Как найти уравнение гиперболы по рисунку

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

,

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

.

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

,

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

.

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

.

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

.

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

,

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

,

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

.

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

.

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color <frac<1>>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Каноническое уравнение гиперболы

Вы будете перенаправлены на Автор24

Каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид: $frac — frac = 1$, где $a, b$ — положительные действительные числа.

Для того чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, нужно привести квадратное уравнение к каноническому виду.

Вывод канонического уравнения гиперболы

Рисунок 1. Рис. 1.Вывод канонического уравнения гиперболы

Рассмотрим гиперболу с фокусами $F_1$ и $F_2$, находящимися на оси $OX$, причём точка $O$ лежит в центе между фокусами.

Следовательно координаты $F_1(-c; 0)$, а $F_2(c; 0)$, где $c$ — расстояние до фокуса гиперболы.

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую гиперболе.

Отрезки $r_1 =|F_1M|$ и $r_2 =|F_2M|$ называются фокальными радиусами точки $M$ гиперболы.

Из определения гиперболы следует, что $|r_1 -r_2| =2a$, следовательно $r_1 – r_2=±2a$, причём $r_1 = sqrt<(x + c)^2 + y^2>$, а $r_2 = sqrt<(x — c)^2 + y^2>$.

Соответственно, уравнение $r_1 – r_2=±2a$ иначе можно записать как $sqrt <(x + c)^2 + y^2>- sqrt <(x — c)^2 + y^2>= ±2a$ (1).

Умножим выражение (1) на $frac <$sqrt<(x + c)^2 + y^2>+ sqrt<(x — c)^2 + y^2>><±2a>$, получается:, получается:

Сложим уравнения (1) и (2), получим:

Возведём (3) в квадрат:

$frac + 2xc + a^2 = (x^2 +2x c + c^2 + y^2)$

$frac cdot x^2 – y^2 = c^2 – a^2$

Пусть $b^2 = c^2 – a^2$, так как $c > 0$ и, следовательно $fracx^2 – y^2 = b^2$

Готовые работы на аналогичную тему

Получаем уравнение: $frac — frac = 1$ (4), являющееся каноническим уравнением гиперболы с центром в начале координат.

Каноническое уравнение параболы и гиперболы немного похожи между собой.

Уравнение параболы выглядит следующим образом:

$y^2 = px$, где число $p$ должно быть больше нуля; это число называется фокальным параметром.

Каноническое уравнение гиперболы примеры решения

Ниже небольшая инструкция о том, как найти каноническое уравнение гиперболы.

Приведём уравнение $5x^2 — 4y^2 = 20$ к каноническому виду гиперболического уравнения, для этого разделим всё уравнение на $20$:

Запишем знаменатели в виде степеней:

Теперь вы знаете, как написать каноническое уравнение гиперболы. Дальше мы расскажем о том, как строить гиперболу по каноническому уравнению.

Построение гиперболы по каноническому уравнению

Теперь давайте рассмотрим, как построить гиперболу по каноническому уравнению.

Рисунок 2. Рис. 2. Построение гиперболы по каноническому уравнению

Для начала необходимо построить асимптоты для данной гиперболы, их формулы определяются из уравнения $y = ±frac$. Для нашего канонического уравнения гиперболы они будут выглядеть так: $y = ±frac<sqrt<5>> <2>cdot x$

Теперь найдём вершины гиперболы, они расположены на оси абсисс в точках $(0; a)$ и $(0; -a)$, назовём их точками $A_1, A_2$. Вершины нашей гиперболы находятся в точках $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.

Далее необходимо найти две-три точки, принадлежащие любой из двух ветвей гиперболы, если гипербола без смещения – точки на второй ветви будут симметричны им относительно осей гиперболы. Выразим $y$ из канонического уравнения нашей гиперболы:

Найдём точки для положительной части гиперболы:

при $x = 3, y =2.5$, а при $x = 3, y ≈3,87$.

Теперь можно отложить все эти точки и построить график гиперболы.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 30 11 2021

В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.

Определение и функция гиперболы

Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:

Здесь:

• x – независимая переменная;
• k ≠ 0;
• при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
• при k < 0 график находится во II и IV четвертях.

На рисунке ниже изображен пример гиперболы.

• Линии графика (зеленым цветом) называются его ветвями.
• Оси абсцисс и ординат (Ox и Oy) являются асимптотами гиперболы, т.е. ветви бесконечно к ним приближаются, но никогда их не коснутся и не пересекут.
• Ось симметрии (синим цветом) – это прямая:
  • y = x (при k > 0)
  • y = -x (при k < 0)

Смещение асимптот

Допустим у нас есть функция, заданная формулой:

В этом случае:

• x = a – это вертикальная асимптота графика (при a ≠ 0) вместо оси Oy;
• y = b – горизонтальная асимптота (при b ≠ 0) вместо оси Ox.

Канонический вид уравнения гиперболы (координатные оси совпадают с осями графика):

Алгоритм построения гиперболы

Пример 1

Дана функция y = ⁴/_x. Построим ее график.

Решение

Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.

Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.

Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, которая будет стремиться к осям координат. В итоге получится ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.

Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.

Соединив полученные точки получаем следующий результат. На этом построение гиперболы завершено.

Пример 2

Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:

Решение

Так как k < 0, график будет располагаться во второй и четвертой четвертях.

Теперь определяемся с асимптотами, в нашем случае это x = 3 и y = 4 (см. информацию выше про их смещение).

Составим таблицу соответствия значений x и y.

Остается только нанести рассчитанные точки на координатную плоскость и соединить их плавными линиями.

Каноническое уравнение гиперболы имеет следующий вид:
$frac{x^2}{a^2} — frac{y^2}{b^2} = 1$, где $a, b$ — положительные действительные числа.

Для того чтобы составить каноническое уравнение гиперболы, нужно привести квадратное уравнение к каноническому виду.

Вывод канонического уравнения гиперболы

Рассмотрим гиперболу с фокусами $F_1$ и $F_2$, находящимися на оси $OX$, причём точка $O$ лежит в центе между фокусами.

Следовательно координаты $F_1(-c; 0)$, а $F_2(c; 0)$, где $c$ — расстояние до фокуса гиперболы.

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую гиперболе.

Отрезки $r_1 =|F_1M|$ и $r_2 =|F_2M|$ называются фокальными радиусами точки $M$ гиперболы.

Из определения гиперболы следует, что $|r_1 -r_2| =2a$, следовательно $r_1 – r_2=±2a$, причём $r_1 = sqrt{(x + c)^2 + y^2}$, а $r_2 = sqrt{(x — c)^2 + y^2}$.

Соответственно, уравнение $r_1 – r_2=±2a$ иначе можно записать как $sqrt{(x + c)^2 + y^2} — sqrt{(x — c)^2 + y^2} = ±2a$ (1).

Умножим выражение (1) на $frac{$sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x — c)^2 + y^2}}{±2a}$, получается:, получается:

$frac{(x + c)^2 + y^2 — (x — c)^2 – y^2}{±2a} = sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x — c)^2 + y^2}$

Упростим: $frac{2cx}{±a} = sqrt{(x + c)^2 + y^2} + sqrt{(x — c)^2 + y^2}$ (2)

Сложим уравнения (1) и (2), получим:

$±(frac{cx}{a}) + a = sqrt{(x + c)^2 + y^2}$ (3)

Возведём (3) в квадрат:

$frac{c^2 x^2}{a^2} + 2xc + a^2 = (x^2 +2x c + c^2 + y^2)$

$frac{c^2 – a^2}{a^2} cdot x^2 – y^2 = c^2 – a^2$

Пусть $b^2 = c^2 – a^2$, так как $c > 0$ и, следовательно $frac{b^2}{a^2}x^2 – y^2 = b^2$

Получаем уравнение:
$frac{x^2}{a^2} — frac{y^2}{b^2} = 1$ (4), являющееся каноническим уравнением гиперболы с центром в начале координат.

Каноническое уравнение параболы и гиперболы немного похожи между собой.

Уравнение параболы выглядит следующим образом:

$y^2 = px$, где число $p$ должно быть больше нуля; это число называется фокальным параметром.

Каноническое уравнение гиперболы примеры решения

Построение гиперболы по каноническому уравнению

Теперь давайте рассмотрим, как построить гиперболу по каноническому уравнению.

1. Для начала необходимо построить асимптоты для данной гиперболы, их формулы определяются из уравнения $y = ±frac{bcdot x}{a}$.
   Для нашего канонического уравнения гиперболы они будут выглядеть так: $y = ±frac{sqrt{5}} {2}cdot x$

2. Теперь найдём вершины гиперболы, они расположены на оси абсисс в точках $(0; a)$ и $(0; -a)$, назовём их точками $A_1, A_2$.
   Вершины нашей гиперболы находятся в точках $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.

Далее необходимо найти две-три точки, принадлежащие любой из двух ветвей гиперболы, если гипербола без смещения – точки на второй ветви будут симметричны им относительно осей гиперболы.
Выразим $y$ из канонического уравнения нашей гиперболы:

$y = ±frac{1}{2} sqrt{5 x^2 — 4}$

Найдём точки для положительной части гиперболы:

при $x = 3, y =2.5$,
а при $x = 3, y ≈3,87$.

Теперь можно отложить все эти точки и построить график гиперболы.

Гиперболой
называется геометрическое место точек,
для которых разность
расстояний от двух фиксированных точек
(называемых фокусами) есть величина
постоянная. Причем указанная разность
берется по абсолютному значению и
необходимо, что бы она была меньше
расстояния между фокусами и не равна
нулю. (См. Рис.23)

Рис.23

На
рисунке:

—

— левый фокальный радиус;

—

—
правый фокальный радиус;

—
(- с; 0) – координаты левого фокуса (точки
F₁);

—
(с; 0) — координаты правого фокуса (точки
F₂);

—

— действительная
полуось
гиперболы;

—

— мнимая
полуось гиперболы;

—
точка (а; 0) – правая вершина гиперболы;

—
точка (- а; 0) – левая вершина гиперболы;

—
прямые

— асимптоты гиперболы.

Названия
полуосей не случайны: точки

гиперболе принадлежат, а точки

—
гиперболе не принадлежат (потому и ось
– мнимая), но мнимая полуось, хотя и не
является частью гиперболы, вполне
определяет ее форму, поскольку именно
между асимптотами гиперболы и располагаются
ветви ее.

Каноническое уравнение гиперболы

(смотри
замечание о каноничности уравнения).

Связь между полуосями и координатами фокусов гиперболы

При
этом важным является выражение,
связывающее действительную, мнимую
полуось и координату фокуса (сравните
с формой аналогичной связи для параметров
эллипса)

.

Эксцентриситет
гиперболы

Пример 19 (о нахождении уравнения гиперболы)

Эксцентриситет
гиперболы равен

.
Найти каноническое уравнение гиперболы,
если точка

гиперболе принадлежит.

Решение

Прежде
всего, что ищем конкретно? – Ищем значения
a
и b
в каноническом уравнении гиперболы.
Неизвестных величин две, следовательно,
и уравнений для их нахождения должно
быть два.

Первое
уравнение получим из того факта, что
нам известен эксцентриситет гиперболы
и известна связь
между полуосями и координатами фокуса
гиперболы:

.

Это
первое равенство, а второе получим,
используя тот факт, что точка М гиперболе
принадлежит, т.е., ее координаты обращают
каноническое уравнение гиперболы в
тождество:

и,
окончательно, получаем

Ответ

Искомая
гипербола описывается каноническим
уравнением

x²
— y²
= 1.

Пример 20 (прямая и гипербола)

Через
точку М(0; — 1) и правую вершину гиперболы

3∙x²
— 4∙y²
= 12

проведена
прямая. Найти вторую точку пересечения
прямой с гиперболой.

Решение

Задачу
будем решать в два шага:

—
найдем уравнение прямой;

—
найдем координату точки пересечения
прямой и гиперболы.

Шаг
1

Для
нахождения уравнения прямой, проходящей
через точку М(0; — 1) и правую вершину
гиперболы необходимо знать координаты
правой вершины гиперболы. Найдем вторую
точку из уравнения гиперболы, приведя
данное уравнение к каноническому
виду,
зная при этом, что в каноническом
уравнении важно все: равно выражение
именно
единице, а в самом выражении – значения
действительной и мнимой полуоси – это
знаменатели дробей, в которых числители
x²
и y².

Откуда
в уравнении гиперболы a
= 2, b
=

,
или координаты правой вершины М₂(2;
0). А вот теперь ищем уравнение
прямой, проходящей через две данные
точки
М и М₂

Шаг
2

Ищем
координаты точек пересечения найденной
прямой и данной гиперболы. Эти координаты
удовлетворяют обоим уравнениям, т.е.
являются решением системы уравнений

Решаем
полученное уравнение и находим, что x₁
= — 4, x₂
= 2.

Подставляем
найденные x₁
и x₂
во второе уравнение системы и находим
координаты точек пересечения прямой с
гиперболой N₁(-
4; -3) и N₂(2;
0).

Не
трудно убедиться (проверьте самостоятельно)
что точка М гиперболе не принадлежит,
а значит, точек пересечения будет две.

Ответ

Точки
пересечения прямой и гиперболы — N₁(-
4; -3) и N₂(2;
0).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #