в выражение напряжения U_хх.

4. Определяют входное сопротивление двухполюсника относительно разомкнутых зажимов.

Индивидуалка Вика (24 лет) т.8 985 260-71-05 Москва, метро Ясенево. платно терапевт самара.

5. В соответствии с методом эквивалентного генератора (метод эквивалентного источника ЭДС), определяют искомый ток ветви.

Решение задач методом эквивалентного генератора (методом эквивалентного источника ЭДС)

Задача 1.5.1 В схеме рис. 1.5.1 амперметр показывает 0,5 А. Определить его показания в схеме рис. 1.5.2.

Решение. Можно считать, что в схеме рис. 1.5.2 резистор R₅ подключен к зажимам эквивалентного генератора, который в схеме рис. 1.5.1 работает в режиме короткого замыкания.

Рис. 1.5.3

Определим внутреннее сопротивление эквивалентного генератора по схеме рис. 1.5.3, где заменим треугольник сопротивлений R₁R₃R₀ эквивалентным соединением звездой

R 13 = R 1 ⋅ R 3 R 1 + R 3 + R 0 = 2⋅4 2+4+4 =0,8   Ом; R 01 = R 1 ⋅ R 0 R 1 + R 3 + R 0 = 4⋅2 2+4+4 =0,8   Ом; R 03 = R 0 ⋅ R 3 R 1 + R 3 + R 0 = 4⋅4 2+4+4 =1,6   Ом; R Э = R 13 + ( R 01 + R 2 )⋅ ( R 03 + R 4 ) ( R 01 + R 2 )+ ( R 03 + R 4 ) =         =0,8+ ( 0,8+4 )⋅ ( 1,6+2 ) ( 0,8+4 )+ ( 1,6+2 ) =2,86   Ом.

ЭДС эквивалентного генератора определим из формулы I = E_ЭГ/ (R_ЭГ + R) метода эквивалентного генератора. При коротком замыкании I = E_ЭГ/R_ЭГ. Откуда ЭДС эквивалентного генератора

E Э =I⋅ R Э =0,5⋅2,86=1,43  В.

Ток I₅ в схеме рис. 1.5.2 по методу эквивалентного генератора (методу эквивалентного источника ЭДС)

I 5 = E Э R Э + R 5 = 1,43 2,86+1 =0,371  А.

Метод эквивалентного источника напряжения, метод эквивалентного источника тока, метод активного двухполюсника в статье ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. Основные положения и соотношения. Упражнения и задачи

теорема Тевенена,
теорема об эквивалентном источнике,
метод эквивалентного источника ЭДС,
метод эквивалентного генератора

В свою очередь
схема рис. 6 может быть изображена в
более наглядной форме (см. рис. 7). Требуемые
токи в приведенной схеме могут быть
найдены по формулам параллельного
разброса токов (так называемое правило
«рычага»):

.

Рис.
6 Рис. 7

Искомый
ток определяется из уравнения (1) по
закону Кирхгофа для узла 1 (рис. 5):

.

3.4.2.
Расчет составляющей искомого тока,
обусловленной ЭДС Е₃.

Расчетная
схема для определения тока

изображена
на
рис. 8. На месте удаленного источника
тока I_к
сохранено бесконечно большое сопротивление
(разрыв), вместо исключенной из схемы
ЭДС Е₆
введен участок ветви с нулевым
сопротивлением («закоротка»). Преобразование
любого из соединений «треугольником»
в «звезду» сводит схему в
последовательно-парал-лельную, что
существенно упрощает определение тока
.
В частности, если сопротивленияR₆,
R₄,
R₂,
соединенные «треугольником», заменить
сопротивлениями R₆₄,
R₂₄,
R₆₂,
соединенными «звездой» (показано
пунктиром),
схема приобретает вид, представленный
на рис. 9. При этом

,

,

.

Рис.
8 Рис. 9

Расчет
преобразованной схемы возможен с помощью
закона Ома:

.

3.4.3.
Расчет составляющей искомого тока,
обусловленной ЭДС Е₆.

Расчетная
схема для определения тока

изображена
на
рис. 10. На месте удаленного источника
тока I_к
сохранено бесконечно большое сопротивление
(«разрыв»), вместо удаленной ЭДС Е₃
введен участок ветви с нулевым
сопротивлением.

Преобразование
«треугольника» из сопротивлений R₁,
R₄,
(R₅
+ + R₇)
в «звезду» из сопротивлений R₁₄,
R₁₅₇,
R₄₅₇
(показаны пунктиром)
сводит схему в последовательно-параллельную
(рис. 11). При этом:

,

,

.

Расчет схемы,
представленной на рис. 11, возможен с
помощью закона Ома. В результате,

.

Рис.
10 Рис. 11

Ток
в третьей ветви может быть определен
по правилу параллельного разброса:
.

3.4.4. Определение
результирующего тока в третьей ветви.

С учетом того, что
каждый из частичных токов, обусловленных
лишь одним источником энергии, направлен
в ту же сторону, что и реальный ток (см.
рис. 4), значение этого реального тока
определится арифметической суммой
частичных токов:

.

3.5.1.
В соответствии с теоремой об активном
двухполюснике любая схема относительно
любой ветви с сопротивлением R
и искомым током I
может быть представлена одной ветвью
с ЭДС Е_экв
и сопротивлением R_экв,
рассматриваемыми как параметры
эквивалентного генератора. В результате,
исходная схема преобразуется в
одноконтурную, благодаря чему искомый
ток определится соотношением:

.

Расчет
параметров эквивалентного генератора
проводится в два этапа

 Определяется
ЭДС эквивалентного генератора Е_экв.

Для
этого размыкается ветвь с искомым током.
Любым способом рассчитывается полученная
схема и определяется напряжение холостого
хода U_xx
в разрыве ветви с искомым током. Полученное
напряжение определяет величину и
направление ЭДС эквивалентного генератора
().

 Находится
внутреннее сопротивление эквивалентного
генератора R_экв.

Рассматриваемая
схема делается пассивной, для чего все
источники энергии удаляются из схемы,
но сохраняются их внутренние сопротивления
(на месте
источников ЭДС остаются «закоротки»,
а на месте источника тока сохраняется
«разрыв»).
Рассчитывается входное сопротивление
R_вх
пассивной схемы относительно зажимов
ветви с искомым током (без
учета сопротивления этой ветви),
определяющее сопротивление эквивалентного
генератора (R_экв
= R_вх).

3

Рис.
12

.5.2. Пример расчета токаI₄
(рис. 2) методом эквивалентного генератора

В
соответствии с теоремой об активном
двухполюснике исходная схема (рис. 12)
относительно ветви с искомым током
(четвертая
ветвь) может
быть представлена одной ветвью с ЭДС
Е_экв
и сопротивлением R_экв.
В результате, исходная схема преобразуется
в одноконтурную (см. рис. 12), с искомым
током I₄,
определяемым соотношением:

.

3.5.2.1.
Для определения ЭДС эквивалентного
генератора Е_экв
необходимо разомкнуть четвертую ветвь
с искомым током I₄.
В результате, исходная схема (рис. 2)
принимает вид (рис. 13).

Рис.
13

Напряжение
холостого хода U_xx
в разрыве четвертой ветви удобно
отыскивать с помощью метода узловых
потенциалов.
С учетом того, что ветвь,
примыкающая к первому и четвертому
узлам, идеальна (сопротивление
ветви равно нулю),
приравнивание нулю потенциала первого
узла (₁
= 0) приводит к тому, что φ₄=
φ₁+Е₃
= Е₃.
Для
оставшихся узлов (второго
и третьего)
уравнения по методу узловых потенциалов
примут вид:

(3)

Решение
системы уравнений (3) позволяет определить
потенциалы второго и третьего узлов и
вслед за этим найти напряжение в разрыве
(U_xx
= ₂
– ₃),
определяющее, в свою очередь, направление
и величину ЭДС эквивалентного генератора
(Е_экв
=
= U_xx).

3.5.2.2.
Для определения внутреннего сопротивления
эквивалентного генератора (R_экв)
схема, представленная на рис. 13, делается
пассивной (для чего источники ЭДС Е₃
и Е₆
удаляются из схемы и на их месте
сохраняются участки с нулевым
сопротивлением («закоротки»), а на месте
удаленного источника тока I_к
– «разрыв»). В результате, схема (без
учета четвертой ветви с искомым током)
принимает вид, представленный на рис.
14. После объединения первого и четвертого
узлов в один узел схема становится
последовательно-параллельной (рис. 15).
Входное сопротивление относительно
второго и третьего узлов, к которым
подключена четвертая ветвь с искомым
током, определится соотношением:

.

Рис. 14
Рис. 15

В
соответствии с теоремой об активном
двухполюснике

R_экв
= R_вх.

3.5.2.3. Искомый ток
в четвертой ветви определяется по
соотношению (3).

Соседние файлы в папке Алгоритмизированные задания по курсу ТОЭ

• #
• #
• #
• #

  11.03.20162.77 Mб12Правлен_240.rtf

• #
• #
• #

Лабораторная работа № 5

Тема: Изучение метода эквивалентного генератора

Цель работы: определение параметров
эквивалентного генератора и проверка на опыте метода                     эквивалентного
генератора

Студент должен

знать: основные методы расчета линейных
цепей постоянного тока;

уметь: выполнять расчеты цепей постоянного
тока методом эквивалентного генератора;

Теоретическое обоснование

Вычисление тока в одном произвольно
выбранном участке сложной электрической цепи можно выполнить методом
эквивалентного генератора (метод холостого хода и короткого замыкания). Для тип
вся сложная цепь рассматривается как бы состоящий из двух частей. В первую
входит только сопротивление R той ветви, в которой нужно определить ток, во
вторую часть — все остальное. Вторую часть называют активным двухполюсником или
эквивалентным генератором (на рисунок 5.1 обозначен «А»). Этот генератор
обладает ЭДС, равной напряжению холостого хода на зажимах двухполюсника.

             
                         Еэ=Uхх

Внутреннее сопротивление
эквивалентного генератора R0э, высчитывается как
сопротивление двухполюсника относительно его зажимов без учета сопротивления R,
т. е. по опытам холостого хода и короткого замыкания

                               
R0э=Uxx/Iкз

                            Рисунок
5.1 — Цепь с активным двухполюсником

Параметры эквивалентного генератора
можно определить и расчетные путем. Для определения ЭДС эквивалентного
генератора Е_э  надо принять R = ∞ и найти напряжение
на зажимах двухполюсника.

Для определения R0э, надо предположить, что
все ЭДС в цепи двухполюсника равны нулю, и вычислить общее сопротивление
относительно зажимов двухполюсника при отключенном
R. Затем рассчитывается ток через R по формуле:

Ход работы

1.      
Электрическая
схема опыта, электрооборудование и приборы

G1, G2 — источники постоянного напряжения на
блоке БП-15 с подключенными вольтметрами;

G3
— источник
постоянного напряжения на блоке БП-5 с подключенным вольтметром;

PU
—вольтметр

PA
—
амперметр

R1
— резистор
с сопротивлением 2 кОм;

R2
— резистор
с сопротивлением 1,6 кОм;

R3
— резистор
с сопротивлением 1 кОм;

SA
1,
SA2 — выключатели.

На рисунке 5.2 приведена
электрическая схема опыта. При сборке электрической цепи по приведенной схеме используется
следующее оборудование.

Рисунок
5.2. — Схема испытания двухполюсника

2. Порядок проведения работы

2.1
Записать технические данные используемых приборов в отчет по лабораторной
работе.

2.2
Собрать электрическую схему (рисунок 5.2) и дать ее проверить преподавателю.

2.3
Включить цепь. Включить источники постоянного напряжения БП-15, БП-5,
предварительно      установив ручки потенциометров в блоках питания в крайнее
левое положение. Установить на  вольтметрах в блоке БП-15 Е1 = 10 В, Е2 = 5 В; в блоке БП-5 Е3 = 5 В.

2.4
Исследовать опыт холостого хода. Для этого выключатели SAI и SA2 разомкнуть.

Измерить ток и ЭДС эквивалентного
генератора, равную напряжению холостого хода между зажимами двухполюсника.

Данные измерений занести в таблицу
5.1.

Таблица 5.1 — Исследование
активного двухполюсника

2.5 Исследовать рабочий режим.
Выключатель SA1 замкнуть, SA2 разомкнуть. Измерить ток и напряжение на
сопротивлении нагрузки. Данные измерений занести в таблицу 5.1.

2.6 Произвести опыт короткого
замыкания. Выключатели SA1,SA2 включить. Измерить ток короткого
замыкания и напряжение на зажимах двухполюсника. Данные измерений занести в
таблицу 5.1.

2.7 Теоретически и по опытным
данным рассчитать внутреннее сопротивление эквивалентного генератора
относительно его зажимов. Результаты этих расчетов сравнить.

2.8 Вычислить теоретически ЭДС
эквивалентного генератора и сравнить результат расчета с результатом измерения.

2.9 Рассчитать теоретически ток
нагрузки и сравнить результат расчета с результатом измерения.

2.10 Выполнить индивидуальное
задание.

3. Задания для учащихся

3.1 Теоретически рассчитать ток
короткого замыкания. Сравнить результаты расчета с результатами измерения.

3.2 Рассчитать теоретически
величину напряжения на сопротивлении нагрузки в рабочем режиме. Сравнить
результаты расчета с результатами измерения.

3.3 По результатам измерения Е, и
I в рабочем режиме вычистить
сопротивление цепи.

3.4 По результатам измерения U и I
в рабочем режиме определить сопротивление нагрузки. Сравнить с заданным
значением R.

3.5 Измерить полярность источника G3.
Измерить ЭДС эквивалентного генератора. Проследить за изменением  E_э.

3.6 Изменить полярность источника G3.
Измерить ток в рабочем режиме. Проследить за изменением тока.

3.7 Изменить полярность напряжения
источника G3. Измерить ток короткого замыкания. Проследить за его изменением.

3.8 Из опыта холостого хода и
короткого замыкания определить внутреннее сопротивление эквивалентного
генератора при изменении полярности источника G3.

3.9 Включить последовательно с R2 резистор
с сопротивлением 220 Ом. Измерить ЭДС эквивалентного генератора. Проследить за
ее изменением.

3.10 Включить последовательно с R2 резистор
с сопротивлением 220 Ом. Измерить ток короткого замыкания.

3.11 Из опытов холостого хода и
короткого замыкания определить внутреннее сопротивление эквивалентного
генератора при включении R = 220 Ом последовательно с R2.

3.12 Изменить полярность источника G3.
Измерить напряжение на нагрузке в рабочем режиме.

3.13 Включить последовательно с R2
резистор с сопротивлением 220 Ом. Измерить ток в рабочем режиме. Объяснить
изменение тока.

3.14 Включить последовательно с R2
резистор с сопротивлением 220 Ом. Измерить напряжение на нагрузке в рабочем
режиме. Объяснить изменение напряжения.

3.15 Вычислить ЭДС эквивалентного
генератора, если изменена полярность источника G3.

Контрольные вопросы

1. Какие двухполюсники называются
активными?

2. В каких схемах целесообразно
использовать метод эквивалентного генератора?

3. Объяснить, для чего нужен опыт
холостого хода.

4. Написать математически закон для
расчета тока нагрузки по методу эквивалентного генератора.

5. Объяснить почему метод
эквивалентного генератора называют иначе методом холостого хода и короткого
замыкания.

6.  Как расчетным путем определить
величину ЭДС эквивалентного генератора по известным ЭДС и сопротивлениям?

7. Для чего используется опыт
короткого замыкания?

8. Как теоретически определить
внутреннее сопротивление эквивалентного генератора?

9. Как опытным путем определяют
внутреннее сопротивление эквивалентного генератора?

10. Как опытным путем определяют
ЭДС эквивалентного генератора?

11. Как изменится  ЭДС
эквивалентного генератора, если изменить полярность источника  G3?

Содержание
отчета

1. Написать номер, тему и цель
лабораторной работы.

2. Нарисовать рисунок 5.1.

3. Написать оборудование,
используемое в лабораторной схеме.

4. Написать порядок выполнения
работы

5. Результаты измерений и
вычислений занести в таблицу 5.1.

6. Ответить на контрольные вопросы.

7. Сделать вывод.

Литература

1)      Лоторейчук, Е.А.- Теоритические основы электротехники:
2014. –с. 68

Теория  /  3.2. Методы расчета сложных электрических цепей  /  3.2.6. Метод эквивалентного генератора

В некоторых случаях при расчете электрической цепи нас
интересуют ток, напряжение, мощность только в какой-либо одной ветви схемы.
Тогда, чтобы упростить задачу и не рассчитывать всю цепь, применяют метод эквивалентного
генератора.

Прежде чем перейти к методу эквивалентного генератора,
докажем теорему о компенсации.

Теорема о компенсации. Любой пассивный элемент электрической цепи можно
заменить активным элементом, величина  ЭДС которого равна падению напряжения на
пассивном элементе, а направление противоположно направлению тока в нем.

Докажем эквивалентность такой замены. Рассмотрим для
пимера схемы (рис. 3.9, а,б).

Заменим пассивный элемент R₁ источником
 ЭДС Е₁.

Для схемы а
запишем уравнение по второму закону Кирхгофа

Отсюда выразим ток в виде

Для схемы б
второй закон Кирхгофа запишется в следующей форме:

Ток выразим в виде

При эквивалентной замене ток в сопротивлении R должен
остаться неизменным, а он не изменится только в том случае, если E1=R1*I, что и требовалось доказать.

В любой электрической схеме всегда можно мысленно
выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от ее
структуры, условно изобразить прямоугольником (рис. 3.10).

Например, выделим ветвь с сопротивлением R₅, а всю остальную часть заключим в прямоугольник.

Заключенную в прямоугольник часть схемы, которая двумя
выводами подключается к  выделенной ветви,
называют двухполюсником.

Чаще всего нас не интересует часть схемы, заключенная в
двухполюснике, и его обозначают прямоугольником с двумя выводами, к которым
присоединяется интересующая нас ветвь (рис. 3.11).

Если внутренняя схема двухполюсника содержит только
пассивные элементы, то такой двухполюсник называется пассивным и в
прямоугольнике ставится буква П, если внутренняя схема двухполюсника содержит
активные элементы, то есть источники  ЭДС
или тока, то такой двухполюсник называется активным и в прямоугольнике ставится
буква А.

Внутреннюю схему двухполюсника всегда можно разбить на
участки, и эти участки, пользуясь теоремой о компенсации, заменить
эквивалентными источниками. Тогда двухполюсник по отношению к выделенной ветви
будет представлять собой некоторый эквивалентный генератор (рис. 3.12).

Тогда ток, протекающий в выделенной ветви, можно
определить, используя формулу

Таким
образом, всякий активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным
генератором с ЭДС Е_эк и внутренним сопротивлением R_эк.  Для того  чтобы токораспределение во внешней цепи не
изменилось, должны соблюдаться следующие требования:

1)  ЭДС эквивалентного генератора Е_эк
равна напряжению на зажимах ab двухполюсника
при холостом ходе Е_эк= U_abxx;

2) внутреннее
сопротивление эквивалентного генератора R_эк
равно эквивалентному сопротивлению двухполюсника относительно зажимов ab.

Таким образом,
расчет цепи методом эквивалентного генератора сводится к определению параметров
эквивалентного генератора Е_эк и R_эк.

Параметры
эквивалентного генератора можно определить двумя способами:  экспериментальным и  расчетным.

Экспериментальный
способ –  это единственный путь определения параметров
эквивалентного генератора, если неизвестна схема соединений двухполюсника. Суть
его сводится к следующему.

1. При разомкнутых
зажимах ab,  то есть в режиме холостого хода (R = ∞ и I =
0), измеряют напряжение на зажимах ab U_аbхх.
Согласно требованию 1    U_аbхх = Е_эк.

2. При замкнутых
зажимах ab, то есть в режиме короткого
замыкания (R = 0), измеряют ток в
выделенной ветви I_кз (это можно сделать, отсоединив сопротивление R и подключив к зажимам ab амперметр, сопротивление которого мало, поэтому его
можно считать замыкающим проводником).

 Ток короткого замыкания связан с  ЭДС источника соотношением

отсюда

Расчетный способ применяется тогда, когда известна схема внутренних соединений
двухполюсника и параметры входящих в нее сопротивлений и  ЭДС. Рассмотрим этот способ на конкретном примере
(рис. 3.13).

Выделяем нагрузочную
ветвь с сопротивлением R_н, заключая остальную часть схемы в прямоугольник. Эта
часть схемы представляет собой двухполюсник с зажимами ab. 

Мысленно закоротив
источник  ЭДС,  находим эквивалентное сопротивление
двухполюсника по отношению к зажимам ab, которое согласно требованию 2 равно внутреннему
сопротивлению эквивалентного генератора:

3. Определим ЭДС эквивалентного
генератора Е_эк, равную напряжению на зажимах ab при холостом ходе. Для этого отсоединим сопротивление
нагрузки, схема примет вид (рис. 3.14).

Так как ветвь с
сопротивлением R₄ разомкнута, ток будет протекать только по контуру R₁→ R₃ → R₂, то есть

Напряжение на
зажимах ab будет равно напряжению на
зажимах cb:

Зная R_эк и Е_эк,
находим ток в нагрузке

Нагрузка
эквивалентного генератора согласно закону Джоуля – Ленца потребляет мощность,
определяемую выражением

В режиме холостого
хода ток равен нулю, следовательно, потребляемая мощность равна нулю. В режиме
короткого замыкания нулю равно сопротивление нагрузки, следовательно, мощность
так же не потребляется Р = 0. Таким
образом, следует предположить, что в нагрузочном режиме с ростом сопротивления
нагрузки мощность сначала увеличивается до некоторого максимального значения, а
потом спадает до нуля (рис. 3.15).

Найдем условие, при
котором нагрузка эквивалентного генератора потребляет максимальную мощность.

Мощность в нагрузке
согласно закону Джоуля – Ленца определяется выражением

Ток в нагрузке

Подставим выражение для тока в формулу
мощности:

Исследуем это
выражение на экстремум. Функция имеет экстремум при условии равенства нулю ее
первой производной.

Дробь равна нулю,
если равен нулю числитель:

Преобразуем это
выражение следующим образом:

Отсюда получаем 

Взяв вторую
производную, можно доказать, что она отрицательна, следовательно, мощность
максимальна при сопротивлении нагрузки, равном сопротивлению эквивалентного
генератора. Такое сопротивление нагрузки R_c называется
согласованным.

Максимальную
мощность можно определить по формуле

На рис. 3.15
показано изменение мощности, потребляемой нагрузкой при изменении сопротивления
нагрузки от нуля до бесконечности.