Как найти векторы в правильном шестиугольнике

Задача 53595 ABCDEF — правильный шестиугольник, АВ =.

Условие

ABCDEF — правильный шестиугольник, АВ = р, ВС = q. Выразить через р и q векторы CD, DE, EF, FA, АС, AD, АЕ.

Решение

1)
vector=-vector=-vector

2)
vector=-vector=-vector
3)
vector+vector+vector =vector
vector=2 vector =2 vector

vector =vector-vector-vector=2 vector -vector-vector= vector -vector= vector -vector

4)
vector+vector+vector =vector
vector=2 vector=2 vector

vector=vector-vector-vector =2 vector-vector-vector =vector-vector =vector

-vector

vector =-vector можно и так

5)
vector=2 vector =2 vector

6)
vector+vector=vector
vector =vector

+vector

Элементы векторной алгебры. Понятия связанного и свободного векторов

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемешаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрещенными векторами.

На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1). Рис.3 Рис. 1 В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым. Определение. Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис.2). Обозначение: А В = CD. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Понятия связанного и свободного векторов

Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины. Пример. Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны, р Укажем некоторые свойства равных связанных векторов: 1.

Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ. Если Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы CD = АВ. Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис.5). Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе.

Ясно, что свободный вектор А В однозначно определяется заданием связанного вектора АВ. Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6). Рис. 6 Рис. 4 Связанные и скользящие векторы широко используются п теоретической механике.

Для обозначения свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, Ь, с. ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой & АВ = а (рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для кото- РИС 7 рого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А. Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания,равнымеждусобойи,значит,имеютодинаковуюдлину. Этопозволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а|.

Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = Ь, то |а| = |Ь|; обратное неверно. §2. Линейные операции над векторами 2.1. Сложение векторов Пусть заданы два вектора а и Ь. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: OA = а. От полученной точки А отложим вектор I»: АВ = Ь. Полученный в результате вектор оЪ называется суммой векторов а и b и обозначается через а + Ь (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство (рис.9). Если отложить векторы а и I» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор ОЙ, идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + Ь (или b + а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма. Рис.9 Рис. ю ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Линейные операции над векторами

Умножение вектора на число Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: OA = а; от полученной точки А отложим вектор b: АВ = Ь; отточки В — вектор с: ВС = с (рис. 11). По определению суммы оЪ = а + b и ОС = (а + Ь) + с (рис. 12). С другой стороны, ЛС = b + с и, значит, О? = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так: Рис. 12

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов: Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную. Пример. Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины. По правилу замыкающего ломаную получаем (рис. 15). Рис. 15 2.2.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Умножение вектора на число Определение. Свободные векторы а и Ь называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16). Обозначение: а |) Ь. Замечание. И э определения следует, чтоесли хотя бы один из векторов а и Ь нулевой, то они коллинсарны. Если отложить К9ллинеарн<>1е векторы а и Ь от обшей точки О, OA = a, OB — I), то точки О, A w В будут лежать на одной прямой.

При этом возможны два случая: точки

А и Я располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, А 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными. Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, Л — вещественное число.

Определение. Произведением вектора а на число А называется вектор 1> такой, что 2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если А > 0 (соответственно, А 0). Обозначение: b = Аа. При Л = 0 положим Ла = О. Таким образом, векторы а и b = Аа коллинеарны по определению. Верной обратное: если векторы а (и Ф 0) и b коллинеарны, то можно найти число А такое, что 1х = Аа. Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число:

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Понятия связанного и свободного векторов. Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число (здесь А и ц — любые действительные числа, н и I) — произвольные векторы). Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а0 (читается: а с нуликом), |а°| = 1. Если а Ф 0, то вектор есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Дан правильный шестиугольник ABCDEF. Выразите векторы ВС и BD через векторы АВ = а и AF = b.

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,277
• гуманитарные 33,618
• юридические 17,900
• школьный раздел 606,929
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

План урока:

Понятие векторов в пространстве

Операции над векторами

Компланарные векторы

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Понятие вектора в пространстве

Напомним, что в курсе планиметрии мы уже подробно изучали вектора и действия с ними. При этом предполагалось, что все вектора располагаются в одной плоскости. Однако можно расширить понятие вектора так, чтобы они использовались и в стереометрии. В таком случае вектора уже могут располагаться в различных плоскостях.

Начнем с определения вектора:

Конец вектора обозначают с помощью стрелки. Посмотрим на рисунок:

Здесь показаны сразу три вектора:

У вектора АВ начало находится в точке А, а конец – в точке В. Аналогично у вектора СD точка С – это начало, а D – это конец. В обоих случаях начало и конец – это различные точки, поэтому АВ и CD именуют ненулевыми векторами. Если же начало и конец находятся в одной точке, например в Т, то получается нулевой вектор ТТ. Всякую точку в пространстве можно рассматривать как нулевой вектор:

Длина вектора АВ – это длина соответствующего ему отрезка АВ. Для обозначения длины используют квадратные скобки:

Естественно, что нулевой вектор имеет нулевую длину.

Далее напомним понятие коллинеарных векторов:

Коллинеарные вектора могут быть либо сонаправленными, либо противоположно направленными. Сонаправленные вектора находятся на сонаправленных лучах. Рассмотрим пример с кубом:

Здесь показаны вектора AD и ВС. Они сонаправленные, этот факт записывается так:

Вектора AD и FE располагаются на скрещивающихся прямых, поэтому они не коллинеарны. Их нельзя считать ни сонаправленными, ни противоположно направленными.

Сонаправленные вектора, имеющие одинаковую длину, именуются равными.

Рассмотрим несколько простейших задач.

Задание. В прямоугольном параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ известны три его измерения:

Решение. Для нахождения длин этих векторов достаточно вычислить длину отрезков СВ, DB и DB₁. Проще всего вычислить СВ, ведь отрезки СВ и AD одинаковы как стороны прямоугольника АВCD:

Задание. На рисунке показан правильный тетраэдр АВСD. Точки M, N, P и Q являются серединами тех сторон, на которых они располагаются. Какие вектора из отмеченных на рисунке равны между собой?

Решение. Легко заметить, что вектора DP и PC находятся на одной прямой DC и сонаправлены, при этом их длина одинакова, ведь Р – середина DC. Тогда эти вектора по определению равны:

Вектора АМ и МВ также коллинеарны и имеют одинаковую длину, но они противоположно направлены, а потому равными не являются.

Теперь заметим, что отрезки MN, MQ, PQ и NP – это средние линии в ∆ABD, ∆АВС, ∆BCD и ∆ACD соответственно. По свойству средней линии получаем, что MN||BD, PQ||BD, MQ||АС и NP||АС. Отсюда по свойству транзитивности параллельности получаем, что MN||PQ и MQ||NP. Это значит, что четырехугольник MQPN – это параллелограмм, а у него противоположные стороны одинаковы:

Операции над векторами

Правила сложения векторов в стереометрии не отличаются от правил в планиметрии. Пусть надо сложить два вектора, а и b. Для этого отложим вектор а от какой-нибудь точки А, тогда его конец окажется в некоторой точке В. Далее от В отложим вектор b, его конец попадет в какую-то точку С. Тогда вектор АС как раз и будет суммой a и b:

Такой метод сложения векторов именуется правилом треугольника. Если нужно сложить больше двух векторов, то используют правило многоугольника. В этом случае необходимо каждый следующий вектор откладывать от конца предыдущего. При этом в стереометрии вектора могут располагаться в различных плоскостях, то есть они на самом деле многоугольник не образуют:

Напомним, что в планиметрии существовали так называемые противоположные вектора. Есть они и в стереометрии:

Главное свойство противоположных векторов заключается в том, что в сумме они дают нулевой вектор:

Заметим, что для получения противоположного вектора достаточно поменять его начало и конец, то есть в записи вектора обозначающие его буквы надо просто записать в обратном порядке:

C помощью противоположного вектора легко определить операцию вычитания векторов. Чтобы из вектора а вычесть вектор b, надо всего лишь прибавить к a вектор, противоположный b:

Далее рассмотрим умножение вектора на число. Пусть вектор а умножается на число k. В результате получается новый вектор b, причем

1) b и a будут коллинеарными векторами;

2) b будет в k раз длиннее, чем вектор a.

Если k – положительное число, то вектора a и b будут сонаправленными. Если же k< 0, то a и b будут направлены противоположно.

Уточним, что если |k| < 1, то фактически b будет не длиннее, а короче вектора a. Наконец, если k = 0, то и b будет иметь нулевую длину, то есть b окажется нулевым вектором.

Задание. Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁. Постройте вектор, который будет являться суммой векторов:

Решение. В каждом случае необходимо заменить один из векторов в сумме на другой равный ему вектор так, чтобы можно было применить правило треугольника.

В задании а) вектор А₁D₁ заменить равным ему вектором ВС. В итоге получится вектор АС.

В задании б) заменяем АD₁ на вектор ВС₁. Также можно было бы заменить АВ на D₁C₁. В обоих случаях сумма окажется равной АС₁.

В задании в) удобно DA заменить на C₁В₁, тогда искомой суммой будет вектор С₁В.

В задании г) производим замену DD₁ на равный ему вектор BB₁. Тогда сумма DB и BB₁– это вектор DB₁.

В задании д) необходимо заменить ВС на В₁С₁. В итоге получаем вектор DC:

Задание. В пространстве отмечены точки А, В, С и D. Выразите вектор АВ через вектора:

Решение. В случае а) сначала запишем очевидное равенство векторов, вытекающее из правило многоугольника:

Обратите внимание, что здесь у каждого следующего слагаемого начальная точка совпадает с конечной точкой предыдущего слагаемого, поэтому равенство и справедливо:

Однако по условию а) нам надо использовать другие вектора для выражения АВ. Мы можем просто заменить вектора CD и DB на противоположные:

Теперь можно составить и выражение для АВ:

Аналогично решаем и задания б) и в):

Задание. Р – вершина правильной шестиугольной пирамиды. Докажите, что сумма векторов, совпадающих с ребрами этой пирамиды и начинающихся в точке Р, в точности равна сумме векторов, которые совпадают с апофемами пирамиды и при этом также начинаются в точке Р.

Решение. Обозначим вершины буквами А₁, А₂, … А₆, а середины сторон шестиугольника, лежащего в основании, буквами Н₁, Н₂, … Н₆, как это показано на рисунке:

Нам надо показать, что сумма красных векторов равна сумме черных векторов:

Теперь отдельно построим правильный шестиугольник, лежащий, в основании пирамиды:

Ясно, что вектора, образованные сторонами этого шестиугольника, в сумме дают нулевой вектор (по правилу многоугольника):

Так как точки Н₁, Н₂, … Н₆ – середины сторона, то вектора Н₆А₆, Н₅А₅,…Н₁А₁ будут вдвое короче векторов А₁А₆, А₆А₅, … А₂А₁. При этом они находятся на одних прямых, поэтому справедливы равенства:

Таким образом нам удалось из верного равенства (3) доказать (2), из которого в свою очередь следует справедливость и (1), ч. т. д.

Задание. Упростите выражения:

Решение. Здесь надо просто применить законы сложения и умножения векторов, как это делалось и в курсе планиметрии. Сначала раскрываем скобки, а потом приводим подобные слагаемые:

Компланарные векторы

Если мы отложим несколько векторов от одной точки, то они либо будут находиться в одной плос-ти, либо располагаться в различных плос-тях. В первом случае их именуют компланарными векторами, а во втором – некомпланарными.

Любые два вектора будут компланарны, ведь при их откладывании от одной точки мы получаем две пересекающихся прямых, а через них всегда можно провести плос-ть. Однако если векторов более двух, то они могут быть как компланарны, так и некомпланарны.

Рассмотрим для примера параллелепипед:

Здесь вектора АС, АВ и АD компланарны, так как все они принадлежат одной грани (то есть плос-ти) АВСD. А вектора АВ, АD и АА₁ некомпланарны, ведь через них нельзя провести одну плос-ть.

Очевидно, что если из трех векторов любые два коллинеарны, то вся тройка векторов компланарна, ведь при откладывании векторов от одной точки коллинеарные вектора окажутся на одной прямой.

Существует признак компланарности векторов:

Напомним, что подразумевается под разложением вектора. Пусть есть вектора а, b и c. Если существуют такие числах и y, при которых выполняется равенство

то говорят, что вектор с разложен по векторам а и b, причем числа xи y называются коэффициентами разложения.

Докажем сформулированный признак. Пусть есть три вектора а, b и c, а также числа xи y, такие, что

Эти вектора находятся в одной плос-ти ОАВ. Теперь от той же точки О отложим вектора ха и уb, концы которых окажутся в точках А₁ и В₁:

Естественно, что вектора ОА₁ и ОВ₁ также окажутся в плос-ти ОАВ. Тогда и их сумма будет принадлежать этой плос-ти, а эта сумма как раз и есть вектор с:

В итоге получили, что а, b и с располагаются в одной плос-ти, то есть они компланарны.

Справедливо и обратное утверждение. Если вектора а, b и с компланарны, но а и b неколлинеарны, то вектор с можно разложить на вектора a и b. Это утверждение прямо следует из изученной в 9 классе теоремы о разложении векторов. Важно отметить, что коэффициенты такого разложения определяются однозначно.

Для сложения тройки некомпланарных векторов можно применить так называемое правило параллелепипеда. Если есть три некомпланарных вектора, то можно отложить их от одной точки О и далее построить параллелепипед, в котором эти вектора будут ребрами. Тогда диагональ этого параллелепипеда, выходящая из точки О, и будет суммой этих трех векторов:

Разложение вектора на некомпланарные вектора

Иногда вектор можно разложить не на два, а на три вектора. Выглядит такое разложение так:

Для доказательства рассмотрим три некомпланарных вектора а, bи c, а также произвольный вектор р. Отложим их от одной точки О. Обозначим концы этих векторов большими буквами А, В, С и Р:

Через ОВ и ОА можно провести некоторую плос-ть α. Точка С ей принадлежать не может, ведь ОА, ОВ и ОС – некомпланарные вектора. Проведем через Р прямую, параллельную ОС. Так как ОС пересекает α, то и параллельная ей прямая также пересечет α в некоторой точке Р₁. (Примечание. Если Р принадлежит α, то точки Р и Р₁ совпадут, то есть вектор Р₁Р будет нулевым).

Далее через точку Р₁ в плос-ти α проведем прямую, параллельную ОВ, которая пересечет ОА в точке Р₂. Заметим, что вектор ОР₂ находится на той же прямой, что и вектор ОА, то есть они коллинеарны, поэтому существует такое число х, что

Итак, мы показали, что у произвольного вектора p есть разложение на заранее заданные некомпланарные вектора. Осталось показать, что существует только одно такое разложение. Докажем это методом от противного. Пусть есть второе разложение с другими коэффициентами х₁, у₁ и z₁:

В правой части находятся три вектора, которые в сумме нулевой вектор. По правилу сложения векторов это означает, что эти вектора образуют треугольник, то есть находятся в одной плос-ти:

Значит, они компланарны. Тогда компланарны и вектора a, b и с, что противоречит условию теоремы. Значит, второго разложения р на заданные некомпланарные векторы не существует, ч. т. д.

Задание. АВСD и А₁В₁С₁D₁ – параллелограммы, располагающиеся в разных плос-тях. Докажите, что тройка векторов ВВ₁, СС₁ и DD₁ компланарна.

Решение. Сначала построим рисунок по условию задачи:

Для доказательства используем признак компланарности векторов. Для этого надо один из векторов, отмеченных на рисунке красным, разложить на два других вектора.

В результате нам удалось разложить СС₁ на вектора BB₁ и CC₁. Значит, эти три вектора коллинеарны.

Задание. В параллелепипеде АВСDA₁B₁C₁D₁ запишите разложение вектора BD₁ по векторам ВА, ВС и ВВ₁.

Решение. Сначала представим вектор BD₁ как сумму трех векторов:

Теперь заметим, что вектора С₁D₁ и ВА соответствуют ребрам параллелепипеда. Эти ребра одинаковы по длине и параллельны, поэтому и вектора будут равными. Аналогично равны вектора СС₁ и ВВ₁:

Задание. АВСD – тетраэдр, а точка К делит его ребро ВС пополам. Разложите вектор DK по векторам DA, AB и AC.

Решение. Сначала запишем очевидное выражение для вектора DK:

Задание. В точке М пересекаются медианы треугольника АВС, а О – произвольная точка в пространстве. Разложите вектор ОМ по векторам ОА, ОВ и ОС.

Решение. Медиану, проходящую через точку А, мы обозначим как АА₁, то есть А₁ – это середина отрезка ВС. Также буквой К обозначим середину ОВ:

Сначала разложим вектор ОА₁ на ОВ и ОС. Это можно сделать, ведь они компланарны. КА₁ – это средняя линия ∆ОСВ, поэтому КА₁||ОС и КА₁ вдвое короче ОС. Это значит, что

Так как АА₁ – медиана, то точка М делит ее в отношении 2:1. Отсюда вытекает следующее соотношение:

Только что решенная задача может быть использована и при решении другого, более сложного задания.

Задание. Докажите, что в параллелепипеде АВСDА₁В₁С₁D₁ плос-ти А₁ВD и СB₁D₁ делят диагональ АС₁ на три равных отрезка.

Решение. Обозначим точкой K точку пересечения медиан ∆А₁ВD. Тогда по формуле, выведенной в предыдущей задаче, мы получаем, что

Это соотношение означает, что вектора АК и АС₁ коллинеарны, поэтому они располагаются на одной прямой (они не могут находиться на параллельных прямых, ведь у них есть общая точка А). Значит, точка K принадлежит диагонали АС₁, и отрезок АК втрое короче диагонали.

Аналогично можно показать, что и

Из этого также вытекает, что М принадлежит диагонали АС₁, и МС₁ втрое короче АС₁. Значит, точки М и К делят диагональ на три равных отрезка, ч. т. д.

Сегодня мы расширили понятие векторов и научились их применять не только в планиметрических, но и в стереометрических задачах. При сохраняются все правила, по которым выполняются действия над векторами. Также в стереометрии появляется новое понятие компланарных и некомпланарых векторов.

Двумерное векторное подпространство.

Двумерным
векторным подпространством является
такое векторное подпространство базис
которого состоит из двух векторов {е₁,
е₂}.
Базис векторного подпространства
называется ортонормированным, если
длины базисных векторов равны единицы,
и базисные векторы перпендикулярны.
Ортонормированный базис обозначается
так: {i,
j}.
Множество
всех векторов, параллельных одной
плоскости, образует двумерное векторное
подпространство.

Координатами
вектора m
в данном базисе называются коэффициенты
разложения этого вектора по векторам
базиса, т.е. если m
= х е₁
+ у е₂,
то числи х и у это координаты вектора
m,
в этом
случае будем записывать m(х,
у).

Имеет место
теорема
о координатах линейной комбинации:

Если вектор m=
x
а + y
b
и
а(а₁,а₂),
b(b₁,b₂)
m(m₁,m₂)

m₁
=x a₁
+ y b₁,
m₂
=x a₂
+ y b₂.

Если известны
координаты векторов а
и b
в ортонормированном базисе {i,
j}
а(а₁,а₂),
b(b₁,b₂),
то имеют место формулы

a
b
= а₁
b₁
+ а₂
b₂
, │а│=

cos

(а,
b)
=

1.46.
В правильном шестиугольнике АВСDEF
векторы
=
е₁,

= е₂
выбраны в качестве базисных, Найти
координаты векторов
,

ОТВЕТ.
.(,

),
(1,1),
(-,),

(-,
—).

1.47.
В ромбе АВСD векторы
=
е₁,

= е₂
выбраны в качестве базисных. Найти
координаты векторов
,
.

ОТВЕТ.

(,
—),

(,),
(-,),

(-,
—).

1.48.
Даны векторы
а(2,1), b
(1,0). Найти коэффициенты разложения
вектора с(9,1)
по векторам а
и b.

ОТВЕТ..
с = а + 7
b.

1.49.
Даны векторы а(3,-2),
b
(-2,1), с(-9,6).Можно
ли каждый из этих векторов разложить
по двум другим ?

ОТВЕТ.. а = —
с,
с = —3
а, вектор
b
нельзя разложить по векторам а
и
с .

1.50.
В треугольнике АВС

(1,3),
(2,1).
АМ₁,
ВМ₂,
СМ₃
– медианы треугольника АВС, определить
координаты трех векторов,

ОТВЕТ..
(,
2),
(0,
),
(-,).

1.51.
Дан ортонормированный базис и векторы
а(1,0),
b
(2,2), с(4,-4).
Найти углы между парами этих векторов.

ОТВЕТ.

(а,
b) = 45°,

(а,с)
= 45°,
(
b,с) = 90°.

1.52.
АМ – медиана треугольника АВС. Найти
длину ВМ и угол АМС, зная координаты

(4,6),

(8,-4) в ортонормированном базисе.

ОТВЕТ..
ВМ =
,
cоsАМС
= —
.

1.53.
Дан базис {е₁,
е₂}.
Зная координаты векторов а(а₁,а₂)
и b
(b ₁,
b ₂),
длины базисных векторов и угол между
базисными векторами. , найти скалярное
произведение а
b.

ОТВЕТ.
а b
= (а₁b₁)
│е₁│²
+ (а₂b₂)
│е₂│²
+ (а₁b₂
+ а₂
b₁)
│е₁││е₂│
Соs(е₁,е₂).

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
ВОПРОСЫ

1. Векторы
   
   и
   
   равны. Равны ли векторы: а)
   
   и
   ;
   б)
   
   и
   ;
   в)
   
   и
   ;
   г)
   
   и
   ;
   д)
   
   и
   ?

2. Верно ли соотношение
   а ↑↑с,
   если: а) а↑↑b
   и b↑↑с;
   б) а↓↑b
   и b↑↓с?

3. Что можно сказать
   о векторе а,
   если а↑↑-а
   ?

4. Какому условию
   удовлетворяют векторы
   ,
   если точки А, В, С лежат на некоторой
   окружности?

5. Что можно сказать
   о векторах
   а и b,
   если: а)
   |а
   + b
   | = |а|
   + | b
   |;

б) |а
+ b
| = |а|
— | b
|; в) |а
— b
| = |а|
+ | b|
?

7. Пусть а,
b, с, d
произвольные векторы. Как доказать,
что:

а)
а + b
+ с + d = с + а
+ d + b; б)
а – b
= –
(b – а)
; в) а
– ( b + с)
= (а
– b)
– с ?

8. Может ли длина
разности двух векторов быть больше и
длины вычитаемого и длины уменьшаемого
векторов?

9. Что можно сказать
о векторах а
и b, если:
а)
векторы а
+ b
и а
– b коллинеарны;
б) |а
+ b
| = |а
– b |
?

10. Какому условию
удовлетворяют векторы а
и b, если
уравнение

а
+ х b
= 0
имеет решение?

11. Известно, что
α₁ а
+ α₂
b + α₃
с
= β₁ а
+ β₂
b + β₃с.
Следует ли из этого равенства, что α₁
= β₁,
α₂
= β₂,
α₃
= β₃,
если векторы а,
b, с :
а) компланарны; б) не компланарны?

12. Приведите пример
компланарных векторов а,
b, с,
для которых не существует чисел α
и β ,
удовлетворяющих равенству с
= α а
+ β b
?

13. Дан вектор
р(р₁,р₂,р₃)
в базисе {е₁,
е₂ ,е₃}.
Найти координаты вектора р
в базисе: а) {е₃,
е₂ ,е₁};
б) {-е₁,
е₂ ,-е₃};
в) {е₁,
2е₂
, 4е₃}.

14. Для любых ли
векторов а,
b, с,
где а
и b
коллинеарные векторы, верно равенство:
(а
с)
b = а
( с
b ).

15. Что можно сказать
о векторе х,
если а х
= b х = с х
= 0, где { а,
b, с}
– некоторый базис?

17

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #