Как найти вершину кубической функции

Понятие вершины параболы

Парабола – это геометрическое множество точек, которые равноудалены от точки F, и которая не является частью параболы и прямой, а также не проходит через центр отрезка.

Вершина параболы — это некая точка, которая расположена ближе всего в директрисе параболы. Данная точка является центром любого отрезка, который ограничен точками фокуса параболы и директрисой.

Данное уравнение будет справедливо только для параболы, вершина которой проходит через центр осей.

Чтобы определить принадлежность точки к графику заданной параболы, нужно точку подставить в уравнение:

[y=a x^{2}+b x+c]

где:

• a, b, c — заданные коэффициенты;
• х — ось координатной прямой.

Определение вершины кубической параболы

Ее каноническое уравнение в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид у = ах³, где а ≠ 0.

Для кубической параболы характерен центр симметрии в самом начале координат. Данная точка является точкой перегиба кривой. Касательная к кубической параболе, в этой же точке именуется как ось абсцисс.

Для того, чтобы определить точки вершин кубической параболы, нужно вычислить ее производную. Точки вершин, иначе еще называют точками минимума и максимума.

После того, как определится производная, нужно ее значение приравнять к нулевому. Затем можно приступать к вычислению значений x и y.

Определение вершин параболы, которая задана квадратичной функцией

Квадратичная функция вида: [y=a x^{2}+b x+c] очень часто используется для того, чтобы задать значения  параболы.

Вершина такой функции, всегда находится в произвольной точке.

В технических науках не существует единой формулы, чтобы вычислить сразу две вершины параболы. Однако, довольно легко определяются координаты вершины, по уже упомянутому уравнению.

Алгоритм решения задач по определению точек вершин параболы

1. Необходимо выписать коэффициенты a, b, c по условию заданного уравнения. При условии, что коэффициент а будет иметь положительное значение, можно сделать вывод: ветви параболы направлены вверх. Следовательно, если значение отрицательное, то ветви будут направлены вниз.
2. Вторым действием определяется абсцисса вершины параболы.
   (x) по следующей формуле [x=-frac{b}{2 a}], для этого  необходимо применить коэффициенты  a, b, c из заданного по заданию уравнения.
3. Найденное значение x нужно подставить в уравнение, решить его, и тем самым будет выполнен окончательный расчет.
4. В ответ записать найденные координаты вершин параболы x и y.

Пример решения уравнения параболы

Рассмотрим подробно на примере, решение задач данной категории.

Запишем данное уравнение следующего вида: [y=x^{2}-5 x+7].

Воспользуемся алгоритмом решения, и выполним следующие действия:

1. Зададим коэффициенты параболы. Они равны следующим значениям: a=1, b=-5, с=7.
2. Чтобы вычислить вершину x параболы, нужно известные коэффициенты a=1, b=-5 подставить в формулу: [x=-frac{b}{2 a}=frac{-5}{2}=2,5].
3. Вычисленное значение х, нужно подставить в исходное уравнение: [y=2,5^{2}-5 cdot 2,5+7=0,75]
4. Координаты вершины параболы будут равняться следующим значения: (0,75 и 2,5).

Кубической
называется функция, заданная
формулой где а ≠ 0

I.
Частным случаем кубической функции является функция , здесь
a = 1, b
= c = d
= 0.

Графиком
кубической функции y
= x³
 является кубическая парабола с вершиной в точке (0;0),
проходящая через точки (1;1), (-1;-1), (2;8), (-2;-8) (запомнить
эти точки), располагается в I
и III четвертях.

1) Область определения функции — множество всех
действительных чисел:  D(y)=(−; +).

2) Область значений функции – множество всех действительных
чисел:  Е(y) = (−; +).

3) y(-x) = (-x)³
= — x³ = — y(x). Значит, кубическая функция является нечётной, её  график
симметричен относительно начала координат, т.е. точки (0;0).

4) Функция возрастает при х  (−; + ).

II.
Кубическая функция , здесь
 a ≠ 0

Графиком
кубической функции y
= ax³
 является кубическая парабола с вершиной в точке (0;0),
проходящая через точки (1;1a),
(-1;-1a), (2;8a),
(-2;-8a)), располагается в I
и III четвертях, если a>0,
и во II и IV четвертях, если a<0.

1) Область определения функции — множество всех
действительных чисел:  D(y)=(−; +).

2) Область значений функции – множество всех действительных
чисел:  Е(y) = (−; +).

3) y(-x) = a(-x)³
= — ax³ = — y(x). Значит, кубическая функция является нечётной, её  график
симметричен относительно начала координат, т.е. точки (0;0).

4) При a>0
функция возрастает при х  (−; + ).

    При a<0,
функция убывает при    х  (−; + ).

III.
Кубическая функция  

Графиком
кубической функции  является
кубическая парабола с вершиной в точке (m;0).
График функции  получается
из графика функции  смещением
вдоль оси Ox на m
единиц .

1) Область определения функции — множество всех
действительных чисел:  D(y)=(−; +)

.

2) Область значений функции – множество всех действительных
чисел:  Е(y) = (−; +).

3) y(-x) = a(-x — m)³ = — a(x + m)³ ≠
y(x) ≠  — y(x). Значит, данная
кубическая функция не является ни чётной, ни нечётной.

4) При a>0
функция возрастает при х  (−; + ).

    При a<0,
функция убывает при х  (−; + ).

IV.
Кубическая функция  

Графиком
кубической функции  является
кубическая парабола с вершиной в точке (0; n).
График функции  получается
из графика функции  смещением
вдоль оси Oy на n
единиц .

1) Область определения функции — множество всех
действительных чисел:  D(y)=(−; +)

.

2) Область значений функции – множество всех действительных
чисел:  Е(y) = (−; +).

3) y(-x) = a(-x)³ + n = — ax³ + n ≠
y(x) ≠  — y(x). Значит,
данная кубическая функция не является ни чётной, ни нечётной.

4) При a>0
функция возрастает при х  (−; + ).

    При a<0,
функция убывает при х  (−; + ).

V.
Кубическая функция  

Графиком
кубической функции  является
кубическая парабола с вершиной в точке (m;
n). График функции  получается
из графика функции  смещением
вдоль оси Оx на
m единиц,
а вдоль оси Oy на n
единиц .

1) Область определения функции — множество всех действительных
чисел:  D(y)=(−; +)

.

2) Область значений функции – множество всех действительных
чисел:  Е(y) = (−; +).

3) y(-x) = a(-x)³ + n = — ax³ + n ≠
y(x) ≠  — y(x). Значит,
данная кубическая функция не является ни чётной, ни нечётной.

4) При a>0
функция возрастает при х  (−; + ).

    При a<0,
функция убывает при х  (−; + ).

Кубическая парабола задается функцией  y=x³

График кубической функции называется куби́ческой пара́болой. В литературе часто встречаются альтернативные определения кубической параболы как графика функции или
Перечислим основные свойства функции
1.Область определения – любое действительное число:.

2.Область значений – любое действительное число:.

3.Функция  является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием .
Производная кубической функции имеет вид . В случае, когда дискриминант полученного квадратного уравнения больше нуля, оно имеет два различных решения, которые соответствуют критическим точкам функции . При этом, одна из этих точек является точкой локального минимума, а другая точкой локального максимума. Равенство нулю второй производной определяет точку перегиба .

Как построить график кубических функций вида (y = a (x − h)3 + k). В этой статье мы покажем как построить график кубических функций путем построения точек. Общая формула кубической функции:

 где (a, b, c) и (d) являются действительными числами  и  (a) не равно нулю.

Построим график кубических функций путем построения точек.

Пример 1. Постройте график (y = x^3 + 3) на промежутке (-3 ≤ x ≤ 3).

Решение. 

• Выберем произвольные точки (x ) и посчитаем соответсвующие им значения (y):

• Построим точки из таблицы и плавно соединим их:

Пример 2. Постройте график (y = x^3-9x + 5) на промежутке (-4 ≤ x ≤ 4):

Решение.  Строим график аналогично первому примеру:

1) когда  (x = 1.6, ;y≈ –5.3)

2) когда (y = 12, ;x ≈ –0.8 )  или  ( x ≈ –2.5)

Теперь выведем правила построения графиков кубических функций вида (y = a (x − h)^3 + k).

• Если (k > 0), то график сдвигается на  (k) единиц вверх; если (k < 0), то график сдвигается на (k) единиц вниз.
• Если (h > 0),то график сдвигается  на (h) единиц вправо; если (h < 0), то график смещается на (h) единиц влево.
• Если (a < 0), график переворачивается.