Содержание
- Уравнение и его корни: определения, примеры
- Что такое уравнение?
- Что такое корень уравнения?
- Квадратные неравенства с одним корнем или без корней
- Квадратные неравенства, у которых получается один корень
- Квадратные неравенства, не имеющие корней (нет решений)
- Что такое корень уравнения
- Корнем уравнения называют число, подстановка которого в уравнение вместо переменной (обычно (x)), дает одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно.
- Ответы на часто задаваемые вопросы
Уравнение и его корни: определения, примеры
Получив общее представление о равенствах, и познакомившись с одним из их видов — числовыми равенствами, можно начать разговор еще об одном очень важном с практической точки зрения виде равенств — об уравнениях. В этой статье мы разберем, что такое уравнение, и что называют корнем уравнения. Здесь мы дадим соответствующие определения, а также приведем разнообразные примеры уравнений и их корней.
Навигация по странице.
Что такое уравнение?
Целенаправленное знакомство с уравнениями обычно начинается на уроках математики во 2 классе. В это время дается следующее определение уравнения:
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.
Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p , t , u и т.п., но наиболее часто используются буквы x , y и z .
Таким образом, уравнение определяется с позиции формы записи. Иными словами, равенство является уравнением, когда подчиняется указанным правилам записи – содержит букву, значение которой нужно найти.
Приведем примеры самых первых и самых простых уравнений. Начнем с уравнений вида x=8 , y=3 и т.п. Чуть сложнее выглядят уравнения, содержащие вместе с числами и буквами знаки арифметических действий, например, x+2=3 , z−2=5 , 3·t=9 , 8:x=2 .
Разнообразие уравнений растет после знакомства со скобками – начинают появляться уравнения со скобками, например, 2·(x−1)=18 и x+3·(x+2·(x−2))=3 . Неизвестная буква в уравнении может присутствовать несколько раз, к примеру, x+3+3·x−2−x=9 , также буквы могут быть в левой части уравнения, в его правой части, или в обеих частях уравнения, например, x·(3+1)−4=8 , 7−3=z+1 или 3·x−4=2·(x+12) .
Дальше после изучения натуральных чисел происходит знакомство с целыми, рациональными, действительными числами, изучаются новые математические объекты: степени, корни, логарифмы и т.д., при этом появляются все новые и новые виды уравнений, содержащие эти вещи. Их примеры можно посмотреть в статье основные виды уравнений, изучающиеся в школе.
В 7 классе наряду с буквами, под которыми подразумевают некоторые конкретные числа, начинают рассматривать буквы, которые могут принимать различные значения, их называют переменными (смотрите статью числовые, буквенные выражения и выражения с переменными). При этом в определение уравнения внедряется слово «переменная», и оно становится таким:
Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, уравнение x+3=6·x+7 – уравнение с переменной x , а 3·z−1+z=0 – уравнение с переменной z .
На уроках алгебры в том же 7 классе происходит встреча с уравнениями, содержащими в своей записи не одну, а две различные неизвестные переменные. Их называют уравнениями с двумя переменными. В дальнейшем допускают присутствие в записи уравнений трех и большего количества переменных.
Уравнения с одной, двумя, тремя и т.д. переменными – это уравнения, содержащие в своей записи одну, две, три, … неизвестные переменные соответственно.
Например, уравнение 3,2·x+0,5=1 – это уравнение с одной переменной x , в свою очередь уравнение вида x−y=3 – это уравнение с двумя переменными x и y . И еще один пример: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27 . Понятно, что такое уравнение – это уравнение с тремя неизвестными переменными x , y и z .
Что такое корень уравнения?
С определением уравнения непосредственно связано определение корня этого уравнения. Проведем некоторые рассуждения, которые нам помогут понять, что такое корень уравнения.
Допустим, перед нами находится уравнение с одной буквой (переменной). Если вместо буквы, входящей в запись этого уравнения, подставить некоторое число, то уравнение обратиться в числовое равенство. Причем, полученное равенство может быть как верным, так и неверным. Например, если вместо буквы a в уравнение a+1=5 подставить число 2 , то получится неверное числовое равенство 2+1=5 . Если же мы в это уравнение подставим вместо a число 4 , то получится верное равенство 4+1=5 .
На практике в подавляющем большинстве случаев интерес представляют такие значения переменной, подстановка которых в уравнение дает верное равенство, эти значения называют корнями или решениями данного уравнения.
Корень уравнения – это такое значение буквы (переменной), при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.
Отметим, что корень уравнения с одной переменной также называют решением уравнения. Другими словами, решение уравнения и корень уравнения – это одно и то же.
Поясним это определение на примере. Для этого вернемся к записанному выше уравнению a+1=5 . Согласно озвученному определению корня уравнения, число 4 есть корень этого уравнения, так как при подстановке этого числа вместо буквы a получаем верное равенство 4+1=5 , а число 2 не является его корнем, так как ему отвечает неверное равенство вида 2+1=5 .
На этот момент возникает ряд естественных вопросов: «Любое ли уравнение имеет корень, и сколько корней имеет заданное уравнение»? Ответим на них.
Существуют как уравнения, имеющие корни, так и уравнения, не имеющие корней. Например, уравнение x+1=5 имеет корень 4 , а уравнение 0·x=5 не имеет корней, так как какое бы число мы не подставили в это уравнение вместо переменной x , мы получим неверное равенство 0=5 .
Что касается числа корней уравнения, то существуют как уравнения, имеющие некоторое конечное число корней (один, два, три и т.д.), так и уравнения, имеющие бесконечно много корней. Например, уравнение x−2=4 имеет единственный корень 6 , корнями уравнения x 2 =9 являются два числа −3 и 3 , уравнение x·(x−1)·(x−2)=0 имеет три корня 0 , 1 и 2 , а решением уравнения x=x является любое число, то есть, оно имеет бесконечное множество корней.
Пару слов стоит сказать о принятой записи корней уравнения. Если уравнение не имеет корней, то обычно так и пишут «уравнение не имеет корней», или применяют знак пустого множества ∅. Если уравнение имеет корни, то их записывают через запятую, или записывают как элементы множества в фигурных скобках. Например, если корнями уравнения являются числа −1 , 2 и 4 , то пишут −1 , 2 , 4 или <−1, 2, 4>. Допустимо также записывать корни уравнения в виде простейших равенств. Например, если в уравнение входит буква x , и корнями этого уравнения являются числа 3 и 5 , то можно записать x=3 , x=5 , также переменной часто добавляют нижние индексы x1=3 , x2=5 , как бы указывая номера корней уравнения. Бесконечное множество корней уравнения обычно записывают в виде числового промежутка, также при возможности используют обозначения множеств натуральных чисел N , целых чисел Z , действительных чисел R . Например, если корнем уравнения с переменной x является любое целое число, то пишут 
, а если корнями уравнения с переменной y является любое действительное число от 1 до 9 включительно, то записывают 
.
Для уравнений с двумя, тремя и большим количеством переменных, как правило, не применяют термин «корень уравнения», в этих случаях говорят «решение уравнения». Что же называют решением уравнений с несколькими переменными? Дадим соответствующее определение.
Решением уравнения с двумя, тремя и т.д. переменными называют пару, тройку и т.д. значений переменных, обращающую это уравнение в верное числовое равенство.
Покажем поясняющие примеры. Рассмотрим уравнение с двумя переменными x+y=7 . Подставим в него вместо x число 1 , а вместо y число 2 , при этом имеем равенство 1+2=7 . Очевидно, оно неверное, поэтому, пара значений x=1 , y=2 не является решением записанного уравнения. Если же взять пару значений x=4 , y=3 , то после подстановки в уравнение мы придем к верному равенству 4+3=7 , следовательно, эта пара значений переменных по определению является решением уравнения x+y=7 .
Уравнения с несколькими переменными, как и уравнения с одной переменной, могут не иметь корней, могут иметь конечное число корней, а могут иметь и бесконечно много корней.
Пары, тройки, четверки и т.д. значений переменных часто записывают кратко, перечисляя их значения через запятую в круглых скобках. При этом записанные числа в скобках соответствуют переменным в алфавитном порядке. Поясним этот момент, вернувшись к предыдущему уравнению x+y=7 . Решение этого уравнения x=4 , y=3 кратко можно записать как (4, 3) .
Наибольшее внимание в школьном курсе математики, алгебры и начал анализа уделяется нахождению корней уравнений с одной переменной. Правила этого процесса мы очень подробно разберем в статье решение уравнений.
Источник
Квадратные неравенства с одним корнем или без корней
Прежде чем перейти к разбору решений не совсем типичных квадратных неравенств, потренируйтесь в решении обычных квадратных неравенств,
у которых при решении соответствующего квадратного уравнения получаются два корня.
Квадратные неравенства, у которых получается один корень
Рассмотрим неравенство, в котором при решении квадратного уравнения методом интервалов получается только один корень. Например, требуется решить следующее квадратное неравенство:
Используем метод интервалов для решения квадратного неравенства. Сразу переходим к п.3 правила из урока «Метод интвервалов», так как п.1 и п.2 уже выполнены. То есть, приравняем левую часть неравенства к нулю и решим полученное квадратное уравнение.
x1;2 =
| −(−2) ± √ (−2) 2 − 4 · 1 · 1 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1 = x2 = 1
У нас получилось, что оба корня имеют одно одинаковое значение равное единице. Другими словами, значение корня повторяется два раза. Отметим это значение на числовой оси согласно п.5 из правила метода интервалов.
Теперь по п.6 отметим знаки внутри интервалов. Но в отличии от решения обычных квадратных неравенств с двумя различными корнями здесь появляется важный нюанс.
Если значение корня в уравнении повторяется четное количество раз, то при расставлении знаков в интервалах при переходе через этот корень знак не меняется.
В нашем случае значение корня повторяется два раза « x1 = x2 = 1 ». Значит, при переходе через это значение знак не поменяется. С учетом выше сказанного проставим знаки в интервалах справа налево, начиная со знака « + ».
Теперь по исходному неравенству определяем, какие интервалы мы запишем в ответ. Исходя из знак неравенства делаем вывод, что нас интересуют отрицательные интервалы.
Таких интервалов на нашем рисунке нет, но неравенство нестрогое, значит, только число « 1 » является решением неравенства. Запишем ответ.
Убедимся в правильности нашего решения, подставив « x = 1 » в исходное неравенство.
1 2 − 2 · 1 + 1 ≤ 0
0 ≤ 0 (верно)
Квадратные неравенства, не имеющие корней (нет решений)
Рассмотрим квадратные неравенства, у которых при решении соответствующего квадратного уравнения не получается ни одного корня. Пусть требуется решить следующее квадратное неравенство.
П.1 и п.2 для решения этого квадратного неравенства методом интервалов уже выполнен, поэтому сразу перейдем к п.3, то есть к решению соответсвующего квадратного уравнения.
x1;2 =
| 2 ± √ 2 2 − 4 · 7 · 1 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
Нет действительных корней
При решении квадратного уравнения мы получили, что действительных корней нет. Но это вовсе не означает, что исходное квадратное неравенство невозможно решить.
Если при решении квадратного уравнения для неравенства получилось, что действительных корней нет, значит, ответом квадратного неравенства будет: «нет действительных решений».
Так и запишем в ответ.
Ответ: нет действительных решений.
При написании ответа для квадратного неравенства важно помнить, что изначально мы решаем именно неравенство , поэтому речь идет именно о « решениях », а не о «корнях».
Помните, что решением любых неравенств, как правило, являются области решений (множество чисел), а в уравнениях — это конкретные числа, которые мы называем корнями уравнений.
Стоит запомнить для себя: уравнения — корни, неравенства — решения.
В завершении урока разберем еще одно квадратное неравенство, при решении которого получается только один корень.
x1;2 =
| 6 ± √ 6 2 − 4 · 1 · 9 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
x1 = x2 = 3
Корень повторяется два раза, значит, знак при переходе через число « 3 » не меняется.
Выберем нужные интервалы. В исходном неравенстве , значит, нам нужны интервалы со знаком « + ».
Ответ: x 3
Источник
Что такое корень уравнения
Корнем уравнения называют число, подстановка которого в уравнение вместо переменной (обычно (x)), дает одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно.
Решая, например, уравнение (2x+1=x+4) находим ответ: (x=3). Если подставить тройку вместо икса, получатся одинаковые значения слева и справа:
И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число (3) – единственный корень уравнения.
Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная , а корень – это число , которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.
Пример : Является ли (5) корнем уравнения (x^<2>-2x-15=0)?
Решение : Подставим (5) вместо икса:
По обе стороны от равно — одинаковые значения (ноль), значит 5 действительно корень.
Матхак : на контрольных таким способом можно проверить верно ли вы нашли корни.
Пример : Какое из чисел (0, pm1, pm2), является корнем для (2x^<2>+15x+22=0)?
Решение : Проверим подстановкой каждое из чисел:
| проверяем (0): | (2cdot0^<2>+15cdot0+22=0) |
| (0+0+22=0) | |
| (22=0) — не сошлось, значит (0) не подходит | |
| проверяем (1): | (2cdot1^<2>+15cdot1+22=0) |
| (2+15+22=0) | |
| (39=0) — опять не сошлось, то есть и (1) не корень | |
| проверяем (-1): | (2cdot(-1)^<2>+15cdot(-1)+22=0) |
| (2-15+22=0) | |
| (9=0) — снова равенство неверное, (-1) тоже мимо | |
| проверяем (2): | (2cdot2^<2>+15cdot2+22=0) |
| (2cdot4+30+22=0) | |
| (60=0) — и вновь не то, (2) также не подходит | |
| проверяем (-2): | (2cdot(-2)^<2>+15cdot(-2)+22=0) |
| (2cdot4-30+22=0) | |
| (0=0) — сошлось, значит (-2) — корень уравнения |
Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований , для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.
Ответы на часто задаваемые вопросы
Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение (3x=0) имеет единственный корень — ноль. Можете проверить подстановкой.
Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ: В уравнении может не быть корней, если нет таких значений для икса, которые сделают уравнение верным равенством. Яркий примером тут может быть уравнение (0cdot x=5). Это уравнение не имеет корней, так как значение икса здесь не играет роли (из-за умножения на ноль) — все равно левая часть будет всегда равна нулю. А ноль не равен пятерке. Значит, корней нет.
Вопрос: Что значит «найдите меньший корень уравнения»?
Ответ: Это значит, что нужно решить уравнение, и в ответ указать его меньший корень. Например, уравнение (x^2-5x-6=0) имеет два корня: (x_1=-1) и (x_2=6). Меньший из корней: (-1). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать (6).
Источник
Содержание:
Уравнения
Уравнения-следствия и равносильные преобразования уравнений
1. Понятие уравнения и его корней
Определение:
Равенство с переменной называется уравнением. В общем виде уравнение с одной переменной
Под этой краткой записью понимают математическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны
Пример:
— линейное уравнение;
— квадратное уравнение;
— иррациональное уравнение (содержит переменную под знаком корня)
Корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет
— корень уравнения 
, так как при 
получаем верное равенство: 
, то есть 
2. Область допустимых значений (ОДЗ)
Областью допустимых значений (или областью определения) уравнения называется общая область определения для функций 
и 
, стоящих в левой и правой частях уравнения
Для уравнения 
ОДЗ: 
, то есть 
, так как область определения функции 
определяется условием: 
, а область определения функции 
— множество всех действительных чисел
3. Уравнения-следствия
Если каждый корень первого уравнения является корнем второго, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.
Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последующего, то получаем уравнения-следствия.
При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в исходное уравнение является составной частью решения.
Пример:
Решение:
► Возведем обе части уравнения в квадрат:
Проверка, 
— корень (см. выше); 
— посторонний корень (при 
получаем неверное равенство 
).
Ответ: 2.
4. Равносильные уравнения
Определение:
Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни.
То есть каждый корень первого уравнения является корнем второго уравнения и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого. (Схема решения уравнений с помощью равносильных преобразований приведена в пункте 5 этой таблицы)
Простейшие теоремы
- Если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве)
- Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получим уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного уравнения)
5. Схема поиска плана решения уравнений
— исходное уравнение;
— уравнение, полученное в результате преобразования исходного;
— символические изображения направления выполненных преобразований
Применение свойств функций к решению уравнений рассмотрено в пункте 3.2.
Объяснение и обоснование:
Понятие уравнения и его корней
Уравнение в математике чаще всего понимают как аналитическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны. Поэтому в общем виде уравнения с одной переменной 
записывают так:
Часто уравнения определяют короче — как равенство с переменной.
Напомним, что корнем (или решением) уравнения с одной переменной называется значение переменной, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Например, уравнение 
имеет единственный корень 
,
а уравнение 
не имеет корней, поскольку значение 
не может быть отрицательным числом.
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения
Если задано уравнение 
, то общая область определения для функций 
и 
называется областью допустимых значений этого уравнения. (Иногда используются также термины «область определения уравнения» или «множество допустимых значений уравнения».) Например, для уравнения 
областью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так: 
, поскольку функции 
и 
имеют области определения 
.
Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как области определения функции 
, так и области определения функции 
(иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.
Например, в уравнении 
функция 
определена при всех действительных значениях 
, а функция 
только при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрицательные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается системой 
из которой получаем систему 
не имеющую решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.
Заметим, что нахождение ОДЗ данного уравнения может быть полезным для его решения, но не всегда является обязательным элементом решения уравнения.
Методы решения уравнений
Для решения уравнений используют методы точного и приближенного решений. А именно, для точного решения уравнений в курсе математики 5-6 классов использовались зависимости между компонентами и результатами действий и свойства числовых равенств; в курсе алгебры 7-9 классов — равносильные преобразования уравнений, а для приближенного решения уравнений — графический метод.
Графический метод решения уравнений не дает высокой точности нахождения корней уравнения, и с его помощью чаще всего можно получить только грубые приближения корней. Иногда удобно графически определить количество корней уравнения или найти границы, в которых находятся эти корни. В некоторых случаях можно графически доказать, что уравнение не имеет корней. По указанным причинам в школьном курсе алгебры и начал анализа под требованием «решить уравнение» понимается требование «используя методы точного решения, найти корни данного уравнения». Приближенными методами решения уравнений можно пользоваться только тогда, когда об этом говорится в условии задачи (например, если ставится задача решить уравнение графически).
В основном при решении уравнений разных видов нам придется применять один из двух методов решения. Первый из них состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, имеющим те же корни,— равносильным уравнением. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым, равносильным ему, и т. д. В результате получаем простейшее уравнение, которое равносильно заданному и корни которого легко находятся. Эти корни и только они являются корнями данного уравнения.
Второй метод решения уравнений состоит в том, что данное уравнение заменяется более простым уравнением, среди корней которого находятся все корни данного, то есть так называемым уравнением-следствием. В свою очередь, полученное уравнение заменяется еще более простым уравнением-следствием, и так далее до тех пор, пока не получим простейшее уравнение, корни которого легко находятся. Тогда все корни данного уравнения находятся среди корней последнего уравнения. Поэтому, чтобы найти корни данного уравнения, достаточно корни последнего уравнения подставить в данное и с помощью такой проверки получить корни данного уравнения (и исключить так называемые посторонние корни — те корни последнего уравнения, которые не удовлетворяют заданному).
В следующем пункте будет также показано применение свойств функций к решению уравнений определенного вида.
Уравнения-следствия
Рассмотрим более детально, как можно решать уравнения с помощью уравнений-следствий. При решении уравнений главное — не потерять корни данного уравнения, и поэтому в первую очередь мы должны следить за тем, чтобы каждый корень исходного уравнения оставался корнем следующего. Фактически это и является определением уравнения-следствия:
в том случае, когда каждый корень первого уравнения является корнем второго, второе уравнение называется следствием первого.
Это определение позволяет обосновать такой ориентир: для получения уравнения-следствия достаточно рассмотреть данное уравнение как верное числовое равенство и гарантировать (то есть иметь возможность обосновать), что каждое следующее уравнение мы можем получить как верное числовое равенство.
Действительно, если придерживаться этого ориентира, то каждый корень первого уравнения обращает это уравнение в верное числовое равенство, но тогда и второе уравнение будет верным числовым равенством, то есть рассматриваемое значение переменной является корнем и второго уравнения, а это и означает, что второе уравнение является следствием первого.
Применим приведенный ориентир к уравнению 
(пока что не используя известное условие равенства дроби нулю).
Если правильно то, что дробь равна нулю, то обязательно ее числитель равен нулю. Таким образом, из заданного уравнения получаем уравнение-следствие 
. Но тогда верно, что 
. Последнее уравнение имеет два корня: 
и 
. Подставляя их в заданное уравнение, видим, что только корень 
удовлетворяет исходному уравнению. Почему это случилось?
Это происходит поэтому, что, используя уравнения-следствия, мы гарантируем только то, что корни заданного уравнения не теряются (каждый корень первого уравнения является корнем второго). Но второе уравнение, кроме корней первого уравнения, имеет еще и другой корень, который не является корнем первого уравнения. Для первого уравнения этот корень является посторонним, и, чтобы его отсеять, выполняется проверка подстановкой корней в исходное уравнение. (Более полно причины появления посторонних корней рассмотрены в таблице 9.) Таким образом, чтобы правильно применять уравнения-следствия для решения уравнений, необходимо помнить еще один ориентир: при использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней, и поэтому проверка подстановкой корней в исходное уравнение является составной частью решения.
Схема применения этих ориентиров дана в таблице 8. В пункте 3 этой таблицы приведено решение уравнения
(1)
Для решения этого уравнения с помощью уравнений-следствий достаточно данное уравнение рассмотреть как верное числовое равенство и учесть, что в случае когда два числа равны, то и их квадраты также будут равны:
(2)
То есть мы гарантируем, что если равенство (1) верно, то и равенство (2) также будет верным, а это и означает (как было показано выше), что уравнение (2) является следствием уравнения (1). Если мы хотя бы один раз использовали уравнения-следствия (а не равносильные преобразования), то можем получить посторонние корни, и тогда в решение обязательно входит проверка полученных корней подстановкой их в заданное уравнение.
Замечание. Переход от данного уравнения к уравнению-следствию можно обозначить специальным значком 
, но его использование для записи решения не является обязательным. Вместе с тем, если этот значок записан, то это свидетельствует о том, что мы воспользовались уравнениями-следствиями, и поэтому обязательно в запись решения необходимо включить проверку полученных корней.
Равносильные уравнения
С понятием равносильности вы знакомы еще из курса алгебры 7 класса, где равносильными назывались те уравнения, которые имели одни и те же корни. Заметим, что равносильными считались и такие два уравнения, которые не имели корней. Формально будем считать, что и в этом случае уравнения имеют одни и те же корни, поскольку ответы к таким уравнениям одинаковы: «уравнения не имеют корней» (точнее: одинаковыми являются множества корней таких уравнений — они оба пустые, что обозначается символом 
).
В курсе алгебры и начал анализа мы будем рассматривать более общее понятие равносильности, а именно: равносильность на определенном множестве.
Два уравнения называются равносильными на некотором множестве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни, то есть каждый корень первого уравнения является корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем первого.
Для уравнений, заданных на множестве всех действительных чисел (например, для линейных), мы можем однозначно дать ответ на вопрос: «Равносильны ли данные уравнения?» Например, уравнения 
и 
— равносильные, поскольку оба имеют одинаковый корень 
и других корней не имеют. Таким образом, каждое из них имеет те же решения, что и второе. При рассмотрении равносильности уравнений на множестве, которое отличается от множества всех действительных чисел, ответ на вопрос «Равносильны ли данные уравнения?» может существенно зависеть от того, на каком множестве мы рассматриваем эти уравнения. Например, если рассмотреть уравнения:
(3)
(4)
то, как было показано выше, уравнение (3) имеет единственный корень 
, а уравнение (4) — два корня: 
и 
. Таким образом, на множестве
всех действительных чисел эти уравнения не являются равносильными, поскольку у уравнения (4) есть корень 
, которого нет у уравнения (3). Но на множестве положительных действительных чисел эти уравнения равносильны, поскольку на этом множестве уравнение (3) имеет единственный положительный корень 
и уравнение (4) также имеет единственный положительный корень 
. Следовательно, на множестве положительных чисел каждое из этих уравнений имеет те же решения, что и второе.
Укажем, что множество, на котором рассматривается равносильность уравнений, как правило, не задается искусственно (как в последнем случае), а чаще всего таким множеством является ОДЗ исходного уравнения. Договоримся, что далее
все равносильные преобразования уравнений (а также неравенств и систем уравнений и неравенств) мы будем выполнять на ОДЗ исходного уравнения (неравенства или системы).
Отметим, что в том случае, когда ОДЗ заданного уравнения является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем ее записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных уравнений). И в других случаях главное — не записать ОДЗ в решение уравнения, а реально учесть ее при выполнении равносильных преобразований данного уравнения.
Например, для уравнения 
задается неравенством 
. Когда мы переходим к уравнению 
, то для всех его корней это уравнение является верным равенством. Тогда выражение 
, стоящее в правой части этого равенства, всегда неотрицательно (
), таким образом, и равное ему выражение 
также будет неотрицательным: 
. Но это и означает, что ОДЗ данного уравнения (
) учтено автоматически для всех корней второго уравнения и поэтому при переходе от уравнения 
к уравнению 
ОДЗ заданного уравнения можно не записывать в решение.
Для выполнения равносильных преобразований попробуем выделить общие ориентиры, аналогичные соответствующим ориентирам получения уравнений-следствий. Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования уравнений, необходимо учесть ОДЗ данного уравнения — это и есть первый ориентир для выполнения равносильных преобразований уравнений. По определению равносильности уравнений необходимо гарантировать, чтобы каждый корень первого уравнения был корнем второго и, наоборот, каждый корень второго уравнения был корнем первого. Для первой части этого требования мы уже выделили общий ориентир: достаточно гарантировать сохранение правильности равенства при переходе от первого уравнения ко второму.
Но тогда, чтобы выполнить вторую часть этого требования, достаточно второе уравнение рассмотреть как верное равенство (то есть взять такое значение переменной, которое является корнем второго уравнения) и гарантировать, что при переходе к первому верное равенство сохраняется (этот корень остается и корнем первого уравнения). Фактически из определения равносильности уравнений получаем, что каждое из равносильных уравнений является следствием другого уравнения). Таким образом, при выполнении равносильных преобразований мы должны гарантировать сохранение правильности равенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях — это и является вторым ориентиром для решения уравнений с помощью равносильных преобразований. (Соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 8.)
Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований уравнение 
достаточно учесть его ОДЗ: 
и условие равенства дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Также следует обратить внимание на то, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности равенства.
Запись решения в этом случае может быть такой:
. ОДЗ: 
. Тогда 
. Отсюда 
(удовлетворяет условию ОДЗ) или 
(не удовлетворяет условию ОДЗ).
Ответ: 1.
Для выполнения равносильных преобразований уравнений можно также пользоваться специальными теоремами о равносильности. В связи с уточнением определения равносильности уравнений обобщим также формулировки простейших теорем о равносильности, известных из курса алгебры 7 класса.
Теорема 1. Если из одной части уравнения перенести в другую часть слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное заданному (на любом множестве).
Теорема 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю (или на одну и ту же функцию, которая определена и не равна нулю на ОДЗ заданного уравнения), то получаем уравнение, равносильное заданному (на ОДЗ заданного).
Обоснование этих теорем полностью аналогично обоснованию ориентиров для равносильных преобразований данного уравнения.
Замечание. Для обозначения перехода от данного уравнения к равносильному ему уравнению можно применять специальный значок 
, но его использование при записи решений не является обязательным. Например, запись решения последнего из рассмотренных уравнений может быть такой.
Ответ: 1.
Пример №423
Решите уравнение 
.
Решение:
► ОДЗ: 
и 
На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:
то есть 
Учтем ОДЗ. При 
Таким образом, 
— корень.
Ответ: 
Комментарий:
Используем равносильные преобразования для решения данного уравнения. Для этого необходимо учесть ОДЗ, поэтому зафиксируем ее ограничения в начале решения.
Укажем, что в уравнениях ограничения ОДЗ можно только зафиксировать, но не решать, а в конце проверить, выполняются ли эти ограничения для найденных корней.
При переносе члена данного уравнения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком получаем уравнение (1), равносильное заданному.
Приводя к общему знаменателю, раскрывая скобки и приводя подобные члены, снова получаем верное равенство и можем обосновать, что при выполнении обратных действий равенство также не нарушается, таким образом, полученные уравнения (1)-(3) равносильны заданному (на его ОДЗ).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Но второе условие уже учтено в ограничениях ОДЗ, таким образом, получаем уравнение (4), равносильное заданному уравнению на его ОДЗ. Поскольку все преобразования были равносильными только с учетом ОДЗ, то мы должны проверить, удовлетворяет ли полученное число ограничениям ОДЗ.
Причины появления посторонних корней и потери корней при решении уравнений
Наиболее типичные случаи появления посторонних корней и потери корней приведены в таблице 9. Там же указано, как в каждом из этих случаев получить правильное (или полное) решение.
- Заказать решение задач по высшей математике
Применение свойств функций к решению уравнений
1. Конечная ОДЗ
Ориентир
Если область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения
Пример:
Проверка.
— корень (
),
— не корень (
).
Ответ: 1.
2. Оценка левой и правой частей уравнения
Если надо решить уравнение вида 
и выяснилось, что 
то равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда 
и 
одновременно равны 
Пример:
►
(так как 
).
Итак, заданное уравнение равносильно системе
Ответ: 0.
Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю
Пример:
►
Итак, заданное уравнение равносильно системе
Из первого уравнения получаем 
, что удовлетворяет всей системе
Ответ: 2.
3. Использование возрастания и убывания функций
Схема решения уравнения
1. Подбираем один или несколько корней уравнения.
2. Доказываем, что других корней это уравнение не имеет (используя теоремы о корнях уравнения или оценку левой и правой частей уравнения)
Теоремы о корнях уравнения
Если в уравнении 
функция 
возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Пример:
Уравнение 
имеет единственный корень 
, то есть 
), поскольку функция
возрастает на всей области определения 
Если в уравнении 
функция 
возрастает на некотором промежутке, а функция 
убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Пример:
Уравнение 
имеет единственный корень 
(
то есть 
), поскольку 
возрастает на всей области определения 
, a 
убывает (на множестве 
, а следовательно, и при 
)
Объяснение и обоснование:
Конечная ОДЗ
Напомним, что в случае, когда дано уравнение 
, общая область определения для функций 
называется областью допустимых значений этого уравнения. Понятно, что каждый корень заданного уравнения принадлежит как области определения функции 
, так и области определения функции 
. Таким образом, каждый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях за счет анализа ОДЗ получить решение уравнения. Например, если дано уравнение 
, то его ОДЗ можно записать с помощью системы 
. Решая эту систему, получаем 
то есть 
. Таким образом, ОДЗ данного уравнения состоит только из одного значения . Но если только для одного числа необходимо выяснить, является ли оно корнем данного уравнения, то для этого достаточно подставить это значение в уравнение. В результате получаем верное числовое равенство (
). Следовательно, — корень данного уравнения. Других корней у этого уравнения быть не может, поскольку все корни уравнения находятся в его ОДЗ, а там нет других значений, кроме .
Рассмотренный пример позволяет выделить ориентир для решения аналогичных уравнений:
если ОДЗ уравнения (а также неравенства или системы) состоит из конечного числа значений, то для решения достаточно проверить все эти значения.
Замечание. В том случае, когда ОДЗ — пустое множество (не содержит ни одного числа), мы можем сразу дать ответ, что данное уравнение не имеет корней.
Например, если необходимо решить уравнение 
, то его ОДЗ задается системой 
то есть системой
которая не имеет решений. Таким образом, ОДЗ данного уравнения не содержит ни одного числа, и поэтому это уравнение не имеет корней.
Оценка левой и правой частей уравнения
Некоторые уравнения можно решить с помощью оценки левой и правой частей уравнения.
Пусть дано уравнение 
, и нам удалось выяснить, что для всех допустимых значений 
значение 
, а значение 
.
Рассмотрим два случая: 
Если 
, то равенство 
не может выполняться, потому что 
, то есть при 
данное уравнение корней не имеет. Остается только случай 
, но, учитывая необходимость выполнения равенства 
, имеем, что тогда и 
. Таким образом, мы обосновали, что выполнение равенства 
(при условии 
и 
) гарантирует одновременное выполнение равенств 
и 
(и наоборот, если одновременно выполняются равенства 
и 
, то выполняется и равенство 
. Как было показано в п. 3.1, это и означает, что уравнение 
равносильно системе
Коротко это можно записать так:
Пример использования такого приема решения уравнений приведен в пункте 2 таблицы 10.
Аналогично предыдущим рассуждениям обосновывается и ориентир по решению уравнения 
, в котором все функции-слагаемые неотрицательны 
.
Если предположить, что 
, то сумма всех функций, стоящих в левой части этого уравнения, может равняться нулю только тогда, когда сумма 
будет отрицательной. Но это невозможно, поскольку по условию все функции неотрицательные. Таким образом, при 
данное уравнение не имеет корней. Эти же рассуждения можно повторить для любой другой функции-слагаемого. Остается единственная возможность — все функции-слагаемые равны нулю (очевидно, что в этом случае равенство 
обязательно будет выполняться). Таким образом, сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю.
Например, чтобы решить уравнение 
, достаточно перенести все члены в одну сторону, записать уравнение в виде 
и учесть, что функции 
неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе 
Из второго уравнения получаем 
, что удовлетворяет и всей системе. Следовательно, данное уравнение имеет единственный корень 
.
Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений
Использование возрастания и убывания функций к решению уравнений опирается на такое свойство: возрастающая или убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения.
Полезно помнить специальные теоремы о корнях уравнения.
Теорема 1. Если в уравнении 
функция 
возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 52. Прямая 
пересекает график возрастающей на промежутке 
функции 
только в одной точке. Это и означает, что уравнение 
не может иметь больше одного корня на промежутке 
. Докажем это утверждение аналитически.
• Если на промежутке 
уравнение имеет корень 
, то 
. Других корней быть не может, поскольку для возрастающей функции 
при 
получаем неравенство 
, а при 
— неравенство 
. Таким образом, при 
. Аналогично и для убывающей функции при 
получаем 
.
Теорема 2. Если в уравнении 
функция 
возрастает на некотором промежутке, а функция 
убывает на этом же промежутке (или наоборот), то это уравнение может иметь не более чем один корень на этом промежутке.
Графически утверждение теоремы проиллюстрировано на рисунке 53.
• Если на промежутке 
уравнение имеет корень 
, то 
. Других корней быть не может, поскольку, например, для возрастающей функции 
и убывающей функции 
при 
имеем 
, a 
, таким образом, 
. Аналогично и при 
.
Каждая из этих теорем утверждает, что в рассмотренном промежутке данное уравнение может иметь не более чем один корень, то есть или это уравнение совсем не имеет корней, или оно имеет единственный корень. Если нам удалось подобрать один корень такого уравнения, то других корней в заданном промежутке уравнение не имеет.
Например, чтобы решить уравнение 
, достаточно заметить, что функция 
является возрастающей на всей числовой прямой (как сумма двух возрастающих функций) и что 
— корень
этого уравнения (
). Таким образом, данное уравнение 
имеет единственный корень 
.
Корень получен подбором. Как правило, подбор начинают с целых значений: 
которые подставляются в данное уравнение.
Заметим, что каждая из этих теорем гарантирует единственность корня уравнения (если он есть) только на промежутке возрастания (или убывания) соответствующей функции. Если функция имеет несколько промежутков возрастания и убывания, то приходится рассматривать каждый из них отдельно.
Пример:
Решим с помощью теоремы 2 уравнение 
.
► Сначала следует учесть его ОДЗ: 
и вспомнить, что функция 
на всей области определения не является ни убывающей, ни возрастающей (п. 2.2), но она убывает на каждом из промежутков 
и 
. Поэтому рассмотрим каждый из этих промежутков отдельно.
1) При 
данное уравнение имеет корень 
. Функция 
возрастает при 
(как было показано выше, она возрастает на множестве 
), а функция 
убывает на промежутке 
. Таким образом, данное уравнение 
при 
имеет единственный корень 
.
2) При 
данное уравнение имеет корень 
. Функция 
возрастает при 
, а функция 
убывает на этом промежутке. Поэтому данное уравнение 
при 
имеет единственный корень 
. В ответ следует записать все найденные корни (хотя на каждом из промежутков корень единственный, но всего корней — два). Итак, данное уравнение имеет только два корня: 1 и -1.
Примеры решения задач:
Пример №424
Решите уравнение 
.
Решение:
► ОДЗ: 
. На ОДЗ 
. Тогда функция 
(как сумма двух взаимно обратных положительных чисел), а функция 
.
Таким образом, данное уравнение равносильно системе 
. Из второго уравнения системы получаем 
, что удовлетворяет и первому уравнению. Таким образом, система (а значит, и данное уравнение) имеет единственное решение .
Ответ: 1.
Комментарий:
Если раскрыть скобки и привести обе части уравнения к общему знаменателю, то для нахождения корней полученного уравнения придется решать полное уравнение восьмой степени, все корни которого мы не сможем найти.
Попытаемся оценить области значений функций, стоящих в левой и правой частях уравнения. Поскольку на ОДЗ 
, то в левой части уравнения стоит сумма двух взаимно обратных положительных чисел, которая всегда больше или равна 2. В правой части из 2 вычитается неотрицательное число 
. Таким образом, при всех значениях 
получаем значение, меньшее или равное 2. Равенство между левой и правой частями возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 2.
Пример №425
Решите систему уравнений 
Решение:
► ОДЗ: 
Рассмотрим функцию 
. На своей области определения 
эта функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций). Тогда первое уравнение заданной системы, которое имеет вид 
, равносильно уравнению 
. Таким образом, на ОДЗ заданная система равносильна системе 
Подставляя 
во второе уравнение системы, имеем 
, 
. Учитывая, что на ОДЗ 
, получаем 
. Тогда 
.
Ответ: (3; 3).
Комментарий:
Иногда свойства функций удается применить при решении систем уравнений. Если заметить, что в левой и правой частях первого уравнения заданной системы стоят значения одной и той же функции, которая является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то равенство 
для возрастающей функции возможно тогда и только тогда, когда 
, поскольку возрастающая функция может принимать одинаковые значения только при одном значении аргумента. (Заметим, что такое же свойство будет иметь место и для убывающей функции.)
Замечание. Утверждение, обоснованное в комментарии к задаче 2, может быть использовано при решении аналогичных задач. Коротко его можно сформулировать так: если функция 
является возрастающей (или убывающей) на определенном множестве, то на этом множестве 
- Метод математической индукции
- Система координат в пространстве
- Иррациональные числа
- Действительные числа
- Интеграл и его применение
- Первообразная и интегра
- Уравнения и неравенства
- Уравнения и неравенства содержащие знак модуля
Равенство 
, в котором х—неизвестное и а не равно нулю, представляет собой общий вид квадратного уравнения.
В этом уравнении 
называется высшим членом, bх — членом, содержащим первую степень неизвестного, а с — свободным членом.
Квадратное уравнение есть уравнение 2-й степени. При b = 0 и с = 0 оно принимает вид = 0 и называется неполным.
Уравнения 
также называются неполными.
Уравнение 
называется приведенным.
Если все члены уравнения 
разделить на а, оно примет вид приведенного уравнения
в котором 
Напомним, что решением или корнем уравнения называется такое число, при подстановке которого вместо неизвестного уравнение обращается в верное равенство. Например, числа 3 и —3 являются корнями уравнения
Числа 3 и 5 являются корнями уравнения
Числа 
и 0 являются корнями уравнения
Решить уравнение с одним неизвестным — значит найти все его корни (или убедиться в их отсутствии).
Решение неполных квадратных уравнений
1. Уравнения вида 
Уравнение имеет единственное решение х = 0. Действительно, так как 
, то из следует, что 
, а потому и х = 0. Любое другое значение буквы х не будет решением уравнения .
2. Уравнение вида 
Уравнение равносильно уравнению
Если одновременно а > 0 и с > 0 или одновременно а < 0 и с < 0, то уравнение
решений ие имеет, так как квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу 
. Значит, и исходное уравнение также не имеет действительных корней. Например, уравнения
действительных корней ие имеют:
Если же одновременно а>0 и с<0 или а<0 и с>0, то будет положительным числом. В этом случае уравнение 
, а вместе с ним и исходное уравнение имеют два решения:
т. е. два корня: 
(Мы здесь воспользовались тем, что уравнение, например, 
удовлетворяется как при х = 7, так и при х = — 7.) Например, уравнение 
имеет два решения:
т. е. два корня: 5 и —5.
Уравнение 
имеет два решения:
т. е. два корня: 
и 
3. Уравнения вида 
Уравнение равносильно уравнению
Но уравнение 
имеет два решения:
т. е. два корня: 0 и 
.
Следовательно, и равносильное уравнение имеет те же два корня.
Обратим внимание на то, что один из двух корней уравнения вида всегда равен нулю.
Примеры:
Уравнение 
имеет два корня: 0 и 
.
Уравнение 
имеет два корня: 0 и .
Решение полного квадратного уравнения
1. Для решения уравнения
преобразуем его левую часть путем выделения полного квадрата (см. стр. 107):
Теперь мы можем заменить уравнение
равносильным ему уравнением
Так как , получим, что
или
Теперь рассмотрим в отдельности три возможных случая.
Случай 1. 
В этом случае преобразованное уравнение, а следовательно, и первоначальное не может иметь действительных корней, так как квадрат действительного числа 
не может равняться отрицательному числу
Случай 2. 
В этом случае
а потому 
Преобразованное уравнение, а следовательно, и первоначальное будет иметь одно решение:
один корень 
.
Случай 3. 
В этом случае
будет равно либо
Следовательно, первоначальное уравнение будет иметь два решения:
Оба эти решения можно записать так:
Выражение 
называется дискриминантом* уравнения 
Из формулы (I) видно, что корни квадратного уравнения определяются дробью, знаменателем которой служит удвоенный коэффициент высшего члена, а числителем—коэффициент при неизвестном первой степени, взятый с противоположным знаком, плюс-минус квадратный корень из дискриминанта.
Мы видели, что один корень квадратного уравнения
определяется по формуле
а другой—по формуле
В том случае, когда 
уравнение имеет два различных действительных корня.
В том же случае, когда 
оба корня становятся одинаковыми. В этом случае условимся говорить, что уравнение имеет опять же два действительных корня, но не различных, а одинаковых. Этот повторяющийся два раза корень будем называть двукратным корнем или корнем кратности два.
Наконец, в том случае, когда 
уравнение не имеет ни одного действительного корня. (Как мы узнаем дальше, в этом случае уравнение имеет два различных мнимых корня.)
Таким образом, квадратное уравнение всегда имеет два корня: либо действительных различных, либо действительных одинаковых, либо мнимых различных. Например, уравнение 
имеет два различных действительных корня 
. Уравнение 
имеет два одинаковых действительных корня: 
, т. е. имеет один двукратный корень 5. Уравнение 
имеет два различных мнимых корня: 
. Уравнение 
имеет два равных корня: ,
, т. е. один двукратный корень, равный нулю. Уравнение 
имеет два равных корня: 
и 
т. е. один двукратный корень 3. Уравнение 
имеет три равных корня: 
т. е. один трехкратный корень, равный нулю.
Уравнение 
имеет один корень 3, кратность которого равна q (иначе говоря, один корень кратности q).
Поясним происхождение понятия кратного корня. Уравнение
можно представить в виде
Приравнивая нулю каждый множитель, содержащий неизвестное, получим q корней, каждый из которых равен 3, т. е. число 3 окажется корнем кратности q. Корень, кратность которого равна единице, называется простым.
Уточнение определения о равносильности уравнений
Теперь, когда мы ввели понятие о кратности корней уравнения, нам необходимо уточнить определение о равносильности уравнений, данное ранее (стр. 185).
Если всякий корень кратности q одного уравнения являете я корнем той же кратности другого уравнения и наоборот, то такие уравнения называются равносильными.
Уравнения
не равносильны. (Для первого уравнения единица является двукратным корнем, а для второго лишь простым.) Уравнения
не равносильны. (Для первого уравнения число 7 является трехкратным корнем, а для второго лишь двукратным.)
Примеры квадратных уравнений:
Значит, 
Уравнение действительных корней не имеет.
Примеры задач, приводимых к квадратному уравнению
Задача:
В квартире проектируются две комнаты одинаковой ширины (рис. 74). Длину первой комнаты хотят сделать в 
раза больше ее ширины, а длину второй — равной 7,2 м.
Найти ширину этих комнат, если их общая площадь должна быть равной 56,7 кв. м.
Обозначим ширину комнат, выраженную в метрах, буквой х.
Тогда площадь первой комнаты будет равна 
, а площадь второй 
. По условию задачи 
или 
Отсюда
или последовательно
Значит,
Оба эти числа удовлетворяют уравнению, составленному по условиям задачи. Но самой задаче удовлетворяет лишь первый корень, так как ширина комнаты отрицательной быть не может.
Итак, искомая ширина равна 4,2 м.
Задача:
Пароход должен был пройти расстояние 48 км с определенной средней скоростью. Но по некоторым причинам он шел первую половину пути со скоростью, на 2 км в час меньшей, и вторую половину со скоростью, на 2 км большей, чем ему полагалось. Таким образом, пароход затратил на весь путь 5 час. На сколько минут опоздал пароход?
Пусть средняя скорость парохода должна была быть х км в час. На прохождение первой половины пути пароход затратил 
часа, а второй половины 
часа.
По условию
Получилось дробное уравнение. Преобразуем его к виду целого уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на общий знаменатель 
всех дробей, входящих в него. После этого получим:
или
или
Отсюда
Итак
Числа 10 и 
, несомненно, являются корнями уравнения
Но мы еще не можем быть уверены в том, что они являются и корнями первоначального уравнения
так как во время преобразований мы умножили левую и правую части уравнения (1) на выражение 
, содержащее неизвестное.
Проверка показывает, что оба эти числа удовлетворяют и первоначальному уравнению.
Действительно, оба равенства
оказываются верными. Итак, числа 10 и удовлетворяют уравнению
Но из них только число 10. удовлетворяет условиям самой задачи, так как в этой задаче скорость отрицательной быть не может. Значит, средняя скорость парохода была равной 10 км в час.
Теперь выясним, насколько же минут опоздал пароход с прибытием к месту назначения. Поскольку все расстояние было равно 48 км, а средняя скорость, с которой он должен был пройти это расстояние, составляла 10 км/час, на весь путь он должен был затратить 
часа, т. е. 4 часа 48 мин. Но пароход затратил на весь путь 5 час. Значит, он опоздал на 12 мин.
Квадратное уравнение вида ax2+kx+c=0
Квадратное уравнение вида 
Применяя к уравнению 
общую формулу, получим:
или
наконец,
Этой формулой следует пользоваться лишь тогда, когда коэффициент при неизвестном 1-й степени четный.
За дискриминант квадратного уравнения можно принимать выражение 
Примеры:
Приведенное квадратное уравнение
Применяя к уравнению 
общую формулу, получим:
В том случае, когда р — четное, т. е. 
формула принимает вид:
или
что можно записать и так:
Последнюю формулу следует применять в тех случаях, когда в приведенном уравнении коэффициент при неизвестном 1-й степени четный.
Примеры:
Свойства корней квадратного уравнения
Корни уравнения 
обозначим через 
и 
Как известно,
Очевидно, что
Итак, 
. Например, для уравнения 
2. Полученный результат можно записать и в таком виде:
Для уравнения 
получим, что
Итак, в приведенном квадратном уравнении сумма корней равна коэффициенту при неизвестном первой степени, взятому с противоположным знаком, а произведение — свободному члену:
3. Полученные результаты можно сформулировать и иначе: в приведенном квадратном уравнении коэффициент при неизвестном первой степени равен взятой с противоположным знаком сумме корней, т. е.
а свободный клен равен произведению корней, т. е.
Корень многочлена
- Корнем многочлена (целой рациональной функции)
называется всякое число, которое, будучи подставлено в этот многочлен вместо буквы х, обращает значение многочлена в нуль. Например, числа 1; —2; 5 суть корни многочлена
2. Совокупность корней многочлена
это то же самое, что и совокупность корней уравнения
3. Буква х, входящая в многочлен 
обозначает собой независимую переменную, т. е. величину, могущую принимать любые значения. Та же буква х в уравнении
обозначает, собой величину неизвестную, могущую принимать лишь такие значения, которые удовлетворяют этому уравнению. Корнями многочлена
будут как раз корни уравнения
и наоборот.
Корни многочлена
можно находить путем решения уравнения
Разложение на множители многочлена
Разложение на множители многочлена 
Теорема:
Многочлен тождественно равен произведению
где и 
—корни этого многочлена.
Докажем теорему двумя способами.
Способ 1. Обозначим корни многочлена через и . Тогда 
(см. стр. 296).
Поэтому
что и требовалось доказать.
Способ 2.
Выражения 
как раз представляют собой корни и уравнения а значит, и корни многочлена .
Замечание:
Если и будут действительными и различными числами, то линейные множители 
в разложении 
будут действительными и различными. Если же и будут мнимые, то и линейные множителябудут также мнимыми. В том случае, когда 
разложение примет вид 
Примеры:
1) Корни многочлена 
суть 10 и . Поэтому
2) Корни многочлена 
суть 
и 2. Поэтому
3) Корни многочлена 
суть 3 и. 5.
Поэтому
Составление квадратного уравнения по его корням
Способ 1. Пусть 
являются корнями квадратного уравнения; Тогда само уравнение (см. стр. 296) будет:
Примеры:
1) Если корни уравнения 3 и 5, то само уравнение будет:
2) Если корни 
, то уравнение
или
3) Если корни 
, то уравнение
или
Способ 2. Если корни уравнения 
то само уравнение будет:
Этот способ мы можем применить к составлению уравнений любых степеней.
Пусть корни уравнения 3; 5 и 10, тогда само уравнение будет:
или
Пусть корни уравнения — 1; —2; —3; —4. Тогда само уравнение будет:
или
Условие, при котором трехчлен представляет точный квадрат линейной функции
Условие, при котором трехчлен 
представляет точный квадрат линейной функции
Мы знаем, что
Но правая часть этого тождества будет точным квадратом тогда и только тогда, когда
В этом случае мы получаем, что
Итак, трехчлен 2-й степени будет точным квадратом линейной функции с действительными коэффициентами тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю, а коэффициент при высшем члене положителен.
Уравнения с числовыми коэффициентами, приводимые к квадратным
Биквадратное уравнение
Целое уравнение, содержащее только четвертую, вторую и нулевую степени неизвестного, называется биквадратным.
Общий вид биквадратного уравнения таков:
Решим несколько биквадратных уравнений с числовыми коэффициентами.
Примеры:
1.Найти все корни уравнения
Примем 
за новую неизвестную, т. е. положим, что 
Тогда получим, что
Отсюда
Принимая сначала 
получим, что 
Принимая затем 
получим, что 
Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:
2. Найти все действительные корни уравнения
Положив 
получим, что 
из этого уравнения следует, что
Отсюда, во-первых, 
и, во-вторых, 
. Первое уравнение имеет два корня: 3 и —3. Второе уравнение действительных корней не имеет.
Итак, данное биквадратное уравнение имеет лишь два действительных корня: 3 и —3.
3. Показать, что уравнение 
не имеет ни одного действительного корня. Полагая 
, получим:
Отсюда
или
Уравнения 
действительных корней не имеют, а поэтому и данное биквадратное уравнение не имеет ни одного действительного корня.
Уравнения, являющиеся квадратными относительно выражения, содержащего неизвестное
Уравнение
есть квадратное уравнение относительно z. Уравнение
есть квадратное уравнение относительно 
Примеры:
Полагая 
получим, что 
Отсюда 
Принимая сначала 
получим, что 
отсюда 
Принимая затем 
получим, что 
отсюда 
и 
Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:
2. Найти действительные корни уравнения
Перепишем уравнение в виде:
или
Полагая 
получим:
отсюда
Принимая сначала
получим:
Принимая затем 
получим;
Последнее уравнение действительных корней не имеет. Поэтому первоначальное уравнение имеет лишь два действительных корня:
Возвратные уравнения 3-й и 4-й степени
Общий вид возвратного уравнения 3-й степени таков:
Общий вид возвратного уравнения 4-й степени таков:
1. Решим возвратное уравнение 3-й степени:
Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого перепишем уравнение в виде:
Последнее уравнение удовлетворяется и тогда, когда х+1 =0, и тогда, когда 
Ни при каких других условиях оно не удовлетворяется.
Решая уравнение х+1 =0, получим, что х = —1.
Решая уравнение 
получим:
Итак, первоначальное уравнение имеет три корня:
2. Решим возвратное уравнение 4-й степени:
В этом уравнении х не может равняться нулю. Поэтому мы можем разделить все члены данного уравнения на 
и записать его в следующем виде:
Полагая 
получим, что 
или
Принимая все это во внимание, получим следующее уравнение с неизвестным у:
Отсюда найдем два значения неизвестного у, а именно: у = 6 и у = 4. Принимая сначала 
получим, что 
Отсюда найдем два значения неизвестного х, а именно:
Принимая затем 
получим, что 
откуда найдем еще два значения неизвестного х, а именно
Итак, первоначальное уравнение имеет четыре корня:
Вопрос о решении разобранных в этой главе типов уравнений будет рассмотрен полнее во второй части курса.
Теорема Виета
Теорема Виета:
Если квадратное уравнение 
имеет корни 
и 
, то выполняются соотношения: 
; 
. И наоборот, если для некоторых чисел 
существуют числа и , удовлетворяющие соотношениям 
и 
, то числа и являются корнями уравнения 
Если и — корни квадратного уравнения , то квадратный трехчлен 
раскладывается на множители: 
Многие простые квадратные уравнения могут быть решены с помощью теоремы Виета без вычисления корней по основной формуле.
Этот материал взят со страницы решения задач по математике:
Решение задач по математике
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Квадратные уравнения и уравнения, приводящиеся к квадратным
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Целые алгебраические уравнения и их классификация
Уравнение с одним неизвестным называется целым алгебраическим, если обе его части являются целыми алгебраическими выражениями от неизвестного. Например, уравнения
целые алгебраические.
Уравнения же
не являются целыми алгебраическими. Первое из них содержит в знаменателе выражение х + 2 зависящее от неизвестного х. Такого рода уравнения называются дробными алгебраическими. Второе содержит выражение x + 1, зависящее от неизвестного х, под знаком корня. Такие уравнения называются иррациональными.
Важнейшими из алгебраических уравнений являются целые алгебраические. Это обусловлено тем, что решение дробных и иррациональных уравнений может быть сведено к решению целых (с некоторыми приемами такого сведения мы познакомимся в § 16, 17 этой главы).
Обратимся теперь к классификации целых уравнений. Прежде всего напомним, что два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго уравнения является решением первого.
В первой части книги было установлено, что если к обеим частям уравнения добавить любой многочлен от неизвестного, то каждое решение исходного уравнения будет решением преобразованного, и обратно, каждое решение преобразованного уравнения будет решением исходного, так что преобразованное уравнение будет равносильно исходному.
В силу этого любое целое алгебраическое уравнение может быть преобразовано в равносильное, в одной части которого находится многочлен от неизвестного, не содержащий подобных членов, а в другой части нуль. Для этого достаточно «перенести все члены уравнения в одну часть», т. е. добавить к обеим частям уравнения выражение, противоположное одной из его частей, а затем раскрыть скобки и привести подобные члены.
Например, уравнение
преобразуется в
и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов, в
Степень многочлена, получающегося в одной части уравнения после указанных преобразований, называется степенью исходного уравнения.
Так, уравнение
есть уравнение второй степени, уравнение
равносильное уравнению
есть уравнение третьей степени и т. д.
Неполные квадратные уравнения
Уравнение второй степени называется иначе квадратным уравнением. Любое квадратное уравнение, после перенесения всех его членов в одну часть и приведения подобных членов, приводится к виду
где x — неизвестное, а, b, с —коэффициенты, причем 
а называется старшим коэффициентом квадратного уравнения, b— средним коэффициентом, с — свободным членом.
Квадратное уравнение называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов равен нулю. Так как старший коэффициент равняться нулю не может, в неполном уравнении должен обращаться в нуль средний коэффициент или свободный член или оба вместе, так что неполное квадратное уравнение может иметь один из следующих трех видов:
Уравнение 
очевидно, имеет единственное решение x = 0. Действительно, так как 
то из следует, что 
и потому х = 0.
Уравнение 
равносильно уравнению
Здесь могут представиться два случая (если исключить разобранный выше случай c = 0). Если а и с имеют одинаковые знаки, то уравнение не имеет решений, ибо квадрат действительного числа не может равняться отрицательному числу 
. Если а и с имеют противоположные знаки, то положительно и уравнение 
а вместе с ним и исходное уравнение имеет два решения
Неполное квадратное уравнение последнего вида 
решается посредством разложения левой части на множители. Именно, вынося х за скобку, получим
Для того чтобы произведение равнялось нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из множителей равнялся нулю. Приравнивая к нулю первый множитель, получим одно решение 
Приравнивая к нулю второй множитель ах + b получим второе решение 
Итак, мы рассмотрели все виды неполного квадратного уравнения. Формулируем результаты:
I. . Уравнение имеет единственное решение x = 0.
II. . Уравнение не имеет решений, если знаки а и с одинаковы. Если же знаки а и с противоположны, то уравнение имеет два решения:
Эти два решения сливаются в одно x = 0, если с = 0, т. е. если уравнение имеет вид I.
HI. 
Уравнение имеет два, решения: 
и 
Они различны при 
и сливаются в одно при b = 0, т. е. если уравнение имеет вид I.
Приведенное квадратное уравнение
Решение полного квадратного уравнения мы начнем со случая, когда старший коэффициент равен единице. В этом случае уравнение называется приведенным. Общее квадратное уравнение легко преобразуется в равносильное ему, приведенное посредством деления
обеих частей уравнения на старший коэффициент.
Для решения приведенного уравнения
в общем виде применим прием выделения полного квадрата суммы, который применяется при разложении квадратного трехчлена на множители.
Рассмотрим 
как квадрат первого слагаемого, равного x, р х — как удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Очевидно, что за это второе слагаемое нужно взять 
Затем добавим квадрат второго слагаемого, т. е. 
и сразу вычтем его, чтобы не изменить левую часть уравнения. Таким образом, исходное уравнение преобразуется к виду
или
Это последнее уравнение равносильно исходному, так как его левая часть тождественно равна левой части исходного уравнения.
Далее, перенесем последние два члена в правую часть уравнения с противоположными знаками. Получим новое уравнение
равносильное предыдущему. Теперь могут представиться три случая.
Случай 1.
Преобразованное уравнение, а
следовательно и исходное, не может иметь решений, ибо квадрат действительного числа 
не может равняться отрицательному числу 
Случай 2. 
B этом случае преобразованное
уравнение будет удовлетворяться только при 
т. е. при 
Таким образом, в этом случае уравнение имеет единственное решение.
Случай 3. 
Преобразованное уравнение удовлетворяется, если
или
т. е. если
или
Таким образом, в этом случае уравнение имеет два решения:
Оба эти решения удобно записать в виде одной формулы:
Корень приведенного квадратного уравнения равен половине среднего коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из квадрата этой половины без свободного члена.
Итак, при решении приведенного квадратного уравнения могут представиться три случая:
Случай 1. 
—уравнение не имеет действительных решений.
Случай 2. 
— уравнение имеет единственное решение: 
Случай 3. 
—уравнение имеет два решения, вычисляемых по формуле
Очевидно, что при решении квадратного уравнения нет
необходимости заранее исследовать, который из трех случаев имеет место.
Можно сразу записать решение по формуле, и результат сам покажет, который из случаев имеет место.
Именно, если имеет место первый случай формула приводит к невозможному действию — извлечению квадратного корня из отрицательного числа. Во втором случае оба корня,
вычисленные по формуле, сливаются в один В этом случае принято говорить, что уравнение имеет два одинаковых корня.
Формулу (1) для решения приведенного квадратного уравнения иногда удобно применять в несколько преобразованной форме следующим образом. Очевидно, что
и, следовательно, согласно формуле (1),
или
Формула (2) иногда оказывается удобнее формулы (1), например, если р и q целые числа и р нечетное число или если коэффициенты р и q являются буквенными выражениями. Если же р и q целые числа и р четное число, то формула (1) удобнее.
Запоминать формулу (2) нет необходимости, так как она
непосредственно получается из формулы для решения общего квадратного уравнения, которая будет выведена в следующем параграфе.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Уравнение не имеет действительных решений.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Это уравнение не приведенное. Оно равносильно приведенному
которое получается из исходного посредством деления обеих его частей на 2. Решая это последнее уравнение, получим
Замечание:
Из вывода формулы для решения квадратного уравнения следует, что числа
если только они имеют смысл, действительно являются корнями квадратного уравнения 
Поэтому проверка корней посредством подстановки в уравнение может быть нужна только для контроля правильности вычислений.
Общее квадратное уравнение
Для решения общего квадратного уравнения достаточно его привести, т. е. преобразовать, к приведенному, разделив обе его части на старший коэффициент, и затем воспользоваться формулой для корней приведенного уравнения. Именно так был решен последний пример в предыдущем параграфе.
Однако целесообразно провести эти преобразования в общем виде и получить формулу, позволяющую решить общее квадратное уравнение без предварительного приведения.
Итак, пусть дано уравнение . Поделив обе его части на а, мы получим равносильное приведенное уравнение
к которому можно применить результаты предыдущего параграфа.
Положив 
мы получим
Если уравнение 
имеет решение, т. е. если 
последнюю формулу можно еще несколько упростить. Именно,
Итак, в том случае, когда уравнение имеет решение, корни уравнения могут быть вычислены по формуле
Так же, как в случае приведенного уравнения, при решении общего квадратного уравнения нет необходимости заранее проверять, существует решение или нет. Именно, уравнение не имеет решения в том и только в том случае, если формула (3) приводит к невозможному действию извлечения корня из отрицательного числа.
Действительно, решение не существует в том и только в том случае, если
отрицательно. Но
отличается только положительным множителем 
от выражения 
находящегося под знаком квадратного корня в формуле (3).
Выражение называется дискриминантом уравнения
Если дискриминант отрицателен, то, как мы видели, уравнение не имеет действительных корней. Из формулы (3) следует, что если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если же дискриминант равен нулю, то оба корня сливаются в один: 
Формула (3) читается так: корень квадратного уравнения равен дроби, знаменателем которой является удвоенный старший коэффициент, а числителем — средний коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из дискриминанта.
Если удобно принять b = 2k (например, если b есть целое четное число), формула (3) может быть еще немного упрощена. В этом случае уравнение имеет вид
Именно,
Итак, в том случае, когда уравнение имеет решение, корни уравнения могут быть вычислены по формуле
Так же, как в случае приведенного уравнения, при решении общего квадратного уравнения нет необходимости заранее проверять, существует решение или нет. Именно, уравнение не имеет решения в том и только в том случае, если формула (3) приводит к невозможному действию извлечения корня из отрицательного числа.
Действительно, решение не существует в том и только в том случае, если
отрицательно. Но
отличается только положительным множителем от выражения 
отличается только положительным множителем от выражения находящегося под знаком квадратного корня в формуле (3).
Выражение называется дискриминантом уравнения 
Если дискриминант отрицателен, то, как мы видели, уравнение не имеет действительных корней. Из формулы (3) следует, что если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если же. дискриминант равен нулю, то оба корня сливаются в один: 
Формула (3) читается так: корень квадратного уравнения равен дроби, знаменателем которой является удвоенный старший коэффициент, а числителем — средний коэффициент, взятый с противоположным знаком, плюс или минус квадратный корень из дискриминанта.
Если удобно принять b = 2k (например, если b есть целое четное число), формула (3) может быть еще немного упрощена. В этом случае уравнение имеет вид
Согласно формуле (3),
Итак, уравнение решается по формуле
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Замечание:
Введение иррациональных чисел не является последним этапом в расширении понятия числа. Дальше вводятся еще так называемые комплексные числа, после введения которых действие извлечения квадратного корня из отрицательного числа оказывается осуществимым. После введения комплексных чисел мы будем вправе считать, что и в случае отрицательного дискриминанта квадратное уравнение имеет корни, но эти корни не являются действительными числами.
Замечание:
Формула (3) пригодна, конечно, и для решения неполных квадратных уравнений. Например, для уравнения формула (3) дает
в соответствии с прежним результатом *)
Замечание:
Иногда нужно рассматривать уравнение первой степени как частный случай квадратного, в котором старший коэффициент равен нулю. Это целесообразно, например, если некоторая задача, поставленная в общем виде, приводит к квадратному уравнению, в котором, в зависимости от численных данных задачи, коэффициенты изменяются и, в частности, старший коэффициент может принимать значение, равное нулю.
*) Строго говоря, 
не обязательно равен b, именно: 
при 
при b<0. Но оба значения
совпадают со значениями выражения ± b, только знаки не обманы находиться в соответствии.
Формула (3) при а = 0 дает бессмысленный результат, ибо ее знаменатель 2а обращается в нуль. Однако формулу (3) можно преобразовать так, что она окажется пригодной и для этoго случая. Мы проведем это преобразование, предположив сначала, что 
Полученная формула
применима при наравне с формулой (3), но она, вообще говоря, менее удобна из-за большей сложности знаменателя.
При а = 0 формула (5) дает
Если в этом результате взять верхний знак, получим
т. е. мы действительно получаем корень уравнения первой степени bх+c=0. Нижний знак приводит к бессмысленному результату, так как знаменатель обращается в 0.
Формула (5) оказывается удобной при приближенном решении квадратного уравнения в случае, если старший коэффициент очень мал по сравнению с остальными коэффициентами.
Задачи, приводящиеся к квадратным уравнениям
Квадратные уравнения, так же как уравнения первой степени, оказываются полезными при решении многих задач. Заметим, что если задача приводится к решению квадратного уравнения, обычные приемы и правила арифметики оказываются бессильными для решения такой задачи, в то время как задачи, приводящиеся к уравнениям первой степени, по большей части могут быть решены и средствами арифметики.
При решении задачи, сводящейся к квадратному уравнению, необходимо, после того как уравнение составлено и решено, производить проверку полученных корней по смыслу задачи. При этом часто оказывается, что из двух полученных корней отвечает смыслу задачи лишь один.
Задача:
Дети поехали на лодке и поднялись на веслах на 6 км от пристани против течения реки. Затем они ловили рыбу, останавливаясь в разных местах. Через 3 часа они оказались в 2 км ниже первой остановки и, окончив ловлю, пошли на веслах обратно к пристани. Всего они пробыли на лодке 5 часов. Какова скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/час.
Решение:
Обозначим скорость лодки в стоячей воде (в км/час) через х. Тогда скорость лодки при. движении против течения реки равна х — 2 км/час, при движении по течению равна х+2 км/час.
Дети гребли против течения реки 6 км, на это они затратили 
затем 3 часа ловили рыбу и затем гребли 4 км по течению реки, на что затратили 
часа. Итак,
Уравнение составлено. Умножим обе его части на общий знаменатель 
(При этом уравнение может приобрести лишние корни.) Получим
После очевидных преобразований мы получим
откуда
Оба корня удовлетворяют уравнению (1), что легко проверяется подстановкой их в это уравнение. Однако по смыслу задачи подходит только первый корень 
Ответ. 6 км/час.
Задача:
Периметр прямоугольника равен 20 см. Площадь этого прямоугольника равна 25 см ² . Определить стороны прямоугольника.
Решение:
Обозначим длину основания прямоугольника через х см. Тогда высота прямоугольника равна 10 — х см, ибо сумма длин основания и высоты равна полупериметру. Следовательно, площадь прямоугольника равна
По условию задачи
отсюда
Уравнение имеет единственный корень х = 5, и он подходит по смыслу задачи.
Ответ. 5 см.
Задача:
Сторона квадрата ABCD равна 10 см. От его вершин в направлении обхода по часовой стрелке (рис. 42) отложены равные отрезки А а, В b, С с, D d, и точки а, b, с, d соединены прямыми. Площадь квадрата abcd равна 40 см. Определить длину отрезка А а.
Решение:
Обозначим длину отрезка А а через х см. Тогда длина каждого из отрезков а В, b С, c D, d A равна 10 — х см. Треугольники aBb, cDd, будучи приложены по гипотенузам, составляют прямоугольник со сторонами х и 10—х см и, следовательно, сумма их площадей равна x (10 — х)см ² — Точно так же сумма площадей треугольников aAd и bСс равна x (10 — х) см ². Но
Следовательно,
откуда
Это уравнение действительных решений не имеет. Следовательно, и задача не имеет решения.
Ответ. Задача не имеет решения.
Проведем теперь исследование последней задачи, выяснив, как следует изменить условие задачи, чтобы подобная задача имела решение. При этом будет вскрыта причина, в силу которой данная задача не имеет решения. С этой целью поставим задачу в общем виде, заменив все численные данные буквами. Итак, пусть сторона квадрата ABCD равна 1 см и площадь квадрата abcd равна s см ² .
Рассуждая таким же образом, как при численных данных, мы получим для х = А а уравнение
или
Решая по формуле (4), получим
Для того чтобы уравнение, к которому свелось решение задачи, имело действительные решения, необходимо и достаточно, чтобы число 
было положительным или нулем, т. е. чтобы 
В задаче, которую мы рассматривали, это условие выполнено не было.
Однако даже если уравнение имеет решение, задача может решений не иметь, если корни не подходят по смыслу задачи. В нашей задаче корень х будет подходить по смыслу задачи в том и только в том случае, если так как точка а должна находиться между точками А и В. Очевидно, если корень
удовлетворяет поставленному требованию, то ему удовлетворяет и второй корень
так как 
Геометрический смысл этого обстоятельства ясен: если отрезок 
заменить отрезком аВ = АВ— Аа = 
получится равный вписанный квадрат.
Таким образом, для выяснения условия существования решения задачи остается установить, когда 
Очевидно, 
всегда положительно.
Для выполнения неравенства 
необходимо и достаточно выполнение неравенства 
которое в свою очередь вытекает из неравенства 
Итак, задача имеет решение в том и только в том случае, если 
т. е. если данная площадь не меньше половины площади квадрата ABCD и меньше всей площади этого квадрата.
Связь между коэффициентами и корнями квадратного уравнения
Рассмотрим сначала приведенное квадратное уравнение
Его корни 
выражаются через коэффициенты р и q посредством выведенной выше формулы
Но во многих приложениях квадратных уравнений часто возникает необходимость выразить коэффициенты квадратного уравнения через его корни. Соответствующие выражения проще всего вывести, сложив и перемножив корни. Сделаем это:
Отсюда следует
Итак, средний коэффициент приведенного квадратного уравнения равен сумме его корней, взятой с обратным знаком. Свободный член приведенного квадратного уравнения равен произведению его корней.
Выведенные формулы называются формулами Виета *).
Теперь легко вывести соотношение между коэффициентами и корнями для общего квадратного уравнения. Общее квадратное уравнение равносильно приведенному
В силу формул Виета имеем
Итак, средний коэффициент общего квадратного уравнения равен произведению старшего коэффициента на сумму корней, взятую с обратным знаком; свободный член общего квадратного уравнения равен произведению старшего коэффициента на произведение корней.
*) Виет—французский математик. Родился в 1540 г., умер в 1603 г.
Разложение квадратного трехчлена на множители
Квадратным трехчленом называется многочлен вида
с данными коэффициентами а, b, с, причем а ≠ 0. Коэффициенты а, b, с называются соответственно старшим коэффициентом, средним коэффициентом и свободным членом квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице. Корнями квадратного трехчлена называются те значения буквы х, при которых трехчлен обращается в нуль. Иными словами, корнями трехчлена 
называются корни уравнения
Пусть являются корнями приведенного квадратного трехчлена 
Тогда, в силу формул Виета,
и, следовательно,
Теперь не представляет труда разложить трехчлен на множители. Действительно,
Итак,
где 
— корни трехчлена
Замечание:
Эта формула применима, конечно, только в случае, если трехчлен имеет действительные корни. Если же действительных корней нет, трехчлен не может быть разложен на множители первой степени. В самом деле, если допустить, что
то числа
которые при подстановке вместо х обращают в нуль множители правой части, являлись бы корнями трехчлена Но это противоречит условию, что квадратный трехчлен действительных корней не имеет.
Для общего квадратного трехчлена имеем:
Итак,
где — корни трехчлена
Составление квадратного уравнения по данным корням
Пусть даны два числа , различные или равные. Требуется построить приведенное квадратное уравнение, имеющее своими корнями
Очевидно, что в качестве такого уравнения можно взять
или, после раскрытия скобок,
Действительно, если вместо x подставить , или 
, левая часть уравнения обратится в нуль, ибо один из сомножителей окажется равным нулю.
Из формулы Виета следует, что составленное уравнение является единственным решением поставленной задачи. Действительно, если уравнение имеет корни его коэффициенты р и q выражаются через по формулам
т. е. оно совпадает с составленным выше.
Итак, существует единственное приведенное квадратное уравнение, имеющее своими корнями данные числа . Коэффициенты этого уравнения выражаются через по формулам Виета.
Примеры и приложения
Рассмотрим несколько примеров на применение результатов § 6—8.
Пример:
Составить приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются квадраты корней уравнения
Мы дадим два решения этого примера.
Первое решение. Уравнение 
имеет корни 
Их квадраты 
и 
Согласно формулам Виета искомое уравнение имеет коэффициенты
Второе решение. Пусть — корни данного уравнения. Тогда искомое уравнение имеет коэффициенты 
и 
Преобразуем их так, чтобы их было легко выразить непосредственно через коэффициенты данного уравнения, минуя вычисление . Именно,
Но
Следовательно,
Мы пришли к тому же ответу, но при значительно меньших вычислениях.
Ответ. 
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
Составим вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого являются х и у. Так как сумма и произведение чисел х и у нам известны, это уравнение составляется по формулам Виета, именно, оно есть
Решая его, получим 
Один из его корней мы должны принять за x, другой за у. Так как это можно сделать двумя способами, мы получим два решения системы
Ответ. 
Рассмотренный в последнем примере прием применяется к любой системе уравнений вида
Пример:
Решить систему уравнений
Решение:
Составим вспомогательное квадратное уравнение, корнями которого являются х и —у. Так как сумма этих двух чисел равна 7, а произведение x( —у) равно —xy = — 44, вспомогательное уравнение есть
Решив его, получим 
Один из этих корней мы должны принять за х, другой за —у. Сделав это двумя возможными способами, получим два решения системы
Ответ. 
Рассмотренный в последнем примере прием может быть применен к любой системе уравнений вида
В случае, если вспомогательное уравнение при решении системы
не имеет действительных корней, то и сама система действительных решений не имеет.
Исследование корней квадратного уравнения по коэффициенту и дискриминанту
При выводе формулы для решения квадратного уравнения мы выяснили, что значение дискриминанта
уравнения определяет число корней уравнения. Именно, если дискриминант положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня, если дискриминант равен нулю, то корни совпадают, и, наконец, если дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.
Формулы Виета дают дополнительные сведения о корнях квадратного уравнения. Мы ограничимся рассмотрением приведенного квадратного уравнения.
Начнем исследование с рассмотрения уравнения, свободный член которого q отрицателен. В этом случае дискриминант 
наверное положителен, так что уравнение имеет два различных действительных корня Далее, произведение корней равно отрицательному числу q. Следовательно, один из корней положителен, другой отрицателен. Наконец, 
Отсюда следует, что при р > 0 сумма корней отрицательна, и следовательно, отрицательный корень имеет большую абсолютную величину. Если р< 0, то большую абсолютную величину имеет положительный корень. Если же p = 0, то корни равны по абсолютной величине.
Теперь предположим, что свободный член q положителен. В этом случае прежде всего необходимо посмотреть на дискриминант,, он может быть положительным, равным нулю или отрицательным. В последнем случае исследование закончено, так как уравнение не имеет действительных корней. В первых двух случаях уравнение имеет действительные корни — различные или равные. Так как их произведение равно положительному числу q, знаки корней одинаковые и сумма корней имеет тот же знак. Поэтому при р = 0 оба корня отрицательны, при р > 0 оба корня положительны. Случай р = 0 здесь невозможен, так как при р = 0; q > 0 дискриминант 
Результаты проведенного исследования можно объединить в следующую таблицу, в которую мы включаем для полноты и очевидные результаты при q = 0.
Случай 1. q < 0. Два различных корня, имеющих противоположные знаки.
a) p > 0. Отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
b) р = 0. Корни равны по абсолютной величине.
c) р < 0. Положительный корень больше абсолютной величины отрицательного.
Случай 2. q = 0.
а) р > 0. Один корень равен нулю, другой отрицателен.
b) p = 0. Оба корня равны нулю.
c) p < 0. Один корень равен нулю, другой положителен. Случай 3. q > 0.
a) 
Два различных корня одного знака, противоположного знаку р.
b) 
Два равных корня, их знак противоположен знаку р.
c) 
Действительных корней нет.
Биквадратные уравнения
Уравнение вида
называется биквадратным уравнением. Решение биквадратного уравнения легко сводится к решению квадратного уравнения с последующим извлечением квадратного корня.
Для этого достаточно принять за новую неизвестную 
Ввиду того, что
биквадратное уравнение относительно х является квадратным относительно у. Решив это квадратное уравнение, мы получим, вообще говоря, два значения для у. Извлекая из этих значений квадратные корни (со знаками + и -), если это возможно, мы получим искомые корни биквадратного уравнения.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Положим 
Тогда 
и уравнение преобразуется в следующее:
Решая его, получим
Итак, для имеются две возможности:
Таким образом, данное биквадратное уравнение имеет четыре корня:
Решение примера можно оформить по-другому, не вводя новой буквы. Именно, записать данное уравнение в виде
откуда
т. е
Ответ. ±3, ±2.
Для биквадратного уравнения число действительных корней вдвое больше числа положительных корней вспомогательного квадратного уравнения 
Некоторые уравнения, сводящиеся к квадратным посредством введения нового неизвестного
Способ упрощения уравнения посредством введения нового неизвестного применим не только к биквадратным уравнениям. Решение весьма многих уравнений может быть упрощено при помощи этого приема. Однако невозможно дать какие-либо исчерпывающие общие указания относительно того, когда этот прием может быть применен с успехом. Поэтому мы ограничимся лишь рассмотрением нескольких примеров.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Это уравнение принадлежит к числу иррациональных уравнений, так как в нем неизвестное х входит под знаком квадратного корня. Посредством введения нового неизвестного оно легко сводится к квадратному уравнению.
Действительно, положим 
Тогда 
и, следовательно, уравнение преобразуется к виду
откуда
Итак, 
откуда х = 9, или 
Последнее равенство невозможно, ибо под 
мы должны понимать арифметическое значение квадратного корня, которое не может быть отрицательным.
Ответ. х = 9.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Данное уравнение есть уравнение четвертой степени — после раскрытия скобок и приведения подобных членов в левой части окажется многочлен четвертой степени относительно неизвестного х. Решение уравнений четвертой степени в общем виде весьма сложно. Однако решение данного выше уравнения не представляет никакого труда.
Введем новое неизвестное: 
Относительно этого нового неизвестного уравнение будет уже квадратным
Решая его получим
Таким образом,
первом случае имеем
откуда
втором случае получаем
откуда
Итак, данное уравнение имеет четыре решения:
Ответ. 
Подстановка 
в последнем примере подсказывалась самим видом уравнения. Аналогичная подстановка применима к любому уравнению вида
Некоторые уравнения четвертой степени можно привести к такому виду посредством несложного преобразования левой части.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Это уравнение легко приводится к виду, подобному разобранному в предыдущем примере. Действительно, преобразуем левую часть уравнения, выделив из третьего члена такое слагаемое, которое вместе с первыми двумя образует квадрат суммы. За такое слагаемое нужно взять . Получим
Уравнение приводится к виду
Положив 
получим
Следовательно,
Первое из этих уравнений дает 
Второе не имеет действительных корней.
Ответ.
Указанный в этом параграфе прием можно применить, конечно, не к любому уравнению четвертой степени. Но в каждом частном случае легко проверяется, возможно ли применение этого приема или нет.
Возвратные уравнения
Уравнение четвертой степени
называется возвратным, если отношение свободного члена к старшему коэффициенту равно квадрату отношения коэффициентов при х и при 
т. е.
Возвратные уравнения легко решаются посредством специального введения нового неизвестного. Покажем это на примере.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Это уравнение возвратное, так как здесь
и следовательно,
Прием заключается в следующем. Объединим первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и поделим обе части уравнения на . Получим
Введем новое неизвестное 
Тогда
и, следовательно,
Принимая это во внимание получим следующее уравнение относительно y
Решив его, получим 
Возвращаясь к неизвестному х, мы получим относительно него два уравнения:
Умножив обе части уравнений на х, получим квадратные уравнения
Решив их, получим
Ответ. 
Указанный в приведенном примере прием применим к любому возвратному уравнению.
Действительно, пусть уравнение
возвратное, т. е.
Обозначим отношение 
через m.Тогда, 
Принимая это во внимание и поделив обе части уравнения на , приведем уравнение к виду
Теперь ясно, что подстановка 
приведет к цели, ибо
Частным случаем возвратных уравнений являются так называемые симметрические уравнения 
Для них после преобразования к виду
применяют подстановку 
Тогда 
и уравнение приводится к квадратному относительно у.
Второй способ решения биквадратного уравнения
При решении биквадратного уравнения 
в случае, если q > 0, можно применить тот же прием, что и при решении возвратного уравнения. Именно, поделив обе части уравнения на , получим
Это последнее уравнение после подстановки 
приводится к квадратному.
Описанный прием особенно удобен в том случае, когда q является квадратом рационального числа.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Разделив обе части уравнения на , получим
Положим 
Тогда
Отсюда
Для у получаем уравнение
Теперь для х получаем два уравнения:
После умножения на х получим
откуда
Интересно отметить, что, решая обычным образом, мы получим решение в совершенно другой, более сложной форме:
Но на самом деле оба ответа, конечно, совпадают.
Действительно,
и, следовательно,
точно таким же образом легко убедимся, что
Ответ.
Совпадение в приведенном примере результатов двух способов решения биквадратного уравнения наводит на мысль о возможности упрощения в некоторых случаях иррациональных выражений вида
, где a и b рациональные числа.
Действительно, пусть 
Тогда 
и, следовательно,
Раскрывая скобки и перенося все члены в одну часть, получим биквадратное уравнение
Решив его по второму способу, получим для х новое выражение, которое будет проще исходного, если 
есть полный квадрат. Правда, после решения биквадратного уравнения необходимо установить, к которому из корней биквадратного уравнения следует приравнять интересующее нас число . Но этот выбор всегда легко сделать в каждом частном случае.
Пример:
Упростить выражение 
Решение:
Здесь 
так что указанный прием дает возможность упростить выражение. Положим 
Тогда
Пусть 
Тогда
и, следовательно,
Далее, так как х положительно, то тоже положительно, и следовательно, 
Для х получаем такое уравнение:
Из этих двух значений искомым является 
ибо 
при возведении в квадрат дает 
Ответ. 
Преобразование уравнений
Как было сказано выше, два уравнения называются равносильными, если каждое решение первого уравнения является решением второго и каждое решение второго является решением первого. В первой части книги были выяснены два типа преобразований, переводящих данное уравнение в равносильное:
- Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число или один и тот же многочлен относительно неизвестного, то полученное в результате этого новое уравнение равносильно исходному.
- Если обе части уравнения умножить или разделить на какое-нибудь число, отличное от нуля, то полученное в результате этого уравнение равносильно исходному (ч. I, гл. VII, § 1).
Однако во многих случаях при решении уравнений приходится производить такие преобразования, после которых полученное уравнение не равносильно исходному, но является только его следствием. Дадим точное определение этого понятия в применении к уравнениям.
Определение. Если все решения уравнения А —В являются также решениями уравнения C—D, то второе уравнение называется следствием первого.
Смысл этого термина легко понять. Пусть А, В, Си D — данные алгебраические выражения от неизвестного лг. Допустим, что уравнение C — D есть следствие уравнения А = В. Это значит, что всякое значение буквы х, при котором удовлетворяется уравнение А = В, удовлетворяет и уравнению C — D. Иными словами, если А = В (т. е. х таково, что численные значения выражений А и В равны), то C = D. Таким образом, здесь слово «следствие» употребляется в том же смысле, что и в повседневной жизни.
Очевидно, что равносильность двух уравнений означает, что каждое из них является следствием другого. Понятия равносильности и следствия без всякого изменения переносятся на уравнения и системы уравнений с несколькими неизвестными.
Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих смысл введенных определений.
Уравнение 
есть следствие уравнения х— 2=1. Действительно, единственным решением второго уравнения является х = 3, и это решение является вместе с тем решением первого уравнения. То же самое можно обосновать следующим рассуждением: «Если х — 2=1, то х—3 и, следовательно, ».
Часто можно убедиться в том, что одно уравнение является следствием другого, не решая последнее. В том же примере это можно сделать, например, таким рассуждением: «Если х — 2=1, то 
следовательно, ».
Теперь сформулируем и докажем несколько теорем, обосновывающих некоторые преобразования данного уравнения в новое, являющееся следствием данного (или равносильного данному). Для полноты изложения поместим и две сформулированные выше теоремы из первой части книги.
Теорема:
Если к обеим частям уравнения добавить одно и то же число или один и тот же многочлен, то получится уравнение, равносильное исходному.
Доказательство:
Пусть данное уравнение есть А = В, где А и В— алгебраические выражения от х, и пусть С есть число или многочлен, зависящий от х.
Если 
есть решение данного уравнения, т. е. такое число, при подстановке которого вместо буквы х выражение А становится действительно равным В, то при том же значении А+С=В+С.
Обратно, если такое, что при подстановке его вместо х А—С= В С, то при том же значении А —В.
Итак, каждое решение уравнения А = В оказывается решением уравнения A+С= B+С и, обратно, каждое решение уравнения А+ С= В+ С есть решение уравнения А = В. Уравнения А =В и А+С=В+С действительно равносильны.
Короче, все рассуждения можно провести так. Если (при некотором значении x) А = В, то (при том же значении x) А+С=В+С. Обратно, если (при некотором значении х) А—С—В—С, то (при том же значении х) А = В.
Замечание. В этой теореме существенно, что С есть число или многочлен. Если С есть дробное выражение, то теорема может оказаться неверной — может случиться, что решение уравнения А = В при подстановке в уравнение А+С=В+С дает бессмысленное равенство, если знаменатель С обращается в нуль. Например, уравнения
и
не равносильны: первое из них имеет корень х = 2, второе — корней не имеет.
Теорема:
Если обе части уравнения умножить на одно и то же число, отличное от нуля, то в результате этого преобразования получится уравнение, равносильное исходному.
Доказательство:
Пусть А = В есть данное уравнение, а 
— данное число. Тогда если (при каком-нибудь значении х) А = В, то (при том же значении х) Ас = Вс. Обратно, если (при каком-нибудь значении х) Ас = Вс, то (при том же значении x) А= В. Таким образом, каждое решение уравнения А = В является решением уравнения Ас = Вс, и обратно, следовательно, уравнения А = В и Ас = Вс равносильны.
Теорема:
Если обе части уравнения умножить на один и тот же многочлен, то в результате этого преобразования получится уравнение, являющееся следствием исходного.
Доказательство:
Пусть А = В данное уравнение, С — данный многочлен от неизвестного х. Тогда, если (при каком-либо значении х) А = В, то (при том же значении x) АС=ВС. Таким образом, каждое решение уравнения А = В является решением уравнения АС—ВС.
Следовательно, уравнение АС—ВС есть следствие уравнения А — В, что и требовалось доказать.
Замечание:
Уравнение АС=ВС есть следствие уравнения А = В, но оно не обязано быть ему равносильным. Действительно, из АС=ВС следует А = В, только если . Поэтому, решение уравнения АС = ВС может не быть решением уравнения А = В, если оно является решением уравнения С=0.
Например, умножая обе части уравнения х—3 = 0 на многочлен х — 2, мы получим новое уравнение (х—3)(x — 2) = 0, которое, кроме корня исходного уравнения x = 3, имеет еще корень х — 2.
Замечание:
В формулировке теоремы существенно, что С является многочленом. Если С есть дробное выражение, содержащее неизвестное в знаменателе, то преобразованное уравнение может не быть следствием исходного, если хотя бы один из корней исходного уравнения обращает в нуль знаменатель С. Например, умножив обе части уравнения
на выражение 
, мы получим новое уравнение
не являющееся следствием исходного.
Теорема:
Если обе части исходного уравнения возвести в степень с одним и тем же показателем, то полученное в результате этого преобразования уравнение будет следствием исходного.
Доказательство:
Пусть А = В — данное уравнение. Тогда если А = В (при некотором значении неизвестного х), то 
(при том же значении неизвестного Таким образом, каждое решение уравнения А —В является решением уравнения
Следовательно, уравнение есть следствие уравнения А = В.
Замечание:
Так же, как в теореме 3, здесь нельзя утверждать равносильность. Действительно, если 
то А = В или А = — В, так что корнями уравнения могут быть как корни уравнения А = В, так и корни уравнения А = — В. Например, возводя в квадрат обе части уравнения
корень которого x = 3 мы получим уравнение
корнями которого будут
Допустим теперь, что мы имеем два уравнения, причем известно, что второе уравнение является следствием первого, и допустим, что это второе уравнение мы умеем решать, т. е. можем найти все его корни. Тогда мы можем решить и исходное уравнение, так как среди корней второго уравнения находятся все корни исходного. Но не все корни второго уравнения обязаны быть корнями исходного, среди корней второго уравнения могут встретиться числа, не являющиеся корнями исходного уравнения. Поэтому, для того чтобы решить исходное уравнение, мы должны корни второго уравнения испытать посредством подстановки их в исходное уравнение и отобрать из них те корни, которые удовлетворяют исходному уравнению,
Дробные алгебраические уравнения
Дробные уравнения, т. е. такие, в одной или обеих частях которых находятся дробные рациональные выражения, содержащие неизвестное в знаменателе, решаются посредством сведения к целым уравнениям.
Для достижения этой цели можно, например, перенести все слагаемые правой части в левую с противоположными знаками, затем посредством обычных тождественных преобразований привести левую часть к виду частного от деления двух многочленов. После этих преобразований мы получаем новое уравнение, являющееся лишь следствием исходного, но не обязательно равносильное ему.
Действительно, всякое решение исходного уравнения, очевидно, является решением» преобразованного. Обратно, всякий корень преобразованного уравнения является корнем исходного, если только обе части исходного уравнения имеют смысл при подстановке этого корня. Однако может случиться так, что обе части исходного уравнения лишены смысла при некотором значении неизвестного, а левая часть преобразованного уравнения имеет смысл и обращается в нуль. Тогда такое значение неизвестного является корнем преобразованного уравнения, но не является корнем исходного. Таким образом, преобразованное уравнение действительно является следствием исходного, но не обязательно ему равносильно, так как может иметь лишние корни. Указанное обстоятельство может иметь место, если по ходу преобразований происходит взаимное уничтожение дробных выражений или производится сокращение дробей.
Например, производя в уравнений
указанные преобразования, мы получим уравнение
и, далее,
Уравнение (3), очевидно, есть следствие уравнения (1). Проверим это обычным рассуждением.
Если (х такое, что)
то
следовательно,
Но уравнение (1) не является следствием уравнения (3), так как уравнение (3) имеет корень х = 2, а как раз при х = 2 обе части уравнения (I) не имеют смысла.
Для того чтобы еще более уяснить это обстоятельство, посмотрим, почему нельзя рассуждать следующим образом: «Если х — 2 = 0, то x+1= 3; если х + 1 = 3, то 
Первая половина рассуждения верна безусловно — мы добавляем к обеим частям число 3. Вторая половина рассуждения была бы верна, если бы х был не равен 2. Но у нас как раз х = 2, и рассуждение теряет силу.
Таким образом, мы наметили путь, следуя которому, мы можем преобразовать любое дробное уравнение к уравнению вида 
где А и В— многочлены, причем преобразованное уравнение является следствием исходного.
Умножив обе части последнего уравнения на В, мы получим новое уравнение A = 0, которое, согласно теореме 3 § 15, является следствием предыдущего, а потому и следствием исходного уравнения. Корень уравнения A = 0 может не быть корнем уравнения только тогда когда при его подстановке знаменатель В обращается в нуль.
Итак, любое дробное уравнение может быть преобразовано в целое уравнение, являющееся следствием исходного. Для этого достаточно перенести все слагаемые правой части в левую, затем посредством известных тождественных преобразований представить левую часть в виде частного от деления двух многочленов и, наконец, умножить обе части уравнения на знаменатель полученной дроби. (Это все равно, что приравнять числитель к нулю.) Если преобразованное уравнение удается решить, то среди его корней находятся все корни исходного уравнения, но могут быть и лишние корни. Их следует отбросить после испытания посредством подстановки в исходное уравнение.
Указанный путь не является единственным при решении дробных уравнений. Часто можно достигнуть цели быстрее, умножив обе части уравнения на многочлен, являющийся общим знаменателем всех дробей, находящихся в левой и правой частях исходного уравнения. Полученное таким образом целое уравнение является следствием исходного дробного, но не обязательно равносильно ему. Рассмотрим несколько примеров.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Способ 1. Перенесем все слагаемые правой части в левую. Получим
Выполняя сложение дробей, мы пока не будем приводить целую часть (т. е. — 1) к общему знаменателю для упрощения выкладки. Получим
Сократив дробь на х— 2, что дает 
и выполнив сложение с целой частью, получим 
откуда приравняв числитель к нулю, получим —x+1 = 0; х = 1
Подставив это значение в исходное уравнение, убеждаемся, что x = 1 есть действительно его решение. Таким образом, в данном случае выполненные преобразования не внесли лишних корней.
Указанную выкладку целесообразно сопровождать следующим рассуждением. Если
то
откуда
Следовательно
Итак, если х удовлетворяет уравнению, то х—. Действительно х=1 удовлетворяет уравнению, ибо
Способ 2. Общим знаменателем всех слагаемых уравнения является 
Умножив на него обе части уравнения, получим
и после очевидных преобразований
откуда
Первый корень преобразованного уравнения не является корнем исходного, ибо обе его части теряют смысл при х = 2. Второй корень удовлетворяет уравнению.
Приведенную выкладку можно обосновать так. Если
то
т. е.
откуда
Итак, если х удовлетворяет данному уравнению, то х—2 или х=1. Но в действительности из этих двух значений корнем данного уравнения является только х=1, ибо при х = 2 обе части данного уравнения не имеют смысла.
Ответ. x = 1.
В приведенном примере сокращение дроби, оказавшееся возможным при решении по первому способу, избавило нас в данном случае от «лишнего» корня х = 2. Однако бывает и так, что, хотя уравнение решается первым способом и сокращение дроби осуществляется до конца, «лишние» корни все же возникают. Это видно из следующего примера.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Если
то
и после преобразований
откуда получаем, сокращая на х — 2, что 
и, следовательно, 4— х — 2 = 0; х = 2.
Итак, если х удовлетворяет данному уравнению, то х = 2. Но в действительности х = 2 не удовлетворяет данному уравнению, ибо обе части его теряют смысл при х = 2. Следовательно, данное уравнение решений не имеет.
Ответ. Уравнение не имеет решений.
Иррациональные уравнения
Всякое иррациональное уравнение, т. е. уравнение, в котором некоторые выражения, зависящие от неизвестного, находятся под знаком корня, может быть преобразовано в целое алгебраическое уравнение, являющееся следствием исходного.
Доказательство этого утверждения в общем виде сложно, и мы ограничимся рассмотрением некоторых частных случаев.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
В рассматриваемое уравнение входит только один радикал. Преобразуем уравнение, оставив радикал в одной его части, а все остальные члены перенесем в другую часть. Получим
Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, что приведет нас к новому уравнению, являющемуся следствием исходного. Это обусловлено теоремой 4 § 15 или обычным рассуждением при преобразовании уравнения:
«Если (x такое, что)
то
Решая преобразованное уравнение, получим 
Эти корни не обязаны быть корнями исходного уравнения, так как из выполнения равенства 
еще не следует, что
Может быть одно из двух: или или — и следовательно, удовлетворяется либо исходное уравнение, либо уравнение — И, в самом деле, корень 
удовлетворяет исходному уравнению, а корень 
исходному уравнению не удовлетворяет, но удовлетворяет уравнению — .Указанный прием применяется во всех случаях, когда в уравнение входит только один радикал.
Ответ. х = 1.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Уединив радикал, получим 
откуда следует 
Раскрывая скобки и перенося все члены в одну часть, получим
откуда
Проверяя, убеждаемся, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Здесь имеются два радикала, и избавиться от них одновременно посредством однократного возведения в квадрат не представляется возможным. Мы решим этот пример тремя способами.
Способ 1. Уединим один из радикалов, а затем возведем уравнение в квадрат
Полученное уравнение содержит уже один радикал. Уединив его, получим
Возведя в квадрат еще раз, получим
откуда
Посредством подстановки в исходное уравнение убеждаемся, что оба корня ему удовлетворяют.
Способ 2. Возведем в квадрат обе части исходного уравнения. Получим
Это уравнение содержит уже один радикал. Уединим радикал:
Теперь снова возведем в квадрат обе части уравнения. Получим 
и после очевидных преобразований приходим к уравнению
к такому же, какое было получено при освобождении от радикалов по первому способу.
Способ 3. Введем новую неизвестную 
Тогда 
Относительно новой неизвестной уравнение
содержит только один радикал. Далее,
и, наконец, 
Теперь вспомним, что 
и, следовательно, 
Таким образом, иногда при решении иррациональных уравнений следует комбинировать способ возведения в степень со способом введения новой неизвестной.
Ответ.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Способ 1. Представим уравнение в виде
и возведем обе его части в куб. При этом формулу куба разности двух чисел возьмем в следующем виде:
Получим
Далее,
Кроме того, если х удовлетворяет исходному уравнению (а именно, в этом предположении мы и ведем преобразования, так как мы хотим построить уравнение, являющееся следствием исходного), то
Итак, преобразованное уравнение есть
Решая его, получим 
Подставляя в исходное уравнение, убеждаемся, что оба корня ему удовлетворяют.
Способ 2. Положим 
Тогда 
и относительно нового неизвестного уравнение превращается в 
откуда 
Но 
Следовательно, 
Ответ.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Решение этого примера по образцу второго примера затруднительно, так как в результате последовательного» уединения радикалов и возведения в степень получится уравнение четвертой степени, которое можно решить способом введения нового неизвестного, но не очень просто. Лучше сразу ввести новое неизвестное, положив 
Тогда
Таким образом, относительно новой неизвестной уравнение имеет вид
Освободившись от радикала, получим
Оба корня удовлетворяют уравнению.
Далее, вспоминая, что 
получим относительно х два уравнения
Первое уравнение имеет корни 
Корнями второго являются 
Все четыре корня удовлетворяют исходному уравнению, в чем легко убедиться посредством их подстановки в него.
Ответ.
Из рассмотренных примеров мы видим, что при решении иррациональных уравнений следует пользоваться методом уничтожения радикалов посредством возведения в степень или комбинацией его со способом введения нового неизвестного. В каждом частном случае следует, раньше чем приступить к выкладке, вдуматься в строение уравнения и составить план решения.
В заключение приводим еще один прием, который, несмотря на его искусственность, иногда оказывается полезным.
Пример:
Решить уравнение
Решение:
Умножим обе части уравнения на 
Получим
откуда
Складывая с исходным уравнением, получим
Однако подстановка в исходное уравнение дает, что 
не удовлетворяет исходному уравнению. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ. Уравнение не имеет решений.
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Задачи на квадратное уравнение изучаются и в школьной программе и в ВУЗах. Под ними понимают уравнения вида a*x^2 + b*x + c = 0,где x— переменная, a,b,c – константы; a<>0. Задача состоит в отыскании корней уравнения.
Геометрический смысл квадратного уравнения
Графиком функции, которая представлена квадратным уравнением является парабола. Решения (корни) квадратного уравнения — это точки пересечения параболы с осью абсцисс (х). Из этого следует, что есть три возможных случая:
1) парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс. Это означает, что она находится в верхней плоскости с ветками вверх или нижней с ветками вниз. В таких случаях квадратное уравнение не имеет действительных корней (имеет два комплексных корня).
2) парабола имеет одну точку пересечения с осью Ох. Такую точку называют вершиной параболы, а квадратное уравнение в ней приобретает свое минимальное или максимальное значение. В этом случае квадратное уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня).
3) Последний случай на практике интересный больше — существует две точки пересечения параболы с осью абсцисс. Это означает, что существует два действительных корня уравнения.
На основе анализа коэффициентов при степенях переменных можно сделать интересные выводы о размещении параболы.
1) Если коэффициент а больше нуля то парабола направлена ветками вверх, если отрицательный — ветки параболы направлены вниз.
2) Если коэффициент b больше нуля то вершина параболы лежит в левой полуплоскости, если принимает отрицательное значение — то в правой.
Вывод формулы для решения квадратного уравнения
Перенесем константу с квадратного уравнения
за знак равенства, получим выражение
Умножим обе части на 4а
Чтобы получить слева полный квадрат добавим в обеих частях b^2 и осуществим преобразование
Отсюда находим
Формула дискриминанта и корней квадратного уравнения
Дискриминантом называют значение подкоренного выражения
Если он положительный 
то уравнение имеет два действительных корня, вычисляемые по формуле
При нулевом дискриминант 
квадратное уравнение имеет одно решение (два совпадающих корня), которые легко получить из приведенной выше формулы при D=0
При отрицательном дискриминант 
уравнения действительных корней нет. Однако исують решения квадратного уравнения в комплексной плоскости, и их значение вычисляют по формуле
Теорема Виета
Рассмотрим два корня квадратного уравнения 
и построим на их основе квадратное уравнение.
С записи легко следует сама теорема Виета: если имеем квадратное уравнение вида
то сумма его корней равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней уравнения равен свободному слагаемому q. Формульная запись вышесказанного будет иметь вид
Если в классическом уравнении константа а отлична от нуля, то нужно разделить на нее все уравнение, а затем применять теорему Виета.
Расписание квадратного уравнения на множители
Пусть поставлена задача: разложить квадратное уравнение на множители. Для его выполнения сначала решаем уравнение (находим корни). Далее, найденные корни подставляем в формулу разложения квадратного уравнения
На этом задача будет разрешен.
Задачи на квадратное уравнение
Задача 1. Найти корни квадратного уравнения
x^2-26x+120=0.
Решение: Запишем коэффициенты 
и подставим в формулу дискриминанта
Корень из данного значения равен 14, его легко найти с калькулятором, или запомнить при частом использовании, однако для удобства, в конце статьи я Вам дам список квадратов чисел, которые часто могут встречаться при подобных задачах.
Найденное значение подставляем в формулу корней
и получаем
Задача 2. Решить уравнение
2x2+x-3=0.
Решение: Имеем полное квадратное уравнение, выписываем коэффициенты и находим дискриминант
По известным формулам находим корни квадратного уравнения
Задача 3. Решить уравнение
9x2-12x+4=0.
Решение: Имеем полное квадратное уравнение. Определяем дискриминант
Получили случай когда корни совпадают. Находим значения корней по формуле
Задача 4. Решить уравнение
x^2+x-6=0.
Решение: В случаях когда есть малые коэффициенты при х целесообразно применять теорему Виета. По ее условию получаем два уравнения
С второго условия получаем, что произведение должно быть равно -6. Это означает, что один из корней отрицателен. Имеем следующую возможную пару решений{-3;2}, {3;-2}. С учетом первого условия вторую пару решений отвергаем.
Корни уравнения равны 
Задача 5. Найти длины сторон прямоугольника, если его периметр 18 см, а площадь 77 см2.
Решение: Половина периметра прямоугольника равна сумме соседних сторон. Обозначим х – большую сторону, тогда 18-x меньшая его сторона. Площадь прямоугольника равна произведению этих длин:
х(18-х)=77;
или
х2-18х+77=0.
Найдем дискриминант уравнения
Вычисляем корни уравнения
Если х=11, то 18-х=7, наоборот тоже справедливо (если х=7 , то 21-х=9).
Задача 6. Разложить квадратное 10x2-11x+3=0 уравнения на множители.
Решение: Вычислим корни уравнения, для этого находим дискриминант
Подставляем найденное значение в формулу корней и вычисляем
Применяем формулу разложения квадратного уравнения по корнями
Раскрыв скобки получим тождество.
Квадратное уравнение с параметром
Пример 1. При каких значениях параметра а, уравнение (а-3)х2+(3-а)х-1/4=0 имеет один корень?
Решение: Прямой подстановкой значения а=3 видим, что оно не имеет решения. Далее воспользуемся тем, что при нулевом дискриминанте уравнение имеет один корень кратности 2. Выпишем дискриминант
упростим его и приравняем к нулю
Получили квадратное уравнение относительно параметра а, решение которого легко получить по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а их произведение 12. Простым перебором устанавливаем, что числа 3,4 будут корнями уравнения. Поскольку решение а=3 мы уже отвергли в начале вычислений, то единственным правильным будет — а=4. Таким образом, при а=4 уравнение имеет один корень.
Пример 2. При каких значениях параметра а, уравнение а(а+3)х^2+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?
Решение:Рассмотрим сначала особые точки, ими будут значения а=0 и а=-3. При а=0 уравнение упростится до вида 6х-9=0; х=3/2 и будет один корень. При а= -3 получим тождество 0=0.
Вычислим дискриминант
и найдем значения а при котором оно положительно
С первого условия получим а>3. Для второго находим дискриминант и корни уравнения
Определим промежутки где функция принимает положительные значения. Подстановкой точки а=0 получим 3>0. Итак, за пределами промежутка (-3;1/3) функция отрицательная. Не стоит забывать о точке а=0, которую следует исключить, поскольку в ней исходное уравнение имеет один корень.
В результате получим два интервала, которые удовлетворяют условию задачи
Подобных задач на практике будет много, постарайтесь разобраться с заданиями самостоятельно и не забывайте учитывать условия, которые взаимоисключают друг друга. Хорошо изучите формулы для решения квадратных уравнений, они довольна часто нужны при вычислениях в разных задачах и науках.
Что такое квадратное уравнение? Виды квадратных уравнений. Примеры.
Обычно квадратные уравнения — одна из самых любимых учениками тем школьной математики. Почему? Потому, что алгоритм решения любого квадратного уравнения достаточно прост и универсален. Работает безотказно. Однако простора для дурацких ошибок при решении квадратных уравнений тоже хватает, да… Так что будем разбираться, что к чему.)
Начнём с названия.
Ключевым словом в понятии квадратное уравнение является слово «квадратное». Что оно означает? Оно означает то, что в уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате. В любом случае. Также в уравнении могут быть (или не быть — как уж повезёт) просто икс (в первой степени) и просто число (свободный член). Но это ещё не всё. При этом в уравнении не должно быть иксов в кубе, в четвёртой и любых других степенях, больших двойки.
В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:
Здесь a, b, c — какие-то числа. Любые.) Числа b и c могут быть совсем-совсем любыми, а вот а — любым числом, кроме нуля. Почему — объясню чуть ниже.
Например:
Здесь a=1; b=4; c=-5
Или такое:
Здесь a=-2; b=-5; c=3
Или:
Здесь a=0,5; b=-2; c=2
И так далее…
В этих уравнениях слева присутствует полный набор слагаемых: есть икс в квадрате (с коэффициентом a), есть просто икс (с коэффициентом b), а также есть свободный член c. Такие квадратные уравнения в математике так и называются — полными.
А ещё бывают и такие квадратные уравнения, где чего-то не хватает. Что у нас произойдёт, если, например, обнулить коэффициент b (b=0)? У нас исчезнет икс в первой степени.
Получится, к примеру, что-то типа:
x2–9 = 0
x2+25 = 0
И так далее…
А если c=0? Тогда у нас пропадёт свободный член:
x2-4x = 0
—x2+10x = 0
И т.д. и т.п.
А если уж оба коэффициента a и b станут равны нулю, то тогда совсем всё просто получится:
0,1x2 = 0
-3x2 = 0
Такие квадратные уравнения, где какого-то из членов не хватает, называются (вы не поверите) неполными.)
Таким образом, квадратные уравнения бывают двух основных видов — полные и неполные.
А теперь ответ на вопрос, почему коэффициент a не может быть равен нулю. А давайте подумаем, что у нас произойдёт, если мы обнулим коэффициент а? Да! У нас пропадёт икс в квадрате! Наше уравнение превратится в линейное. И решаться будет уже совсем по-другому…
Общая формула корней квадратного уравнения.
Квадратные уравнения решаются достаточно просто. По одной единственной универсальной формуле. Всего одной!
И теперь у меня для вас есть две новости — хорошая и плохая. С какой начнём? Принято с плохой начинать? Что ж, ладно…
Новость плохая. Строгий аналитический вывод общей формулы корней квадратного уравнения достаточно громоздок и основан на процедуре выделения полного квадрата. В большинстве школьных учебников вывод общей формулы корней всё-таки приводят, но я считаю что эта процедура — очередной вынос мозга простому среднестатистическому школьнику. Поэтому в данном уроке я его (вывод) всё-таки опущу.)
Новость хорошая. Запоминать аналитический вывод формулы корней квадратного уравнения в общем виде и не требуется. Вообще! Гораздо важнее запомнить саму формулу и научиться её применять на практике. Вот мы и попрактикуемся. И уравнения порешаем.)
«Формула! Где формула?! Ты достал формулу?» — слышу громкие возгласы, как в старом добром рекламном ролике начала 2000-х…
Достаю, достаю! Из широких штанин… О-па! Вот она, формула!)
Вот такая формула. Да, я не спорю, довольно громоздкая. Но и уравнение мы решаем всё-таки квадратное, а не более простое линейное…
Как вы видите, для поиска корней квадратного уравнения нам необходимы только коэффициенты a, b, c. И всё. Больше ничего. Аккуратно подставляем все коэффициенты в формулу и считаем наши корни.
Что такое дискриминант? Формула и смысл дискриминанта.
Выражение b2-4ac, стоящее в формуле под знаком квадратного корня, называется дискриминант. До боли знакомое и родное слово для большинства старшеклассников. Слова «решаем через дискриминант» звучат обнадёживающе и вселяют оптимизм!)
Обычно дискриминант обозначается буковкой D:
Тогда, с учётом данного обозначения, общая формула корней станет выглядеть вот так:
Сам по себе дискриминант, как правило, прост и безотказен в обращении. Но… В чём его смысл? Почему для, скажем, —b или 2a не вводятся какие-то специальные термины и обозначения? Буквы — они и в Африке буквы… А тут — такое красивое слово! Дискриминант…
А дело вот в чём. При решении любого квадратного уравнения по общей формуле возможны всего три ситуации.
1. Дискриминант положительный (D>0).
Это означает, что из него можно извлечь корень. Красиво корень извлекается или некрасиво — вопрос другой. Главное, что извлекается в принципе.
Тогда наше квадратное уравнение всегда имеет два различных корня.
Вот они:
Два — потому, что общая формула в этой ситуации разбивается на два отдельных случая. А именно — какой знак, плюс или минус, берётся перед радикалом. Каждый случай даёт свой корень.
2. Дискриминант равен нулю (D=0)
Как вы думаете, чему в этом случае будет равен корень из дискриминанта? Нулю, конечно же! А поскольку от прибавления/вычитания нуля в числителе ничего не меняется, то наше уравнение имеет один корень:
Вообще, строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но в упрощённом виде, когда нам надо просто решить уравнение и получить ответ, принято говорить об одном решении. Поэтому в ответе не заморачиваются и пишут просто одинокий икс, безо всякой индексации х1,2 .
Однако в более солидных темах (например, в решении неравенств методом интервалов) этот пунктик, с двумя одинаковыми (или, по-научному, кратными) корнями, настолько важен, что я буду про него напоминать снова и снова.
3. Дискриминант отрицательный (D<0)
Из отрицательных чисел извлекать квадратный корень в средней школе не учат. Это означает, что уравнение не имеет корней. Ну и ладно. На нет, как говорится, и суда нет.
Как решать квадратные уравнения?
Начнём с полных квадратных уравнений.
Полные квадратные уравнения
Полное квадратное уравнение (любое!) решается всегда в четыре основных этапа.
1. Приводим уравнение к стандартному виду:
Всё просто: выстраиваем левую часть уравнения по убыванию степеней икса. На первом месте пишем слагаемое с иксом в квадрате, на втором месте — с иксом в первой степени и, наконец, свободный член. Справа — обязательно должен быть ноль! Если справа тусуются ещё какие-то члены, то переносим их в левую часть и приводим подобные.
Конечно, если уравнение уже дано в стандартном виде, то первый этап делать не нужно.)
Как только уравнение представлено в стандартном виде, приступаем ко второму этапу.
2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.
Если опыта пока что мало, во избежание досадных ошибок бывает очень полезным выписать их отдельно.
3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.
Внимание! На данном этапе сразу же извлекаем корень из дискриминанта! Если красиво извлекается, конечно.)
4. Подставляем все значения в общую формулу, считаем корни уравнения и записываем ответ.
Вот и весь алгоритм. Простой и безотказный. Ну что, тренируемся на кошках?
Например, надо решить вот такое уравнение:
7x2 – x — 8 = 0
Работаем прямо по пунктам.
1. Приводим уравнение к стандартному виду.
Уравнение уже дано нам в стандартном виде. Стало быть, уже готово к решению. Слева — полный набор членов, выстроенных по убыванию степеней, а справа — ноль. Посему переходим сразу ко второму этапу.
2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.
Вот и пишем:
a = 7; b = -1; c = -8
3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.
Аккуратно подставляем наши коэффициенты a, b и с в формулу дискриминанта. Подставляем со своими знаками! Частенько именно в знаках коэффициентов народ и путается. Точнее, не столько в самих знаках, сколько в подстановке отрицательных значений в формулу дискриминанта. Вот и не ленимся, аккуратно пишем все знаки и скобочки. Трудов много не отнимет, зато гарантированно убережёт от досадных промахов:
D = b2-4ac = (-1)2 – 4·7·(-8) = 1+224 = 225
Извлекаем корень из дискриминанта:
Отлично, корень извлекается чисто. Теперь переходим к последнему, самому главному этапу — считаем наши корни.
4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.
Опять же, аккуратно подставляем все числа в формулу, со всеми знаками и скобочками:
И считаем:
Вот и всё. Это ответ.)
Кстати сказать, если вы просто решаете квадратное уравнение, то нет особой нужды отдельно считать дискриминант. Можно работать напрямую с общей формулой, просто аккуратно подставляя в неё коэффициенты a, b и с.
В нашем случае можно было бы сразу записать:
Но такое оформление чревато тем, что, впопыхах, можно где-нибудь потерять минус. Оно вам надо? Посему лучше считайте дискриминант отдельно — ошибок меньше будет. Естественно, посчитав дискриминант, не забывайте про корень.) Специально акцентирую внимание на этом моменте, потому что сам дискриминант народ обычно считает правильно, а вот корень извлечь частенько забывает… К тому же, привыкнув к отдельному поиску дискриминанта, вы быстрее запомните его общую формулу — в более серьёзных заданиях пригодится. Например, в задачах с параметрами. Такие задачи — высший пилотаж на ЕГЭ!
Естественно, бывают и сюрпризы. Не без этого… И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да. Чтобы не растеряться, в случае чего…) Рассмотрим первый сюрприз. Самый безобидный.
Например, дано нам такое уравнение:
x2 + 1 = 4x
Как обычно, работаем прямо по алгоритму.
1. Приводим уравнение к стандартному виду.
Уравнение пока не готово к решению. Справа нужен ноль, а у нас справа тусуется 4х. Не беда: переносим 4х влево и выстраиваем члены по убыванию степеней:
x2 — 4х + 1 = 0
2. Внимательно осматриваем уравнение и определяем (правильно!) коэффициенты a, b и c.
В нашем случае:
a = 1; b = -4; c = 1
3. Считаем дискриминант по формуле D = b2-4ac.
D = b2-4ac = (-4)2 – 4·1·1 = 12
А вот и первый сюрприз.) Дискриминант не является точным квадратом целого числа! И корень из дискриминанта извлекается плохо:
Что делать? Не решается уравнение? Ну да, как же!
Ничего страшного.) Работаем прямо с корнем. Естественно, если есть возможность, то выносим всё, что извлекается, за знак корня:
4. Подставляем все значения в общую формулу, аккуратно считаем корни уравнения и записываем ответ.
Поехали:
Корни нашего уравнения получились иррациональными. Ну и ничего страшного. Бывает.) Такой уж пример.
Открою небольшой секрет. Обычно задания на квадратные уравнения составляются так, чтобы корень из дискриминанта извлекался ровно и, тем самым, корни в ответе получались красивыми — либо целыми, либо рациональными. И народ постепенно привыкает к таким простым примерам наивно полагая, что дискриминант всегда обязан получаться точным квадратом. Не обязан! Более того, суровая реальность такова, что некрасивый дискриминант (а вместе с ним и лохматые иррациональные корни) — скорее правило, чем исключение! И если вы захотите задать какое-нибудь квадратное уравнение, выбрав в нём коэффициенты a, b и с случайным образом, то с вероятностью 99% корни вашего квадратного уравнения будут числами иррациональными.
Но иррациональных корней вовсе не надо бояться.) Ибо они — точно такие же числа, как и все остальные. Кстати говоря, в более серьёзных заданиях (неравенствах, задачах с параметрами) иррациональные корни встречаются сплошь и рядом. И с ними надо обязательно уметь работать — сравнивать, изображать на числовой оси и т.д. И мы тоже поработаем! В соответствующих уроках.)
Как видите, процедура решения полных квадратных уравнений проблем не вызывает. Всё просто, быстро, не больно.) Главное — аккуратно подставляйте коэффициенты в формулу дискриминанта и общую формулу корней. И считайте себе.) И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…
Вот краткий перечень глупых ошибок при решении квадратных уравнений:
1. Путаница в знаках. Ошибки в подстановке отрицательных коэффициентов в формулу дискриминанта и в общую формулу корней.
2. Забывают извлечь корень из дискриминанта.
3. При работе с общей формулой корней в знаменатель дроби частенько подставляется не 2а, как положено, а просто двойка. Привыкает, видите ли, народ к простым уравнениям, с первым коэффициентом единичкой (а=1). Внимательнее надо быть, да.)
Ну и, разумеется, базовые тождественные преобразования уравнений никто не отменял, да.)
Например, дано такое уравнение:
Уравнение, в принципе, уже дано нам в стандартном виде. Слева — квадратный трёхчлен, построенный по убыванию степеней, справа — ноль.
Наши коэффициенты будут:
a = -1/3; b = 3/2; c = -5
Можно приступать к решению. Только это… коэффициенты — дробные. Неудобно как-то…
Согласен, неудобно! Всё-таки лучше, когда уравнение безо всяких дробей, в линеечку.) Вот и избавимся сначала от дробей. На что надо домножить обе части уравнения, чтобы и двойка сократилась и тройка? На 6! Вот и домножаем. Слева получим:
А что будет справа? Справа будет ноль. Ноль на что ни умножай — всё равно ноль будет. Хорошее число.)
Итого получим:
-2х2 + 9х — 30 = 0
И опять не бросаемся решать, считать дискриминант и прочее. Минус перед иксом в квадрате — нехорош. Забыть его очень легко. Посему избавимся от этого минуса умножением обеих частей на (-1). Проще говоря, поменяем слева все знаки:
2х2 — 9х + 30 = 0
Ну вот. А теперь — по накатанной колее. Выписываем коэффициенты:
a = 2; b = -9; c = 30
Считаем дискриминант:
D = b2-4ac = (-9)2 – 4·2·30 = 81-240 = -159
Вот так штука! А дискриминант-то отрицательный! Не можем мы корень из отрицательного числа извлечь. И сами корни посчитать, стало быть, тоже не можем, да. Стало быть, ответ — решений нет.
Это был второй сюрприз. Надеюсь, теперь отрицательный дискриминант в каком-нибудь примере вас нисколько не смутит.)
Это всё что касается полных квадратных уравнений. Теперь переходим к неполным.)
Неполные квадратные уравнения
Неполными, напоминаю, называются квадратные уравнения, где чего-то не хватает — или bx или с. Или обоих членов сразу.
Например:
х2 — 3х = 0
х2 — 16 = 0
И так далее.)
Неполные квадратные уравнение также можно решать через дискриминант, по общей формуле. Надо только правильно догадаться, чему равняются коэффициенты a, b и с.
Догадались? В первом случае a = 1, b = -3, а свободный член с вообще отсутствует! Что это означает? В математике это означает, что с=0! Вот и всё.)
Во втором уравнении всё аналогично, только нулю будет равно не с, а b!
И все дела.)
Но неполные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всяких дискриминантов и безо всяких формул! Зачем же из пушки по воробьям…
Например, такое уравнение:
х2 — 3х = 0
Что здесь можно сделать в левой части? Сильнее всего напрашивается вынести икс за скобки и разложить левую часть на множители. Давайте вынесем:
х(х-3) = 0
И что дальше? А то, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю! Вот и приравниваем (в уме!) каждый из множителей к нулю и получаем:
х1 = 0
х2 = 3
И все дела! Это и будут корни нашего уравнения. Оба годятся.) При подстановке каждого из них в исходное уравнение мы получим железное равенство 0=0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант!
Теперь рассмотрим другое уравнение:
х2 — 16 = 0
А здесь что можно сделать? Можно -16 перенести вправо:
х2 = 16
Остаётся корень извлечь из 16 и — ответ готов:
Тоже два корня: х1 = -4; х2 = 4.
И так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки и разложения на множители, либо же переносом свободного члена вправо с последующим извлечением корня. Спутать эти два способа — надо очень хорошо постараться.) Ибо в первом случае вам пришлось бы корень из икса извлекать, что как-то не очень, а во втором случае выносить за скобки нечего…
Подытожим тему практическими советами.
1. Перед решением любого квадратного уравнения приводим его к стандартному виду, выстраиваем левую часть по убыванию степеней.
2. Если в уравнении имеются дробные коэффициенты, избавляемся от дробей умножением всего уравнения на нужный множитель.
3. Если коэффициент перед иксом в квадрате отрицательный, избавляемся от минуса умножением всего уравнения на (-1).
Ну что, наш урок окончен. Теперь можно и порешать.)
Решить уравнения:
2x2 — 7x + 3 = 0
х2 — x — 30 = 0
х2 + 6х + 9 = 0
х2 — 7x = 0
х2 + 4x + 5 = 0
-2x2 + 98 = 0
x2 + 0,05x — 0,05 = 0
Ответы (в беспорядке):
х1 = -5; x2 = 6
x1 =-0,2; x2 = 0,5
x1 = 0; x2 = 7
x1 = -0,25; x2 = 0,2
корней нет
x1 = 0,5; x2 = 3
x = -3
x1 = -7; x2 = 7
Всё сошлось? Великолепно! Значит, квадратные уравнения — не ваша беда.) Все получились, а последние два — нет? Значит, проблема — в тождественных преобразованиях. Кликните по ссылке, почитайте — и будет вам счастье!)