Как найти векторы образующие треугольник

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p — a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p — b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Векторы, образующие треугольник!

У меня проблема.

Как доказать, что сумма векторов, образующих треугольник, равна 0 $ ( vec + vec + vec = vec 0) $?

из закона треугольника: $ vec + vec = vec $

$ vec $ будет результирующим вектором сложения других двух векторов.

$ vec + vec + vec = vec + vec $ (добавьте $ vec $ с обеих сторон)

$ vec + vec + vec = vec — vec $

(потому что, когда AC и CA одинаковы по величине, но они противоположны по направлению)

$ vec + vec + vec = vec0 $

из закона треугольника: $ vec + vec = vec $

$ vec $ будет результирующим вектором сложения других двух векторов.

$ vec + vec + vec = vec + vec $ (добавьте $ vec $ с обеих сторон)

$ vec + vec + vec = vec — vec $

(потому что, когда AC и CA одинаковы по величине, но они противоположны по направлению)

$ vec + vec + vec = vec0 $

а также $ B: = (b_1, b_2, dots, b_n) $ и $ C: = (c_1, c_2, dots, c_n) $.

Тогда $ overrightarrow = (b_1-a_1, b_2-a_2, dots, b_n-a_n) $ аналогично $ overrightarrow = (c_1-a_1, c_2-a_2, dots, c_n-a_n) $ и $ overrightarrow = (b_1-c_1, b_2-c_2, dots, b_n-c_n) $.

давайте сделаем $ overrightarrow + overrightarrow = (b_1-a_1 + c_1-b_1, b_2-a_2 + c_2-b_2, dots, b_n-a_n + c_n-a_n) = overrightarrow = — overrightarrow $ и, следовательно, результат.

NB, если вы не знаете, как работать с векторами, тогда вы можете посмотреть здесь Wiki — векторы . Я работал в $ mathbb ^ n $ с и аффинной структурой на нем.

Ортогональные векторы и условие ортогональности

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = < a x × a y >и b ¯ = < b x × b y >записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 >и b ¯ = < 2 ; — 1 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = < 3 ; — 1 >и b ¯ = < 7 ; 5 >ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 >и b ¯ = < n ; 1 >будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = < 1 ; 2 ; 0 >и b ¯ = < 2 ; — 1 ; 10 >являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = < 2 ; 4 ; 1 >и b ¯ = < n ; 1 ; — 8 >будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

well, define $A := (a_1,a_2, dots ,a_n)$, then $B := (b_1,b_2, dots ,b_n)$ and $C := (c_1,c_2, dots ,c_n)$.

Then $overrightarrow{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2, dots ,b_n-a_n)$ similarly $overrightarrow{AC}=(c_1-a_1,c_2-a_2, dots ,c_n-a_n)$ and $overrightarrow{BC}=(b_1-c_1,b_2-c_2, dots ,b_n-c_n)$.

let’s make $overrightarrow{AB}+overrightarrow{BC}= (b_1-a_1 + c_1-b_1,b_2-a_2+c_2-b_2, dots ,b_n-a_n+c_n-a_n) = overrightarrow{AC}=-overrightarrow{CA}$
and hence the result.

NB if you don’t know how to work with vectors, then you may want to take a look here Wiki — vectors. I’ve worked in $mathbb{R}^n$ with and affine structure on it.

Курс “Алгебра и Геометрия”

(спец. прикладная математика, информатика,
1 курс, 1 семестр)

Тема 4.
Скалярное
произведение.
– 2 часа.

Содержание:
проекция точки на ось, свойства проекций,
скалярное произведение, его свойства,
применение скалярного произведения.

Цель:
выработать навыки вычисления скалярного
произведения и его применения при
решении геометрических задач.

Форма контроля:
опрос.

Задачи

Задача 1 ([9], 1030).
Проверить, справедливы ли следующие
равенства для любых векторов

и
:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

Задача 2 ([9], 1031).
Проверить
справедливость тождества

для векторов
,

и дать его геометрическое толкование.

Задача 3 ([9], 1032).
Можно ли
говорить о скалярном произведении трех
векторов? О скалярном кубе вектора? О
кубе скаляра век­тора?

Задача 4 ([9], 1033).
Выяснить, почему тождество
,
справедливое для скаляров, не имеет
места для векторов.

Задача 5 ([9], 1034).
Вычислить
скалярное произведение
,
если

и
,
где

и

— единичные взаимно перпендикулярные
векторы.

Задача 6 ([9], 1035).
Найти числовое
значение скаляра
,
если
,

и угол между векторами

и

равен
.

Задача 7 ([9], 1036).
Упростить выражение
,
если
,
,
,
где
,
 и
угол между векторами

и

равен
.

Задача 8 ([9], 1038).
Вычислить
скалярное произведение двух векторов
,
зная их разложение по трем единичным
взаимно перпенди­кулярным векторам
,

и
:
,
.

Задача 9 ([9], 1039).
Доказать,
что скалярное произведение двух век­торов
не изменится, если к одному из них
прибавить вектор, перпендикулярный
другому сомножителю.

Задача 10 ([9],
1040). Найти
длину вектора
,
зная, что

и

― взаимно перпендикулярные орты.

Задача 11 ([9],
1041). Вычислить
длину вектора
,
если
,

и

— данные взаимно перпендикулярные
векторы.

Задача 12 ([9],
1042). Зная,
что векторы
,

и

образуют треугольник, т. е.
,
вычислить длину стороны
,
считая

и

известными.

Задача 13 ([9],
1043). Вычислить
длину диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах

и
,
если известно, что
,

и угол между векторами

и

равен
.

Задача 14 ([9],
1044). К одной
и той же точке приложены две силы

и
,
действующие под углом 120°, причем

и
.
Найти величину равнодействующей силы
.

Задача 15 ([9],
1045). Найти
равнодействующую пяти компланарных
сил, равных по величине и приложенных
к одной и той же точке, зная, что углы
между каждыми двумя последовательными
силами равны 72°.

Задача 16 ([9],
1046). Вычислить
угол между векторами

и
,
где

и

— единичные взаимно перпендикулярные
векторы.

Задача 17 ([9],
1047). В
прямоугольном равнобедренном треугольнике
проведены медианы из вершин острых
углов. Вычислить угол между ними.

Задача 18 ([9],
1048). Зная
векторы, образующие треугольник:
,

и
,
где

и

— взаимно перпендикулярные орты,
определить углы этого треугольника.

Задача 19 ([9],
1093). Найти
вектор
,
одновременно удовлетворяющий трем
уравнениям:
,

и
.

Задача 20 ([9],
1107). Найти
проекцию вектора

на ось абсцисс и компоненту этого же
вектора по оси ординат, если
,

и
.

Задача 21 ([9],
1108). Вычислить
скалярное произведение векторов

и
,
где
,
.

Задача 22 ([9],
1109). Найти
длину и направление вектора
,
зная что
,

и
.

Задача 23 ([8], 812).
Даны векторы
,
.
Вычислить:

1)
;
2);
3);
4);
5);
6).

Задача 24 ([8], 819).
Вычислить косинус угла, образованного
векторами
,
.

Задача 25 ([8], 820).
Даны
вершины треугольника:
,
,
.
Определить его внутренний угол при
вершине
.

Задача 26 ([8], 821).
Даны вершины
треугольника:
,
,
.
Определить его внешний угол при вершине
A.

Задача 27 ([8], 823).
Вектор

коллинеарный вектору
,
образует острый угол с осью Oz.
Зная, что
,
найти его координаты.

Задача 28 ([8], 824).
Найти вектор
,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию
.

Задача 29 ([8], 825).
Вектор
,
перпендикулярен к векторам

и
,
образует с осью Oy
тупой угол. Найти его координаты, зная,
что
.

Задача 30 ([8], 826).
Найти вектор
,
зная, что он перпендикулярен к векторам

и
,
и удовлетворяет условию
.

Задача 31 ([8], 827).
Даны векторы

и

найти вектор

при условии, что он перпендикулярен к
оси Oz и удовлетворяет условию
,
.

Задача 32 ([8], 828).
Даны векторы
,

и
.
Найти вектор
,
удовлетворяющий условию:
,
,
.

Задача 33 ([8], 829).
Найти проекцию
вектора

на ось состоящую с координатными осями
Ох, Oz равные острые углы.

Задача 34 ([8], 830).
Найти проекцию
вектора

на ось, составляющую с координатными
осями Ox,
Oz
углы
,
,
а с осью Oy
— острый угол
.

Задача 35 ([8], 834).
Даны векторы
,

и
.
Вычислить
.

Задача 36 ([8], 835).
Даны векторы
,

и
.
Вычислить
.

Задача 37 ([8], 836).
Сила,
определяемая вектором
,
разложена по трем направлениям, одно
из которых задано вектором
.
Найти составляющую силы

в направлении вектора
.

Задача 38 ([8], 837).
Даны точки

и
.
Вычислить проекцию вектора

на ось вектора
.

Задача 39 ([8], 838).
Даны точки
,
,
,

.
Вычислить
.

Тема 4.
Скалярное
произведение.

Ответы

Задача 1. 1)
Несправедливо:
произведение вектора

на скаляр

не может равняться скаляру, а представляет
вектор, коллинеарный вектору
;

2)
справедливо – на основании правила
умножения скаляров;

3)
несправедливо
(см. случай 1);

4)
несправедливо,
если

и

неколлинеарны;

5)
справедливо;

6) и
7)
справедливы на основании свойства
переместительности и распределительности
скалярного умножения;

справедливо
только для коллинеарных векторов.

Задача 2. Сумма
квадратов диагоналей параллелограмма
равна сумме квадратов его сторон.

Задача 3. Скалярное
произведение трех векторов быть не
может, так как скалярное произведение
двух векторов есть скаляр, помножив
который на третий вектор, получим вектор,
коллинеарный этому последнему; поэтому
и скалярный куб рассматривать нет
смысла.

Задача 5.
.

Решение.
,
так как по условию

и
.

Задача 6.
.

Задача 7.

Задача 8.
.

Задача 10.
.

Решение.
.

Задача 11.

Задача 12.

Примечание.
Угол между векторами

и

есть внешний угол треугольника, смежный
с ним внутренний угол обозначен С.

Задача 13..

Задача 14.

.

Задача 15.
Равнодействующая сила равна нулю.

Задача 16. Угол
между векторами

и

равен
π
/
4.

Решение.

Задача 17.
.
Указание.
Выразить предварительно медианы через
катеты.

Задача 18.
;

и
.

Задача 19.

.

Задача 20.
;

.

Задача 21.
.

Задача 22.
;
;
;
.

Задача
23.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.

Задача 24.
.

Задача
25..

Задача
26.
.

Задача
27.
.

Задача 28.
.

Задача 29.
.

Задача 30.
.

Задача 31.
.

Задача 32.
.

Задача 33..

Задача 34.
.

Задача 35.
.

Задача 36.
.

Задача
37.
;

;.

Задача
38.
.

Задача 39.
.

Соседние файлы в папке АиГ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Решить треугольник Онлайн по координатам

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольника:

1) длины и уравнения сторон, медиан, средних линий, высот, серединных перпендикуляров, биссектрис;

2) система линейных неравенств, определяющих треугольник;

2) уравнения прямых, проходящих через вершины параллельно противолежащим сторонам;

3) внутренние углы по теореме косинусов;

4) площадь треугольника;

5) точка пересечения медиан (центроид) и точки пересечения медиан со сторонами;

10) параметры вписанной и описанной окружностей и их уравнения.

Внимание! Этот сервис не работает в браузере IE (Internet Explorer).

Запишите координаты вершин треугольника и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.