Как найти вектор приоритетов

Вектор приоритетов.

Проведем
математическую обработку матрицы парных
сравнений в шкале Саати с целью получения
вектора приоритетов сравниваемых
объектов. С математической точки зрения
задача сводится к вычислению главного
собственного вектора, который после
нормализации становится вектором
приоритетов.

Точный
способ вычисления главного собственного
вектора матрицы парных сравнений
заключается в возведении матрицы в
произвольно большие степени и делении
суммы каждой строки на общую сумму
элементов матрицы. Мы воспользуемся
другим, более простым, способом, который
дает хорошее приближение.

Компонента
главного собственного вектора вычисляется
как среднее геометрическое значений в
строке матрицы:

.

Компонента
вектора приоритетов вычисляется как
нормированное значение главного
собственного вектора:

.

Приближенные
значения λ_max
для оценки отношения согласованности
можно рассчитать по следующей формуле:

,

где

– сумма элементов i-го
столбца матрицы;

P_j
– вектор приоритетов анализируемой
матрицы.

Пример построения вектора приоритетов.

Пусть
стоит проблема покупки дома. Выделены
следующие факторы, влияющие на решение
этой проблемы: размеры дома, удобство
сообщения, окрестности, возраст дома,
двор, благоустроенность, общее состояние,
финансовые условия покупки. Необходимо
построить вектор приоритетов этих
факторов. Ниже приведена матрица парных
сравнений для рассматриваемых восьми
факторов, заполненная суждениями
эксперта по шкале Саати, на основе
которых и проведены соответствующие
вычисления.

λ_max=9.863, ИС=0.266, СИ=1.410
(определяем по таблице), ОС=0.189

Следует
отметить, что отношение согласованности
данной матрицы несколько больше
рекомендованного уровня (ОС ≤ 0,1), однако
для задач используемого типа его можно
принять.

В
общем случае уровень согласованности
должен соответствовать тому риску,
который сопутствует работе с
несогласованными данными.

Например, при
сравнении воздействия лекарств на
организм необходимо иметь очень высокий
уровень согласованности.

Порядок выполнения
работы.

1. Орпеделить
   из таблицы проблему и список критериев
   для своего варианта. Номер проблемы
   определяет значение m.
   Для определения списка критериев
   необходимо из исходного списка указанного
   в таблице для данной проблемы вычеркнуть
   критерий со значением k.

m
– последняя цифра в номере зачетки;

k
– предпоследняя цифра в номере зачетки.

Если
последняя цифра в номере зачетки равна
нулю, то m=9,
если предпоследняя цифра в номере
зачетки равна нулю, то k=1.

1. Построить
   матрицу парных сравнений для
   рассматриваемых восьми факторов,
   заполнив ее экспертными оценками по
   шкале Саати.

2. Вычислить
   главный собственный вектор, вектор
   приоритетов, λ_max,
   ИС, ОС. Если значение ОС будет больше
   0,3 скорректировать экспертные оценки.

Контрольная
работа №3.

Метод анализа
иерархий. Рассчет локальных приоритетов.
Синтез приоритетов.

Рассмотрим проблему:
«Выбор и покупка дома с
заданным уровнем качества
или покупка такого дома, который бы
вызывал общее
удовлетворение».

В качестве
альтернативных вариантов рассматриваем
три дома (А, Б, В) со следующими
характеристиками.

Дом А – самый
большой дом (из трех), хорошие окрестности,
интенсивное движение транспорта, налоги
на дом не велики. Двор больше, чем у домов
Б и В. общее состояние не очень хорошее,
нужна основательная починка и проведение
малярных работ. Дом финансируется банком
с высокой процентной ставкой, поэтому
финансовые условия можно считать
неудовлетворительными.

Дом Б – немного
меньше дома А, расположен далеко от
автобусных остановок. Вокруг интенсивное
движение транспорта. В доме отсутствуют
современные удобства, но общее состояние
дома очень хорошее. Кроме того, на дом
можно получить закладную с довольно
низкой процентной ставкой, то есть
финансовые условия вполне удовлетворительные.

Дом В – маленький
и без современных удобств. Окрестности
достаточно привлекательны, но налоги
высокие, однако дом в хорошем состоянии
и достаточно безопасен. Двор больше,
чем у дома Б, однако значитльно меньше,
чем у дома А. Объем восстановительно-ремонтных
работ очень мал. Финансовые условия
намного лучше, чем для дома А, но не так
хороши, как для дома Б.

Иерархическая
модель решения проблемы для рассматриваемого
примера имеет следующий вид:

Для того чтобы
принять обоснованное решение на выбор
дома необходимо выполнить следующее.

После построения
иерархической модели проблемы начинаем
первый этап анализа, который состоит в
исследовании степени влияния показателей
свойств качества дома на общее
удовлетворение домом. В формальном виде
этот этап состоит в анализе влияния
факторов второго уровня иерархии на
цель анализа – первый уровень. Этот
этап был выполнен в предыдущей лабораторной
работе. Была представлена матрица парных
сравнений для восьми факторов 1-го
уровня, заполненная суждениями эксперта
по шкале Саати. На основании этих данных
были определены вектор приоритетов,
λmax, ИС, ОС.

На
втором этапе переходим к рассмотрению
влияния факторов третьго уровня на
факторы второго уровня, то есть к анализу
«веса» (предпочтительности) каждого из
рассматриваемых домов (А, Б, В) по отношению
к каждому фактору второго уровня. Для
этого необходимо сформировать и
обработать восемь экспертных матриц
парного сравнения. Сами матрицы и
результаты их обработки в виде векторов
приоритетов и мер согласованности
представлены в таблице.

Анализ векторов
локальных приоритетов показывает, что
дом А лучший по четырем критериям (размер
дома, окрестности, двор и благоустроенность),
дом Б лучший по финансовым условия, а
дом В лучший по удобству сообщения.

На третьем этапе
осуществляется синтез локальных
приоритетов или оценка обобщенных
(глобальных) приоритетов. В нашем примере
речь идет о получении вектора глобальных
приоритетов домов (А, Б, В,) по отношению
к цели верхнего уровня – общего
удовлетворения домом.

Для этого матрицу
локальных приоритетов 2-го уровня,
составленную по результатам анализа,
представленного в приведенной выше
таблицы, умножают на на вектор локальных
приоритетов 1-го уровня, полученный в
примере контрольной работы №2.

Матрица локальных
приоритетов 2-го уровня

.

Вектор
локальных приоритетов 1-го уровня.

В
результате получаем обобщенный
(глобальный) вектор проритетов домов
(А, Б, В) по отношению к конечной цели –
покупке дома. Этот вектор имеет вид:

Таким образом, с
учетом всех рассматриваемых факторов,
предпочтение при покупке отдается дому
А.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Простая математика для решения непростых задач

При рассмотрении статьи, посвященной системе приоритезации обращений в техническую службу АО «Инфовотч», может возникнуть логичный вопрос: каким образом проводился расчет весовых коэффициентов? «Уложить» алгоритм расчета в комментарий к статье с учетом его объема будет, мягко говоря, трудновато. Поэтому, предвидя подобные вопросы, мы решили дополнить предыдущую статью поэтапным рассмотрением алгоритмов расчета данных весовых коэффициентов.

В первую очередь стоит отметить, что весь расчет основывается на инструментарии, используемом в методе анализа иерархий (МАИ). МАИ — математический инструмент принятия управленческих решений экспертным путем. Краткий смысл данного метода, в теории, заключается в представлении проблемы в виде иерархии. Вершиной данной иерархии является наша цель. Нижний уровень содержит альтернативы, промежуточный — критерии оценки данных альтернатив.

Рисунок 1. Расчетные данные по базовому показателю

Вид иерархии напрямую зависит от задачи, которую мы ставим перед собой при принятии решений. В нашем случае иерархии будут двухуровневые, так как здесь мы не решаем задачу выбора, а используем данный инструмент для расчета весов экспертным путем. В целях упрощения рассмотрения расчетного алгоритма, детально рассмотрим все расчеты на примере определения весов по базовому показателю. Аналогично производится расчет по плавающим показателям.

Рисунок 2. Расчетные данные по базовому показателю

В теории МАИ алгоритм расчета реализуется в пять этапов. Однако мы будем использовать только два этапа, направленные на построение матриц парных сравнений и расчет соответствующего вектора приоритетов, содержащего искомый вес.

Стоит отметить, что представление задачи в виде иерархии на практике является необязательным. Наша иерархия на первом уровне содержит «Базовый показатель», второй уровень иерархии содержит компоненты «Медиа-эскалация», «Высшее руководство», «Маркетинг», а также три программы поддержки.

Следующим этапом является определение приоритетов компонент, которые отражают вес той или иной компоненты в рассматриваемой группе. Также необходимо отметить, что приоритет находится в диапазоне от нуля до единицы. Сумма приоритетов всех компонентов, подчиненных базовому показателю, равна единице. Чтобы рассчитать данные приоритеты, проведем парные сравнения компонент по отношению к базовому показателю. На данном этапе рассчитывается обратно-симметричная матрица по свойству:

где индексы i и j – это номер строки и номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
При сравнении компоненты с самой собой выставляем единицу. Формализация задачи имеет вид:

Матрицы строятся следующим образом. В левом верхнем углу записывается элемент, по отношению к которому проводится сравнение по степени важности. Заглавия столбцов и строк содержат сравниваемые элементы. Для нашей задачи мы строили пять матриц, одну для базового показателя, и четыре по плавающим показателям и их классификационным признакам.

Теперь давайте посмотрим, что представляет матрица для расчета весов по базовому показателю в общем виде.

Таблица 1. Матрица 2 уровня иерархии

Если с диагональю все понятно (как мы уже говорили, при сравнении элемента с самим собой выставляется единица), то откуда брать оценки относительной важности для всех остальных клеток? Для данных целей разработана универсальная шкала относительной важности.

Таблица 2. Шкала относительной важности

Таким образом, эксперт, сравнивая элементы в строках с элементами в столбцах по степени важности с точки зрения базового показателя, постепенно заполнил данную матрицу с использованием свойства обратной симметрии.

Например, из матрицы можно видеть, что «Медиа эскалация» превосходит уровень поддержки «Basic» по отношению к базовому показателю очень сильно, о чем свидетельствует проставленная экспертом интенсивность относительной важности «9».

Стоит отметить, что если между экспертами возникают разногласия, определяется геометрическое среднее разных оценок в качестве общей оценки суждений:

Следующим этапом является синтез приоритетов, который позволяет объединить полученные результаты с целью определения искомых весов.

Для определения относительной ценности каждого элемента нашей матрицы необходимо найти геометрическое среднее и с этой целью перемножить n элементы каждой строки, и из полученного результата извлечь корни n-й степени.

_____________________________________________________________________
Для рассматриваемой матрицы получим (размерность ):

Для нормализации полученных чисел определяем нормирующий множитель r.

И каждое из чисел делим на r.

В результате получаем вектор приоритетов:

где индекс «2» означает, что вектор приоритетов относится ко второму уровню иерархии.
_____________________________________________________________________
Для рассматриваемого примера нормирующий коэффициент равен:

А вектор приоритетов:

Числа

являются компонентами вектора приоритетов компонент

Подобную процедуру проделываем для всех матриц парных сравнений и получаем результат по всем требуемым весам. В завершении стоит отметить, что данный расчетный алгоритм легко реализуется средствами MS Excel.

Собственные векторы и собственные значения матриц

Цель лабораторной работы

Знакомство с методами построения матрицы попарных сравнений и расчета ее собственного вектора.

Теоритическая часть

Матрицы парных сравнений

После построения иерархии устанавливается метод сравнения ее элементов. Если принимается метод попарного сравнения, то строится множество матриц парных сравнений. Для этого в иерархии выделяют элементы двух типов: элементы-«родители» и элементы-«потомки». Элементы-«потомки» воздействуют на соответствующие элементы вышестоящего уровня иерархии, являющиеся по отношению к первым элементами-«родителями». Матрицы парных сравнений строятся для всех элементов-«потомков», относящихся к соответствующему элементу-«родителю». Элементами-«родителями» могут являться элементы, принадлежащие любому иерархическому уровню, кроме последнего, на котором расположены, как правило, альтернативы. Парные сравнения проводятся в терминах доминирования одного элемента над другим. Полученные суждения выражаются в целых числах с учетом девятибалльной шкалы.

Таблица 2.1 — Шкала оценки сравнения альтернатив

Заполнение квадратных матриц парных сравнений осуществляется по следующему правилу. Если элемент Е₁ доминирует над элементом Е₂ , то клетка матрицы, соответствующая строке Е₁ и столбцу Е₂, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке E₂ и столбцу Е₁, заполняется обратным к нему числом. Если элемент Е₂ доминирует над Е₁ , то целое число ставится в клетку, соответствующую строке Е₂ и столбцу Е₁, а дробь проставляется в клетку, соответствующую строке Е₁ и столбцу Е₂. Если элементы Е₁ и Е₂ равнопредпочтительны, то в обе позиции матрицы ставятся единицы.

Для получения каждой матрицы эксперт или ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений (здесь n — порядок матрицы парных сравнений).

Рассмотрим в общем виде пример формирования матрицы парных сравнений.

Пусть Е₁, Е₂, . Е_n — множество из n элементов (альтернатив) и v₁, v₂, . v_n — соответственно их веса, или интенсивности. Сравним попарно вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели (по отношению к элементу-«родителю»). В этом случае матрица парных сравнений [Е] имеет вид, изображенный в таблице 2.2.

Таблица 2.2 — Общий вид матрицы парных сравнений

Матрица парных сравнений обладает свойством обратной симметрии, т. е.

При проведении попарных сравнений следует отвечать на следующие вопросы: какой из двух сравниваемых элементов важнее или имеет большее воздействие, какой более вероятен и какой предпочтительнее.

При сравнении критериев обычно спрашивают, какой из критериев более важен; при сравнении альтернатив по отношению к критерию — какая из альтернатив более предпочтительна или более вероятна.

Собственные векторы и собственные значения матриц

Ранжирование элементов, анализируемых с использованием матрицы парных сравнений [Е], осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы [Е] проводится на основании равенства

где λ_max — максимальное собственное значение матрицы [E].

Для положительной квадратной матрицы [Е] правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению λ_max, с точностью до постоянного сомножителя С можно вычислить по формуле

(2)

где е T — единичный вектор-строка = (1,1,…,1);

e — единичный вектор-столбец =

k = 1, 2, 3, . — показатель степени;

Вычисления собственного вектора W по выражению (2) производятся до достижения заданной точности:

где l — номер итерации, такой, что l = 1 соответствует k= 1; l = 2, k = 2;

— допустимая погрешность.

С достаточной для практики точностью можно принять = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Умножение e T W – можно производить сложением всех элементов W

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

Индивидуальное задание

Разработать программу, которая запрашивает число альтернатив, после этого, она последовательно задает вопросы о доминировании одной альтернативы, над другой, до тех пор, пока вся матрица не будет заполнена.

Описание разработанной программы:

Программа имеет консольный интерфейс. При запуске требуется ввести размерность матрицы попарных сравнений. В случае ввода недопустимого значения происходит завершение программы. После ввода размерности требуется последовательно ввести оценку для каждой пары альтернатив, располагающейся слева от главной диагонали (остальные значения будут вычислены на основе введённых данных). Если введённое значение недопустимо, пользователь должен повторить ввод для этой пары альтернатив. После ввода всех значений на экран выводится матрица попарных сравнений. Далее в консоль выводится собственный вектор полученной матрицы, после чего программа просит нажать клавишу Escape для завершения программы.

Скриншоты

Исходный код программы

Ответы на контрольные вопросы

1. Матрица парных сравнений — это квадратная матрица, элементами которой являются оценки всех возможных пар альтернатив, которые подвергаются сравнению.

2. В методе парных сравнений существует иерархическая структура. Она изображена на рисунке 4.1. Элементы этой структуры и выступают по отношению друг к другу “родителями” и “потомками” в соответствии с их положением в иерархии.

Рисунок 4.1 — Иерархия в методе анализа альтернатив

3. Для заполнения матрицы ЛПР выносит n(n-1)/2 суждений (здесь n — порядок матрицы парных сравнений). Каждое суждение может принимать значения, указанные в таблице 2.1. С помощью этих суждений и обратных им суждений и происходит заполнение квадратной матрицы парных сравнений.

4. Вычисление главного собственного вектора W производятся по выражению 2.2.

5. Степень значимости отражает отношение двух альтернатив. Если степень значимости больше 1 — первая альтернатива предпочтительнее, если меньше 1 — вторая альтернатива предпочтительнее, если равна 1 — альтернативы имеют одинаковую значимость. Подробно степени значимости описаны в таблице 2.1.

Выводы

В ходе выполнения работы были изучены методы построения матрицы попарных сравнений и расчёта её собственного вектора. Эти методы были реализованы в консольной программе, написаной на ЯП Java. Данная программа запрашивает размерность n матрицы, а также запрашивает ввод n(n-1)/2 степеней значимости альтернатив, а на выходе выдаёт вектор полученной матрицы. Также программа корректно обрабатывает ошибки, связанные со вводом недопустимых данных.

Расчет векторов приоритетов как собственных векторов матриц парных сравнений

Вычисление главного собственного вектора W положительной квадратной матрицы А проводится на основании равенства

где А._тах — максимальное собственное значение матрицы А; Е — единичная матрица того же размера п х п.

Но во многих источниках (как в учебниках, так и в интернет-ресурсах [1] ) для практического отыскания вектора приоритетов рекомендуют приближенную формулу

согласно которой каждую компоненту вектора W находят как среднее гео- метрическое элементов соответствующей строки матрицы А. Заметим, что эта формула точна для матриц размера и=3и служит достаточно точным приближением для матриц А большего размера, если они хорошо согласованы, т.е. с достаточной точностью выполнено свойство однородности a_ik = = a_js? a_sk. Однако при плохой согласованности матрицы А формула (11.3) может давать ошибочные результаты уже для п = 4. Убедимся в этом на примере.

Пример: метод средних геометрических для нахождения приоритетов.

Пусть имеются четыре альтернативы х,, х.„ х₃, х₄, и суждения эксперта о сравнении альтернатив по некоторому критерию представлены в виде матрицы парных сравнений А

Требуется найти вектор приоритетов IT двумя способами:

• а) методом геометрических средних;
• б) через главный собственный вектор матрицы парных сравнений А. Для большей убедительности результатов два значения в матрице парных сравнений А выбраны за пределами 10-балльной шкалы.

Для решения первым способом, применяя соотношение (11.3), получим компоненты приближенного вектора по формуле геометрических средних

Для сопоставления с точным результатом выполним нормировку вектора, разделив каждую из величии W_k на сумму всех четырех компонент. Получим компоненты нормированного приближенного вектора IT: IT, = 0,308, 1Т₂ = 0,244, IT., = 0,275,1Т₄ = 0,173. Формула (11.3) приводит к выводу об оптимальности альтернативы x_v причем ближайшей конкурирующей альтернативой будет х,

Однако при точном нахождении главного собственного вектора, удовлетворяющего уравнению (11.2), компоненты нормированного вектора 1Т с точностью 0,001 оказываются равны IT, = 0,123, W₂ = 0,462, VT₃ = 0,207, IT, = 0,208. Таким образом, на самом деле оптимальной будет альтернатива х₂, а ближайшей конкурирующей (с большим отрывом) — х_Л

Погрешность отыскания приоритетов первых двух альтернатив по формуле (11.3) в этом примере велика: в абсолютном выражении она составила 0,185 и 0,218, а в относительном — в 2,5 и в 2 раза. И главное — выводы на основе формулы (11.3) неверны.

Таким образом, рассмотренный пример приводит к следующему заключению.

Формула (11.3) расчета приоритетов как средних геометрических величин элементов матрицы А парных сравнений для п > 4 при плохой согласованности суждений в матрице А может давать высокие погрешности и неверные выводы относительно оптимальных альтернатив.

Учитывая возможность существенных ошибок при использовании формулы (11.3), приведем метод последовательного сколь угодно точного нахождения нормированного (имеющего сумму компонент, равную единице) главного собственного вектора W.

Наиболее точный и практически эффективный способ отыскания главного собственного вектора W матрицы А — с помощью пакетов прикладных математических программ. В частности, встроенные функции нахождения собственных чисел и векторов имеются во всех основных самых распространенных пакетах (Mathematica, MATLAB, Maple, MathCAD и др.).

При отсутствии доступа к специализированным математическим пакетам (например, при наличии только офисного табличного редактора Excel, не имеющего встроенной функции для поиска собственных чисел и векторов) главный собственный вектор можно найти с помощью последовательных приближений (как правило, за небольшое число шагов) на базе следующей теоремы.

Для положительной квадратной матрицы А нормированный правый собственный вектор W, соответствующий максимальному собственному значению Х_тах, можно вычислить по формуле

где е — вектор, состоящий из п единиц; Т — знак транспонирования; k = 1,2,3. показатель степени (число итераций).

С достаточной для практики точностью можно принять ? = 0,01 независимо от порядка матрицы.

Одновременно с главным собственным вектором W можно найти и максимальное собственное значение А,_шах, которое требуется для исследования согласованности матрицы парных сравнений А. Максимальное собственное значение вычисляется по формуле:

Собственный вектор матрицы парных сравнений

Автор: Пользователь скрыл имя, 15 Марта 2012 в 18:00, реферат

Краткое описание

.математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение, какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант, который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению.

Файлы: 1 файл

1.docx

1.математический инструмент системного подхода к сложным проблемам принятия решений. МАИ не предписывает лицу, принимающему решение, какого-либо «правильного» решения, а позволяет ему в интерактивном режиме найти такой вариант, который наилучшим образом согласуется с его пониманием сути проблемы и требованиями к ее решению. Этот метод разработан американским математиком Томасом Саати, который написал о нем книги, разработал программные продукты и в течение 20 лет проводит симпозиумы ISAHP. МАИ широко используется на практике и активно развивается учеными всего мира. В его основе наряду с математикой заложены и психологические аспекты. МАИ позволяет понятным и рациональным образом структурировать сложную проблему принятия решений в виде иерархии, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения. Метод Анализа Иерархий используется во всем мире для принятия решений в разнообразных ситуациях: от управления на межгосударственном уровне до решения отраслевых и частных проблем в бизнесе, промышленности, здравоохранении и образовании. Для компьютерной поддержки МАИ существуют программные продукты, разработанные различными компаниями. Анализ проблемы принятия решений в МАИ начинается с построения иерархической структуры, которая включает цель, критерии, альтернативы и другие рассматриваемые факторы, влияющие на выбор. Эта структура отражает понимание проблемы лицом, принимающим решение. Каждый элемент иерархии может представлять различные аспекты решаемой задачи, причем во внимание могут быть приняты как материальные, так и нематериальные факторы, измеряемые количественные параметры и качественные характеристики, объективные данные и субъективные экспертные оценки . Иными словами, анализ ситуации выбора решения в МАИ напоминает процедуры и методы аргументации, которые используются на интуитивном уровне. Следующим этапом анализа является определение приоритетов, представляющих относительную важность или предпочтительность элементов построенной иерархической структуры, с помощью процедуры парных сравнений. Безразмерные приоритеты позволяют обоснованно сравнивать разнородные факторы, что является отличительной особенностью МАИ. На заключительном этапе анализа выполняется синтез приоритетов на иерархии, в результате которой вычисляются приоритеты альтернативных решений относительно главной цели. Лучшей считается альтернатива с максимальным значением приоритета.

2. Собственный вектор матрицы парных сравнений. Собственный вектор матрицы парных сравнений определяет порядок важности сравниваемых объектов в количественном выражении. Он обеспечивает упорядочение приоритетов (критериев) объектов. Иногда значения собственного вектора матрицы парных сравнений назы- вают вектором приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений.

Следующим шагом, после составления матрицы парных сравнений, является вычисление вектора приоритетов. Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице.

Метод отыскания вектора w основывается на одном из утверждений линейной алгеб-ры — искомый вектор является собственным вектором матрицы парных сравнений, со-ответствующим максимальному собственному числу — λmax. В этом случае отыски-вается λmax, а затем достаточно решить векторное уравнение A*w= λmax *w.

Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближе-нию. Например, приближенное вычисление собственного вектора (столбца) методом среднего геометрического измерения расстояний между оцениваемыми объектами может быть осуществлен в следующем порядке:

— перемножаются элементы каждой строки и полученные результаты записы-ваются в столбец;

— извлекается корень n-й степени из каждого элемента найденного столбца;

— складываются элементы этого столбца;

— каждый из этих элементов делится на полученную сумму.

Тем самым получается нормализованный вектор приоритетов.

3. Оценка однородности суждений

В практических задачах количественная (кардинальная) и транзитивная (порядковая) однородность (согласованность) нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина aij ни была взята для сравнения i-го элемента с j-м, aij приписывается значение обратной величины, т. е. аij = 1/aij. Отсюда следует, что если один элемент в а раз предпочтительнее другого, то последний только в 1/а раз предпочтительнее первого.

При нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она будет иметь несколько собственных значений. Однако при небольших отклонениях суждений от однородности одно из собственных значений будет существенно больше остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта необходимо использовать отклонение величины максимального собственного значения λmax от порядка матрицы п.

Однородность суждений оценивается индексом однородности (ИО) или отношением однородности (OO) в соответствии со следующими выражениями:

где М(ИО) — среднее значение (математическое ожидание) индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений [E], которое основано на экспериментальных данных (табл. 2.3), полученных в работе [2].

Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

В качестве допустимого используется значение OO ≤ 0,10. Если для матрицы парных сравнений отношение однородности OO > 0,10, то это свидетельствует о существенном нарушении логичности суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

4. Иерархический анализ используется для взвешивания собственных векторов матриц парных сравнений альтернатив весами критериев (элементов), имеющих в иерархии, а также для вычисления суммы по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов нижележащего уровня иерархии. Ниже рассматривается алгоритм иерархического синтеза [9] с учетом обозначений, принятых в иерархии на рис.2.1.

На первом шаге определяются векторы приоритетов альтернатив ^^относительно элементов Kj предпоследнего уровня иерархии (i=S).

Здесь через Kj обозначены элементы иерархии (критерии), причем верхний индекс / — указывает уровень иерархии, а нижний индекс j — порядковый номер элемента на уровне. Вычисление множества векторов приоритетов альтернатив Ws относительно S — уровня иерархии осуществляется по итерационному алгоритму, реализованному на основе соотношений (2.5) и (2.6) по исходным данным, зафиксированным в матрицах попарных сравнений. В результате определяется множество векторов:

Ш а г 2. Аналогичным образом обрабатываются матрицы попарных сравнений собственно элементов Данные матрицы построены таким образом, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего уровня, с которыми они непосредственно связаны. Например, для вычисления векторов приоритетов элементов третьего иерархического уровня (см. рис. 2.1) обрабатываются следующие три матрицы попарных сравнений:

В матрицах через v обозначен вес, или интенсивность, Е -го элемента.

В результате обработки матриц попарных сравнений определяется множество векторов приоритетов элементов:

Полученные значения векторов используются впоследствии при определении векторов

приоритетов альтернатив относительно всех элементов иерархии.

Шаг 3. Осуществляется собственно иерархический синтез, заключающийся в последовательном

определении векторов приоритетов альтернатив относительно элементов Е находящихся на всех

иерархических уровнях, кроме предпоследнего, содержащего элементы Е . Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление проводится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Общий вид выражения для вычисления векторов приоритетов альтернатив определяется следующим образом:

где — вектор приоритетов альтернатив относительно элемента E1 , определяющий j-й столбец матрицы;

— вектор приоритетов элементов E1, связанных с элементом Ej вышележащего

Ниже приведен конкретный пример по вычислению векторов приоритетов альтернатив относительно элементов третьего (E³ ), второго (Е² ) и первого (Е¹ ) уровней иерархии с учетом конкретных связей между элементами иерархии (см. рис. 2.1).

Определение векторов приоритетов альтернатив для элементов второго уровня осуществляется

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно корневой вершины иерархии Е¹1

вычисляется следующим образом:

Рассмотренная модификация МАИ может эффективно применяться при решении широкого класса

социально-экономических и управленческих задач.

Выбор техники затруднителен практически для всех людей, поскольку любой человек хочет получить наиболее подходящее для себя устройство — особенно в тех случаях, когда гаджет покупается за немалые деньги и должен использоваться в течение нескольких лет. К сожалению, зачастую нет модели, которая опережала бы другие сразу по всем показателям (в том числе и по цене) — какое-то устройство обходит конкурентов по одним показателям, но явно уступает им по другим. Чтобы не полагаться на интуицию и, в случае ошибки, не жалеть о своём выборе в течение длительного времени, мы предлагаем прибегнуть к науке (теории принятия решений) и воспользоваться методом анализа иерархий — математическим инструментом системного подхода к сложным проблемам принятия решения. Не стоит пугаться: он довольно простой (хоть и занимает немало времени). С этой простой инструкцией вам не понадобится получать высшее образование, чтобы использовать этот метод теории принятия решений в реальной жизни.

Я вспомнил о нём в то время, когда планировал приобрести смартфон и не мог определиться между двумя моделями: iPhone 11 и Galaxy S10+. На мой взгляд, первый вариант лучше фронтальной камерой, системой биометрической идентификации пользователя и эксклюзивными фишками для работы с Mac; смартфон от Samsung выделяется автономностью, основной камерой, функционалом операционной системы и, конечно же, более низкой стоимостью. Просто анализируя в голове преимущества и недостатки каждого из устройств, я так и не смог выбрать оптимальный вариант. Но метод анализа иерархий помог окончательно понять, какой смартфон мне больше подходит. Далее в статье я предлагаю рассмотреть пример моей работы — именно на основе неё и будет написана инструкция по использованию данного метода теории принятия решений.

В конце статьи прикреплён Excel-документ со всеми расчётами — при желании, вы можете скачать его и детальнее разобрать пример, либо же просто сделать свой выбор на основе уже написанных формул. Также все расчёты доступны в «Google Таблицах». Сразу стоит отметить, что целью этой инструкции не является реклама конкретного смартфона на фоне его главного конкурента. Также у меня нет задачи доказать, что одна модель объективно лучше другой — статья служит лишь примером, на основе которого вы сможете сделать свой выбор.

1. Определение исходных данных

На первом этапе вы должны определиться, какие устройства будете сравнивать и какие их показатели (характеристики и функции) вам интересны — число гаджетов и критериев неограниченно. В моём случае я выбирал между iPhone 11 и Galaxy S10 по следующим важным для себя показателям:

• Возможности основной камеры.
• Возможности фронтальной камеры.
• Время автономной работы.
• Биометрическая идентификация.
• Наличие функции трекпада (когда вместо сенсорной клавиатуры активируется трекпад, позволяющий передвигать курсор и выделять текст).
• Стоимость.
• Наличие качественных игр.
• Функциональность операционной системы.
• Юзабилити операционной системы (лично моё мнение о том, с какой платформой мне удобнее взаимодействовать).
• Поддержка Apple Watch (умных часов, которые у меня уже есть).
• Синхронизация с Mac (с компьютером, который у меня уже есть).

2. Парное сравнение альтернатив по критериям

Теперь все устройства нужно парно сравнить по каждому из выбранных критериев. Для этого удобнее всего составить таблицы, каждая из которых будет соответствовать одному показателю. В ходе сравнения характеристик каждому устройству необходимо присваивать рейтинг, который рассчитывается следующим образом:

Необходимо использовать вышеописанную шкалу от 1 до 9, но необязательно прибегать только к нечётным цифрам — к примеру, если предпочтение больше умеренного («3»), но меньше явного («5»), то следует присвоить рейтинг «4».

Оценивая характеристики каждого из устройств, необходимо хорошо обдумывать свои предпочтения: от них зависит итоговый результат. На практике всё выглядит следующим образом (для примера, подробно рассмотрим несколько показателей):

Я считаю, что фронтальная камера в iPhone 11 лучше таковой в Galaxy S10+, но не намного — в этом сравнении я присваиваю Айфону рейтинг «3» (умеренное предпочтение) и, как следствие, Самсунгу достаётся обратная оценка — «1/3» (что в таблице Excel записывается как деление с результатом «0,33»). В ячейках главной диагонали, в которых устройства сравниваются сами с собой, следует всегда указывать рейтинг «1».

Время автономной работы, пожалуй, на стороне Galaxy S10+ — но не то, чтобы он работал явно дольше, чем iPhone 11. Поэтому я ему присвоил рейтинг «4», а Айфону присудил обратное число — «1/4» (Excel выполняет деление и записывает «0,25»).

А вот в случае с поддержкой Apple Watch все однозначно: эти умные часы совместимы только с iPhone, поэтому «яблочному» гаджету присваивается «9» (абсолютное предпочтение), а конкуренту прописывается «1/9» (Excel конвертирует в «0,11»).

В итоге матрицы сравнения смартфонов по всем критериям выглядят так, как показано на скриншоте выше.

3. Построение матрицы сравнения критериев

На этом шаге необходимо выполнить то же самое, что было на предыдущем этапе, но теперь в сравнении участвуют только критерии: к примеру, на сколько качественная камера важнее длительного времени автономной работы.

Поскольку в моём случае критериев много, таблица получилась довольно большой. Но это не должно вас пугать, поскольку она строится довольно просто (как и все предыдущие). Главное — обдумывать свои предпочтения.

В качестве примера рассмотрим сравнение биометрических систем идентификации со стоимостью гаджетов.

4. Нормализация матриц альтернатив и нахождение векторов приоритетов

Этот этап — самый муторный. Он отнимает больше всего времени, но отступать не стоит — он почти такой же простой, как и все предыдущие шаги. Чтобы найти вектор приоритетов, необходимо поделить каждым элемент матрицы на сумму всех элементов соответствующего столбца, а затем найти среднее арифметическое из элементов рядков полученных таблиц. Кажется сложным? Пожалуй, да, но на практике всё просто. Разберём на примере нормализации матрицы сравнения фронтальных камер смартфонов.

Первый шаг максимально простой: суммируем все элементы первого столбца, а затем все значения в ячейках второго — результаты удобнее записать ниже.

Далее делим каждый элемент матрицы на сумму значений конкретного столбца.

После этого определяем среднее арифметическое каждой строчки и записываем в отдельную табличку с одним столбцом — она и является вектором приоритетов.

В итоге должны быть найдены векторы приоритетов всех критериев — мои результаты отображены на скриншотах выше.

5. Нормализация матрицы критериев и нахождение весовых коэффициентов

Нормализация матрицы критериев осуществляется точно так же, как нормализация матриц альтернатив: находим сумму элементов в столбце, делим каждый элемент столбца на эту сумму и в получившейся матрице вычисляем среднее арифметическое элементов каждого рядка — эти значения и образуют вектор весовых коэффициентов.

6. Вычисление ранга альтернатив

Это финальный этап — он покажет, какое из устройств (в нашем случае смартфонов) является оптимальным для конкретного человека (в данном случае для меня). Нужно для каждого гаджета найти сумму произведений приоритетов критериев на их весовые коэффициенты. Да, и это звучит непонятно, но всё не так уж и сложно: грубо говоря, для нахождения ранга iPhone 11 надо поочерёдно умножить значения из розовых ячеек, полученных в 4 пункте, на конечные показатели, полученные в 5 пункте, а затем их все суммировать.

Чем больше итоговое значение каждого из устройств, тем этот гаджет больше вам подходит. В идеале, сумма рангов всех гаджетов должна равняться 1, но из-за округлений возможно небольшое отклонение (например, в моём случае сумма равна 0,9908). Как видно по результату, iPhone 11 является более подходящим для меня устройством, чем Galaxy S10+.

Вместо вывода

Я рад, что вспомнил теорию принятия решений и воспользовался методом анализа иерархий для решения интересующей меня задачи. Это один из тех немногих предметов в университете, который пригодился мне в реальной жизни.

На момент написания этой статьи я действительно стою перед выбором смартфона, а вышеописанная работа наконец помогла мне определиться (с выходом обзоров на iPhone 11 я, возможно, изменю рейтинги некоторых показателей, но вряд ли результат существенно поменяется). Надеюсь, благодаря этому топику вы тоже сможете выбирать действительно оптимальные устройства, а также многое другое — применяя метод анализа иерархий, можно делать выбор в различных областях, вплоть до сравнения возможных работ или спутниц жизни (спойлер: финальной девушке лучше не говорить всю правду о том, почему и как вы выбрали именно её😅).