Уравнение высоты треугольника
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Как найти уравнение высоты опущенной на плоскость
Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут
Неправильный логин или пароль.
Укажите электронный адрес и пароль.
Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.
Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.
Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль
Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.
Примеры решений по аналитической геометрии в пространстве
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии в пространстве, которые относятся к исследованию пирамиды. Обычно в такой задаче нужно найти длины ребер, углы между ребрами, уравнения граней пирамиды и их площади, объем пирамиды, угол между ребром и гранью, уравнение высоты, длину высоты пирамиды и т.д.
Решения задачи о пирамиде онлайн
Задача 1. Для пирамиды с вершинами в точках $A_1, A_2, A_3, A_4$ найти:
А) длину ребра $A_1A_2$;
Б) угол между ребрами $A_1A_2$ и $A_1A_4$;
В) уравнение плоскости $A_1A_2A_3$;
Г) площадь грани $A_1A_2A_3$;
Д) угол между ребрами $A_1A_4$ и плоскостью $A_1A_2A_3$;
Е) уравнение высоты, опущенной из точки $A_4$ на грань $A_1A_2A_3$;
Ж) объем пирамиды $A_1A_2A_3A_4$.
Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды $$A(12;11;17), B(14;12;14), C(13;14;15), D(12;21;12).$$ Найти:
— объем пирамиды;
— площадь грани $ABC$;
— уравнение плоскости, проходящей через точки $B,C,D$;
— длину высоты пирамиды, опущенной на грань $ABC$.
Задача 3. Пирамида $АВСD$ задана координатами своих вершин: $$А(4, -1,0), B(2, 3, 4), C(-1, 4, 1), D(4, -3, 5).$$ Найдите:
1. угол между ребрами $АВ$ и $АС$,
2. уравнение ребра $АВ$,
3. уравнение грани $АВС$,
4. уравнение высоты, опущенной из вершины $D$, на грань $АВС$,
5. выясните, образуют ли векторы $АВ, АС, АD$ линейно независимую систему,
6. координаты вектора $MN$, если $М$ – середина ребра $AD$, $N$ – середина ребра $ВC$,
7. разложите вектор $MN$ по базису $AB, AC, AD$, если он таковым является.
http://reshka.feniks.help/vysshaya-matematika/analiticheskaja-geometrija/dany-koordinaty-vershin-piramidy
http://www.matburo.ru/ex_ag.php?p1=agpir
1.Определяем уравнение плоскости, проходящей через грань А1А2А3
$$begin{vmatrix}x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\
x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1end{vmatrix} = 0 ;$$
$$begin{vmatrix}x-8 & y-6 & z-4\
10-8 & 5-6 & 5-4\
5-8 & 6-6 & 8-4end{vmatrix} =
begin{vmatrix}x-8 & y-6 & z-4\
2 & -1 & 1\
-3 & 0 & 4end{vmatrix} = $$
$$=(x-8)(-1times4-1times0)-(y-6)(2times4-1(-3))+(z-4)(2times0-(-1)(-3))=$$
$$= -4(x-8)-11(y-6)-3(z-4) = -4x+32-11y+66-3z+12=$$ $$=-4x-11y-3z+110 = 0$$
Уравнение плоскости: $%-4x-11y-3z+110=0$%
или, если умножить на -1: $%4x+11y+3z-110=0$%
2.Получаем уравнение прямой, перпендикулярной плоскости А1А2А3 и проходящей через точку A4 (т.е. высоту пирамиды)
Из уравнения плоскости $%4x+11y+3z-110=0$% берем коэффициенты при x,y,z и получаем нормальный вектор: {4,11,3}.
Параметрическое уравнение прямой с заданным направляющим вектором {A,B,C} и проходящей через данную точку (x0,y0,z0):
$$left{begin{array}{l}x=x_0+At\y=y_0+Bt\z=z_0+Ctend{array}right.$$
Подставляем нормальный вектор плоскости и точку A4:
$$left{begin{array}{l}x=8+4t\y=10+11t\z=7+3tend{array}right.$$
Получили параметрическое уравнение высоты пирамиды.
Если нужно каноническое уравнение, в каждом уравнении выражаем параметр t, а потом приравниваем:
$$left{begin{array}{l}t=frac{x-8}4\t=frac{y-10}{11}\t=frac{z-7}3end{array}right.$$
$$frac{x-8}4 = frac{y-10}{11} = frac{z-7}3$$
Уравнение высоты: $%frac{x-8}4 = frac{y-10}{11} = frac{z-7}3$%
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Пример.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
Решение:
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Аналитическая геометрия — задача на расчет пирамиды (тетраэдра)
Краткая теория
Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное — разобраться и уделить задаче достаточно времени.
Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.
Пример решения задачи
Задача
Даны координаты
вершин пирамиды
. Найти:
Сделать чертеж.
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Решение
Длина ребра
Длину ребра
найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:
Угол между ребрами
Угол между ребрами
и
найдем как угол
между направляющими векторами
и
:
Косинус угла между
векторами:
Угол между ребром и гранью. Векторное произведение
Вычислим угол между
ребром
и гранью
.
Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости
–им будет
векторное произведение векторов
и
.
Найдем векторное произведение. Для этого
вычислим определитель:
Нормальный вектор
плоскости:
Синус угла:
Площадь грани
Вычислим площадь
грани
. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов
и
:
Искомая площадь:
Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов
Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов
и
:
Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:
Искомый объем
пирамиды:
Уравнение прямой в пространстве
Вычислим уравнение
прямой
. Направляющим
вектором искомой прямой является вектор
. Кроме того, прямая проходит через точку
Уравнение искомой
прямой:
Уравнение плоскости
Вычислим уравнение
плоскости
. Нормальный вектор плоскости
. кроме того, плоскость проходит через точку
-уравнение
грани
Уравнение высоты, опущенной на грань
Составим уравнение
высоты, опущенной на грань
из вершины
:
Нормальный вектор
является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку
Искомое уравнение
высоты:
Сделаем схематический чертеж:
Пример 1:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти:
1) координаты и модули векторов А1 А2и А1 А4;
2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;
3) площадь грани А1 А2 А3;
4) объем пирамиды;
5) уравнение прямой А1 А2;
6) уравнение плоскости А1 А2 А3;
7) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3.
Сделать чертеж.
А1 (0; 4; -4), А2 (5; 1; -1), А3 (-1; -1; 3), А4 (0; -3; 7).
Решение от преподавателя:
Пример 2:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1 А2;
2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;
3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1 А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
1. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1).
Решение от преподавателя:
Пример 3:
Решение от преподавателя:
Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
|
= 0 |
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-3)(1*2-0*3) — (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y — 3z-38 = 0
Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y — 3z-38 = 0
Уравнение прямой A1A4:
γ = arcsin(0.267) = 15.486o
Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(0,2,2)
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y — 3z-38 = 0
Уравнение плоскости через вершину A4(0,2,2)
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y — 3z-38 = 0
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0
или
2x+13y-3z-20 = 0
Пример 4:
Решение от преподавателя:
Даны координаты пирамиды: A1(0,1,1), A2(3,4,4), A3(-3,9,3), A4(0,5,4)
- Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
|
= 0 |
Уравнение плоскости A1A2A3
(x-0)(3*2-8*3) — (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x — 15y + 33z-18 = 0
Упростим выражение: -6x — 5y + 11z-6 = 0
2) Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3.
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
Уравнение плоскости A1A2A3: -6x — 5y + 11z-6 = 0
Уравнение прямой A1A4:
γ = arcsin(0.193) = 11.128o
3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(0,5,4)
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: -6x — 5y + 11z-6 = 0
4) Уравнение плоскости через вершину A4(0,5,4)
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости A1A2A3: -6x — 5y + 11z-6 = 0
-6(x-0)-5(y-5)+11(z-4) = 0
или
-6x-5y+11z-19 = 0
5) Координаты вектора A1A4(0;4;3)
Уравнение прямой, проходящей через точку А1(0,1,1) параллельно вектору А1А2(0,4,3) имеет вид:
Пример 5:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1 А2;
2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;
3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1 А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 9).
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Решение от преподавателя:
1) Даны координаты вершин пирамиды: A1(0,1,1), A2(3,4,4), A3(-3,9,3), A4(0,5,4)
Координаты векторов.
Координаты векторов: A1A2(3;3;3) A1A4(0;4;3)
Модули векторов (длина ребер пирамиды)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:
Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: , где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(3;3;3) и A1A3(0;4;3):
А1 = arccos(0,808)
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S =
Найдем векторное произведение
=i(3*2-8*3) — j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i — 15j + 33k
3) Объем пирамиды.
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
|
Координатывекторов:A1A2(3;3;3) A1A3(-3;8;2) A1A4(0;4;3) :
|
|
где определитель матрицы равен:
∆ = 3*(8*3-4*2)-(-3)*(3*3-4*3)+0*(3*2-8*3) = 39
Пример 7:
Решение от преподавателя:
- Угол между ребрами.
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:
где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2(-2;1;3) и A1A3(3;0;2):
γ = arccos(0) = 90.0030 - Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
где
Найдем площадь грани A1A2A3
Найдем угол между ребрами A1A2(-2;1;3) и A1A3(3;0;2):
Площадь грани A1A2A3 - Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:
|
|
|
где определитель матрицы равен:
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18
Пример 8:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 . Найти:
1) длину ребра А1А2;
2) угол между рёбрами А1А2 и А1А4 ;
3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;
4) площадь грани А1А2А3;
5) объём пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;
Сделать чертёж.
А1(3; 5; 4), А2(8; 7; 4), А3(5; 10; 4), А4(4; 7; 8).
Решение от преподавателя:
1) Длина ребра A1A2;
2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1А2А3;
Найдем уравнение стороны А1А4:
Вектор нормали: к плоскости А1А2А3.
4) площадь грани А1А2А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1А2;
7) уравнение плоскости А1А2А3;
Итак: z=4 – уравнение плоскости А1А2А3.
уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.
A4O – высота:
Уравнение A4O:
Т.к. , то
В результате получаем уравнение высоты:
Пример 9:
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.
Найти: 1) длину ребра А1 А2;
2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;
3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;
4) площадь грани А1 А2 А3;
5) объем пирамиды;
6) уравнение прямой А1 А2;
7) уравнение плоскости А1 А2 А3;
уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.
А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 9).