Как найти величину центрального угла в многоугольнике

From Wikipedia, the free encyclopedia

A central angle is an angle whose apex (vertex) is the center O of a circle and whose legs (sides) are radii intersecting the circle in two distinct points A and B. Central angles are subtended by an arc between those two points, and the arc length is the central angle of a circle of radius one (measured in radians).^[1] The central angle is also known as the arc’s angular distance. The arc length spanned by a central angle on a sphere is called spherical distance.

The size of a central angle Θ is 0° < Θ < 360° or 0 < Θ < 2π (radians). When defining or drawing a central angle, in addition to specifying the points A and B, one must specify whether the angle being defined is the convex angle (<180°) or the reflex angle (>180°). Equivalently, one must specify whether the movement from point A to point B is clockwise or counterclockwise.

Formulas[edit]

If the intersection points A and B of the legs of the angle with the circle form a diameter, then Θ = 180° is a straight angle. (In radians, Θ = π.)

Let L be the minor arc of the circle between points A and B, and let R be the radius of the circle.^[2]

If the central angle Θ is subtended by L, then

If the central angle Θ is not subtended by the minor arc L, then Θ is a reflex angle and

If a tangent at A and a tangent at B intersect at the exterior point P, then denoting the center as O, the angles ∠BOA (convex) and ∠BPA are supplementary (sum to 180°).

Central angle of a regular polygon[edit]

A regular polygon with n sides has a circumscribed circle upon which all its vertices lie, and the center of the circle is also the center of the polygon. The central angle of the regular polygon is formed at the center by the radii to two adjacent vertices. The measure of this angle is

See also[edit]

• Inscribed angle
• Great-circle navigation

References[edit]

External links[edit]

• «Central angle (of a circle)». Math Open Reference. 2009. Retrieved December 30, 2013. interactive
• «Central Angle Theorem». Math Open Reference. 2009. Retrieved December 30, 2013. interactive
• Inscribed and Central Angles in a Circle

Угол AOB — это центральный угол

A центральный угол — это угол, вершина (вершина) которого является центром O окружности, а стороны (стороны) равны радиусам, пересекающий круг в двух различных точках A и B. Центральные углы стянуты дугой между этими двумя точками, а длина дуги равна центральный угол окружности радиуса один (измеряется в радианах ). Центральный угол также известен как угловое расстояние.

дуги. Размер центрального угла Θ составляет 0 ° < Θ < 360° or 0 < Θ < 2π (radians). When defining or drawing a central angle, in addition to specifying the points A and B, one must specify whether the angle being defined is the convex angle (<180°) or the reflex angle (>180 °). Равным образом необходимо указать, будет ли движение от точки A к точке B по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Содержание

• 1 Формулы
• 2 Центральный угол правильного многоугольника
• 3 См. Также
• 4 Ссылки
• 5 Внешние ссылки

Формулы

Если точки пересечения А и В сторон угла с окружностью образуют диаметр, тогда Θ = 180 ° — это прямой угол. (В радианах Θ = π.)

Пусть L будет вспомогательной дугой окружности между точками A и B, и пусть R будет радиусом окружности круг.

Центральный угол. Выпуклый. Подчиняется малой дугой L

Если центральный угол Θ ограничен L, то

0 ∘ < Θ < 180 ∘, Θ = ( 180 L π R) ∘ = L R. {displaystyle 0^{circ }<Theta <180^{circ },,,,Theta =left({frac {180L}{pi R}}right)^{circ }={frac {L}{R}}.}

Доказательство (для градусов): длина окружности с радиусом R равна 2πR, а малая дуга L представляет собой (Θ / 360 °) пропорциональную часть всей окружности (см. arc ). Итак:

L = Θ 360 ∘ ⋅ 2 π R ⇒ Θ = (180 L π R) ∘. { displaystyle L = { frac { Theta} {360 ^ { circ}}} cdot 2 pi R , Rightarrow , Theta = left ({ frac {180L} { pi R} } right) ^ { circ}.}

Центральный угол. Рефлекс. Не подтверждается L

Доказательство (для радиан): длина окружности окружности с радиусом R равна 2πR, а малая дуга L является (Θ / 2π) пропорциональной частью всей окружности ( см. arc ). Итак,

L = Θ 2 π ⋅ 2 π R ⇒ Θ = L R. { displaystyle L = { frac { Theta} {2 pi}} cdot 2 pi R , Rightarrow , Theta = { frac {L} {R}}.}

Если центральный угол Θ, а не, под которым проходит вспомогательная дуга L, тогда Θ является углом отражения и

180 ∘ < Θ < 360 ∘, Θ = ( 360 − 180 L π R) ∘ = 2 π − L R. {displaystyle 180^{circ }<Theta <360^{circ },,,,Theta =left(360-{frac {180L}{pi R}}right)^{circ }=2pi -{frac {L}{R}}.}

Если касательная в точке A и касательная в точке B пересекаются во внешней точке P, затем обозначая центр как O, углы ∠BOA (выпуклый) и ∠BPA являются дополнительными (в сумме до 180 °).

Центральный угол правильного многоугольника

A правильный многоугольник с n сторонами имеет описанную окружность, на которой лежат все его вершины, и центр окружности также является центром многоугольника. Центральный угол правильного многоугольника образован в центре радиусами двух соседних вершин. Измерение этого угла составляет 2 π / n. { displaystyle 2 pi / n.}

См. также

Ссылки

Внешние ссылки

• «Центральный угол (круга) «. Открытый справочник по математике. 2009. Получено 30 декабря 2013 г. интерактивный
• «Теорема о центральном угле». Открытый справочник по математике. 2009 г. Получено 30 декабря 2013 г. интерактивный
• Вписанные и центральные углы в круге