Как найти вес тела на экваторе

Решение задач повышенной сложности на движение в НСО

 Пример задачи

Найти вес тела на ши­ро­те φ (рис. 1).

Рис. 1. При­мер ре­ше­ния за­да­чи

P_φ – ?  = -m;  =  = m + 

a_c.o. = a_ц.с. =  R_зcosφ

F_тяж = 

F_тяж = m ;  = a_э = 0,03385 м/с²

F_тяж = m

Мы при­вык­ли, что вес тела – mg, но Земля со­вер­ша­ет свое дви­же­ние во­круг своей оси и яв­ля­ет­ся неинер­ци­аль­ной си­сте­мой от­сче­та.

Рас­смот­рим тело, ко­то­рое на­хо­дит­ся на по­верх­но­сти Земли на ши­ро­те φ. Ши­ро­та опре­де­ля­ет­ся на­прав­ле­ни­ем на эту точку зем­ной по­верх­но­сти, и угол, ко­то­рый она со­став­ля­ет с эк­ва­то­ри­аль­ной плос­ко­стью, как раз и яв­ля­ет­ся ши­ро­той места.

На тело в неинер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та кроме силы гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния дей­ству­ет еще сила инер­ции , ко­то­рая на­прав­ле­на в сто­ро­ну, про­ти­во­по­лож­ную уско­ре­нию си­сте­мы от­сче­та, и чис­лен­но равна про­из­ве­де­нию массы на уско­ре­ние этой си­сте­мы от­сче­та. А уско­ре­ние си­сте­мы от­сче­та – уско­ре­ние про­тив зем­ной по­верх­но­сти на ши­ро­те φ, тогда сила тя­же­сти, ко­то­рая и равна весу тела, равна сумме этих двух сил. Это век­тор­ная сумма и сила тя­же­сти на­прав­ле­на не к цен­тру Земли, а немнож­ко мимо цен­тра. Уско­ре­ние про­тив зем­ной по­верх­но­сти на ши­ро­те φ со­став­ля­ет от­но­ше­ние 4π² на пе­ри­од об­ра­ще­ния Земли во­круг оси в квад­ра­те, умно­жен­ное на ра­ди­ус окруж­но­сти, ко­то­рую опи­сы­ва­ет дан­ная точка. В дан­ном слу­чае цен­тром окруж­но­сти яв­ля­ет­ся О_φ и ра­ди­ус окруж­но­сти – это ра­ди­ус Земли, умно­жен­ный на ко­си­нус ши­ро­ты места, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов на­хо­дим силу тя­же­сти как сто­ро­ну тре­уголь­ни­ка, у ко­то­ро­го из­вест­ны две дру­гие сто­ро­ны и угол между ними.

Под­став­ляя вы­ра­же­ние для цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния, по­лу­ча­ем силу тя­же­сти, в фор­му­ле ко­то­рой мы видим уско­ре­ние точек зем­ной по­верх­но­сти на эк­ва­то­ре – а_э. При вы­чис­ле­нии по­лу­чим а_э = 0,03385 м/с², и, под­став­ляя в вы­ра­же­ние для силы тя­же­сти, мы можем опре­де­лить ее в любой точке по­верх­но­сти для необ­хо­ди­мых ши­ро­ты и массы тел.

Для кон­тро­ля най­дем силу тя­же­сти тела мас­сой 10 кг на эк­ва­то­ре, на ши­ро­те 60⁰ и на по­лю­се, срав­ним по­лу­чен­ные зна­че­ния.

Ответ: при φ = 0⁰F_тяж1 = 94,62 (H),

φ =60⁰ F_тяж2 = 96,33 (H),

φ = 90⁰F_тяж3 = 98 (H).

Есте­ствен­но, самое ма­лень­кое зна­че­ние будет на эк­ва­то­ре, самое боль­шое – на по­лю­се.

 Задача 1

Грузы мас­сой 2 кг и 8 кг под­ве­ше­ны к кон­цам нити, пе­ре­ки­ну­той через блок, ко­то­рый под­ни­ма­ет­ся вер­ти­каль­но с уско­ре­ни­ем 5 м/с². Найти силу на­тя­же­ния нити.

Слож­но­сти при ре­ше­нии этой за­да­чи свя­за­ны с тем, что ранее го­во­ри­лось о при­ме­не­нии за­ко­нов Нью­то­на толь­ко в инер­ци­аль­ных си­сте­мах от­сче­та и рас­смат­ри­ва­лось дви­же­ние этих гру­зов от­но­си­тель­но Земли. От­но­си­тель­но Земли уско­ре­ние гру­зов раз­ное, по­это­му за­да­ча и стала для мно­гих слож­ной.

Ре­шать такие за­да­чи необ­хо­ди­мо в си­сте­ме от­сче­та «Блок» (рис. 2), ко­то­рая яв­ля­ет­ся неинер­ци­аль­ной, и в этой си­сте­ме от­сче­та ко всем силам, ко­то­рые обыч­но при­ло­же­ны к телам, до­бав­ля­ет­ся сила инер­ции.

К при­ме­ру, когда ав­то­бус резко тор­мо­зит, нас тол­ка­ет вниз сила инер­ции. Здесь при дви­же­нии блока на­верх к каж­до­му из тел до­бав­ля­ет­ся сила, про­ти­во­по­лож­ная уско­ре­нию блока и на­прав­лен­ная вниз.

Рис. 2. Си­сте­ма от­сче­та «Блок»

Эйн­штейн до­ка­зал, что эта сила инер­ции в прин­ци­пе неот­ли­чи­ма от силы гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния. В дан­ном слу­чае на пер­вое тело дей­ству­ет сила на­тя­же­ния нити  на­прав­лен­ная вверх, сила гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния m₁ на­прав­лен­ная вниз, и сила инер­ции . На вто­рое тело точно так же дей­ству­ет  на­прав­лен­ная вверх, сила гра­ви­та­ци­он­но­го при­тя­же­ния m₂ и сила инер­ции  на­прав­лен­ные вниз.

У нас си­сте­ма свя­зан­ных тел, для каж­до­го из тел ось необ­хо­ди­мо на­пра­вить в свою сто­ро­ну по уско­ре­нию. Оче­вид­но, что пер­вое тело, ко­то­рое легче, будет дви­гать­ся от­но­си­тель­но блока вверх, а вто­рое тело будет дви­гать­ся вниз. По­это­му ось ох₁на­прав­ля­ем вверх, ох₂ на­прав­ля­ем вниз.

За­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи и ре­ше­ние.

Ответ: F_н = 48 H.

Урав­не­ние в про­ек­ции на ось ох₁ будет иметь вид -m₁g — m₁а_бл + F_н = m₁а.

На ось ох₂ будет m₂g + m₂а_бл — F_н = m₂а.

Ре­ше­ние си­сте­мы урав­не­ний до­сти­га­ет­ся сло­же­ни­ем, при сло­же­нии сразу уби­ра­ем про­ти­во­по­лож­ные зна­че­ния силы на­тя­же­ния и по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние, из ко­то­ро­го можем за­пи­сать уско­ре­ние и вы­чис­лить его. Далее его зна­че­ние можно под­ста­вить в любое из урав­не­ний и опре­де­лить силу на­тя­же­ния.

 Задача 2

На на­клон­ной по­верх­но­сти клина с углом 30⁰ по­ко­ит­ся бру­сок при ко­эф­фи­ци­ен­те тре­ния 0,69. С каким ми­ни­маль­ным уско­ре­ни­ем нужно пе­ре­ме­щать по го­ри­зон­та­ли клин, чтобы бру­сок стал сколь­зить вниз по его по­верх­но­сти?

Вы­пол­ня­ем крат­кое усло­вие за­да­чи, ри­су­нок и ре­ше­ние (рис. 3).

Рис. 3. Ре­ше­ние за­да­чи 2

 = — m; m +  +  + = m; a ≥ 0

по ох: mgsinα + ma_кcosα — F_тр ≥ 0

по оу: -mgcosα + ma_кsinα + N = 0

N = mgcosα — ma_кsinα F_тр = μN = μmgcosα — μma_кsinα

mgsinα + ma_кcosα — μmgcosα + μma_кsinα ≥ 0

a_к ≥  g a_к ≥  · 10 a_к ≥ 0,8 (м/с²)

Ответ: a_к ≥ 0,8 м/с².

Сила, ко­то­рая за­став­ля­ет бру­сок про­скаль­зы­вать, – это mgsinα, но sinα = 0,5 при μ = 0,69, мы видим, что сила тре­ния боль­ше силы, со­став­ля­ю­щей mg. Ре­ша­ем за­да­чу в си­сте­ме от­сче­та «Клин». К тем силам, ко­то­рые обыч­но при­ло­же­ны к брус­ку, – сила ре­ак­ции опоры ,  и сила тя­же­сти m – до­бав­ля­ет­ся сила инер­ции , на­прав­лен­ная про­тив уско­ре­ния клина. За­пи­шем вто­рой закон Нью­то­на для брус­ка и вы­бе­рем оси, ось х в сто­ро­ну воз­мож­но­го на­прав­ле­ния и ось у пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти клина. По­лу­ча­ем: по оси х mg про­еци­ру­ет­ся через sinα, это про­ти­во­ле­жа­щий катет, сила инер­ции про­еци­ру­ет­ся через cosα и минус сила тре­ния, так как она на­прав­ле­на в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну, будет боль­ше или равно нулю. Когда уско­ре­ние равно нулю, то сила инер­ции при­ни­ма­ет ми­ни­маль­ное зна­че­ние, со­от­вет­ствен­но, уско­ре­ние клина тоже ми­ни­маль­но.

По оси у mg будет со зна­ком минус, так как она на­прав­ле­на про­тив оси у. Урав­не­ние по оси у необ­хо­ди­мо, чтобы вы­ра­зить силу ре­ак­ции опоры  Под­став­ляя зна­че­ния силы ре­ак­ции опоры и силы тре­ния, мы по­лу­чим урав­не­ние, из ко­то­ро­го и на­хо­дим вы­ра­же­ние для уско­ре­ния клина. Под­став­ляя зна­че­ния, мы видим, что уско­ре­ние, с ко­то­рым нужно дви­гать клин в го­ри­зон­таль­ном на­прав­ле­нии, будет боль­ше или рав­ным 0,8 м/с².

При на­хож­де­нии мак­си­маль­но­го уско­ре­ния его необ­хо­ди­мо на­пра­вить в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну.

 Задача 3

В цен­тре круг­ло­го стола по­ме­сти­ли ма­лень­кое блю­деч­ко. Ко­эф­фи­ци­ент тре­ния между ним и сто­лом μ = 0,155. Стол дви­га­ли пря­мо­ли­ней­но с уско­ре­ни­ем 2 м/ с² в те­че­ние 2 с, а затем оста­но­ви­ли с тем же по ве­ли­чине уско­ре­ни­ем. При каком ми­ни­маль­ном ра­ди­у­се стола блю­деч­ко с него не упа­дет?

За­пи­шем крат­кое усло­вие за­да­чи, схему и ре­ше­ние (рис. 4).

Рис. 4. Ре­ше­ние за­да­чи 3

F_ин = ma = 2m; F_тр = μmg = 1,55m

1.      t = t₁

a₁ =  = 

a₁ = a — μg V₁ = ( a — μg ) t S₁ = 

2.      t = t₂

 = —  => F_ин ↑↑ F_трa₂ = -(a + μg)

V₀₂ = V₁ V₂ = 0

S₂ =  = ; S = S₁ + S₂; S = )

S =  =  =  = 1,01 (м)

Ответ: R_min = 1,01 м.

На­чаль­ная ско­рость блю­деч­ка равна нулю, оно лежит в цен­тре стола. Когда стол на­чи­на­ет дви­гать­ся с уско­ре­ни­ем, он ста­но­вит­ся неинер­ци­аль­ной си­сте­мой от­сче­та и ко всем силам, ко­то­рые были при­ло­же­ны к блю­деч­ку, до­бав­ля­ет­ся сила инер­ции, на­прав­лен­ная про­тив уско­ре­ния стола и рав­ная по ве­ли­чине про­из­ве­де­нию массы на уско­ре­ние блю­деч­ка. Сила тре­ния сразу будет ме­шать блю­деч­ку дви­гать­ся. При под­ста­нов­ке из­вест­ных ве­ли­чин мы видим, что сила тре­ния мень­ше силы инер­ции, блю­деч­ко на­чи­на­ет дви­гать­ся по по­верх­но­сти стола.

Пер­вое усло­вие за­да­чи – стол дви­жет­ся с уско­ре­ни­ем, в этом слу­чае сила инер­ции на­прав­ле­на в про­ти­во­по­лож­ную сто­ро­ну силы тре­ния, но боль­ше нее. Опре­де­лим уско­ре­ние, с ко­то­рым дви­жет­ся блю­деч­ко, по вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на. За это время ско­рость блю­деч­ка уве­ли­чи­ва­ет­ся с этим уско­ре­ни­ем и до­сти­га­ет зна­че­ния V₁, а путь – S₁.

При вто­ром про­ме­жут­ке вре­ме­ни уско­ре­ние стола ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ное, со­от­вет­ствен­но, и сила инер­ции при­ни­ма­ет про­ти­во­по­лож­ное на­прав­ле­ние, в дан­ном слу­чае она будет сов­па­дать с силой тре­ния, то есть и сила инер­ции, и сила тре­ния тор­мо­зят дви­же­ние блю­деч­ка. На­чаль­ная ско­рость к мо­мен­ту тор­мо­же­ния будет равна V₁, а ко­неч­ная ско­рость в ре­зуль­та­те тор­мо­же­ния будет равна нулю. По­это­му за время тор­мо­же­ния блю­деч­ко прой­дет путь S₂, так как уско­ре­ние у нас от­ри­ца­тель­ное, то знак минус уйдет из вы­ра­же­ния.

Общий путь, ко­то­рый прой­дет блю­деч­ко, со­став­ля­ет сумму двух по­лу­чен­ных вы­ра­же­ний S₁ и S₂. Про­ве­дя ал­геб­ра­и­че­ские пре­об­ра­зо­ва­ния и под­став­ляя чис­ло­вые зна­че­ния, мы по­лу­чим, что блю­деч­ко прой­дет путь 1,01 метра, то есть ра­ди­ус стола от цен­тра до края дол­жен быть не мень­ше этого зна­че­ния, иначе блю­деч­ко со­скольз­нет.

 Заключение

Как мы уви­де­ли на при­ме­рах ре­ше­ния задач, при учете сил инер­ции вто­рой закон Нью­то­на будет спра­вед­лив для любой си­сте­мы от­сче­та и ряд задач лучше ре­ша­ет­ся в неинер­ци­аль­ной си­сте­ме от­сче­та.

ПОЧЕМУ ВЕС ТЕЛА РАЗЛИЧЕН НА ПОЛЮСЕ И НА ЭКВАТОРЕ?

Вес тела зависит от широты местности.

Если тело, вес которого в Киото 1 кГ (1кГ = 9,8 Н), взвесить на антарктической станции «Сёва», окажется, что здесь его вес увеличился на 29 Г, составив, таким образом, 1 кГ 29 Г. То же тело в столице южно-американской страны Эквадор городе Кито будет весить 997,5 Г.
Другой пример. Тело, весящее в Кито 1 кГ, будет весить в Антарктиде 1005,4 Г. Разница в весе равна 0,5 %. Если принять, что 1 Г золота стоит 4500 иен, то стоимость бруска весом 1 кГ на Южном полюсе увеличится на 24 000 иен. Итак, вес тела изменяется в зависимости от широты местности. Однако такие изменения можно обнаружить только с помощью пружинных весов, так как обычные рычажные весы для этой цели непригодны..

Рычажные и пружинные весы.

Издавна о весе тела судили по тому, насколько тяжело удержать его на ладони пли приподнять с земли. Впоследствии, когда появилась необходимость взвешивать драгоценные металлы и зерно, были изобретены весы. Рисунок на египетском папирусе, относящийся к 1400 г. до н. э., изображает весы, предназначенные для очень точных измерений (рис. 1.1).



Рисунок 1.1. Изображение рычажных весов на древнеегипетском папирусе

Весы — это прибор, с помощью которого вес тела сравнивается с весом гири — противовеса. Поэтому, чтобы измерить вес тела па рычажных весах, необходимо на чашу весов положить гири, вес которых уравновесил бы вес тела. Так как при перемещении в различные точки земной поверхности вес тела и гири изменяется одинаково, то при таком способе взвешивания нельзя заметить изменении веса тела. В повседневной жизни используется простой, по менее точный метод измерения веса с помощью пружинных весов. Под действием приложенной силы пружина растягивается, и по степени растяжения можно судить о величине этой силы, в данном случае — о весе тела. Измеренный таким образом вес есть не что иное, как сила тяжести, действующая на тело. Следовательно, если вес тела, измеренный с помощью пружинных весов, в различных точках земной поверхности окажется различным, то это означает, что сила тяжести в этих точках различна.

Центробежная сила.

Значение силы тяжести зависит от широты местности. На малых широтах, с приближением к экватору, сила тяжести уменьшается. Заметное различие в весе тела на экваторе и на полюсах объясняется, в основном, собственным вращением Земли.



Рис. 1.2. Вращение тела вокруг своей оси

Каждая точка вращающегося тела испытывает действие силы, направленной от оси вращения и перпендикулярной к этой оси. Эту силу называют центробежной. Действие центробежной силы иллюстрируется на рис. 1.2. Шарик, подвешенный к нитке, вращается вокруг оси, а нить подвеса при этом отклоняется на некоторый угол от вертикали. При увеличении скорости вращения угол отклонения также увеличивается. Величина центробежной силы пропорциональна расстоянию вращающегося тела от оси вращения. Земной шар, изображенный на том же рисунке, вращается вокруг своей оси. Расстояние от оси вращения до поверхности Земли на экваторе совпадает с радиусом Земли, а при увеличении широты местности убывает.

Земное притяжение и центробежная сила.

Вес тела, определяющийся, главным образом, действующей на него силой земного притяжения (силой гравитации), на экваторе из-за влияния центробежной силы уменьшается. Так как ось вращения Земли проходит через Северный и Южный полюсы, в этих точках земной поверхности центробежная сила равна нулю и вес тела обусловлен исключительно силой притяжения Земли. Центробежная сила на экваторе составляет 1/300 часть силы притяжения и направлена от центра Земли. Если считать, что на полюсах и экваторе сила земного притяжения одинакова, то вес тела на экваторе будет на 1/300 часть меньше его веса на полюсах, т. е. предмет, который на полюсе весит 1 кГ, на экваторе будет весить 997 Г.

В каком бы месте мы не измеряли вес тела, нам никогда не удастся раздельно измерить силу земного притяжения и центробежную силу. Таким образом, измеряемая сила тяжести является суммой сил земного притяжения и центробежной силы к поэтому на экваторе из-за центробежной силы вес тела па 1/300 часть меньше, чем на полюсах.

Форма Земли.

Как уже отмечалось, вес тела в Кито отличается от его веса на полярной станции «Сёна» на 0,5 %. А так как эта станция достаточно далека от полюса (69° южной широты), то различие в весе тела в Кито и на Южном полюсе должно быть еще большим. Такая разница в весе не может быть объяснена только наличием центробежной силы. За счет чего же возникает эта разница? Самое простое объяснение состоит в том, что Земля не является идеальной сферой. И действительно, ее радиус па экваторе равен 6378,14 км, а на полюсе — 6356,76 км. Разница составляет 1/300 часть радиуса Земли. Таким образом, Земля представляет собой слегка сплющенную на полюсах сферу, точнее говоря, эллипсоид вращения.

0,5 %-е различие в весе.

В произвольном масштабе на рис. 1.3 изображено поперечное сечение Земли. Незаштрихованная часть является идеальной окружностью. Если бы Земля была идеальной сферой, то сила тяжести была бы обратно пропорциональна квадрату расстояния от ее центра.



Рис. 1.3. Сила земного притяжения и форма Земли.

Из рис. 1.3 видно, что расстояние от точки Е на экваторе до центра больше, чем от точки N на Северном полюсе до центра, поэтому сила земного притяжения, обусловленная не заштрихованной частью сечения Земли, на полюсе больше, чем на экваторе. В то же время вклад заштрихованной части сечения больше на экваторе. Два вышеуказанных фактора почти компенсируют действие друг друга, однако, как показали расчеты математика Клеро, проведенные для эллипсоида вращения, вес тела на экваторе, с учетом действия центробежной силы, меньше на 1/200 веса тела на полюсе. Это соотношение действительно подтверждается результатами взвешивания тела на полюсе и на экваторе. Таким образом, центробежная сила и не сферическая форма Земли позволяют объяснить наблюдаемую разницу в весе тела па полюсе и на экваторе.

Равновесие трех сил.

Итак, теперь мы знаем, чем вызвано отличие в весе тела па полюсе и на экваторе. Остается ответить на вопрос: каким будет вес тела в точке, не лежащей ни на полюсе, ни на экваторе, а допустим, в Киото? В этом случае направления силы земного притяжения и центробежной силы не лежат на одной прямой и складываются согласно правилу параллелограмма.

Чтобы представить себе сложение сил, проведем мысленно опыт, используя изображенное на рис. 1.4 приспособление, предназначенное для поднятия груза М. К концам нити, перекинутой через два блока, подвешены грузы М₁ и М₂, а в произвольной точке между ними закреплен груз М. Если вес М меньше суммы весов М₁ и М₂, тело А₁, достигнув определенной высоты, остановится: наступит состояние равновесия.
Силы F₁, F₂, F, действующие на грузы, пропорциональны весам соответствующих грузов,



Рис.1.4. Равновесие трех сил.

В левой части рис. 1.4 эти силы вынесены отдельно, так что их величина и направление остаются неизменными. Если F₁ и F₂ — стороны параллелограмма, F’ — его диагональ, то F и F’ равны друг другу по величине и противоположны по направлению, а поэтому три вышеупомянутые силы находятся в равновесии, в чем мы могли убедиться на опыте.

Сложение и разложение силы на составляющие.

Рассмотренные нами силы F и F’ уравновешивают друг друга, причем действие силы F’ эквивалентно действию двух сил F₁ и F₂. Сила, действие которой равно действию двух каких-либо сил, называется их результирующей или равнодействующей. Из сказанного следует, что равнодействующей двух сил является диагональ параллелограмма, каждая сторона которого соответствует одной из сил. Таким образом, равнодействующей двух сил является диагональ параллелограмма, построенного на складываемых силах, выходящая из точки приложения этих сил. Поэтому, если на двух силах построить параллелограмм, то диагональ, проведенная из точки их приложения, будет результирующей складываемых сил. Параллелограмм, с помощью которого находят результирующую двух сил, называется параллелограммом сил, а способ ее определения правилом параллелограмма сил.

Если требуется найти равнодействующую более чем двух cил, необходимо последовательно применить правило параллелограмма.



Рис. 1.5. Результирующая двух равных по величине сил F и F₂ — притяжения и центробежной силы.

Рис. 1.6. Разложение силы F на две взаимно перпендикулярные составляющие F и F₂

В случае, когда силы F₁ и F₂ равны по величине, их результирующая F’ как показано на рис. 1.5, будет биссектрисой угла между ними. Разложение силы на составляющие является операцией, обратной сложению. На рис. 1.6 показано изложение одной силы F на две взаимно перпендикулярные вставляющие F₁ и F₂.

Сложение силы земного притяжения и центробежной силы. Зная правило сложения сил, легко найти сумму силы земного притяжения и центробежной силы.

Прежде всего, снова рассмотрим вращательное движение шарика, подвешенного на нитке.



Рис. 1.7. Результирующая силы тяжести и центробежной силы.

Рис. 1.8. Результирующая силы земного притяжения и центробежной силы.

Как видно из рис. 1.7, результирующая силы тяжести и центробежной силы равна и противоположно направлена силе натяжения нити. Сила натяжения нити в зависимости от приложенного усилия может быть разной, но численное ее значение и направление всегда таковы, что уравновешивают это усилие. Таким образом можно определить угол отклонения нити в зависимости от скорости вращения, при условии, что вращение происходит вокруг оси, перпендикулярной к поверхности Земли, т.е. когда сила тяжести и центробежная сила направлены перпендикулярно друг другу. Точно так же можно найти равнодействующую силы земного притяжения и центробежной силы. В этом случае, как показано на рис. 1.8, сила земного притяжения направлена к центру Земли, а центробежная сила — перпендикулярна к оси вращения. Как уже говорилось ранее, центробежная сила очень мала по сравнению с силой земного притяжения, однако на 35,01° северной широты, что соответствует широте Киото, центробежная сила составляет 0,3 % силы тяжести. Это приводит к тому, что направление силы тяжести в этой точке будет на 0,1° отклоняться от линии, соединяющей точку с центром Земли. В повседневной жизни этим отклонением обычно пренебрегают и определяют горизонтальную поверхность как поверхность, перпендикулярную к линии отвеса, т.е. к линии, вдоль которой действует сила тяжести.

Хотя вносимая центробежной силой разница в весе равна лишь 1/300, тем не менее вес стокилограммовой штанги за счет нее уменьшается на 300 Г.

Исследование 1 ЦЕНТРОБЕЖНАЯ СИЛА

Движение по окружности.

Мы уже говорили, что на вращающееся тело действует центробежная сила. Но возникает вопрос: какова природа этой силы? До сих пор, рассматривая вращательное движение, мы обходились без ее определения. Теперь попытаемся восполнить этот пробел. Для этого рассмотрим, как это показано на рис. 1.9, движение тела массой m по окружности радиуса r с постоянной скоростью v. Нам достаточно знать, что измеряемый обычно в килограммах вес тела пропорционален массе.



Рис. 1.9. Что такое центробежная сила?

a=V²/r=r ω²

f=ma=mV²/r=mrω ²

ω=2π/Т =V/r

T=2πr/V

Здесь а-ускорение; f-центробежная сила; ω-угловая скорость; Т-период вращения; r-радиус; V-скорость; m-масса

Ускорение а тела, движущегося по окружности, направлено по радиусу к центру окружности, причем величина его пропорциональна квадрату скорости v₂ и обратно пропорциональна радиусу r. Чтобы создать такое ускорение, к телу необходимо приложить силу, равную произведению ускорения на его массу. Это следует из соотношения, которое называется вторым законом Ньютона. Направление силы совпадает с направлением ускорения, благодаря чему сила называется центростремительной.

Если в формуле для силы использовать в качестве единицы длины метр, а единицы времени — секунду, то сила будет выражаться в ньютонах. Один ньютон — это сила, которая сообщает телу массой в 1 кг ускорение 1 м/с². Сокращенно ньютон обозначают буквой Н.
В качестве величины, дающей представление о скорости тела при движении по окружности, используется угловая скорость.

Эта величина показывает, на какой угол повернулось тело при вращении за единицу времени, причем в качестве единицы угла используется радиан. Угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу ее окружности, называют углом в один радиан. Таким образом, 360° соответствуют 2 π радиан, где п равно 3,14.

Теперь попытаемся ответить на вопрос, что увидит наблюдатель, вращающийся вместе с исследуемым телом вокруг одной оси с той же угловой скоростью, что и исследуемое тело. С его точки зрения, тело будет выглядеть покоящимся, то есть все действующие на него силы будут находиться в равновесии. При вращении тела пружина растягивается и, следовательно, на него действует упругая сила пружины (см. рис. 1.9). Но с точки зрения вращающегося наблюдателя силу растяжения пружины должна уравновешивать сила, направленная от центра. Эту силу называют центробежной, а действие ее проявляется только во вращающейся системе координат.

Центробежная сила и вес.

Человек на земной поверхности вращается вместе с земным шаром вокруг его оси и, естественно, испытывает на себе действие центробежной силы. Поэтому, интересуясь величиной силы тяжести на поверхности Земли, необходимо всегда принимать во внимание центробежную силу.

Экваториальный радиус Земли равен 6378,14 км, период ее вращения 23 ч 58 мин 4 с. Используя эти значения, получим для центробежной силы, действующей на тело массой 1 кг, величину 0,03 Н. Так как ускорение силы тяжести равно 9,8 м/с2, а следовательно, сила тяжести, действующая на массу в 1 кг, равна 9,8 Н, то отношение центробежной силы на экваторе к силе тяжести равно 1/300. Ввиду малости центробежной силы число 1/300 можно считать отношением центробежной силы к силе земного притяжения.

Известно, что из-за действия центробежной силы поверхность жидкости всегда перпендикулярна к направлению результирующей силы земного притяжения и центробежной силы. В результате этого небесные тела—сгустки жидкой и газообразной материи — при вращении приобретают форму сплюснутого эллипсоида вращения. Такая форма обусловлена в конечном счете наличием центробежной силы.

Сплюснутую форму Земли и других планет можно попытаться объяснить, если предположить, что в начале своего образования они находились в жидком состоянии и вращались с большей скоростью. Однако на вопрос о том, действительно ли планеты в начальном этапе своего образования находились и жидком состоянии, точного ответа дать невозможно.

Исследование 2 ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ И ЕЕ АНОМАЛИИ

Ускорение силы тяжести.

Как и любую другую силу, силу тяжести можно измерить. Однако на практике обычно измеряют ее ускорение. Для этой цели издавна используется метод маятника, основанный на том, что период колебаний маятника пропорционален квадратному корню из отношения его длины к ускорению силы тяжести. Длина маятника должна быть Большой по сравнению с амплитудой его отклонений от положения равновесия. Тогда выполняется условие малости его колебаний, на основании которого получена формула для периода. Однако измерить его длину с большой точностью трудно. Точность 10-8 при измерении 1 м означает, что абсолютная ошибка соизмерима с длиной волны видимого света.

Существует прямой и намного более точный метод определения ускорения силы тяжести, заключающийся в измерении времени падения тела в вакууме. Путь, пройденный телом, измеряют с помощью лазерного луча, время — с помощью атомных часов. Зная соотношение, связывающее высоту и время падения, можно измерить ускорение силы тяжести с точностью до 10-9. Кроме того, с этой целью используется пружинный гравиметр. С его помощью значение силы тяжести измеряется с точностью до 10-8—10-9. В несколько усовершенствованном варианте прибор используют на кораблях для определения ускорения силы тяжести g на морской поверхности.

В табл. 1.1 представлены значения g, полученные этим методом в разных точках земной поверхности. Существует также метод измерения g, в основе которого лежит эффект Мейсснера. Кроме того, значение g можно найти, используя искусственные спутники Земли.
В геофизике в качестве единицы измерения ускорения принят 1 гал, равный 1 см/с². Первоначально единица была на звана «галилео»; в настоящее время употребляется сокращенное название этой единицы «гал». Миллигал равен одной тысячной гала.

¹Эффект этот заключается в следующем. Если над сверхпроводящим кольцом, по которому циркулирует незатухающий ток, поместить сверхпроводящий шарик из ниобия, он повиснет над кольцом без всякой поддержки. Такая «магнитная подушка» возникает благодаря тому, что ток, циркулирующий в кольце, создает магнитное поле, приводящее к появлению в поверхностном слое сверхпроводящего шарика индуцированных незатухающих токов.
Направление их таково, что возникает сила отталкивания наведенного тока и тока в кольце. Шарик повисает в воздухе на высоте, определяемой равенством силы отталкивания и веса шарика.

Ускорение силы тяжести зависит от высоты над уровнем моря. Так, в Кито, расположенном на 0°13′ южной широты, g = 977,26 гал. Это меньше стандартного значения g на экваторе, равного 978,04 гал. Подобное различие объясняется тем, что Кито расположен в Андах на высоте 2815 м над уровнем моря.

Аномалии силы тяжести.

Полезную информацию можно получить, сравнивая значения g в разных точках, расположенных на одной широте, предварительно приведя их к стандартным, отвечающим 0 м над уровнем моря. Отклонения g от стандартного значения называются аномалиями силы тяжести. Эти аномалии возникают по многим причинам. Часто они являются первым признаком залежей полезных ископаемых или месторождений нефти.

Наблюдение за движением искусственного спутника, происходящим под действием силы тяжести, показывает, что ее значение изменяется в широких пределах. Это частично объясняется тем, что вся мантия Земли охвачена медленными вихрями мощных течений. Там, где поднимающееся из недр течение расползается в стороны, разогретые участки коры растягиваются, из-за чего значение g в таких местах будет на несколько миллигал ниже.
Наблюдения, проведенные со спутников, показали, что форма Земли отличается от эллипсоида вращения.
Измерения g в различных точках планеты проводятся в рамках международного сотрудничества, однако некоторые страны предпочитают замалчивать точные значения g на своей территории. Дело в том, что эти сведения чрезвычайно важны для наведения межконтинентальных баллистических ракет на цель, точность попадания которых составляет 100 м.

Рейтинг: 

 (голосов: 0)

1. Плотность планеты

Рассмотрим, как выразить ускорение свободного падения на поверхности планеты и первую космическую скорость для этой планеты через ее радиус R и среднюю плотность ρ. (Средняя плотность планеты равна отношению массы планеты к ее объему.)

? 1. Выразите массу планеты M через ее радиус R и среднюю плотность ρ.

? 2. Чему равно ускорение свободного падения g на поверхности планеты радиусом R, имеющей среднюю плотность ρ?

Подсказка. Воспользуйтесь формулой (8) из в § 14, заменив массу и радиус Земли на массу и радиус данной планеты.

? 3. Вблизи поверхности планеты-гиганта Юпитер (на рисунке 18.1 Юпитер изображен в одном масштабе с Землей) ускорение свободного падения в 2,6 раза больше, чем вблизи поверхности Земли. Радиус Юпитера примерно в 11 раз больше радиуса Земли. Какова средняя плотность Юпитера?

? 4. На планете радиусом 3400 км камень падает с обрыва высотой 200 м в течение 10 с. Чему равна средняя плотность планеты? Считайте, что сопротивлением атмосферы планеты можно пренебречь.

? 5. Чему равна первая космическая скорость для планеты радиусом R со средней плотностью ρ?

Подсказка. Воспользуйтесь формулой (10) из § 14, заменив радиус Земли и ускорение свободного падения на поверхности Земли на массу данной планеты и ускорение свободного падения на ее поверхности.

А сейчас мы получим несколько неожиданный результат.

? 6. Чему равен период T обращения спутника по низкой круговой орбите вокруг планеты радиусом R со средней плотностью ρ? (В таком случае радиус орбиты можно считать равным радиусу планеты.)

Итак, период обращения спутника на низкой круговой орбите зависит только от средней плотности планеты!

? 7. Астронавты облетели три планеты А, Б и В на низких круговых орбитах с выключенным двигателем. Время облета каждой из планет составило: T_А = 55 мин, T_Б = 106 мин, T_В = 72 мин. У какой из этих планет наибольшая средняя плотность? У каких из этих планет средняя плотность больше средней плотности Земли? Напомним, что период обращения искусственного спутника Земли на низкой орбите 85 мин.

2. Учет вращения планеты вокруг своей оси

Геостационарная орбита

Телевизионные программы передают в разные точки Земли с помощью спутников связи (рис. 18.2), которые движутся по круговым орбитам.

Сигнал со спутника принимает укрепленная на стене или крыше дома спутниковая антенна. Она направлена постоянно на одну и ту же точку небосвода, поэтому спутник связи должен постоянно «висеть» над одной и той же точкой поверхности Земли.

? 8. Чему равен период одного оборота спутника связи?

Орбиту, по которой движется спутник, находящийся постоянно над одной и той же точкой поверхности Земли, называют геостационарной. Она лежит в экваториальной плоскости Земли (так называют плоскость, в которой лежит экватор).

? 9. Выразите радиус rгс геостационарной орбиты через ускорение свободного падения g вблизи поверхности Земли, радиус Земли и продолжительность суток T.

Подсказка. Запишите уравнение второго закона Ньютона для спутника связи, выразив в нем гравитационную постоянную G через g, MЗем, Rзем.

? 10. Чему равен радиус геостационарной орбиты? На какой высоте над поверхностью Земли находится эта орбита?

Выполнив это задание, вы оцените уровень современной техники: спутниковая антенна устойчиво принимает сигнал с расстояния в десятки тысяч километров!

Вес тела на полюсе и на экваторе

Вследствие вращения планеты вокруг своей оси (его называют суточным) вес одного и того же тела на экваторе планеты меньше, чем на ее полюсе. Выясним, от чего зависит разность значений веса на экваторе и на полюсе.

Пусть тело покоится на поверхности шарообразной планеты вблизи ее полюса. В этом случае вес тела

P_П = mg,     (1)

где g – ускорение свободного падения.

Чтобы найти вес тела на поверхности планеты вблизи экватора, надо учесть суточное вращение планеты.

Вследствие этого вращения находящееся на экваторе тело равномерно движется по окружности относительно инерциальной системы отсчета, связанной с удаленными звездами (рис. 18.3). Радиус окружности равен радиусу планеты R, а период обращения T равен продолжительности суток.

Вследствие суточного вращения планеты находящееся на ее экваторе тело движется относительно инерциальная центростремительным ускорением

Это ускорение направлено к центру планеты, то есть вниз. А если тело движется с ускорением , направленным вниз, вес этого тела выражается формулой (см. § 16):

P_Э = m(g – a).

? 11. Чему равно уменьшение веса тела массой m на экваторе шарообразной планеты радиусом R по сравнению с его весом на полюсе, если период обращения планеты равен T?

? 12. С помощью каких весов можно обнаружить уменьшение веса тела на экваторе – рычажных, в которых используются гири, или пружинных, когда вес тела измеряют по удлинению пружины?

? 13. Каково обусловленное суточным вращением Земли уменьшение веса корабля массой 40000 т при переходе его из приполярной области в экваториальные воды? Уменьшается ли при этом масса корабля?

? 14. На сколько процентов уменьшается вес тела вследствие суточного вращения Земли при перемещении его с полюса Земли на экватор?

Существует еще одна причина уменьшения веса тела на экваторе Земли по сравнению с весом на полюсе.

Дело в том, что Земля немного сплюснута у полюсов – расстояние между Северным и Южным полюсами (по прямой сквозь Землю) примерно на 43 км меньше, чем расстояние между диаметрально противоположными точками экватора Земли. Вследствие этого на полюсе находящаяся на уровне моря точка расположена примерно на 21,5 км ближе к центру Земли, чем точка на экваторе.

Общее уменьшение веса, обусловленное суточным вращением и сплюснутостью Земли, составляет примерно 0,5 %.

? 15. Каким должен быть период обращения шарообразной планеты массой M и радиусом r вокруг своей оси, чтобы находящиеся на ее экваторе тела находились в состоянии невесомости?

? 16. При какой продолжительности земных суток тела на земном экваторе были бы в состоянии невесомости?

Дополнительные вопросы и задания

17. Сорвавшийся с обрыва на некоторой планете камень падал с высоты h в течение времени t. Радиус планеты равен R. Чему равна масса планеты M?

18. Высадившийся на планету радиусом R астронавт бросает камешки с начальной скоростью v₀ под разными углами к горизонту. Чему равна средняя плотность планеты, если все камешки упали на расстоянии от космонавта, не превышающем l?

19. Космонавты высадились на экваторе шарообразной малой планеты. Средняя плотность планеты ρ, радиус R, продолжительность суток T.
а) Чему равна скорость точек поверхности планеты на экваторе?
б) Чему равна первая космическая скорость для этой планеты?
в) С какой скоростью космонавты могут ехать на гусеничном вездеходе вдоль экватора по направлению суточного вращения планеты, не отрываясь от ее поверхности?

20. Над находящейся на экваторе Земли африканской деревней 2 раза в сутки – в полдень и в полночь – пролетают одновременно два искусственных спутника, А и Б. Орбиты спутников лежат в экваториальной плоскости, спутник А движется на восток, а Б – на запад.
а) Какой спутник движется в направлении суточного вращения Земли, а какой – в противоположном?
б) Чему равен период обращения каждого спутника?
в) Каковы радиусы орбит спутников?

21. Космический корабль массой 10 т должен постоянно находиться в точке, где силы притяжения со стороны Земли и Луны уравновешивают друг друга. Примите, что Землю можно считать неподвижной, а расстояние от Земли до Луны постоянным.
а) Как направлена сила тяги двигателя корабля?
б) Выразите расстояние r от Земли до корабля через массу Земли M_Зем массу Луны M_Л и расстояние R_ЗЛ от Земли до Луны.
в) Чему равна сила тяги двигателя корабля?