Как найти уравнение сторон ромба

Сторона ромба онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора ромба можно найти длину стороны ромба по известным элементам. Для нахождения стороны ромба введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Открыть онлайн калькулятор

1. Сторона ромба через высоту и площадь

Пусть известны площадь и высота ромба (Рис.1).

Покажем, что сторона ромба через высоту и площадь вычисляется формулой

Формула площади ромба через сторону и высоту имеет следующий вид:

Откуда легко вывести формулу (1).

2. Сторона ромба через высоту и угол

Рассмотрим ромб с высотой h и углом α между сторонами (Рис.2). Выведем формулу вычисления стороны ромба через высоту и угол.

Для прямоугольного треугольника AHB применим теорему синусов:

(small frac<large a><large sin 90°>=frac<large h><large sin alpha>.)

Откуда получим формулу вычисления высоты ромба через сторону и угол между сторонами:

Заметим, что формула (2) справедлива для любого угла ромба, как для острого, так и для тупого. Действительно. Из четвертого свойста ромба (см. статью Ромб) следует, что сумма соседних углов ромба равна 180°. Тогда для угла C можно записать: (small angle C=180°-alpha.) Следовательно (small sin angle C=sin(180°-alpha)=sin alpha.) Получили, что синусы углов ромба равны. Поэтому в качестве угла между сторонами ромба можно выбрать любой угол ромба.

3. Сторона ромба через диагонали

Выведем формулу вычисления сторон ромба через диагонали.

Выразим сторону a ромба через диагонали. Поскольку диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения (свойства 5 и 6 ромба), то диагонали делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника (Рис.3).

Применим к прямоугольному треугольнику AOB теорему Пифагора:

(small a^2= left( frac<large d_1> <large 2>right)^2+left( frac<large d_2> <large 2>right)^2.)

4. Сторона ромба через угол и противолежащую диагональ

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и противолежащая диагональ d=AC (Рис.4). Выведем формулу вычисления сторон ромба.

Проведем другой диагональ BD. Как было отмечено выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Кроме этого, диагонали ромба делят углы ромба пополам. Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника AOB:

Откуда получим формулу стороны ромба через угол и противолежащую диагональ:

Формулу (4) можно записать и в другом виде, применяя формулу синуса половинного угла:

Подставляя (5) в (4), получим:

(small a=frac<large d><large 2 cdot sqrt<frac<large 1-cos alpha><large 2 >>>.)

5. Сторона ромба через угол и диагональ из данного угла

Пусть известны один из углов α=∠ABC ромба и диагональ из данного угла d=BD (Рис.5). Выведем формулу вычисления высоты ромба.

Проведем другой диагональ AC. Как было отмечено в выше, диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам точкой их пересечения. Для прямоугольного треугольника AOB, имеем:

Учитывая, что ( small BO=frac<large d><large 2>) и ( small angle ABO=frac<large alpha><large 2>), формулу (13) можно записать так:

(small frac< large frac<large d > <large 2>><large a>= cos frac<large alpha> <large 2>.)

Формулу (8) можно записать и в другом виде, применяя формулу косинуса половинного угла:

Подставляя (9) в (8), получим:

(small a=frac<large d><large 2 cdot sqrt<frac<large 1+cos alpha><large 2 >>>.)

6. Сторона ромба через площадь и радиус вписанной в ромб окружности

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и радиус вписанной в ромб окружности вычисляется формулой

Из формулы (11) получим:

7. Сторона ромба через площадь и угол

В статье Площадь ромба показали, что площадь ромба через сторону и угол вычисляется формулой

Из формулы (13) найдем a:

Получили формулу сторон ромба через площадь и угол.

Электронная библиотека

Пример 1. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон: и и уравнение одной из его диагоналей: . Решение. Выясним взаимное расположение известных сторон ромба. Угловой коэффициент k прямой определяется по формуле:

Стороны параллельны, так как имеют одинаковый угловой коэффициент:

Для построения рисунка (рис. 4.1) запишем уравнения в отрезках для данных прямых:

Наметим план решения: 1) находим вершины ромба P и Q ; 2) находим точку пересечения диагоналей ромба N ; 3) через точку N проводим диагональ D 2 ; 4) находим оставшиеся вершины ромба R и S .1) Так как точка P является точкой пересечения прямых L 2 и D 1 , то ее координаты находим из системы уравнений:

Из рис. 4.1 сразу находим координаты точки Q (- 2, 0) . 2) Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то точка является серединой отрезка PQ , поэтому ее координаты — полусумма соответствующих координат точек P и Q :

3) Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны, то прямая D 2 перпендикулярна вектору . Найдем его координаты:

По формуле (3.1) находим уравнение диагонали D 2 как уравнение прямой, проходящей через точку N (- 3, 1) перпендикулярно вектору = <2; — 2>:

2( x — (- 3)) + (- 2)( y — 1) = 0, x — y + 4 = 0.

4) Вершины ромба R и S — точки пересечения прямых L 2 и D 2 , L 1 и D 2 , соответственно, находим из уравнений:

Ответ: P (- 4, 2) R (- 6, — 2), Q (- 2, 0), S (0, 4).

Пример 2. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину P (2, — 7), уравнения высоты 3 x + y + 11 = 0 и медианы x + 2 y + 7 = 0, проведенных из разных вершин. Решение. Для построения рисунка (рис. 4.2) приведем уравнения данных прямых к уравнениям в отрезках:

h : 3 x + y + 11 = 0, m : x + 2 y + 7 = 0 ,

План решения:1) находим уравнение прямой PQ ;2) находим координаты точки R ;3) находим уравнения прямых RP и RQ .1) Находим нормальный вектор прямой h : . Уравнение стороны PQ , проходящей через точку P (2, — 7) параллельно вектору , запишем в виде:

Находим координаты точки Q — точки пересечения прямых PQ и m :

2) По свойству медианы треугольника PQR точка S ( x S , y S ) является серединой отрезка RP . Следовательно:

Точка S лежит на медиане m , значит,

Точка R лежит на высоте h , значит,

Из последних двух уравнений определяем координаты точки R , решая систему: 3) Используя формулу (3.4), составим уравнение прямой RP , проходящей через две заданные точки R и P : Аналогично, составим уравнение прямой RQ : Ответ: x — 3 y — 23 = 0, ,

как составить уравнения сторон ромба.

как составить уравнения сторон ромба ABCD и найти его площадь, если известны уравнения сторон AB u BC и координаты вершины Д.
АВ: 2x+y-2=0
BC: 2x-y-2=0
D(4,2)

составить уравнение прямой проходящей через точку А, перпендикулярно к плоскости, которая проходит через точки А, В и С.
А (0,-1,0) В (2,1,-2) С (1,4,1)

Найти точку пересечения плоскости ХОУ и прямой проходящей через точки А и В.
А (-9,7,-2) В (-11,2,3)

найти проекцию точки А на прямую, заданную как пересечение двух плоскостей.
А (-2,1,-1)
1: x+4y+2z-3=0
2: 2x+5y+z=0

найти радиус и координаты центра окружности, заданной уравнением:
x^2+y^2+6x-8y=0

4. приведи к виду (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2, тогда А и В — координаты центра,

We can use parallel vector properties and similitude shrink ratio $sigma$ for entire figure of rhombus of 4 lines built around the origin $O$. Let vertices of rhombus be

$$O(9,0),quad A(3,4),quad B(5,12),quad D(3+5=8, 4+12=16);$$

Diagonal length is $sqrt{8^2+16^2}={8sqrt5} $ and scale-down ratio $sigma= dfrac{12}{8sqrt5} =dfrac{3}{2sqrt 5} $

Equations of lines $ (OA,OB)$

$$ dfrac{y-16}{x-8}=dfrac{12}{5},quaddfrac{y-16}{x-8}=dfrac{4}{3}, $$

and corresponding outer parallel scaled lines $ (DB,DA)$ become

$$ dfrac{y-16sigma}{x-8sigma}=dfrac{12}{5},quaddfrac{y-16sigma}{x-8sigma}=dfrac{4}{3}. $$
which can be further simplified.

Next we find perpendicular bisector of new shortened $OD$ to find points of intersection with old/given line equations of $(OA,OB);$ the slopes do not change but the constant term $y-$ intercept changes.

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Найти уравнения сторон ромба по двум вершинам и прямой Добавлено: 08 окт 2011, 14:47
Начинающий Зарегистрирован: 08 окт 2011, 14:37 Сообщений: 20 Cпасибо сказано: 4 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1	Точки А(4;5) и С(2;-1) являются двумя противоположными вершинами ромба, а прямая x-y+1=0 одной из его сторон. Найти уравнения остальных сторон ромба.
Вернуться к началу

olya-kolbasova	Заголовок сообщения: Re: Найти уравнения сторон Добавлено: 08 окт 2011, 22:11
	Как определить то, если ничего не сказано!
Вернуться к началу

olya-kolbasova	Заголовок сообщения: Re: Найти уравнения сторон Добавлено: 09 окт 2011, 14:45
	Так получается точка А принадлежит прямой! А дальше что?
Вернуться к началу

Alexdemath	Заголовок сообщения: Re: Найти уравнения сторон Добавлено: 09 окт 2011, 15:21
	olya-kolbasova Так так точки [math]A,B[/math] — противоположные вершины ромба, то, следовательно, они лежат на одной диагонали. Найдите уравнение этой диагонали как уравнение прямой, проходящей через две точки. Для отыскания уравнение второй диагонали воспользуйтесь тем, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом. А ещё можно вспомнить, что диагонали ромба являются его биссектрисами.
Вернуться к началу
	За это сообщение пользователю Alexdemath «Спасибо» сказали: mad_math

olya-kolbasova	Заголовок сообщения: Re: Найти уравнения сторон ромба по двум вершинам и прямой Добавлено: 09 окт 2011, 15:51
	как я могу найти уравнение диагонали по двум точкам, если я знаю только 1 это точка А, а точка В не известна! И для чего нужны вообще диагонали, если мне нужны уравнения сторон ромба!
Вернуться к началу

olya-kolbasova	Заголовок сообщения: Re: Найти уравнения сторон ромба по двум вершинам и прямой Добавлено: 09 окт 2011, 16:54
	Всё понятно, ну найду я две диагонали, а дальше что?
Вернуться к началу

Основные
методы составления уравнений прямых
наглядно можно продемонстрировать на
примере построения уравнений линейных
элементов треугольника .

Пример15.
Треугольник
задан координатами своих вершин:,и(Рис. 9)

Найти:

1. медиану;

2. среднюю
   линию
   ;

3. высоту

   ;

4. биссектрису

   ;

5. центр
   описанной окружности.

Решение.

1. Найдем
   медиану
   .
   Вычислим координаты точки
   середины отрезка
   .

.
Уравнениенайдем
по двум точкам:

.

1. Найдем
   среднюю линию
   .

Способ
1. Вычислим
координаты середины стороны

точки
..
Уравнениенайдем по двум точкам:

.

Способ
2. Найдем
по
точкеи направляющему вектору, в качестве
которого можно взять вектор.

Вычислим:

.

Тогда:

Очевидно,
что для
получилось то же уравнение, что и при
первом способе.

1. Уравнение
   высоты
   найдем по точке и перпендикулярному
   вектору, в качестве которого можно
   взять вектор.

.

1. Биссектрису
   можно найти разными способами (Рис.
   10). Но, если числовые данные в задаче
   специально не подобраны, то все эти
   способы приводят к громоздким
   вычислениям. Наиболее легким для
   запоминания является способ, основанный
   на следующем факте:

вектор
суммы векторов одинаковой длины идет
в точности по биссектрисе угла,
образованного этими векторами (свойство
ромба).

Поскольку
требуется найти биссектрису угла
,
то возьмем два вектора, исходящих именно
из этой вершины:и.
Вычислим их длины:

;

.

Очевидно,
что их длины не равны. А теперь от
векторов
иперейдем к их ортами,
векторам с тем же направлением, но
одинаковой единичной длины.

;
.

Построим
новый вектор

.

Этот
вектор уже можно использовать в качестве
направляющего для биссектрисы, но
работать с ним нелегко. Вместо него
можно взять другой вектор, попроще.

Корни,
конечно, никуда не исчезли, но, по крайней
мере, не стало дробей.

По
формуле (9) имеем:


Если
Вам не нравится отрицательный коэффициент
при
,
умножьте все уравнение на (1
):

1. Найдем
   центр окружности, описанной вокруг
   треугольника
   .

Он,
как известно, находится в точке
пересечения любых двух серединных
перпендикуляров треугольника
(Рис.11)..

Поскольку ранее
были найдены координаты середин сторон
и,
найдем уравнения серединных перпендикуляров
именно к этим сторонам:и.

Для

имеем:

Для

имеем:

Найдем
точку пересечения полученных серединных
перпендикуляров:

и

Воспользуемся
формулами Крамера:

;
;
.

;

Задачи
для самостоятельного решения

1. Известны уравнения двух сторон ромба ,и уравнение одной из его диагоналей. Составить уравнение второй диагонали.Ответ: .

2. Известны
   уравнения двух сторон ромба
   ,и уравнение одной из его диагоналей.

   Составить уравнение второй
   диагонали.Ответ: .

3. Даны
   уравнения двух сторон параллелограмма
   ,и точка пересечения его диагоналей.
   Найти уравнения двух других сторон.
   Ответ: ,.

4. Даны
   вершины треугольника
   ,и.
   Составить уравнение перпендикуляра,
   опущенного из вершинына
   биссектрису внутреннего угла при
   вершине.Ответ: .

5. Найти
   точку
   ,
   симметричную точкеотносительно прямой, проходящей
   через точкии.

Ответ:.

1. Точки
   иявляются
   противоположными вершинами квадрата.
   Определить координаты двух других
   вершин квадрата.

Ответ:и

1. Найти прямые,
   принадлежащие пучку
   и
   перпендикулярные основным прямым
   пучка.

Ответ: ,.

1. Даны стороны
   треугольника:
   ;и.
   Составить уравнения медианы ,
   проходящей через вершину,
   и высоты, проходящей через вершину.Ответ:
   ,.

2. Составить
   уравнения трех сторон квадрата, если
   известно, что четвертой стороной
   являются отрезок прямой
   ,
   концы которого лежат на осях координат.

Ответ: ,,или.

1. Доказать,
   что четырехугольник с вершинами
   ,,и–
   трапеция. Найти точку пересечения
   средней линии трапеции и высоты,
   опущенной из вершины С на сторону
   .

Ответ:

1. Вершины
   четырехугольника:
   ,,,.
   Доказать, что этот четырехугольник
   ромб. Найти точку пересечения
   перпендикуляра из вершины
   на
   сторонус прямой, проходящей через вершину
   и середину.

Ответ:

1. Даны
   три из четырёх вершин трапеции
   :.
   Известно, что диагонали трапеции
   взаимно перпендикулярны. Найти
   координаты вершиныэтой трапеции.

Ответ:

ГЛАВА
2. Плоскость

§
1 Вступление

В
аналитической геометрии плоскость
это геометрическое множество точек в
пространстве, координаты которых
удовлетворяют уравнению

.

общее уравнение
плоскости;

уравнение
плоскости в отрезках,

где
абсцисса точки пересечения плоскостис
осью;ордината точки пересеченияс
осью,
ааппликата точки
пересеченияс
осью.

§
2 Вывод уравнения плоскости при разных
способах
ее задания.

(15)

Чтобы
получить общее уравнение плоскости
,
нужно символьно вычислить этот
определитель, например, разложив его
по первой строке.

Пример16.
Даны вершины тетраэдра:
,,и.
Найти уравнение грани.

Р

D(-1;0;5)

ешение.Замечу, что эту задачу можно решать
«вслепую», без чертежа. Но для лучшего
понимания методов решения, чертеж (хотя
бы схематический) лучше все-таки
нарисовать.

Обозначимпроизвольная точка
плоскости, в которой лежит основание.





• .

Окончательно

.

• Уравнение
  плоскости, проходящей через данную
  точку
  перпендикулярно данному вектору

(16)

Пример17.Даны вершины тетраэдра:,,и.
Найти уравнение плоскости, проходящей
через вершинуперпендикулярно ребру.

Решение.Искомая плоскостьизображена на Рис 13. Так как по условию
плоскостьперпендикулярна боковому ребру,
то векторперпендикулярен плоскости треугольника.
Точка.

Тогда
.

Пример
18.
Известно, что точки:
исимметричны относительно некоторой
плоскости.
Найти уравнение этой плоскости.

Р

B

ешение.
Искомая плоскость изображена на Рис.14.

Поскольку по условию точки
исимметричны
относительно плоскости,
то они лежат на перпендикуляре к этой
плоскости, проходящем черези.
Так какиравноудалены
от плоскости,
то эта плоскость проходит через середину
отрезка
точку
.
Нарисуем вектори введем его аналитически.
Вычислим координаты точки:. По формуле (16 ) построим
уравнение искомой плоскости



/
поделим на (
4) / 



.

(17)

Замечание.
Решение многих задач на составление
уравнения плоскости на практике сводится
к поиску трех компланарных векторов.
Их смешанное произведение, как известно,
равно нулю. В координатах смешанное
произведение вычисляется с помощью
определителя 3-го порядка, строки
которого и есть координаты этих трех
векторов. Именно в этом и заключается
смысл формул (15) и (17 ).

Пример
19.
Составить уравнение плоскости, проходящей
через точку
параллельно двум векторами.

Решение.
Прежде всего заметим, что векторы
ине параллельны, так как их координаты
не пропорциональны(Рис.15). Далее, обозначим
произвольная точка искомой плоскости.
Нарисуем вектор
и введем его аналитически.
По условию искомая плоскость параллельна
векторамиили, что то же самое, векторыипараллельны искомой плоскости . Это в
свою очередь означает, что параллельным
переносом векторыиможно переместить в плоскость вектора.
Следовательно все три вектора,икомпланарны и их смешанное произведение,
что в координатах дает уравнение



или
.

(18)

Пример
20.
Известно, что пространственная прямая
,
проходящая через точку,
пересекает плоскостьв точке.
Найти уравнение плоскости,
проектирующей прямуюна
данную плоскость(Рис. 16).

Решение.
Две точки, через которые проходит
искомая плоскость
,
уже имеются
это точки
и.
По этим точкам можно ввести вектор,
заведомо лежащий в искомой плоскости.
Далее, как всегда, введем точку
произвольную точку искомой плоскости.
По ней и по точке, например,
введем
еще один вектор, также лежащий в искомой
плоскости, а именно.
Осталось найти вектор, которому плоскостьпараллельна
или, что то же самое, который параллелен
этой плоскости. Таковым является вектор
нормальный вектор данной плоскости
.
Введенные три вектора компланарны, а
значит их смешанное произведение,
что в координатах дает уравнение:

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Даны уравнения сторон ромба x+3y-8=0, 3x-y+16=0 и его диагонали 2x+y+4=0. Найти уравнения остальных сторон ромба.

Я выяснил, что стороны и диагонали выходят из одной точки (-4;4). Также легко понять, что каждая сторона будет параллельна одной из данных, т.е. уравнения будут отличать свободным членом. А что дальше то? Нам неизвестны ни центр диагонали, никакие другие точки.

Это задача по теме «Пучок прямых». Т.е. прямую можно задать как прямую пучка: α(A1x + B1y + C1) +β(A2y + B2y + C2) = 0. Дальше мои мысли кончились и я прошу помощи. Задачу сдавать уже завтра, а я даже не знаю с чего начать.