Как найти ускорение оси блока

2020-02-12   

Найдите ускорение оси блока О в системе, состоящей из невесомых блоков, легких нерастяжимых нитей и грузов, массы которых указаны на рисунке. Трением пренебречь. Ускорение свободного падения равно $g$. Участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны.

Решение:

Поскольку нити и блоки невесомы и трения нет, сила натяжения нити $T$ должна быть одинакова вдоль всей длины нити (рис.). В проекции на вертикальную ось х уравнение движения невесомого блока О имеет вид

$2T — T = 0 cdot a_{O} = 0$,

где $a_{O}$ — искомое ускорение оси этого блока. Отсюда следует, что сила натяжения нити равна нулю и каждый из грузов падает под действием только силы тяжести с ускорением $g$:

$T = 0, a_{1} = a_{2} = a_{3} = g$.

Из условия нерастяжимости нитей можно получить уравнение кинематической связи ускорений грузов $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и ускорения оси интересующего нас блока $a_{O}$. Для этого выразим постоянную длину нити $l$ через координаты грузов и оси блока:

$l = x_{1} + x_{2} + (x_{2} — x_{O}) + (x_{3} — X_{O}) + x_{3} + X_{O} + const = x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} — x_{O} + const$

(здесь $const$ включает в себя длины участков нитей, лежащих на блоках и соединяющих блоки с грузами). Дифференцируя это соотношение два раза по времени, получаем связь ускорений:

$a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} — a_{O} = 0$,

откуда

$a_{O} = a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} = g + 2g + 2g = 5g$.

Итак, ось блока О движется вертикально вниз с ускорением $a_{O} = 5g$.

Общий случай решения

Рассмотрим общий случай. Имеется неподвижный блок, через который перекинута нить, к концам которой подвешены два грузика массой  и , где .

Рис. 1. Схема блока

 ; ;

На первый грузик действует сила притяжения к земле и сила натяжения нити, которая направлена вверх. Соответственно, на второй грузик будут действовать те же силы. Величины сил натяжения их будут одинаковы по модулю при условии, что трение в оси блока отсутствует и сам блок невесом, то есть его не нужно раскручивать какой-то парой сил. Сила натяжения – это внутренняя сила, возникающая в системе связанных тел, друг на друга они действуют посредством нити. Ускорение у этих грузиков будет иметь разное направление, так как первый грузик тяжелее, то он будет двигаться вниз, а второй вверх, но величины ускорений будут одинаковы и равны а, при условии, что нить нерастяжима. К блоку приложены три силы – две силы натяжения, которые тянут блок вниз, и сила реакции крепления оси блока, направленная вверх и равная удвоенной силе натяжения, так как центр блока никуда не перемещается и сумма сил, приложенных к нему должна быть равна нулю. При разборе таких задач оси рисовать не обязательно, потому что подразумевается, что для каждого тела можно выбрать свое направление оси. Так как первое тело движется вниз, то ось  необходимо направить вниз так, как направлено ускорение. Второе тело движется вверх и  направлено вверх согласно второму ускорению. Записываем второй закон Ньютона для этих тел, при сложении внутренние силы у нас сократятся, и мы получим общий вид для ускорения. Это отношение у нас будет всегда, то есть какое-то числовое значение, умноженное на , которое заставляет систему всегда двигаться.

Задача 1

Одинаковые бруски, связанные нитью, движутся под действием внешней силы  по гладкой горизонтальной поверхности (рис. 2). Как изменится сила натяжения нити , если третий брусок переложить с первого на второй?

1. Увеличится в 2 раза
2. Увеличится в 3 раза
3. Уменьшится в 1,5 раза
4. Уменьшится в 2раза

Рис. 2. Иллюстрация к задаче 1 (Источник)

В этой задаче необходимо найти отношение силы натяжения  к

 ; ;

Рис. 3. Решение задачи 1 (Источник)

Растянутая нить в этой системе действует на брусок 2, заставляя его двигаться вперед, но она также действует и на брусок 1, пытаясь препятствовать его движению. Эти две силы натяжения равны по величине, и нам как раз необходимо найти эту силу натяжения. В таких задачах необходимо упростить решение следующим образом: считаем, что сила  является единственной внешней силой, которая заставляет двигаться систему трех одинаковых брусков, и ускорение остается неизменным, то есть сила заставляет двигаться все три бруска с одинаковым ускорением. Тогда натяжение  всегда двигает только один брусок и будет равно mа по второму закону Ньютона.  будет равно удвоенному произведению массы на ускорение, так как третий брусок находится на втором и нить натяжения должна уже двигать два бруска. В таком случае отношение  к  будет равно 2. Правильный ответ – первый.

Задача 2

Два тела массой  и , связанные невесомой нерастяжимой нитью, могут без трения скользить по гладкой горизонтальной поверхности под действием постоянной силы  (рис. 4). Чему равно отношение сил натяжения нити в случаях а и б?

Выбор ответа: 1. 2/3; 2. 1; 3. 3/2; 4. 9/4.

Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2 (Источник)

Рис. 5. Решение задачи 2 (Источник)

На бруски действует одна и та же сила, только в разных направлениях, поэтому ускорение в случае «а» и случае «б» будет одним и тем же, так как одна и та же сила вызывает ускорение двух масс. Но в случае «а» эта сила натяжения заставляет двигаться еще и брусок 2, в случае «б» это брусок 1. Тогда отношение этих сил будет равно отношению их масс и мы получим ответ – 1,5. Это третий ответ.

Задача 3

На столе лежит брусок массой 1 кг, к которому привязана нить, перекинутая через неподвижный блок. Ко второму концу нити подвешен груз массой 0,5 кг (рис. 6). Определить ускорение, с которым движется брусок, если коэффициент трения бруска о стол составляет 0,35.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 3 (Источник)

Записываем краткое условие задачи:

Рис. 7. Решение задачи 3 (Источник)

Необходимо помнить, что силы натяжения  и  как векторы разные, но величины этих сил одинаковы и равны  Точно также у нас будут одинаковы и ускорения этих тел, так как они связаны нерастяжимой нитью, хотя направлены они в разные стороны:  – горизонтально,  – вертикально. Соответственно, и оси для каждого из тел выбираем свои. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из этих тел, при сложении внутренние силы натяжения сократятся, и получим обычное уравнение, подставив в него данные, получим, что ускорение равно .

Для решения таких задач можно пользоваться методом, который использовался в прошлом веке: движущей силой в данном случае является результирующая внешних сил, приложенных к телу. Заставляет двигаться эту систему сила тяжести второго тела, но мешает движению сила трения бруска о стол, в этом случае:

 , так как движутся оба тела, то движущая масса будет равна сумме масс  , тогда ускорение будет равно отношению движущей силы на движущую массу  Так можно сразу прийти к ответу.

Задача 4

В вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы  и , закреплен блок. По поверхности плоскостей при коэффициенте трения 0,2 движутся бруски  кг и , связанные нитью, перекинутой через блок (рис. 8). Найти силу давления на ось блока.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 4 (Источник)

Выполним краткую запись условия задачи и поясняющий чертеж (рис. 9):

Рис. 9. Решение задачи 4 (Источник)

Мы помним, что если одна плоскость составляет угол в 60⁰ с горизонтом, а вторая плоскость – 30⁰ с горизонтом, то угол при вершине будет 90⁰, это обычный прямоугольный треугольник. Через блок перекинута нить, к которой подвешены бруски, они тянут вниз с одной и той же силой, и действие сил натяжения F_н1 и F_н2 приводит к тому, что на блок действует их результирующая сила. Но между собой эти силы натяжения будут равны, составляют они между собой прямой угол, поэтому при сложении этих сил получается квадрат вместо обычного параллелограмма. Искомая сила F_д является диагональю квадрата. Мы видим, что для результата нам необходимо найти силу натяжения нити. Проведем анализ: в какую сторону движется система из двух связанных брусков? Более массивный брусок, естественно, перетянет более легкий, брусок 1 будет соскальзывать вниз, а брусок 2 будет двигаться наверх по склону, тогда уравнение второго закона Ньютона для каждого из брусков будет выглядеть:

Решение системы уравнений для связанных тел выполняется методом сложения, далее преобразовываем и находим ускорение:

=

Это значение ускорения необходимо подставить в формулу для силы натяжения и найти силу давления на ось блока:

Мы выяснили, что сила давления на ось блока приблизительно равна 16 Н.

Заключение

Мы рассмотрели различные способы решения задач, которые многим из вас пригодятся в дальнейшем, чтобы понять принципы устройства и работы тех машин и механизмов, с которыми придется иметь дело на производстве, в армии, в быту.

Список литературы

1. Тихомирова С. А., Яворский Б. М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л. Э., Дик Ю. И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И. К., Кикоин А. К. Физика-9. – М.: Просвещение, 1990.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «bambookes.ru» (Источник)
2. Интернет-портал «10klass.ru» (Источник)
3. Интернет-портал «festival.1september.ru» (Источник)

Домашнее задание

1. Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
2. Какие величины одинаковы у тел, связанных нерастяжимой нитью? 

Два тела
массами по 0,2 кг, на одном из которых лежит перегрузок массой 0,05 кг, связаны
невесомой нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок. Определите
ускорения тел, силу давления перегрузка на тела и силу давления на ось блока.

Решение.

Систему
отсчета свяжем с лабораторией и будем считать ее инерциальной. Начало координат
выберем в точке, совпадающей с осью блока, ось OY направим вертикально вниз.

В качестве
физических систем будем поочерёдно рассматривать первое тело, второе тело,
перегрузок и блок. Причем, тела и перегрузок примем за материальные точки, а
блок будем считать абсолютно твердым телом.

Взаимодействием
с воздухом, массой

блока, массой нити и ее деформацией, а также трением в оси
блока пренебрегаем.

Для решения
задачи воспользуемся законами динамики (вторым законом Ньютона и законами для
частных сил). Движущиеся тела m₁ , m₂ и ∆m
взаимодействуют с
гравитационным полем Земли, т.е. на них действуют силы тяжести m₁g , m₂g и ∆m , направленные вертикально вниз;
взаимодействие тел m₁ и m₂ с нитью дает силы упругости T₁ и T₂ , направленные вертикально вверх;
кроме того, тело m₂ взаимодействует с перегрузком ∆m , что дает силу давления перегрузка
на это тело F
и силу реакции N
, действующую со стороны этого тела на перегрузок.

Согласно
второму закону Ньютона, для каждого из движущихся тел получим систему

.

Если спроецировать
векторные величины на ось OY,
получим:

Поскольку нить
невесомая и нерастяжимая, то T₁ = T₂ = T
и a₁ = a₂ = a.

Согласно третьему закону
Ньютона F
= N. По условию задачи m₁ = m₂ = m. С учетом того динамические законы
движения тел можно записать следующим образом

Если решить эту систему
уравнений относительно неизвестных, получим:

Для нахождения силы
давления на ось блока рассмотрим силы, действующие на него. Взаимодействие блока
с нитью дает две силы упругости T’₁
и T’₂ направленные вертикально
вниз. С учетом того, что нить невесома и нерастяжима, имеем: T’₁ = T’₂ = T . Откуда найдем силу натяжения

Кроме того, на блок
действует сила реакции оси N’
, на которой этот блок закреплен. Таким образом, N’ + T’₁ + T’₂  = 0 , откуда N’ = T’₁ + T’₂ = 2T .

По третьему закону
Ньютона сила давления F’
на ось блока равно по модулю силе реакции оси N’ , т.е.

Численно: a = 1.1 м/с²; F = 0.44 H; F’ = 19 H.

Источник: Физика. Полный курс подготовки к ЦТ.  Под общей редакцией проф. В.А. Яковенко.

Условие задачи: Двухступенчатый блок (см. рис.) состоит из лёгких, жёстко соединённых дисков, которые могут вращаться без трения вокруг оси О пренебрежимо малой массы. Диаметры дисков отличаются в два раза. К концам лёгких нерастяжимых нитей, намотанных на диски блока, присоединены грузы массой: m1 = 0,5 кг и m2 = 0,4 кг. Система находится на гладком горизонтальном столе. К оси блока приложена сила, равная F = 1,8 Н. Найдите ускорение оси блока а0.
Рисунок здесь: https://mosphys.olimpiada.ru/upload/files/11_1_2021.pdf

Здравствуйте! Не удается разобраться с этой задачей. Записываю кинематическую связь — получаю выражение для ускорения а0 через ускорения грузов. Но сами ускорения найти не удается — не хватает уравнений.
В официальном очень кратком решении каким-то образом сразу из того, что блок невесомый, делается вывод, что силы натяжения нитей относятся как 1:2. Было бы здорово, если бы кто-нибудь объяснил, откуда это следует.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #